Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός

Πολυκριτήριος γραμμικός προγραμματισμός Ο πολυκριτήριος ή πολυκριτηρικός γραμμικός προγραμματισμός π.γ.π αποτελεί γενίκευση αλλά και αναπόσπαστο μέλος του γραμμικού προγραμματισμού και χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη πολλαπλών υπό μεγιστοποίηση (ελαχιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων) Οι αντικειμενικές συναρτήσεις ενός π.γ.π. είναι από τη φύση τους συνήθως αλληλοσυγκρουόμενες με αποτέλεσμα να μην ορίζεται γενικά η βέλτιστη λύση, δηλαδή εφικτή λύση που να μεγιστοποιεί ταυτόχρονα όλες τις αντικειμενικές συναρτήσεις. Είναι φανερό ότι αν υπάρχει βέλτιστη λύση, το π.γ.π χάνει την πολυκριτηριακή φυσιογνωμία του, αφού μπορεί να επιλυθεί ως απλό γ.π. θεωρώντας μια μόνο από τις αντικειμενικές συναρτήσεις

Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Μία αντικειμενική συνάρτηση max f(x) Με περιορισμούς: Αx≤B x≥0 Πολλαπλές αντικειμενικές συναρτήσεις max { f1(x), f2(x), … , fn(x)}

Δύο Αντικειμενικές Συναρτήσεις max f1 x1 Α Β A?B x2 max f2 Χώρος των κριτηρίων Χώρος των λύσεων Α Β Χώρος των λύσεων Χώρος των κριτηρίων x1 x2 max f1 max f2

Βασικές Έννοιες- Ορισμοί Πίνακας Πληρωμών ή Κερδών: Συνίσταται στη βελτιστοποίηση καθεμίας αντικειμενικής συνάρτησης χωριστά και την αντικατάσταση της εκάστοτε βέλτιστης λύσης στις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις Πίνακας Πληρωμών Τύπος λύσης f1 f2 …. fi …f1n Αντιστοιχούσα Λύση [max] f1 (x) f1* f2 …. fi …f1n x11 x21 …. xl1 [max] f2 (x) f1 f2* …. fi …f1n x12 x22 …. xl2 …. [max] fi (x) f1 f2 …. fi* … f1n x1i x2i …. xli [max] fn (x) f1 f2 …. fi … f1n* x1n x2n …. xln

Βασικές Έννοιες- Ορισμοί Το βασικό πρόβλημα που αντιμετωπίζεται στην περίπτωση αυτή αφορά την αδυναμία εντοπισμού βέλτιστης λύσης, δεδομένου ότι η λύση που βελτιστοποιεί κάποια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις δεν είναι συνήθως βέλτιστη για τις υπόλοιπες. Για την αντιμετώπιση του θέματος αυτού, η έννοια της βέλτιστη λύσης αντικαθίσταται από την έννοια της αποτελεσματικής λύσης (efficient solution), η οποία με τη σειρά της βασίζεται στην έννοια της κυριαρχίας (dominance).

Κυριαρχία- Αποτελεσματικότητα Κυριαρχία: Μια δυνατή λύση x λέγεται ότι κυριαρχεί μιας άλλης y (xΔy) εάν και μόνο αν ισχύει: xΔy  fi (x) ≥ fi (y)  i και για ένα τουλάχιστον δείκτη ι: fi* (x) > fi*(y) Αποτελεσματικότητα: Μια δυνατή λύση x λέγεται αποτελεσματική για την οικογένεια κριτηρίων {f1 , f2 ,…. , fn } εάν και μόνο αν δεν υπάρχει δυνατή λύση y η οποία κυριαρχεί της x.

