Κάποια θεωρητικά θέματα της μοντελοποίησης Χ. Λεμονίδης Μάιος 2017

Περιεχόμενα Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Διαχωρισμός μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Ο κύκλος της μοντελοποίησης

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής εκπαίδευσης ενός μαθητή, η λέξη "μοντέλο" χρησιμοποιείται με πολλούς τρόπους. Αρκετοί από αυτούς, όπως χειραπτικά υλικά, απόδειξη, μοντελοποίηση ρόλων και εννοιολογικά μοντέλα των μαθηματικών, είναι πολύτιμα εργαλεία για τη διδασκαλία και τη μάθηση. Ωστόσο, είναι διαφορετικά από την πρακτική της μαθηματικής μοντελοποίησης. Μαθηματική μοντελοποίηση, τόσο στο χώρο εργασίας όσο και στο σχολείο, χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να απαντήσει σε ερωτήματα, μεγάλα, πολύπλοκα τα οποία βασίζονται στην πραγματικότητα.

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Πολλοί ερευνητές πιστεύουν ακράδαντα ότι η μαθηματική μοντελοποίηση θα πρέπει να διδάσκεται σε κάθε στάδιο της μαθηματικής εκπαίδευσης ενός μαθητή. Γιατί η κοινωνία μας δίνει τόσο πολύ χρόνο στη διδασκαλία των μαθηματικών; Εν μέρει, είναι επειδή τα μαθηματικά είναι σημαντικά για τους δικούς τους λόγους, αλλά κυρίως επειδή τα μαθηματικά είναι σημαντικά στην αντιμετώπιση του υπόλοιπου κόσμου.

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Βεβαίως τα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους μαθητές καθώς περνούν μέσα από το σχολείο στον κόσμο της εργασίας. Αλλά μπορεί και πρέπει να τους βοηθήσουν στην καθημερινή τους ζωή ως ενημερωμένους πολίτες. Είναι σημαντικό οι εμπειρίες των μαθητών με τη μαθηματική μοντελοποίηση, καθώς προχωρούν μέσα από τις βαθμίδες, να τους δώσουν πρόσβαση σε μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Για παράδειγμα: - Πώς προσδιορίζουμε τη μέση βροχόπτωση σε μια κατάσταση; Πού είναι το καλύτερο μέρος για να εντοπίσετε έναν πυροσβεστικό σταθμό; Τι είναι το δίκαιο σύστημα ψηφοφορίας; Πώς μπορώ να κρεμώ εικόνες κατά μήκος μιας σκάλας, ώστε να φαίνονται σε ευθεία; Οι μαθητές μπορούν να μάθουν και να εκτιμήσουν τη σημασία της μοντελοποίησης στη ζωή τους σε όλα τα εκπαιδευτικά επίπεδα.

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Στο Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education (GAIMME) (2016) δίνεται ο παρακάτω σύντομος ορισμός για την μαθηματική μοντελοποίηση: Η μαθηματική μοντελοποίηση είναι μια διαδικασία που χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να αναπαριστά, να αναλύει, να κάνει προβλέψεις ή να παρέχει με άλλο τρόπο πληροφορίες για τα πραγματικά φαινόμενα.

Τι είναι μαθηματική μοντελοποίηση; Οι πιο σύντομοι ορισμοί που βρίσκουμε τονίζουν αυτή την πιο σημαντική πτυχή, δηλαδή τη σχέση μεταξύ μοντελοποίησης και του κόσμου γύρω μας. - Χρήση της γλώσσας των μαθηματικών για την ποσοτικοποίηση των πραγματικών φαινομένων και την ανάλυση των συμπεριφορών. - Χρήση των μαθηματικών για να εξερευνήσουμε και να αναπτύξουμε την κατανόησή μας για τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου. - Μια επαναληπτική διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στην οποία τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται για να διερευνήσουν και να αναπτύξουν βαθύτερη κατανόηση.

Διαχωρισμός μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Στο GAIMME (2016, σελ. 96) η Dr. Katie Fowler αναφέρεται στο θέμα του διαχωρισμού μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης ως εξής: “Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα εργαλείο που χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για να αναπαραστήσει μια πραγματική κατάσταση για να διευκολύνει την ποσοτικοποίηση, τις αναλύσεις, τις προβλέψεις και την απόκτηση γνώσης. Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης είναι η δημιουργία ενός τέτοιου εργαλείου και συχνά απαιτεί σημαντική δημιουργικότητα και καταιγισμό ιδεών, αλλά όχι απαραίτητα περίπλοκα μαθηματικά.

Διαχωρισμός μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Η ίδια η διαδικασία περιλαμβάνει τον καθορισμό του ποιο είναι το αποτέλεσμα του μοντέλου (τι ποσοτικοποιείται;) και τον προσδιορισμό των μεταβλητών που μπορούν να επηρεάσουν αυτή την ποσότητα. Πρέπει να γίνουν υποθέσεις για τον προσδιορισμό των σχέσεων μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του μοντέλου. Τελικά μπορεί να υπάρχουν πολλαπλά μαθηματικά μοντέλα για κάθε δεδομένο σενάριο με ποικίλους βαθμούς πολυπλοκότητας. Το ίδιο το μοντέλο εξαρτάται από τους διαθέσιμους πόρους και τη γνώση του δημιουργού του. Η διαδικασία μοντελοποίησης περιλαμβάνει την επικύρωση του μοντέλου για να εκτιμήσει πόσο καλά εκτελεί την πρόβλεψη ή τη μέτρηση και την εξέταση των βελτιώσεων.”

Διαχωρισμός μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Ο Dr. Frank Giordano στο GAIMME (2016, σελ. 97) αναφέρει: “Τι είναι η μοντελοποίηση; Πρώτον, πρόκειται για μια διαδικασία που συνδέει τα συστήματα του πραγματικού κόσμου (παρατηρούμενη συμπεριφορά ή φαινόμενο) με τον μαθηματικό κόσμο (μοντέλα, μαθηματικές πράξεις και κανόνες και μαθηματικά συμπεράσματα.) Ένα σύστημα είναι μια συνάθροιση αντικειμένων ενωμένων με κάποια τακτική αλληλεπίδραση ή αλληλεξάρτηση. Ο μοντελιστής ενδιαφέρεται να κατανοήσει πώς λειτουργεί ένα συγκεκριμένο σύστημα, τι προκαλεί αλλαγή στο σύστημα και την ευαισθησία του συστήματος σε ορισμένες αλλαγές.

Διαχωρισμός μεταξύ του μαθηματικού μοντέλου και της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Συχνά, ο μοντελιστής ενδιαφέρεται να προβλέψει ποιες αλλαγές μπορεί να συμβούν και πότε συμβαίνουν. Στο επίκεντρο της διαδικασίας είναι η κατασκευή ή η επιλογή ενός μοντέλου. "Τι είναι λοιπόν ένα μοντέλο; Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι ένα κατασκεύασμα σχεδιασμένο για να μελετά ένα συγκεκριμένο σύστημα ή φαινόμενο του πραγματικού κόσμου. Το κατασκεύασμα μπορεί να είναι γραφικό, συμβολικό, μια προσομοίωση ή μια πειραματική κατασκευή. Δεδομένου ενός ενδιαφέροντος φαινομένου, μπορούμε να επιλέξουμε μια μαθηματική αναπαράσταση ή να επιλέξουμε να αναπαράγουμε τη συμπεριφορά. "

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να δείξουμε με ποιον τρόπο μπορούμε να τροποποιήσουμε μια μαθηματική κατάσταση ή ένα πρόβλημα για να το μετατρέψουμε σε ένα πρόβλημα μοντελοποίησης. Ένα παράδειγμα από την πρωτοβάθμια εκπαίδευση Στο παράδειγμα αυτό, οι μαθητές ασκούνται στις ικανότητες της πρόσθεσης. Σε ένα πρόβλημα πρόσθεσης χωρίς εφαρμογή και πλαίσιο μπορεί να ζητείται από τους μαθητές ‘να υπολογίσουν το άθροισμα 8+4’.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Σε ένα λεκτικό πρόβλημα μπορεί να προστεθούν ετικέτες και να ρωτήσουμε τους μαθητές: ‘Η Άννα έχει 8 παγωτά και ο Πέτρος άλλα 4. Πόσα παγωτά έχουν τα δύο παιδιά μαζί;’. Αν και στο παραπάνω πρόβλημα προστέθηκαν ετικέτες ή ένα πλαίσιο με λέξεις, δεν έγινε ωστόσο πρόβλημα μοντελοποίησης για δύο λόγους. Πρώτον, δεν έχει εγγενή αξία ή νόημα για τους μαθητές. Εκτός από την υποχρέωση να απαντήσουν σε αυτό το πρόβλημα του σχολείου, γιατί να ενδιαφέρονται οι μαθητές για το πόσα παγωτά έχει η Άννα και ο Πέτρος;

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Το λεκτικό πρόβλημα είναι κλειστό στην αρχή και στο τέλος. Ενώ οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν μερικές διαφορετικές προσεγγίσεις για να φτάσουν στην απάντηση, όπως να σχεδιάσουν μια εικόνα και να μετρήσουν ή να γράψουν και να αξιολογήσουν μια αριθμητική έκφραση, παρέχονται σαφώς όλα τα απαραίτητα δεδομένα και υπάρχει μόνο μία σωστή λύση.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Ας διερευνήσουμε πώς μπορούμε να μετατρέψουμε το πρόβλημα σε ένα πρόβλημα μαθηματικής μοντελοποίησης που θα εξασκεί τους μαθητές στην πρόσθεση φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να προτείνουμε το εξής: ‘Σε ένα επίσημο γεύμα της οικογένειας σου, ζητήθηκε να υπολογίσεις τον αριθμό των παγωτών που θα χρειαστούν’.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Οι μαθητές θα πρέπει να λάβουν υπόψη τους και να αναρωτηθούν για πολλά πράγματα. Πόσα άτομα είναι στην οικογένειά τους και πόσοι θα συμμετέχουν στο γεύμα; Πόσα παγωτά είναι πιθανό να φάει κάθε άτομο; Έχει κάποιος περιορισμούς στη διατροφή που πρέπει να ληφθούν υπόψη; Πόσα άλλα φαγητά θα είναι διαθέσιμα στο γεύμα;

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Οι μαθητές θα πρέπει να κάνουν υποθέσεις σχετικά με το πλαίσιο, την εισήγησή τους στην οικογένεια και τις αλλαγές στην απάντηση της ερώτησης. Αφού έχουν απαντήσει σε αυτές τις ερωτήσεις και έχουν κάνει υποθέσεις, πρέπει να προσθέσουν ολόκληρους αριθμούς. Η μικρή αλλαγή που έχουν οι μαθητές να σκεφτούν το πλαίσιο για να καθορίσουν ποιους αριθμούς πρέπει να προσθέσουν, ακόμα και πόσους αριθμούς να προσθέσουν, μετατρέπει την κλειστή ερώτηση σε μια ανοιχτή ερώτηση. Η αναθεωρημένη ερώτηση καλεί τους μαθητές να γίνουν μέρος του πλαισίου, ενώ διατηρείται το ίδιο περιεχόμενο των μαθηματικών μαθημάτων που πρέπει να μάθουν.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Ένα παράδειγμα από τη μέση εκπαίδευση Σε αυτό το παράδειγμα, οι μαθητές μαθαίνουν πώς να γράφουν εξισώσεις πρώτου βαθμού και γραφήματα δεδομένης κλίσης και σταθερού όρου. Σε ένα πρόβλημα χωρίς πλαίσιο μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να χαράξουν την ευθεία με κλίση 2 και σταθερό όρο 100 και στη συνέχεια να γράψουν την εξίσωση της ευθείας. Μια πρώτη κίνηση προς την κατεύθυνση της μοντελοποίησης θα μπορούσε να είναι η δημιουργία ενός προβλήματος όπως:

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Η Ελένη εργάζεται σε κατάστημα λιανικής που την πληρώνει 100 ευρώ την εβδομάδα συν 2 € για κάθε είδος που πωλεί. Γράψτε και χαράξτε μια γραμμική εξίσωση που αναπαριστά τη σχέση μεταξύ εβδομαδιαίου εισοδήματος της Ελένης και τον αριθμό των ειδών που πουλάει κατά τη διάρκεια μίας εβδομάδας. Ένας μαθητής που διαβάζει αυτή την ερώτηση μπορεί να ρωτήσει: "Γιατί θα πρέπει να κάνω αυτό το γράφημα;" Σε αυτή την περίπτωση, η προσπάθεια να πλαισιοποιηθούν τα μαθηματικά μπορεί να κάνει πραγματικά την μαθηματική εργασία να φαίνεται εντελώς άσχετη. :

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Μπορούμε να μετατρέψουμε αυτό το πρόβλημα σε πιο ανοιχτό και με περισσότερη σημασία πρόβλημα αλλάζοντας το λίγο, ως εξής: Οι διακοπές πλησιάζουν και ο Νίκος ο καλύτερος φίλος σας χρειάζεται κάποια χρήματα. Βρήκε μία δουλειά που θα πληρώνετε 2 € / ώρα πάνω από τον ελάχιστο μισθό. Μια άλλη δουλειά που προσφέρεται πληρώνει το μισό του κατώτατου μισθού συν προμήθεια ύψους 2 € ανά αντικείμενο που πωλεί. Ποια δουλειά είναι καλύτερη; Για να βοηθήσετε τον Νίκο να καταλάβει την ανάλυσή σας, συμπεριλάβετε μια χρήσιμη αναπαράσταση για να τον βοηθήσετε να λάβει την απόφαση του.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Οι μαθητές θα πρέπει να κάνουν λίγη δουλειά για να απαντήσουν σε αυτή την ερώτηση. Μπορεί να χρειαστεί να αναζητήσουν τον κατώτατο μισθό. Θα πρέπει να σκεφτούν το σημείο ισορροπίας δηλαδή τον αριθμό των αντικειμένων που ο φίλος τους θα πρέπει να πουλήσει κάθε ώρα για να κερδίσει τον κατώτατο μισθό. Στη συνέχεια, θα πρέπει να σκεφτούν αν είναι πιθανό ο Νίκος να πουλήσει πολλά πράγματα, τα οποία πιθανώς εξαρτώνται από την προσωπικότητά του. Η έρευνα σε ένα πλαίσιο και οι υποθέσεις σχετικά με το πλαίσιο είναι στοιχεία της μαθηματικής μοντελοποίησης.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Ωστόσο, ακόμη και αυτό δεν αρκεί για να απαντήσουν οι μαθητές αυτή την ερώτηση. Ένας μαθητής που αποφεύγει τον κίνδυνο του ρίσκου μπορεί να συμβουλεύει τον Νίκο να πάρει την πρώτη θέση επειδή η αμοιβή είναι αξιοπρεπής και είναι εγγυημένη. Εναλλακτικά, ένας μαθητής που αναζητεί κινδύνους μπορεί να τον συμβουλεύσει να πάρει τη δεύτερη θέση λόγω της δυνατότητας να κερδίσει πολύ περισσότερα χρήματα. Ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας είναι μόνο μία πτυχή αυτής της ερώτησης. Οι μαθητές θα πρέπει να σκεφτούν τη λήψη αποφάσεων ενόψει της αβεβαιότητας.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Οι απόψεις τους έχουν σημασία και επηρεάζουν την απάντησή τους σε αυτή την ερώτηση. Πρέπει ακόμα να κάνουν τα ίδια μαθηματικά για να απαντήσουν στην ερώτηση, αλλά αναγκάζονται να συμβιβάσουν την απάντησή τους με την πραγματικότητα, καθιστώντας τα μαθηματικά πιο σχετικά και ενδιαφέροντα. Η εκπόνηση κρίσεων για το τι είναι σημαντικό και η αξιολόγηση της ποιότητας μιας λύσης αποτελούν στοιχεία της μαθηματικής μοντελοποίησης.

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Σχήμα 1: Ένας τρόπος μετασχηματισμού μαθηματικού προβλήματος σε πρόβλημα μοντελοποίησης. Από το GAIMME (2016, σελ. 12).

Από τα μαθηματικά και την επίλυση προβλήματος στην μοντελοποίηση Όπως αποδεικνύεται από τα παραπάνω παραδείγματα, ένα μαθηματικό πρόβλημα μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα μοντελοποίησης. Είναι σημαντικό να δούμε ότι η προσθήκη ετικετών, όπως "παγωτά", δεν αρκεί. Ίσως είναι λιγότερο προφανές αλλά εξίσου σημαντικό, η προσθήκη πλαισίου και νοήματος, όπως οι θέσεις εργασίας και οι μισθοί δεν αρκούν. Ένα πρόβλημα μοντελοποίησης πρέπει επίσης να παρέχει τη δυνατότητα στους μαθητές να ερμηνεύουν το πρόβλημα και να έχουν επιλογές στη διαδικασία επίλυσης. Αυτές οι ιδέες για το πώς να μετασχηματίζουμε ερωτήσεις απεικονίζονται στο Σχήμα 1.

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης Μπορούμε να πούμε ότι η Μαθηματική Μοντελοποίηση είναι μια διαδικασία που αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (IDENTIFY THE PROBLEM) Προσδιορίζουμε κάτι στον πραγματικό κόσμο που θέλουμε να γνωρίσουμε, να κάνουμε ή να καταλάβουμε. Το αποτέλεσμα είναι μια ερώτηση στον πραγματικό κόσμο.

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΗΣΤΕ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (MAKE ASSUMPTIONS AND IDENTIFY VARIABLES) Επιλέγουμε 'αντικείμενα' που φαίνονται σημαντικά στο πραγματικό ερώτημα και προσδιορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ τους. Αποφασίζουμε τι θα κρατήσουμε και τι θα αγνοήσουμε για τα αντικείμενα και τις σχέσεις τους. Το αποτέλεσμα είναι μια εξιδανικευμένη έκδοση της αρχικής ερώτησης.  

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης ΕΚΤΕΛΕΣΤΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (DO THE MATH) Μεταφράζουμε την εξιδανικευμένη έκδοση σε μαθηματικούς όρους και αποκτάμε μια μαθηματική διατύπωση της εξιδανικευμένης ερώτησης. Αυτή η διατύπωση είναι το μοντέλο. Κάνουμε τα μαθηματικά για να δούμε τι γνώσεις και τα αποτελέσματα που έχουμε. ΑΝΑΛΥΣΤΕ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΤΕ ΤΗ ΛΥΣΗ (ANALYZE AND ASSESS THE SOLUTION) Θεωρούμε: Αυτό αντιμετωπίζει το πρόβλημα; Έχει νόημα όταν μεταφράζεται πίσω στον πραγματικό κόσμο; Είναι τα αποτελέσματα πρακτικά, οι απαντήσεις λογικές, οι συνέπειες αποδεκτές;  

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης ΕΠΑΝΑΛΑΒΕΤΕ (ITERATE) Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όπως απαιτείται για να βελτιώσουμε και να επεκτείνουμε το μοντέλο μας.   ΕΦΑΡΜΟΣΤΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (IMPLEMENT THE MODEL) Για τον πραγματικό κόσμο, πρακτικές εφαρμογές, αναφέρουμε τα αποτελέσματά μας σε άλλους και εφαρμόζουμε τη λύση.

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης Η μαθηματική μοντελοποίηση συχνά απεικονίζεται ως κύκλος, αφού συχνά χρειαζόμαστε να επιστρέψουμε στην αρχή και να κάνουμε νέες υποθέσεις για να προσεγγίσουμε ένα χρήσιμο αποτέλεσμα. Ωστόσο, θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω αναπαράσταση, καθώς αντανακλά το γεγονός ότι στην πράξη ένας μοντελιστής συχνά ανατρέχει εμπρός και πίσω από τα διάφορα στάδια:

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης Σχήμα 2: Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης. Από το GAIMME (2016, σελ. 13).

