Πρόλογος Κυριαρχεί η τάξη στον κόσμο μας; Γνωρίζουμε τους νόμους που διέπουν όλα τα φυσικά φαινόμενα; Μπορούμε να προβλέψουμε το μέλλον; Είναι η ζωή μας το απλό «ξετύλιγμα» ενός σεναρίου που γράφτηκε στο γεννητικό υλικό των κυττάρων μας, πριν ακόμα γεννηθούμε; Μπορούμε, δηλαδή, γνωρίζοντας με ακρίβεια τις αρχικές συνθήκες ενός συστήματος, να καθορίσουμε με σιγουριά την εξέλιξή του στο μέλλον;

Θα διαπιστώσουμε ότι τα fractal είναι παραδείγματα συστημάτων με χωρική πολυπλοκότητα εμφάνισης νέων μορφών σε κάθε κλίμακα μεγέθυνσης, ενώ χαοτικά συστήματα θα λέμε εκείνα που εμφανίζουν χρονική πολυπλοκότητα με την έννοια της αδυναμίας πρόβλεψης που μόλις αναφέραμε

Αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας Τα πρώτα βήματα της κατασκευής του τριαδικού συνόλου Cantor. Από ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 αφαιρούμε το μεσαίο τρίτο, από τα δύο τμήματα που απομένουν τα μεσαία τρίτα τους κ.ο.κ. μέχρι το άπειρο. Αυτό που μένει στο τέλος της διαδικασίας λέγεται τριαδικό σύνολο του Cantor. Το φαινόμενο αυτό που παρατηρείται μεταξύ όλων των διαδοχικών τμημάτων της κατασκευής συνόλου Cantor, ονομάζεται αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας και η συγκεκριμένη κλίμακα που συνδέει εδώ τα διαδoχικά ζεύγη τμημάτων είναι το 1/3.

Αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας Αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας εντοπίζουμε και στις τροχιές των ουράνιων σωμάτων

Πίσω από την πολυπλοκότητα πολλών αντικειμένων κρύβονται κάποια πρότυπα που επαναλαμβάνονται σε διαφορετικές κλίμακες μέσω συγκεκριμένων διαδικασιών, συνθέτοντας έτσι την εικόνα του τελικού αντικειμένου που εμείς παρατηρούμε. Η φτέρη του Barnsley. Προσέξτε την αυτοομοιότητα μεταξύ του μεγάλου μίσχου και της αλληλουχίας των μικρότερων που βρίσκονται επάνω του.

Η «νήσος του Mandelbrot» με τις μικρές κυκλικές χερσονήσους, που φέρουν ακόμα μικρότερες επάνω τους, σε μια αλληλουχία που δεν τελειώνει ποτέ. Προσέξτε την ιδιαίτερα πολύπλοκη «παραλία» της. Νομίζετε ότι θα μπορούσαμε να την περιγράψουμε σε μια απλή καμπύλη; Η «νήσος» αυτή ονομάζεται σύνολο του Mandelbrot.

Κεφάλαιο 1 Ταξίδι στην πολυπλοκότητα με αλλαγές κλίμακας Αυτοομοιότητα και Κλιμάκωση: Ένας δρόμος προς το Άπειρο Το παράδοξο του Ζήνωνα Ο Αχιλλέας και η χελώνα Τα αθροίσματα απείρων όρων Η απάντηση στο ερώτημα αυτό επρόκειτο να έρθει 1900 χρόνια περίπου μετά τον Ζήνωνα, με τη θεμελίωση ενός κλάδου των Μαθηματικών που λέγεται απειροστικός Λογισμός. Η όλη παρεξήγηση οφείλεται στο γεγονός ότι η άθροιση ενός άπειρου αριθμού ποσοτήτων δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η τελική ποσότητα θα είναι άπειρη!

Αναπαράσταση της προοπτικής μιας εικόνας χρησιμοποιώντας την τεχνική της αυτοομοιότητας υπό αλλαγή κλίμακας

Στο σχήμα βλέπουμε την μετατροπή της κατατομής του προσώπου του παιδιού στο πρόσωπο του ενήλικα (πρόκειται για παράδειγμα μη γραμμικών μετασχηματισμών αυτοομοιότητας). Παρόλο που η επιστήμη του Χάους και της Πολυπλοκότητας φαίνεται να δίνει πολύτιμα εργαλεία στη Βιολογία, δεν είναι ακόμη γνωστό πώς κωδικοποιείται γενετικά όλη αυτή η πληροφορία.

Από μια απλή γραμμή σε μία πολύπλοκη: τα πρώτα βήματα κατασκευής της καμπύλης του Koch. Η καμπύλη αυτή πήρε το όνομά της από τον Σουηδό μαθηματικό Helge von Koch, που την εισήγαγε πρώτος το 1904.

