Ρομποτική Μάθημα 6ο «Διαφορική κινηματική» Ρομποτική Μάθημα 6ο «Διαφορική κινηματική» Γαστεράτος Αντώνιος, Επίκουρος Καθηγητής Εργαστήριο Ρομποτικής και Αυτοματισμών Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Σκοπός του μαθήματος Χαρακτηρισμός του πλαισίου ταχύτητας Υπολογισμός της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας Υπολογισμός του πίνακα της Ιακωβιανής Ανάλυση της κίνησης ενός χειριστή

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις του πίνακα περιστροφής Περιστροφή περί τον άξονα Χ κατά γωνία θ άξονα Υ κατά γωνία φ άξονα Ζ κατά γωνία ψ

Ανασκόπηση Ομογενής πίνακας μετασχηματισμού Πίνακας περιστροφής Διάνυσμα θέσης Κλιμάκωση

Ανασκόπηση Ειδικές περιπτώσεις ομογενούς πίνακα 1. Μεταφορά 2. Περιστροφή

Ανασκόπηση Αναπαράσταση προσανατολισμού γωνίες roll, pitch, yaw γωνίες του Euler ZA ZA ZA Z’B Z’’B Z’’’B Y’’’B Z’B Z’’B Y’’B α Y’B Y’’B Y’B X’’’B YA X’’B YA YA γ X’’B X’B β X’B XA XA XA X’B Z’B ZA Z’B ZA ZA Z’’B Z’’B α Z’’’B Y’’’B Y’B Y’B Y’’B γ Y’’B β YA YA YA X’’B X’’’B X’B X’B X’’B XA XA XA

Τελικό στοιχείο δράσης Ανασκόπηση Σύνδεσμοι και αρθρώσεις Σύνδεσμοι (Links) 4 4 2 5 3 Αρθρώσεις (Joints) 5,6 Τελικό στοιχείο δράσης (End Effector) 2 1 1 Βάση Ρομπότ

Ανασκόπηση Κανόνας των Denavit-Hartenberg Προσδιορισμός του πλαισίου βάσης: Προσδιορίζουμε το ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα βάσης (Χ0Υ0Ζ0) με αρχή στη βάση του χειριστή και τον άξονα Ζ0 παράλληλα στον άξονα κίνησης της άρθρωσης 1 Προσάρτηση πλαισίων σε καθένα από τους συνδέσμους σύμφωνα με τις προηγούμενες διαφάνειες Υπολογισμός των παραμέτρων των συνδέσμων

Ανασκόπηση

Ανασκόπηση Ορθό κινηματικό πρόβλημα Δεδομένου του διανύσματος q των μεταβλητών των αρθρώσεων, να υπολογιστούν η θλεση και ο προσανατολισμός του τελικού σημείου δράσης: γωνίες roll, pitch, yaw ή γωνίες Euler ?

Ανασκόπηση Αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα Δεδομένου του πίνακα μετασχηματισμού:

Παραγώγιση διανύσματος θέσης Η παράγωγος ενός διανύσματος Q δίνεται ως Αν το {B} μεταβάλλεται το ίδιο με το Q, τότε η ταχύτητα είναι μηδενική. Η ταχύτητα ενός σημείου στο {B} είναι αυτή του αντίστοιχου διανύσματος. Όπως κάθε διάνυσμα, και η ταχύτητα παρουσιάζεται σε σχέση με κάποιο πλαίσιο

Παραγώγιση διανύσματος θέσης Η ταχύτητα αυτή σχετίζεται με την BVQ όπως σχετίζονται τα πλαίσια {Α} και {B}, δηλαδή μέσω του πίνακα περιστροφής: Επομένως η ταχύτητα που παρουσιάζεται σε σχέση με το ίδιο πλαίσιο επί του οποίου γίνεται η κίνηση του σημείου είναι:

Ταχύτητα σημείου Γενικά η ταχύτητα ενός σημείου δεν δίδεται σε σχέση με ένα οποιοδήποτε πλαίσιο, αλλά σε σχέση με ένα γενικό πλαίσιο {U} {U} {Y}

Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας Η γωνιακή ταχύτητα περιγράφει την περιστροφική κίνηση ενός πλαισίου C(ΑΩB): η γωνιακή ταχύτητα του πλαισίου {Β} σε σχέση με το {Α}, εκφρασμένη στο πλαίσιο {C} Και εδώ η γωνιακή ταχύτητα δίδεται σε σχέση με γενικό πλαίσιο {U} ΑΩB {Α} {Β}

Ταχύτητα σημείου σε μετακινούμενο πλαίσιο Η θέση και ο προσανατολισμός του πλαισίου {Β} σε σχέση με το {Α} δίνεται από το διάνυσμα θέσης AΡBORG και τον πίνακα περιστροφής BAR, αντίστοιχα, άρα: Θεωρώντας ότι μόνο η σχετική θέση του {Β} μεταβάλλεται σε σχέση με το {Α}, τότε η ταχύτητα ενός διανύσματος BQ ως προς το {Α} είναι: ή {Β} BQ Σταθερός ΑPBORG {Α}

Γωνιακή ταχύτητα To BQ είναι ακίνητο στο {Β}, όχι όμως σε σχέση με το {Α} Η διαφορική αλλαγή ΔQ του ΑQ πρέπει να είναι κάθετη τόσο στο ΑΩB, όσο και στο ΑQ και το μέτρο του είναι και επομένως γενικά το Q μπορεί να μεταβάλλεται σε σχέση και με το {Β} ΑΩB {Α} {Β} BQ ΑΩB |Q|sinθ ΔQ ΩΔt θ Q(t) Q(t+Δt)

Παράγωγος ορθοκανονικού πίνακα Για κάθε ορθοκανονικό πίνακα nxn ισχύει παραγωγίζοντας ή ορίζοντας το λοξό πίνακα τότε και επειδή ο R είναι ορθοκανονικός

Ταχύτητα σημείου σε περιστρεφόμενο πλαίσιο Η θέση ενός διανύσματος στο {Β} σε σχέση με το {Α} Η ταχύτητα του σημείου στο {Α} είναι παράγωγος της θέσης ως προς το χρόνο: Εξαιτίας της παραπάνω σχέσης ο λοξός πίνακας S ονομάζεται και πίνακας γωνιακής ταχύτητας Σταθερό

Πίνακας γωνιακής ταχύτητας Ο πίνακας γωνιακής ταχύτητας μπορεί να γραφεί σχετίζεται με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ως τότε επομένως η ταχύτητα εξαιτίας περιστρεφόμενου πλαισίου είναι

Γραμμική και γωνιακή ταχύτητα Ας μελετήσουμε τώρα τη γενική περίπτωση όπου μεταβάλλονται όλα τότε η παράγωγος της θέσης είναι ή η σχέση αυτή χρησιμοποιείται για την εξαγωγή των σχέσεων μεταξύ των ταχυτήτων των συνδέσμων ενός χειριστή ΑΩB {Α} {Β} BQ ΑPBORG ΑQ

Σχετικές ταχύτητες 3 πλαισίων Για τρία διαδοχικά πλαίσια ισχύει και για τις αντίστοιχες γωνιακές τους ταχύτητες παραγωγίζοντας την πρώτη σχέση ή ΑΩB {Α} {Β} BPCORG ΑPBORG ΑPCORG {C} ΑΩC B(BΩC)

Μετάδοση ταχύτητας i-1PiORG 0PiORG {0} 0Pi-1ORG

Μετάδοση ταχύτητας

Ταχύτητα συνδέσμου περιστροφική άρθρωση Αν η άρθρωση i είναι περιστροφική, τότε η μεταβλητή της qi είναι η γωνία θi και το διάνυσμα i-1PiORG είναι σταθερό. Η γωνιακή ταχύτητα i-1(i-1Ωi) είναι ένα διάνυσμα πάνω στον άξονα Ζi με μέτρο , δηλαδή επομένως από τις σχετικές ταχύτητες για 3 πλαίσια και

Ταχύτητα συνδέσμου πρισματική άρθρωση Αν η άρθρωση i είναι πρισματική, τότε η μεταβλητή της qi είναι η απόσταση di και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι μηδενικό, δηλαδή και επομένως από τις σχετικές ταχύτητες για 3 πλαίσια

Παράδειγμα Να υπολογίσετε τα 0ΩΕ και 0VΕ ΩΕ VΕ L2 {Ε} L1 {0}

Παράδειγμα Οι πίνακες που απαιτούνται είναι άρα (αν συμβολίσουμε c12 = cos(θ1+θ2))