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης Σημειώστε ότι όπως φαίνεται στο σχήμα, η διαδικασία μοντελοποίησης περιέχει κυκλικά συστατικά και ότι δεν είναι όλα τα βέλη μονής κατεύθυνσης. Ως εκ τούτου, εσκεμμένα δεν χρησιμοποιήσαμε τον όρο «βήματα» ούτε αριθμήσαμε τα στοιχεία της διαδικασίας μοντελοποίησης. Δεν θέλουμε να υπονοήσουμε ότι υπάρχει ένας διατεταγμένος αριθμός βημάτων που θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε για να εγγυηθούμε ότι βρήκαμε μια λύση σε ένα πρόβλημα μοντελοποίησης. Αντίθετα, ορισμένα στοιχεία συμβαίνουν παράλληλα και μερικά επαναλαμβάνονται ανάλογα με τις ανάγκες. Θα δούμε κάποιες από αυτές τις αποχρώσεις στα παραδείγματα.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Θα αναφέρουμε παρακάτω ένα παράδειγμα από τη μαθηματική μοντελοποίηση. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι το παράδειγμα αυτό δεν πρέπει να χρησιμοποιηθεί ως πρωτότυπο για όλα τα προβλήματα μοντελοποίησης. Τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου δεν είναι όλα δομημένα με τον ίδιο τρόπο, οπότε το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε (για εμάς και τους μαθητές μας!) είναι να επικεντρωθούμε στη διαδικασία και όχι στο συγκεκριμένο περιεχόμενο που παρουσιάζεται εδώ.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Θα εξετάσουμε το ακόλουθο παράδειγμα με μια ερώτηση που πολλοί άνθρωποι ρωτούν καθημερινά. Οι τιμές της βενζίνης αλλάζουν σε καθημερινή βάση σχεδόν και κάθε βενζινάδικο δεν προσφέρει την ίδια τιμή για ένα λίτρο βενζίνης. Το βενζινάδικο που πουλάει την φθηνότερη βενζίνη μπορεί να βρίσκεται στην άλλη άκρη της πόλης από εκεί που οδηγείτε. Αξίζει να διασχίσετε την πόλη για φθηνότερη βενζίνη; Δημιουργήστε ένα μαθηματικό μοντέλο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατανοήσετε υπό ποιες συνθήκες αξίζει τον κόπο.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Θα διερευνήσουμε τώρα τη διαδικασία σκέψης μιας υποθετικής ομάδας μαθητών, γνωστής ως Ομάδα Α, καθώς εργάζονται μέσω αυτού του προβλήματος της βενζίνης. Επειδή σκοπός αυτού του παραδείγματος είναι να επισημάνουμε τη διαδικασία μοντελοποίησης, παρουσιάζουμε μια ιδιαίτερα καλή δουλειά, οπότε το έργο που θα δούμε από την Ομάδα Α είναι αντιπροσωπευτικό μιας ισχυρής ομάδας μαθητών γυμνασίου που είναι όλοι έμπειροι στη μοντελοποίηση. Θα επιδείξουν τόσο επιμονή όσο και αυτοδιόρθωση, και θα παράγουν μια στοχαστική αλλά και σχετικά ατελή λύση. Σημειώστε ότι δεν θα κρίνουμε την ποιότητα των υποθέσεων και των αποφάσεών τους.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Κατασκευή του μοντέλου: καθορισμός του προβλήματος, προδιαγραφές και ορισμός μεταβλητών Η ομάδα Α πρέπει να μετατρέψει τη δεδομένη ερώτηση: "Αξίζει να διασχίσετε την πόλη για να αγοράσετε βενζίνη;" σε μια ελκυστική και σαφή ερώτηση που να μπορούν να απαντήσουν. Ορισμένες από τις υποθέσεις τους θα έρθουν εύκολα, και ο ορισμός των μεταβλητών θα ακολουθήσει φυσικά. Τα μέλη της ομάδας δεν διέθεταν μια εικόνα της διαδικασίας μοντελοποίησης αλλά συνεργάστηκαν και διερεύνησαν συγκεκριμένα στοιχεία πραγματοποιώντας κάποιες έρευνες ανακάλυψαν ιδέες μεταξύ τους και η διαδικασία οικοδόμησης του μοντέλου ήρθε ανακαλυπτικά.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Σε μια προσπάθεια να πιαστεί από το πρόβλημα, η ομάδα Α αρχίζει αμέσως να ανακαλύπτει γεγονότα. Διαλέγουν τη διαδρομή που χρειάζεται ένας από αυτούς για να φτάσει στο σπίτι και περνάει από ένα βενζινάδικο, το οποίο θα ονομάσουν Σταθμό 1. Σε μια γρήγορη αναζήτηση στο διαδίκτυο βρίσκουν τις τιμές της βενζίνης σε κοντινά βενζινάδικα και σημειώνουν την τιμή της βενζίνης, 1,43 € / λίτρο, στο Σταθμό 1. Στη συνέχεια, κοιτάζουν τα άλλα βενζινάδικα και επιλέγουν ένα, το οποίο θα ονομάσουμε Σταθμό 2, ο οποίος έχει τη φθηνότερη τιμή βενζίνης, στα 1,33 € / λίτρο.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Στη συνέχεια, αποφασίζουν ότι για να κάνουν δίκαιη σύγκριση, θα πρέπει να αγοράσουν ίσες ποσότητες βενζίνης. Επιλέγουν αυθαίρετα ότι θα πρέπει να αγοράσουν 40 λίτρα βενζίνης. Στη συνέχεια, γράφουν τα εξής: Κόστος βενζίνης στο Σταθμό 1 = (1,43 € / λίτρο) x 40 λίτρα = 57,2 € Κόστος βενζίνης στο Σταθμό 2 = (1,33 € / λίτρο) x 40 λίτρα = 53,2 € Ως εκ τούτου, κοστίζει 4 € λιγότερο για την αγορά βενζίνης στο σταθμό που χρεώνει λιγότερο.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Έπειτα ένας μαθητής αντιλαμβάνεται ότι αυτό δεν απαντά πραγματικά στην ερώτηση και ότι πρέπει να εξετάσουν το πρόσθετο κόστος για να φτάσει στο Σταθμό 2. Ένας άλλος μαθητής πραγματοποιεί αμέσως άλλη αναζήτηση στο διαδίκτυο και καθορίζει ότι η απόσταση μεταξύ των σταθμών είναι 6 χιλιόμετρα. Πρέπει να υπολογίσουν πόσο θα κοστίσει η βενζίνη όταν ταξιδέψει 6 χιλιόμετρα στο Σταθμό 2 και στη συνέχεια 6 χιλιόμετρα πίσω.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Ένα μέλος της ομάδας αναφέρει ότι είχε συνομιλία με τον πατέρα του για ένα σπορ αυτοκίνητο που του άρεσε. Ο μπαμπάς του είπε ότι ήταν ένα μεγάλο αυτοκίνητο, αλλά ότι δεν έκανε καλή απόσταση σε χιλιόμετρα. Ο πατέρας είπε ότι το αυτοκίνητό του έκανε περίπου 15 χιλιόμετρα ανά λίτρο, ενώ το σπορ αυτοκίνητο έκανε πιθανώς περίπου 10 χιλιόμετρα ανά λίτρο. Η ομάδα συνειδητοποίησε, κοιτάζοντας τις εμπλεκόμενες μονάδες, ότι αν διαιρέσουν τα 12 χιλιόμετρα με τα χιλιόμετρα ανά λίτρο, θα μπορούσαν να πάρουν τον αριθμό λίτρων βενζίνης που απαιτείται για να ταξιδέψουν τα 12 χιλιόμετρα. Έτσι γράφουν:

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης (Κόστος για οδήγηση 12 χιλιομέτρων) = 12 χιλιόμετρα / 15 χιλιόμετρα /λίτρο = 0.8 λίτρα Το κόστος αυτών των λίτρων θα ήταν 0,8 λίτρα x 1,33 € / λίτρο = 1,064 €   Τώρα, καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η οδήγηση των επιπλέον 12 χιλιομέτρων κοστίζει 1,064 €, άρα εξοικονομήσουν 4-1,064=2,936 € όταν αγοράζουν βενζίνη στο Σταθμό 2.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Όταν πάνε πίσω και διαβάσουν την ερώτηση, αντιλαμβάνονται ότι έχουν απαντήσει μόνο στην ερώτηση για μια πολύ συγκεκριμένη περίπτωση. Χρησιμοποίησαν συγκεκριμένες τιμές για την τιμή της βενζίνης σε κάθε σταθμό, τη συγκεκριμένη απόσταση μεταξύ δύο συγκεκριμένων σταθμών και την οικονομία καυσίμου για ένα συγκεκριμένο όχημα. Ωστόσο, η προηγούμενη δουλειά τους δεν πάει χαμένη. Χρειάζεται μόνο να γενικεύσουν το έργο που έχουν ήδη κάνει. Πηγαίνουν πίσω στο έργο τους και τώρα χρησιμοποιούν μεταβλητές για να αναπαραστήσουν τις ποσότητες.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης Στο τέλος της συζήτησής τους, η Ομάδα Α έχει γράψει την ακόλουθη σύνοψη της δουλειά τους: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Προσδιορίστε τι κοστίζει λιγότερο - Αγοράζοντας βενζίνη στο σταθμό 1, ο οποίος βρίσκεται στη διαδρομή που σχεδιάσαμε, ή - Ταξιδεύοντας έξω από το δρόμο προς το βενζινάδικο 2 το οποίο πουλάει βενζίνη σε φθηνότερη τιμή.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ - Η βενζίνη κοστίζει λιγότερο στο βενζινάδικο που είναι εκτός δρόμου. - Η κατανάλωση καυσίμου του αυτοκινήτου παραμένει σταθερή. - Εάν επιλέξουμε να βγούμε από το δρόμο μας, θα εξετάσουμε το πρόσθετο κόστος των διανυθέντων χιλιομέτρων μεταξύ του βενζινάδικου που θα είχαμε πάει και του άλλου σταθμού, αλλά και την επιστροφή. - Θα αγοράσουμε την ίδια ποσότητα βενζίνης, ανεξάρτητα από το πρατήριο που επιλέξαμε.

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ - Έστω m ο αριθμός των χιλιομέτρων μεταξύ Σταθμού 1 και Σταθμού 2 - P1, η τιμή της βενζίνης στο σταθμό 1, σε ευρώ ανά λίτρο - P2, η τιμή της βενζίνης στο σταθμό 2, σε ευρώ ανά λίτρο - f, η κατανάλωση καυσίμου του αυτοκινήτου, σε χιλιόμετρα ανά λίτρο - n, ο αριθμός των λίτρων βενζίνης που πρόκειται να αγοραστεί - T, το κόστος για τη μετάβαση από και προς το σταθμό 2, σε ευρώ - S, η διαφορά των χρημάτων που καταβλήθηκαν για την αγορά της βενζίνης στο σταθμό 2 έναντι του σταθμού 1