Τα πρώτα τρία βήματα της κατασκευής μιας τετραγωνικής καμπύλης Koch με κλίμακες r1=β και r2=(1-β)/2

Από τον Newton στον Mandelbrot Η δυναμική των επαναλήψεων Κεφάλαιο 2 Από τον Newton στον Mandelbrot Η δυναμική των επαναλήψεων

Από τον Newton στον Mandelbrot Η δυναμική των επαναλήψεων Α. Είτε η επαναληπτική διαδικασία θα συγκλίνει στο επιθυμητό αποτέλεσμα (καλός τεχνίτης) Β. Είτε θα ταλαντώνεται συνεχώς γύρω από αυτό (μέτριος τεχνίτης) Γ. Είτε θα αποκλίνει εντελώς από το στόχο της (κακός τεχνίτης)

Η «μυστηριώδης νήσος» του Mandelbrot που δείχνει με σκούρο χρώμα όλα εκείνα τα c στο μιγαδικό επίπεδο cR, cI, για τα οποία οι επαναλήψεις δεν πηγαίνουν στο άπειρο για z=0. Προσέξτε το πολύπλοκο σύνορο των σκούρων περιοχών το οποίο μαζί με την υπόλοιπη «νήσο» ονομάζεται σύνολο του Mandelbrot

Χάος: Η άλλη μορφή της πολυπλοκότητας Κεφάλαιο 3 Χάος: Η άλλη μορφή της πολυπλοκότητας

Τύχη ή αβεβαιότητα κυριαρχεί στη ζωή; Η αντίληψη ενός ντετερμινιστικού κόσμου Ο Boltzman, η θερμοδυναμική και τα παράδοξα της κλασικής μηχανικής Η επιστήμη της Φυσικής εισήλθε στον 20ο αιώνα συνοδευόμενη από ένα πολύ σοβαρό προβληματισμό: Πώς είναι δυνατό να συμβιβάσουμε τους νόμους της θερμοδυναμικής, όπως π.χ. ο νόμος της συνεχώς αυξανόμενης εντροπίας (ή αταξίας) ενός κλειστού συστήματος, με τους νόμους της Κλασικής Μηχανικής; Πως μεταβαίνουμε από την αντιστρέψιμη δυναμική των 2-3 σωμάτων στη στατιστική μελέτη των δισεκατομμυρίων μορίων ενός αερίου;

Ο Poincaré προσπαθώντας να λύσει το πρόβλημα των 3 σωμάτων, Γη, Ήλιος και Σελήνη ανακάλυψε κάτι πραγματικά εντυπωσιακό: ότι δηλαδή, οι εξισώσεις της Κλασικής Μηχανικής για το πρόβλημα αυτό ήταν αδύνατο να λυθούν αναλυτικά με τις ως τότε γνωστές μαθηματικές μεθόδους. Το συγκλονιστικό αποτέλεσμα που απέδειξε ο Poincaré ήταν ότι ακόμα και στα πιο απλά προβλήματα της Μηχανικής και της Αστρονομίας, υπάρχουν λύσεις ή τροχιές που εξαρτώνται τόσο ευαίσθητα από την επιλογή των αρχικών συνθηκών, ώστε η εξέλιξή τους στο χρόνο να είναι για μεγάλα διαστήματα εντελώς απρόβλεπτη. Ακόμη και τα απλούστερα ντετερμινιστικά συστήματα της Φυσικής που περιγράφονται από μη γραμμικές εξισώσεις και κινούνται σε ένα χώρο 3 τουλάχιστον διαστάσεων, έχουν περιοχές όπου οι τροχιές τους είναι τόσο ασταθείς, ώστε ακόμη και ελάχιστες μετατοπίσεις της αρχικής τους κατάστασης να οδηγούν σε τεράστιες αλλαγές στην εξέλιξη της κίνησης. Οι περιοχές αυτές, 70 χρόνια αργότερα, ονομάστηκαν χαοτικές και η έντονη αστάθεια που τις χαρακτηρίζει, χάος.

Για να κατανοήσουμε καλά το περιεχόμενο του κεφαλαίου, θα χρειαστεί να εισαγάγουμε πρώτα τις βασικές έννοιες της ισσοροπίας, της περιοδικότητας και της ευστάθειας που είναι απαραίτητες για την περιγραφή της συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος. Έτσι θα μπορέσουμε να εξηγήσουμε, τί σημαίνει «τάξη» και πώς αντιδιαστέλλεται από την ιδιότητα του «χάους», που αναφέρεται στην «ακανόνιστη», μη περιοδική και απρόβλεπτη δυναμική του συστήματος. Το παιχνίδι της Φύσης και της Ζωής παίζεται κάπου ανάμεσα στην τύχη και την αβεβαιότητα σαν μία παρτίδα σκάκι: Οι κανόνες είναι γνωστοί και απλοί, οι διαφορετικοί συνδυασμοί όμως που επιτρέπονται είναι τόσο πολλοί, ώστε να υπάρχει στον κόσμο μας μια θαυμαστή πολυπλοκότητα κινήσεων και μορφών που ίσως να μην μπορέσουμε να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε πλήρως.

Τάξη και Χάος στα Δυναμικά Συστήματα Τί είναι ένα δυναμικό σύστημα; Τάξη και Χάος στα Δυναμικά Συστήματα Τί είναι ένα δυναμικό σύστημα; Ένα δυναμικό σύστημα χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες: Α. Η μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος Β. Έχει λίγες «διαστάσεις» (ή βαθμούς ελευθερίας) αφού διαθέτει μεγάλο αριθμό εξαρτημένων μεταβλητών Γ. Η κίνηση διέπεται από αιτιοκρατικούς (δηλαδή αυστηρά καθορισμένους) νόμους ή κανόνες.

Κι αν ο χρόνος γυρίσει πίσω;