Ιδεώδης και Αντι-ιδεώδης Λύση Ιδεώδης λύση: λέγεται εκείνο το διάνυσμα των τιμών των μεταβλητών απόφασης που μεγιστοποιεί ταυτόχρονα όλα τα κριτήρια, δηλαδή ορίζεται από τα μέγιστα στοιχεία των στηλών του πίνακα πληρωμών Αντι- Ιδεώδης λύση: ορίζεται από τα ελάχιστα στοιχεία των στηλών του πίνακα πληρωμών C Α Β Χώρος των λύσεων Χώρος των κριτηρίων x1 x2 f1 f2 A?B Ιδεώδης Λύση Αντι-ιδεώδης

Βασικές Μέθοδοι π.γ.π Η μέθοδος της Συνάρτησης χρησιμότητας ή ολικού κριτήριου Η μέθοδος των φραγμάτων Λεξικογραφική μέθοδος Προγραμματισμός στόχων

Παράδειγμα max f1 (x)= 3x1+5x2 max f1 (x)= x1 με περιορισμούς Πίνακας Πληρωμών Τύπος λύσης f1 f2 x1 x2 [max] f1 (x) 660 70 70 90 [max] f2 (x) 345 115 115 0

H μέθοδος Ολικού Κριτήριου * Όταν η συνάρτηση είναι γραμμική είναι ουσιαστικά ένας σταθμισμένος μέσος των κριτηρίων f1, f2, … , fn : max U(x)= Σύμφωνα με τον γραμμικό τύπο χρησιμότητας, ο ρυθμός αύξησης της χρησιμότητας των τιμών ενός κριτηρίου, όσο αυτές αυξάνονται, είναι σταθερός σε όλο το εύρος των τιμών του κριτηρίου

H μέθοδος Ολικού Κριτήριου (συνέχεια) Με εναλλαγές των βαρών μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σειρά αποδοτικών λύσεων. Από αυτές ο λήπτης των αποφάσεων και με βάση τις τιμές των κριτηρίων μπορεί να επιλέξει ποια λύση εκφράζει καλύτερα τις δικές του προτιμήσεις. max { f1(x), f2(x), … , fn(x)} Με περιορισμούς: Αx≤B x≥0 max w1f1(x)+ w2f2(x)+…+ wnfn(x) ή

Επίλυση του Παραδείγματος με την Μέθοδο Ολικού Κριτήριου Έστω U=w1f1(x)+w2f2(x)  U=w1(3x1+5x2)+w2x1 Αν w1=0,7 και w2=0,3 τότε θα είναι U=0,7(3x1+5x2)+0,3x1  U=2,4x1+3,5x2 Επιλύεται το ακόλουθο γ.π. μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας max U= 2,4x1+3,5x2 με περιορισμούς 2x1+ x2≤230 x1+2x2≤250 x2≤120 x1,x2≥0 U*= 483 Με x1=70 και x2=90 Αντίστοιχα, οι τιμές των κριτηρίων είναι f1 (x)=660 f2 (x)=70

Η Μέθοδος των Φραγμάτων Επιλέγεται μια αντικειμενική συνάρτηση gk(x) προς βελτιστοποίηση Για κάθε μια από τις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις (gj(x), j ≠k) τίθεται ένα κάτω φράγμα Lj και οι συναρτήσεις αυτές μετατρέπονται σε περιορισμούς Επιλύεται το γ.π. βελτιστοποίησης της μοναδικής αντικειμενικής συνάρτησης

Η Μέθοδος των Φραγμάτων (συνέχεια) Η συνάρτηση που επιλέγεται για βελτιστοποίηση είναι η σημαντικότερη, κατά τη κρίση του αποφασίζοντα ή εκείνη για την οποία υπάρχει η λιγότερη διαθέσιμη πληροφορία Με την μετατροπή των αντικειμενικών συναρτήσεων σε περιορισμούς προστίθενται νέοι περιορισμοί στο ήδη υπάρχον σύνολο Ax ≤b. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε πρόβλημα μη εφικτό. Πρέπει λοιπόν, κατά τον ορισμό των κάτω φραγμάτων Lj να συμβουλεύεται κανείς τον πίνακα πληρωμών του π.γ.π. max { f1(x), f2(x), … , fn(x)} max fk(x) Με περιορισμούς: Αx≤B Με περιορισμούς: Αx≤B x≥0 fi(x) ≥Li , i=1...n, i≠k x≥0

