Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Ψηφιακή Σχεδίαση Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής

Λογικά Κυκλώματα Μπορούν να είναι είτε Συνδυαστικά, είτε Ακολουθιακά Συνδυαστικό Κύκλωμα: Αποτελείται από Λογικές Πύλες των οποίων οι έξοδοι οποιαδήποτε στιγμή καθορίζονται από τον παρόντα συνδυασμό εισόδων Εκτελεί λειτουργία η οποία προσδιορίζεται λογικά από ένα σύνολο συναρτήσεων Boole

Λογικά Κυκλώματα Τα Ακολουθιακά Κυκλώματα: Η κατάσταση μνήμης Άρα Χρησιμοποιούν στοιχεία μνήμης σε συνδυασμό με λογικές πύλες Οι έξοδοί τους είναι μια συνάρτηση των εισόδων και της κατάστασης των στοιχείων μνήμης Η κατάσταση μνήμης Είναι μια συνάρτηση των προηγούμενων εισόδων και των προηγούμενων καταστάσεων Άρα Οι έξοδοι ενός ακολουθιακού κυκλώματος εξαρτώνται όχι μόνο από τις τρέχουσες τιμές των εισόδων αλλά και από τις προηγούμενες εισόδους Η συμπεριφορά του κυκλώματος καθορίζεται από την χρονική ακολουθία των εισόδων και των εσωτερικών καταστάσεων

Συνδυαστικά Κυκλώματα Περιγράφονται από: Μεταβλητές εισόδου Λογικές πύλες Μεταβλητές εξόδου Οι λογικές πύλες: Δέχονται σήματα από τις εισόδους Παράγουν σήματα στις εξόδους τους Αυτή η διαδικασία μετατρέπει τις δυαδικές πληροφορίες των δεδομένων εισόδου στα απαιτούμενα δεδομένα εξόδου

Συνδυαστικά Κυκλώματα – Σχηματικό Διάγραμμα Παρατηρούμε ότι: Οι n μεταβλητές εισόδου έρχονται από μία εξωτερική πηγή Οι m μεταβλητές εξόδου φεύγουν προς ένα εξωτερικό προορισμό Κάθε μεταβλητή εισόδου ή εξόδου παίρνει δύο διακριτές τιμές: Το λογικό μηδέν (0) Το λογικό ένα (1)

Μεταβλητές Εισόδου – Εξόδου Σε πολλές περιπτώσεις η πηγή ή ο προορισμός των δεδομένων είναι καταχωρητές μνήμης, συνεπώς το κύκλωμά μας είναι ακολουθιακό Για n μεταβλητές εισόδου, υπάρχουν 2n δυαδικοί συνδυασμοί τιμών Για κάθε δυνατό συνδυασμό εισόδων υπάρχει ένας μόνο δυνατός συνδυασμός τιμών εξόδων

Μεταβλητές Εισόδου – Εξόδου και Πίνακας Αληθείας Αυτό σημαίνει ότι ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να προσδιοριστεί από έναν πίνακα αληθείας ο οποίος περιέχει τις τιμές των εξόδων για κάθε δυνατό συνδυασμό των μεταβλητών εισόδου Επίσης, ένα συνδυαστικό κύκλωμα μπορεί να περιγραφεί από m λογικές συναρτήσεις, μία για κάθε μεταβλητή εξόδου Άρα κάθε έξοδος είναι συνάρτηση των n μεταβλητών εισόδου

Τυπικά Συνδυαστικά Κυκλώματα Αθροιστές Αφαιρέτες Συγκριτές Αποκωδικοποιητές Κωδικοποιητές Πολυπλέκτες

Διαδικασία Ανάλυσης Απαιτεί τον προσδιορισμό των συναρτήσεων τις οποίες υλοποιούν τα συνδυαστικά κυκλώματα Πώς ξεκινάει η διαδικασία; Από ένα δεδομένο λογικό κύκλωμα Έχει ως αποτέλεσμα ένα αντίστοιχο σύνολο λογ. Συναρτήσεων, ένα πίνακα αληθείας ή μια πιθανή εξήγηση της λειτουργίας του κυκλώματος

Διαδικασία Ανάλυσης Η ανάλυση μπορεί να γίνει Είτε με το χέρι, βρίσκοντας δηλαδή τις αντίστοιχες συναρτήσεις Boole ή τον πίνακα αληθείας Είτε με χρήση ενός προγράμματος προσομοίωσης στον Υπολογιστή

Βήματα Ανάλυσης Αρχικά πρέπει να βεβαιωθούμε ότι το κύκλωμα είναι Συνδυαστικό και όχι Ακολουθιακό Πρέπει να έχει μόνο Πύλες Δεν πρέπει να έχει μονοπάτια Ανάδρασης Δεν πρέπει να έχει στοιχεία μνήμης Ανάδραση: είναι σύνδεση της εξόδου μιας πύλης με την είσοδο άλλης πύλης η οποία όμως αποτελεί μέρος της συνάρτησης εισόδου της πρώτης πύλης

Βήματα Ανάλυσης Μόλις επιβεβαιώσουμε ότι όντως έχουμε Συνδυαστικό κύκλωμα, μπορούμε να προχωρήσουμε στην εξαγωγή των συναρτήσεων Boole της εξόδου, ή του πίνακα αληθείας Αν θέλουμε να προσδιορίσουμε την λειτουργία που το κύκλωμα επιτελεί, πρέπει να ερμηνεύσουμε κατάλληλα τις εξαχθείσες συναρτήσεις ή τον πίνακα αληθείας

Εξαγωγή Συναρτήσεων Boole Ονομάζουμε, χρησιμοποιώντας αυθαίρετα σύμβολα, όλες τις εξόδους των πυλών οι οποίες είναι συναρτήσεις των μεταβλητών εισόδου. Καθορίζουμε τις λογικές συναρτήσεις για κάθε έξοδο πύλης Ονομάζουμε τις πύλες, οι οποίες είναι συναρτήσεις των μεταβλητών εισόδου και των προηγουμένως ονομασμένων εξόδων των πυλών, με άλλα αυθαίρετα σύμβολα. Βρίσκουμε τις συναρτήσεις Boole για αυτές τις πύλες Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία 2 μέχρι να προκύψουν οι έξοδοι του κυκλώματος Με επανειλημμένη αντικατάσταση των προηγουμένως ορισμένων συναρτήσεων, υπολογίζουμε τις λογικές συναρτήσεις των εξόδων, χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες μεταβλητές εισόδου

Εξαγωγή Συναρτήσεων Boole Α T2 Β F1 C T1 T3 F2’ F2

Παρατηρούμε ότι το παρόν κύκλωμα έχει τρεις (3) εισόδους, την A, B, C. Επίσης, το κύκλωμα έχει δύο (2) εξόδους, την F1 και την F2 Οι ενδιάμεσες είσοδοι πυλών ονομάζονται με αυθαίρετα σύμβολα. Οι έξοδοι των πυλών, οι οποίες είναι συναρτήσεις των μεταβλητών εισόδου μόνο, είναι οι Τ1 καιΤ2. Η έξοδος F2 μπορεί εύκολα να βρεθεί από τις μεταβλητές εισόδου:

ABC T2+T3 A+B+C T1F2’ (AB+AC+BC)’ AB AB+AC+BC AC BC

Εξαγωγή Συναρτήσεων Boole Οι συναρτήσεις Boole για τις F2, T1, T2 είναι: 𝐹2=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶 𝑇1=𝐴+𝐵+𝐶 𝑇2=𝐴𝐵𝐶 Μετά εξετάζουμε τις εξόδους των πυλών που είναι ήδη ορισμένων συμβόλων: Τ3=F 2 ′ T1 𝐹1=𝑇3+𝑇2

Εξαγωγή Συναρτήσεων Boole Για να προκύψει η F1 ως συνάρτηση των A,B,C εκτελούμε μια σειρά αντικαταστάσεων ως εξής: 𝐹1=𝑇3+𝑇2=𝐹 2 ′ 𝑇1+𝐴𝐵𝐶= 𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶 ′ 𝐴+𝐵+𝐶 +𝐴𝐵𝐶= = 𝐴 ′ + 𝐵 ′ 𝐴 ′ + 𝐶 ′ 𝐵 ′ + 𝐶 ′ 𝐴+𝐵+𝐶 +𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 ′ + 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐴 𝐵 ′ +𝐴 𝐶 ′ +𝐵 𝐶 ′ + 𝐵 ′ 𝐶 +𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 ′ 𝐵𝐶+ 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶+𝐴 𝐵 ′ 𝐶 ′ +𝐴𝐵𝐶

Εξαγωγή Συναρτήσεων Boole Και τώρα, αφού βγάλαμε την απλοποιημένη μορφή, μπορούμε να συνεχίσουμε τη διερεύνηση και να προσδιορίσουμε τη λειτουργία του κυκλώματος αυτού Ωστόσο, για να εξάγουμε τον πίνακα αληθείας κατ’ευθείαν από το λογικό διάγραμμα, χωρίς να εξάγουμε τις συναρτήσεις Boole των εξόδων, εργαζόμαστε ως εξής:

Πίνακας Αληθείας Καθορίζουμε τον αριθμό μεταβλητών εισόδου στο κύκλωμα. Για n εισόδους, σχηματίζουμε τους 2n δυνατούς συνδυασμούς εισόδων των συναρτήσεων Boole και γράφουμε τους δυαδικούς αριθμούς από το 0 ως το 2n -1 στο αριστερό μέρος ενός πίνακα Ονομάζουμε τις εξόδους των επιλεγμένων πυλών χρησιμοποιώντας αυθαίρετα σύμβολα.

Πίνακας Αληθείας Εξάγουμε τον πίνακα αληθείας για τις εισόδους των πυλών που είναι συναρτήσεις των μεταβλητών εισόδου μόνο Υπολογίζουμε το δεξιό μέρος του πίνακα αληθείας των εξόδων των πυλών οι οποίες είναι συναρτήσεις των προηγουμένως ορισμένων εξόδων πυλών, μέχρι να προσδιορίσουμε τις στήλες που αντιστοιχούν στο δεξιό μέρος του πίνακα αληθείας

Πρώτο βήμα: Συμπλήρωση πίνακα αληθείας όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των εισόδων Δεύτερο βήμα: Ονομασία Πυλών Αυθαίρετα Τρίτο και Τέταρτο βήμα: Υπολογισμός των εξόδων βήμα – βήμα μέχρι να καταλήξουμε στην F1

Δυαδικός Αθροιστής Οι υπολογιστές εκτελούν ποικίλες εργασίες, ανάμεσά τους πράξεις Μία από τις πιο σημαντικές πράξεις που μπορεί να κάνει ένας υπολογιστής, είναι η πράξη της πρόσθεσης δύο δυαδικών αριθμών Αυτή η απλή πράξη, περιγράφεται από τέσσερις δυνατές στοιχειώδεις πράξεις: x y sum 0+0=0 1 0+1=1 1+0=1 1+1=10

Δυαδικός Αθροιστής Οι 3 πρώτες πράξεις παράγουν άθροισμα ενός ψηφίου, όπως φαίνεται στον πίνακα Όταν χρειαστεί να γίνει η πράξη 1+1=10 τότε παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα αποτελείται από δύο ψηφία Το πιο σημαντικό bit αυτού το αποτελέσματος, ονομάζεται «κρατούμενο» ή “carry” στα αγγλικά. Το κύκλωμα που εκτελεί την πρόσθεση δύο bit ονομάζεται «Ημιαθροιστής». x y sum 0+0=0 1 0+1=1 1+0=1 1+1=10

Ημιαθροιστής Είναι κύκλωμα το οποίο έχει δύο δυαδικές εισόδους και δύο δυαδικές εξόδους Τα 2 bit των προσθετέων αποτελούν τις μεταβλητές εισόδου ενώ το άθροισμα και το κρατούμενο αποτελούν τις μεταβλητές εξόδου

x y C S 1 Κύκλωμα Ημιαθροιστή x y S 𝑆=𝑥 𝑦 ′ + 𝑥 ′ 𝑦 𝐶=𝑥𝑦 C

x y C S 1 Κύκλωμα Ημιαθροιστή x S y 𝑆=𝑥⊕𝑦 𝐶=𝑥𝑦 C