Ακαδ. έτος 2016 - 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι – ΣΤΑΤΙΚΗ Εξάμηνο 3ο Ακαδ. έτος 2016 - 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι – ΣΤΑΤΙΚΗ Εξάμηνο 3ο ΘΕΩΡΙΑ + ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΤΗ 09:00 – 13:00 ΑΙΘΟΥΣΑ Α2 Διδάσκων : Στέφανος Κατσαβούνης, Αναπληρωτής Καθηγητής
Περίγραμμα ύλης Δύναμη και ροπή. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών. Διανυσματική επίλυση δυνάμεων και ροπών. Διάγραμμα ελευθέρου σώματος - Συνθήκες ισορροπίας: Αναλυτική και Διανυσματική Επίλυση Απλοί φορείς: ράβδοι, δοκοί. Κέντρο μάζας. Ροπές Αδράνειας. Σύνθετοι φορείς: δικτυώματα, πλαίσια. Διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και καμπτικών ροπών (διαγράμματα Μ, Ν, Q). Εσωτερικές Δυνάμεις σε δοκούς.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μηχανική είναι το τμήμα εκείνο των Θετικών Επιστημών το οποίο εξετάζει την ισορροπία καθώς και την κίνηση των σωμάτων. Η Μηχανική των στερεών χωρίζεται: α) Στη Μηχανική του απαραμόρφωτου σώματος, που είναι γνωστή και σαν Στατική. β) Στη Μηχανική του παραμορφώσιμου σώματος που είναι γνωστή και σαν Αντοχή των Υλικών.
Η Στατική, εξετάζει βασικά τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων Η Στατική, εξετάζει βασικά τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων. Για τη μελέτη αυτή θεωρεί τα σώματα απαραμόρφωτα, δηλαδή ότι με την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων επάνω τους, αυτά εξακολουθούν να διατηρούν το αρχικό τους σχήμα και τις διαστάσεις τους, δηλαδή δεν παραμορφώνονται. Αντίθετα, η Αντοχή των Υλικών δέχεται ότι τα σώματα παραμορφώνονται με την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων (ή και ροπών), γεγονός που συμβαίνει στην πραγματικότητα.
Δύναμη Η έννοια της δύναμης είναι θεμελιώδης Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος Η Στατική παραδέχεται ότι το αποτέλεσμα της δράσης μιας δύναμης σε ένα σώμα δεν εξαρτάται από το σημείο εφαρμογής της αλλά μόνο από το μέτρο, τον φορέα και τη διεύθυνσή της. Η δύναμη κατά τη Στατική είναι ολισθαίνον διάνυσμα.
Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (Free Body Diagram) Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) είναι το διάγραμμα, που θα προκύψει με την απομάκρυνση όλων των σωμάτων με τα οποία το μελετώμενο σώμα έρχεται σε επαφή και την αντικατάστασή τους με τις αντίστοιχες δυνάμεις επαφής, καθώς και την τοποθέτηση των δυνάμεων που προκαλούνται από πεδία.
Free-Body Diagrams Free-Body Diagram: A sketch showing only the forces on the selected particle. Space Diagram: A sketch showing the physical conditions of the problem.
Γραφική Σύνθεση Δυνάμεων ο κανόνας του παραλληλογράμμου η κατασκευή του δυναμοτριγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση δύο δυνάμεων) ή δυναμοπολυγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση περισσοτέρων δυνάμεων).
Στην περίπτωση του δυναμοπολυγώνου, η συνισταμένη δύναμη R προκύπτει πάντα η ίδια, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία προσθέτουμε τις δυνάμεις. Αυτό σημαίνει ότι, για το ίδιο σύστημα δυνάμεων είναι δυνατό να σχηματίζονται περισσότερα από ένα δυναμοπολύγωνα, που τελικά όμως δίνουν την ίδια συνισταμένη.
Αναλυτική Σύνθεση Δυνάμεων
Παράδειγμα - 1 Να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη
Λύση
Αναλυτική Σύνθεση περισσοτέρων των δύο συντρεχουσών δυνάμεων
Ανάλυση Δυνάμεων
Ανάλυση περισσοτέρων των δύο δυνάμεων
Άσκηση - 1 Σε κολώνα έχουν δεθεί δύο συρματόσχοινα, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=140ο. Η τάση των συρματόσχοινων είναι P=80 kN. Να βρεθεί κατά μέτρο και θέση η συνισταμένη δύναμη, που ασκείται στην κολώνα.
Άσκηση - 2 Η συνισταμένη δύναμη πρέπει να έχει τη διεύθυνση του άξονα των x, και η δύναμη F2 να έχει τη μικρότερη δυνατή τιμή. Να βρεθούν το μέτρο της F2, το μέτρο της συνισταμένης δύναμης και η γωνία θ.
Άσκηση - 3 Να προσδιορίσετε το μέτρο της συνιστώσας δύναμης F , και το μέτρο της συνισταμένης δύναμης FR, εάν η FR έχει τη διεύθυνση του άξονα y.
Άσκηση - 4 Σφαίρα ακτίνας r=12 cm και βάρους W=250 N αναρτάται από σταθερό σημείο Α κατακόρυφου τοίχου με τη βοήθεια σχοινιού μήκους l=20cm δεμένου στο κέντρο της. Να υπολογίσετε την τάση Τ του σχοινιού και τη δύναμη R που ασκεί η σφαίρα στον τοίχο.
Άσκηση - 5 Τρία βάρη G1, G2 και G3 προσαρμόζονται σε δύο σχοινιά, όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς να υφίστανται τριβές. Να υπολογίσετε τις γωνίες α1 και α2 στην κατάσταση ισορροπίας.
Rectangular Components of a Force: Unit Vectors May resolve a force vector into perpendicular components so that the resulting parallelogram is a rectangle. are referred to as rectangular vector components and Define perpendicular unit vectors which are parallel to the x and y axes. Vector components may be expressed as products of the unit vectors with the scalar magnitudes of the vector components. Fx and Fy are referred to as the scalar components of
Addition of Forces by Summing Components Wish to find the resultant of 3 or more concurrent forces, Resolve each force into rectangular components The scalar components of the resultant are equal to the sum of the corresponding scalar components of the given forces. To find the resultant magnitude and direction,
Παράδειγμα - 2 SOLUTION: Resolve each force into rectangular components. Determine the components of the resultant by adding the corresponding force components. Calculate the magnitude and direction of the resultant. Four forces act on bolt A as shown. Determine the resultant of the force on the bolt.
Λύση SOLUTION: Resolve each force into rectangular components. Determine the components of the resultant by adding the corresponding force components. Calculate the magnitude and direction.
Ισορροπία δυνάμεων Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκείται ένα σύστημα δυνάμεων P1, P2, … Pn, το σώμα ισορροπεί μόνο αν το άθροισμα των δυνάμεων είναι μηδέν, δηλαδή:
Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις, τότε, για να ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει να έχουν ίσα μέτρα, τον ίδιο φορέα και αντίθετες διευθύνσεις. Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται τρεις δυνάμεις, τότε για να ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει αφ’ ενός να συντρέχουν και αφ’ ετέρου, τοποθετούμενες επάλληλα, να ορίζουν τρίγωνο, (καλούμενο δυναμοτρίγωνο).
Ως προς το σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων Oxyz, για την ισορροπία ενός στερεού σώματος, απαιτείται το άθροισμα των συνιστωσών κατά κάθε κύριο άξονα να είναι μηδέν, δηλαδή:
Παράδειγμα - 3 SOLUTION: Construct a free-body diagram for the particle at the junction of the rope and cable. Apply the conditions for equilibrium by creating a closed polygon from the forces applied to the particle. Apply trigonometric relations to determine the unknown force magnitudes. In a ship-unloading operation, a 3500-lb automobile is supported by a cable. A rope is tied to the cable and pulled to center the automobile over its intended position. What is the tension in the rope?
Λύση Construct a free-body diagram for the particle at A. Apply the conditions for equilibrium. Solve for the unknown force magnitudes.
Νόμος ημιτόνων & συνημιτόνων