Παράδειγμα εφαρμογής της διαδικασίας της μαθηματικής μοντελοποίησης ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ Α - S = (Ρ1-Ρ2) x η - Τ = (Ρ2 x 2m) / f - Εάν S> T, τότε είναι καλύτερο να διασχίσετε την πόλη για να αγοράσετε βενζίνη στον Σταθμό 2. - Αν S <= T, τότε δεν πρέπει να διασχίσετε την πόλη για να αγοράσετε βενζίνη.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Βοηθητικός για γνωστικές αναλύσεις των έργων των μοντελοποιήσεων είναι τα μοντέλα του «κύκλου της μοντελοποίησης» που δείχνουν τυπικούς τρόπους για την επίλυση τέτοιων έργων. Στη βιβλιογραφία, υπάρχει σημαντική ποικιλία τέτοιων μοντέλων (βλέπε Borromeo Ferri 2006, για μια ανασκόπηση). Στο project DISUM αποδείχθηκε ιδιαίτερα βοηθητικό ένα μοντέλο επτά βημάτων (Blum and Leiß 2006). Θα χρησιμοποιήσουμε το προηγούμενο παράδειγμα για να δείξουμε αυτό το μοντέλο.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης

Ο κύκλος της μοντελοποίησης

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Το πρώτο βήμα είναι η κατανόηση της δεδομένης προβληματικής κατάστασης, όπου ο λύτης του προβλήματος έχει να κατασκευάσει ένα μοντέλο της κατάστασης (situation model) η οποία εδώ εμπεριέχει τουλάχιστον δύο βενζινάδικα, αποστάσεις m km κτλ.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Το δεύτερο βήμα είναι η δόμηση της κατάστασης εισάγοντας ορισμένες μεταβλητές όπως τον αριθμός των λίτρων βενζίνης που πρόκειται να αγοραστεί (n), P1, η τιμή της βενζίνης στο σταθμό 1, σε ευρώ ανά λίτρο, κτλ.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Μαθηματικοποίηση, στο τρίτο βήμα, μετασχηματίζεται το πραγματικό μοντέλο σε μαθηματικό μοντέλο το οποίο αποτελείται εδώ από κάποιες σχέσεις και μεταβλητές. Στο τέταρτο βήμα γίνεται μαθηματική εργασία (υπολογισμοί, κτλ) που παράγουν μαθηματικά αποτελέσματα.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Στο πέμπτο βήμα αυτά ερμηνεύονται στον πραγματικό κόσμο ως πραγματικά αποτελέσματα που καταλήγουν σε μια σύσταση στον οδηγό σχετικά με το τι πρέπει να κάνει.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Επαλήθευση των αποτελεσμάτων, το έκτο βήμα μπορεί να φανεί ότι είναι σκόπιμο ή αναγκαίο να πάει γύρω από τον κύκλο μια δεύτερη φορά για παράδειγμα, με σκοπό να ληφθούν υπόψη περισσότεροι παράγοντες όπως ο χρόνος ή η μόλυνση του περιβάλλοντος.

Ο κύκλος της μοντελοποίησης Ανάλογα με ποιοι παράγοντες έχουν επιλεγεί, οι συστάσεις προς τον οδηγό μπορεί να είναι διαφορετικές. Το έβδομο και τελευταίο βήμα είναι η παρουσίαση της τελικής λύσης.

Αναφορές Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What’s all the fuss about competencies? In W. Blum et al. (Eds.), Modelling and applications in mathematics education (pp. 45–56). New York: Springer. Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research. In Trends in teaching and learning of mathematical modelling (pp. 15-30). Springer Netherlands. Blum, W., & Leiß, D. (2006). Filling up – In the problem of independence-preserving teacher interventions in lessons with demanding modelling tasks. In M. Bosch (Ed.), CERME-4 – Proceedings of the Fourth Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, Guixol.

Αναφορές Blum, W., & Leiß, D. (2008). Investigating quality mathematics teaching – The DISUM project. In C. Bergsten et al. (Eds.), Proceedings of MADIF-5, Malmö. Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, 38(2), 86–95. Guidelines for Assessment and Instruction in Mathematical Modeling Education (GAIMME). 2016. Consortium of Mathematics and Its Applications (COMAP), Bedford, MA, and Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA. http://www.siam.org/reports/gaimme.php

Αναφορές Jensen, T. H. (2007). Assessing mathematical modelling competencies. In C. Haines et al. (Eds.), Mathematical modelling: Education, engineering and economics (pp. 141–148). Chichester: Horwood. Kaiser, G. (2007). Modelling and modelling competencies in school. In C. Haines et al. (Eds.), Mathematical modelling: Education, engineering and economics (pp. 110–119). Chichester: Horwood.

Αναφορές Niss, M. (2003). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. In A. Gagatsis & S. Papastavridis (Eds.), 3rd Mediterranean Conference on Mathematical Education (pp. 115–124). Athens: The Hellenic Mathematical Society. Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. (2007). Introduction. In W. Blum et al. (Eds.), Modelling and applications in mathematics education (pp. 3–32). New York: Springer. Maaß, K. (2006). What are modelling competencies? Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, 38(2), 113–142.