Παράδειγμα οι γωνιακές ταχύτητες είναι

Παράδειγμα και οι αντίστοιχες γραμμικές ταχύτητες είναι

Η Ιακωβιανή Είναι μια πολυδιάστατη παράσταση της παραγώγου Έστω: 6 συναρτήσεις fi , i=1,…,6 6 μεταβλητές xi , i=1,…,6 ώστε: y1 = f1(x1, x2, …, x6) y2 = f2(x1, x2, …, x6)  =  y6 = f6(x1, x2, …, x6) ή σε μορφή διανύσματος: Y = F(X)

Η Ιακωβιανή Οι μερικές παράγωγοι είναι ή πιο συμπαγώς Ιακωβιανή

Η Ιακωβιανή επομένως: και διαιρώντας με t: η Ιακωβιανή είναι ένας μετασχηματισμός απεικόνιση ταχυτήτων σε ταχύτητες Η αντιστοίχηση που εκφράζει την κινηματική του ρομπότ είναι: πλαίσιο τελικού σημείου δράσης = F (q) Αυτή που εκφράζει η Ιακωβιανή είναι: ταχύτητα τελικού σημείου δράσης = J 

Ιακωβιανή χειριστή Είναι δυνατόν να ορισθούν Ιακωβιανές οποιασδήποτε διάστασης. Ο αριθμός των γραμμών είναι ίσος με τους βαθμούς ελευθερίας του Καρτεσιανού χώρου εργασίας, ενώ ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των αρθρώσεων Γενικά είναι όπου ο επιγεγραμμένος δείκτης δηλώνει το πλαίσιο στο οποίο εκφράζεται η Ιακωβιανή, ενώ ο υπογεγραμμένος τον αριθμό της άρθρωσης 0ΡΕORG iΡΕΟRG nΡΕORG

Ιακωβιανή χειριστή και όπου άρα είναι πολύ εύκολος ο υπολογισμός της Ιακωβιανής από τον πίνακα ενώ τα 3 πρώτα στοιχεία της υπολογίζονται εύκολα ως

Παράδειγμα Να υπολογιστεί η Ιακωβιανή για τον επίπεδο χειριστή 2 βαθμών ελευθερίας, αν είναι γνωστά τα l1,και l2 Ι. Με τη μέθοδο ΙΙ. Με τον πίνακα 2 1 (x , y) l2 l1

Παράδειγμα Λύση Ι Από τη γεωμετρία του χειριστή προκύπτει ότι και λαμβάνοντας τις μερικές παραγώγους

Παράδειγμα Λύση ΙΙ Οι πίνακες που προκύπτουν είναι άρα

Παράδειγμα Λύση ΙΙ Τα διανύσματα που μας χρειάζονται υπολογίζονται ως Παράδειγμα Λύση ΙΙ Τα διανύσματα που μας χρειάζονται υπολογίζονται ως και ενώ

Παράδειγμα Λύση ΙΙ και τελικά είναι Παράδειγμα Λύση ΙΙ και τελικά είναι και επειδή ο Καρτεσιανός χώρος εργασίας του χειριστή έχει μόνο 2 βαθμούς ελευθερίας, οι γραμμές 3 έως 6 δεν περιέχουν καμιά πληροφορία και επομένως η Ιακωβιανή είναι

PUMA 560 t Ακολουθεί ο υπολογισμός της Ιακωβιανής για το χειριστή PUMA 560

PUMA 560

PUMA 560

Αλλαγή του πλαισίου αναφοράς της Ιακωβιανής Αν παραστήσουμε τη γωνιακή και γραμμική ταχύτητα ενός σημείου σε ένα μόνο πίνακα τότε και επειδή η ταχύτητα του ίδιου σημείου ως προς ένα άλλο πλαίσιο σχετίζεται ως τότε και για τις Ιακωβιανές ισχύει ομοίως

Σημεία ιδιομορφίας Τα σημεία στα οποία ένας χειριστής απολλύει έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας, ονομάζεται σημεία ιδιομορφίας Όλοι οι χειριστές παρουσιάζουν ιδιομορφία στα όρια του χώρου εργασίας τους, ενώ για πολλούς υπάρχει γεωμετρικός τόπος ιδιομορφίας εντός του χώρου εργασίας