Επίλυση του Παραδείγματος με την Μέθοδο των φραγμάτων max f1 = 3x1+5x2 με περιορισμούς 2x1+ x2≤230 (1) x1+2x2≤250 (2) x2≤120 (3) x1≥85 (4) x1,x2≥0 f1 *= 555 Με x1=85 και x2=60 Αντίστοιχα, οι τιμές των κριτηρίων είναι f1 (x)=555 f2 (x)=85 Με διαδοχικά φράγματα μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σειρά αποδοτικών λύσεων. Από αυτές ο λήπτης των αποφάσεων και με βάση τις τιμές των κριτηρίων μπορεί να επιλέξει ποια λύση εκφράζει καλύτερα τις δικές του προτιμήσεις.

Λεξικογραφική Μέθοδος Τα κριτήρια κατατάσσονται κατά φθίνουσα σημαντικότητα (προτιμήσεις αποφασίζοντα). Χωρίς βλάβη της γενικότητας δεχόμαστε ότι η σειρά είναι f1, f2, … , fn. Βελτιστοποιείται το πρώτο κατά σειρά σημαντικότητας κριτήριο (f1). ΈστωΑ1 ⊆A το σύνολο των βέλτιστων λύσεων Στη συνέχεια βελτιστοποιείται το δεύτερο κατά σειρά σημαντικότητας κριτήριο στο σύνολο Α∩A1. Αν Α2⊆Α1⊆A είναι το σύνολο των βέλτιστων λύσεων του νέου γ.π η διαδικασία συνεχίζεται με βελτιστοποίηση του τρίτου κριτηρίου στο σύνολο Α∩A1∩Α2 κ.ο.κ.

Λεξικογραφική Μέθοδος Στηνk επανάληψη της διαδικασίας το σύνολο των βέλτιστων λύσεων θα είναι Αk ⊆Ak-1 ⊆… ⊆Α2 ⊆Α1 ⊆A Και το σύνολο των εναλλακτικών λύσεων για την k+1 επανάληψη θα είναι Α∩A1 ∩Α2∩... ∩Αk Η διαδικασία ολοκληρώνεται στην k επανάληψη (βελτιστοποίηση k-οστού κριτηρίου) όταν|Αk|=1 (μοναδική λύση) ή k=n (βελτιστοποιείται και το τελευταίο κατά σειρά σημαντικότητας κριτήριο) Είναι φανερό ότι όταν η διαδικασία καταλήξει νωρίς σε μοναδική λύση – από τα πρώτα κιόλας κριτήρια-τα υπόλοιπα κριτήρια δεν λαμβάνονται υπόψη. Αυτό συνιστά μειονέκτημα της μεθόδου, αφού συχνά υποβαθμίζεται η πολυκριτηριακή φύση του προβλήματος.

Λεξικογραφική Μέθοδος (1) max f1(x) Με περιορισμούς: Αx≤B x≥0 max { f1(x), f2(x), … , fn(x)} Με περιορισμούς: Αx≤B x≥0 Κατάταξη f1(x) 2) f2(x) …. k) fk(x) … n) fn(x) (2) max f2(x) Με περιορισμούς: Αx≤B f1(x)≥f1* x≥0 …. (κ) max fκ(x) Με περιορισμούς: Αx≤B fi(x)≥fi* i=1…k-1 x≥0

Επίλυση του Παραδείγματος με την Λεξικογραφική Μέθοδος Έστω ότι τα κριτήρια κατατάσσονται κατά σειρά σημαντικότητας ως εξής: 1o: f1(x), 2o: f2(x) Επιλύεται πρώτο το γ.π. max f1(x)=3x1+5x2 s.t. 2x1+x2≤230 (1) x1+2x2≤250 (2) x2 ≤120 (3) Επειδή η βέλτιστη λύση είναι μοναδική, η διαδικασία ολοκληρώνεται χωρίς να ληφθεί υπόψη το δεύτερο κριτήριο

Τέλος Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού