ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Απόκριση Συχνότητας: Απόκριση συχνότητας ορίζεται η απόκριση ενός συστήματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, όταν η είσοδός του διεγείρεται από ένα ημιτονοειδές σήμα. Το ημιτονοειδές σήμα εισόδου είναι το μοναδικό σήμα που εφαρμόζεται στην είσοδο του συστήματος και τα σήματα που παράγει το γραμμικό αυτό σύστημα, καθώς επίσης και διάφορα άλλα ενδιάμεσα σήματα που εμφανίζονται σε τμήματα του ίδιου συστήματος, διατηρούν την ημιτονοειδή μορφή στην μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. Η διαφορά των σημάτων αυτών με το αντίστοιχο σήμα εισόδου, εντοπίζεται στο πλάτος και στη φάση. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Πλεονεκτήματα της μεθόδου ανάλυσης συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας: Η δυνατότητα εφαρμογής ημιτονοειδών σημάτων σε διαφορετικές συχνότητες και πλάτη Η δυνατότητα ελέγχου του εύρους ζώνης του συστήματος, καθώς και άλλων μέτρων αξιολόγησης της απόκρισης του ίδιου του συστήματος σε σχέση με ανεπιθύμητους θορύβους και άλλες μορφές σημάτων διαταραχής. Η άμεση λήψη της συνάρτησης που περιγράφει τη συμπεριφορά του συστήματος, αντικαθιστώντας τη μιγαδική μεταβλητή s με την ποσότητα jω στη συνάρτηση μεταφοράς T(s) του συστήματος. Μειονέκτημα της μεθόδου ανάλυσης συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας: Η μη ύπαρξη άμεσων σχέσων για την αντίστροφη σύνδεση μεταξύ του πεδίου του χρόνου και του πεδίου της συχνότητας. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Έστω ένα σύστημα για το οποίο η σχέση είσόδου – εξόδου δίνεται από τη σχέση Y(s)=T(s) R(s), με r(t) =A sin(ωt) Έτσι θα είναι: & όπου το pi αντιστοιχεί στους διακριτούς πόλους του συστήματος. Υπολογίζοντας το αντίστοιχο ανάπτυγμα σε μερικά κλάσματα έχουμε: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι οι συντελεστές ki μπορούν να υπολογιστούν, χρησιμοποιώντας τα υπόλοιπα (σελ. 96 του βιβλίου) Λαμβάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, έχουμε: όπου οι σταθερές α, β υπολογίζονται από το πρόβλημα. Αν το σύστημα είναι ευσταθές, θα ισχύει: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι και επιπρόσθετα θα ισχύει: αφού Έτσι, η οριακή τιμή της απόκρισης του συστήματος y(t) για (στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας θα είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Διαγράμματα απόκρισης συχνότητας – Πολικά Διαγράμματα Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός συστήματος μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο της συχνότητας με την ακόλουθη σχέση: όπου Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να παρασταθεί με την πολική της μορφή, ως ακολούθως: με 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Οι συντεταγμένες του πολικού διαγράμματος αντιστοιχούν στο πραγματικό και το φανταστικό μέρος της G(jω) 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Λογαριθμικά διαγράμματα ή διαγράμματα Bode Η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός συστήματος μπορεί να παρασταθεί στο πεδίο της συχνότητας με τη σχέση: Λογαριθμικό κέρδος: Το λογαριθμικό κέρδος προέρχεται από το λογάριθμο, συνήθως δεκαδικό, της αντίστοιχης συνάρτησης του μέτρου: του οποίου οι μονάδες είναι σε decibel (db). 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Διάγραμμα Bode ενός Φίλτρου RC Η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος που φαίνεται στο διπλανό σχήμα δίνεται από την παρακάτω σχέση: όπου τ είναι η σταθερά χρόνου του κυκλώματος. Η λογαριθμική συνάρτηση του κέρδους είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Τιμή της λογαριθμικής συνάρτησης στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων, δηλαδή για ω<<1/τ, Τιμή της λογαριθμικής συνάρτησης στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων, δηλαδή για ω>>1/τ, Τιμή της λογαριθμικής συνάρτησης για τη συχνότητα ω=1/τ Η συνάρτηση της φασικής γωνίας για το κύκλωμα αυτό είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Με βάση την παραπάνω ανάλυση, το διάγραμμα Bode του μέτρου θα είναι: Το αντίστοιχο διάγραμμα Bode της φάσης είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Παρατηρήσεις πάνω στα διαγράμματα: Το σημείο για το οποίο ισχύει ω=1/τ αντιστοιχεί στη συχνότητα καμπής ή συχνότητα κλίσης. Το πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης λογαριθμικής κλίμακας αντί της γραμμικής φαίνεται στην περίπτωση που εξετάζουμε την περιοχή των υψηλών συχνοτήτων (ω>>1/τ), όπου ισχύει: Σε ένα σύστημα αξόνων, που στον οριζόντιο άξονα τοποθετούνται οι τιμές του logω, μια ασύμπτωτη καμπύλη είναι μια ευθεία γραμμή. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η απόσταση δύο ευθειών κάθετων στον οριζόντιο άξονα των συχνοτήτων, που αντιστοιχούν σε δύο συχνότητες των οποίων ο λόγος ισούται με 10, ορίζει μια δεκάδα και έτσι, η περιοχή μεταξύ δύο συχνοτήτων ω1 και ω2, για τις οποίες ισχύει ω2=10ω1, καλείται δεκάδα. Η διαφορά μεταξύ των τιμών του λογαριθμικού μέτρου που αντιστοιχούν στις ακραίες τιμές των συχνοτήτων μια δεκάδας, για ω>>1/τ, είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Επομένως, η κλίση της ασυμπτώτου ευθείας για αυτή τη συνάρτηση μεταφοράς πρώτης τάξης ισούται με -20dB/δεκάδα. Συχνά, χρησιμοποιείται και μια περιοχή, η οποία ορίζεται μεταξύ δύο συχνοτήτων με ω2=2ω1, η οποία καλείται οκτάβα. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορά μεταξύ των τιμών του λογαριθμικού μέτρου που αντιστοιχούν στις ακραίες τιμές των συχνοτήτων, για ω>>1/τ, είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Κατασκευή ενός διαγράμματος Bode Θεωρούμε τη γενικευμένη μορφή μιας συνάρτησης μεταφοράς ενός συστήματος: όπου: Q: ο αριθμός των μηδενικών N: ο αριθμός των πόλων, οι οποίοι βρίσκονται στην αρχή των αξόνων Μ: ο αριθμός των πραγματικών πόλων R: τα ζεύγη των συζυγών μιγαδικών πόλων 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η λογαριθμική συνάρτηση του μέτρου της G(jω) θα είναι: Έτσι το διάγραμμα Bode του μέτρου μπορεί να κατασκευαστεί, αθροίζοντας απλά τα επιμέρους διαγράμματα του κάθε παράγοντα. Την ίδια λογική ακολουθούμε και στην κατασκευή του διαγράματος Bode της φάσης, η μορφή της οποίας είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Θα εξετάσουμε τους τέσσερις διαφορετικούς παράγοντες που μπορούμε να συναντήσουμε σε μια οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφοράς: 1. Σταθερό κέρδος Kb: Η λογαριθμική ποσότητα που αντιστοιχεί σε μια σταθερά κέρδους Kb είναι: και η αντίστοιχη φασική γωνία θα είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 2. Πόλοι ή μηδενικά που βρίσκονται στην αρχή των αξόνων (jω) Το λογαριθμικό μέτρο που αντιστοιχεί σε ένα πόλο με πολλαπλότητα N, ο οποίος βρίσκεται στην αρχή των αξόνων δίνεται από την παρακάτω σχέση: Η κλίση της καμπύλης του μέτρου ισούται με -20Ν dB/δεκάδα. Η σχέση που μας δίνει την φασική γωνία για ένα πόλο πολλαπλότητας N είναι: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στην περίπτωση που έχουμε ένα μηδενικό πολλαπλότητας N στην αρχή των αξόνων, το λογαριθμικό μέτρο και η φασική γωνία δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης για όρους της μορφής 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 3. Πόλοι (ή μηδενικά) που βρίσκονται στον πραγματικό άξονα Το λογαριθμικό μέτρο που αντιστοιχεί σε ένα πόλο ή ένα μηδενικό, ο οποίος βρίσκεται πάνω στον πραγματικό άξονα δίνεται από την παρακάτω σχέση: Για ω<<1/τ Για ω>>1/τ Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών παρουσιάζεται στο σημείο ω=1/τ. Η φασική γωνία δίνεται από την σχέση: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης για πόλο ή μηδενικό που βρίσκονται πάνω στον πραγματικό άξονα. Με την κόκκινη γραμμή φαίνονται το ασυμπτωτικό διάγραμμα του μέτρου και η γραμμική προσέγγιση της φάσης και για τον πόλο και για το μηδενικό. Η κλίση στο διάγραμμα του μέτρου είναι 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι 4. Συζυγείς μιγαδικοί πόλοι ή μηδενικά Ένας παράγοντας δευτέρου βαθμού που αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων ή μηδενικών μπορεί να γραφεί σε κανονικοποιημένη μορφή ως εξής: Η τιμή του λογαριθμικού μέτρου σε αυτη την περίπτωση εκφράζεται από τη σχέση: και η φασική γωνία εκφράζεται από τη σχέση: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Όταν ισχύει u <<1, τότε η σχέση που δίνει το λογαριθμικό μέτρο είναι: ένω η αντίστοιχη φασική γωνία τείνει στις 00. Όταν ισχύει u >>1, τότε η σχέση που δίνει το λογαριθμικό μέτρο είναι: ενώ η αντίστοιχη φασική γωνία τείνει στις -1800. Η κλίση της καμπύλης του μέτρου είναι 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης για ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων και μηδενικών. Με την κόκκινη γραμμή φαίνονται το ασυμπτωτικό διάγραμμα του μέτρου και η γραμμική προσέγγιση της φάσης και για τον πόλο και για το μηδενικό. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Η διαφορά που παρατηρείται ανάμεσα στην προσεγγιστική και την ακριβή καμπύλη είναι μια συνάρτηση του συντελεστή απόσβεσης ζ. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα Bode για ζεύγος συζυγών μιγαδικών πόλων, με Η μέγιστη τιμή του μέτρου της απόκρισης συχνότητας, εμφανίζεται στη συχνότητα συντονισμού, ωn, για ζ <0.707 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Κριτήρια ελέγχου ευστάθειας ενός συστήματος, χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα Bode μέτρου και φάσης Περιθώριο απολαβής Κπερ(Gain Margin) Ως περιθώριο απολαβής ορίζεται η ποσότητα , όπου ωφ είναι η συχνότητα για την οποία ισχύει: Εκφράζει τη δυνατότητα ρύθμισης του συστήματος με απλή ενίσχυση ή εξασθένιση σε ένα κλειστό σύστημα. Εκφράζει τον παράγοντα ενίσχυσης που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε ένα δεδομένο κλειστό σύστημα, ώστε να βρίσκεται σε όρια ευστάθειας. Δηλαδή, με δεδομένη ενίσχυση του συστήματος, Κδεδ, ισχύει: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Έχει σχέση με το σφάλμα μόνιμης κατάστασης του κλειστού συστήματος. Όσο μεγαλύτερο είναι το περιθώριο απολαβής τόσο μεγαλύτερη είναι η ικανότητα να μειώσουμε το μόνιμο σφάλμα, αυξάνοντας την απολαβή του απευθείας κλάδου. Περιθώριο φάσης φπερ (Phase Margin) Ως περιθώριο φάσης ορίζουμε την ποσότητα στη συχνότητα ωα, για την οποία ισχύει Εκφράζει τη δυνατότητα ρύθμισης του συστήματος, με απλή μεταβολή της φάσης στη δεδομένη συχνότητα ωα Αυξάνοντας το περιθώριο φάσης, αυξάνεται η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Υπολογισμός του περιθωρίου απολαβής και περιθωρίου φάσης από διάγραμμα Bode Υπολογισμός περιθωρίου απολαβής: βήμα 1ο: Στο διάγραμμα Bode της φάσης, υπολογίζω τη συχνότητα ωφ στην οποία ισχύει φ(ωφ)=-1800 βήμα 2ο: Στο διάγραμμα Bode του μέτρου, υπολογίζω την τιμή του μέτρου που αντιστοιχεί στη συχνότητα ωφ βήμα 3ο: Το περιθώριο απολαβής ισούται με: ή 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Υπολογισμός περιθωρίου φάσης: βήμα 1ο: Στο διάγραμμα Bode του μέτρου, υπολογίζω τη συχνότητα ωα στην οποία ισχύει βήμα 2ο: Στο διάγραμμα Bode της φάσης, υπολογίζω την τιμή της φάσης που αντιστοιχεί στη συχνότητα ωα βήμα 3ο: Το περιθώριο φάσης ισούται με: Ένα κλειστό σύστημα με συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s) είναι ευσταθές, όταν: Κπερ>1 και φπερ>00 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Στο παρακάτω διάγραμμα Bode, παρουσιάζεται διαδικασία υπολογισμού περιθωρίου απολαβής και φάσης που περιγράψαμε προηγουμένως: 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Συστήματα ελάχιστης και μη-ελάχιστης φάσης Μια συνάρτηση μεταφοράς είναι ελάχιστης φάσης, όταν δεν υπάρχουν ούτε πόλοι ούτε μηδενικά στο δεξί μιγαδικό επίπεδο. Μια συνάρτηση μεταφοράς είναι μη-ελάχιστης φάσης, όταν υπάρχει τουλάχιστον ένας πόλος ή μηδενικό στο δεξί μιγαδικό επίπεδο. Τα αντίστοιχα συστήματα διακρίνονται σε συστήματα ελάχιστης και μη-ελάχιστης φάσης. Σύγκριση: Έχουν την ίδια καμπύλη μέτρου, αλλά διαφορετική καμπύλη φάσης Η γωνία φάσης της συνάρτησης μεταφοράς ελάχιστης φάσης καταλαμβάνει την ελάχιστη δυνατή ζώνη τιμών. Το αντίθετο συμβαίνει σε μία συνάρτηση μεταφοράς μη-ελάχιστης φάσης. 9η Διάλεξη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Σε συστήματα ελάχιστης φάσης, όταν καθοριστεί η καμπύλη του μέτρου σε όλη την περιοχή των συχνοτήτων από μηδέν μέχρι άπειρο, η καμπύλη της γωνίας φάσης προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο και αντίστροφα. Αυτό δεν συμβαίνει σε συστήματα μη-ελάχιστης φάσης Τα συστήματα μη-ελάχιστης φάσης έχουν καθυστέρηση στην απόκρισή τους, λόγω της προβληματικής συμπεριφοράς στην έναρξη της απόκρισης. 9η Διάλεξη