Σημεία ιδιομορφίας Ιδιομορφίες ορίων χώρου εργασίας συμβαίνουν όταν ο χειριστής είναι πλήρως ανεπτυγμένος ή πλήρως αναδιπλωμένος, έτσι ώστε το τελικό σημείο δράσης να βρίσκεται κοντά στα όρια του χώρου εργασίας Εσωτερικές ιδιομορφίες χώρου εργασίας συμβαίνουν μακριά από τα όρια του χώρου εργασίας, συνήθως όταν δύο ή περισσότεροι άξονες αρθρώσεων ευθυγραμμισθούν 5 q 1 5 q 1

Ιδιομορφίες ενός ρομποτικού χειριστή Δεδομένου ότι η Ιακωβιανή είναι ένας μετασχηματισμός της ταχύτητας των αρθρώσεων στην ταχύτητα του τελικού σημείου δράσης, εάν είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή μη ιδιόμορφος, τότε αντιστρέφοντάς τον είναι δυνατός ο υπολογισμός των ταχυτήτων των αρθρώσεων για την επίτευξη μιας επιθυμητής ταχύτητας του τελικού σημείου δράσης Τα σημεία ιδιομορφίας προκύπτουν για τις τιμές των q για τις οποίες η Ιακωβιανή δεν είναι αντιστρέψιμη

Ιδιομορφίες ενός ρομποτικού χειριστή ο χειριστής μπορεί να παράγει οποιαδήποτε ταχύτητα τελικού σημείου δράσης σε έναν n’-διάστατο χώρο, εκτός από κάποιες εξαιρέσεις Έστω ένας χειριστής n μεταβλητών και ένας ακέραιος n’ τέτοιος ώστε: αν για κάποιες συγκεκριμένες τιμές q=qs ισχύει: τότε η qs ονομάζεται διάταξη ιδιομορφίας Αν n>6, τότε n’= 6, ενώ αν n£6 τότε n’ = n (εκτός αν ο μηχανισμός είναι εξαιρετικά εξειδικευμένος) Για n’ = n = 6 μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η qs διάταξη ιδιομορφίας είναι: οι εξαιρέσεις αυτές αποτελούν τις ιδιομορφίες

Παράδειγμα Να υπολογιστεί η διάταξη ιδιομορφίας για τον επίπεδο χειριστή 2 βαθμών ελευθερίας 2 1 (x , y) l2 l1 x Y =0 V Για να είναι η ορίζουσα 0 θα πρέπει s2=0, δηλαδή θ2= 0 ή θ2= 180 2 1 l1 x Y =180 (x , y) l2 V

Παράδειγμα Να δειχθεί τώρα ότι καθώς το τελικό σημείο δράσης μετακινείται επί του άξονα Χ, οι ταχύτητες των αρθρώσεων είναι λογικές μακριά από τις ιδιομορφίες, αλλά απειρίζονται κοντά σ’ αυτές 2 1 (x , y) x Y Επομένως είναι φανερό πως αφού l1, l2 ¹0, οι ταχύτητες των αρθρώσεων απειρίζονται όταν s2=0, δηλαδή κοντά στις ιδιομορφίες

PUMA 560 Ένα παράδειγμα ιδιομορφίας για τον PUMA 560 είναι όταν θ5=0 Στην περίπτωση αυτή οι άξονες 4 και 6 είναι ευθυγραμμισμένοι και, επομένως έχουν το ίδιο αποτέλεσμα στην κίνηση του τελικού σημείου δράσης ή με άλλα λόγια απολλύετε ένας βαθμός ελευθερίας Αυτή αποτελεί εσωτερική ιδιομορφία του χώρου εργασίας

Εργασία εξαμήνου Για το βραχίονα του σχήματος να υπολογίσετε το ευθύ και αντίστροφο κινηματικό πρόβλημα και να υπολογίσετε την Ιακωβιανή του Επίσης να γράψετε τα αντίστοιχα προγράμματα σε Matlab Ως το τέλος του εξαμήνου (20/7/2007) μόνο με ηλεκτρονικό ταχυδρομείο 1 2 3 5 4 6 l2 l3 l1

Ερωτήσεις