Πρόβλημα μεταφοράς Μια επιχείρηση διαθέτει δύο εργοστάσια παραγωγής και τρείς αποθήκες. Το κάθε εργοστάσιο έχει μια εβδομαδιαία δυναμικότητα παραγωγής την οποία δεν μπορεί να υπερβεί, οι δε αποθήκες πρέπει να ικανοποιήσουν τη ζήτηση. Ζητείται βρεθεί η λύση με το ελάχιστο κόστος (άριστη λύση).

Πρόβλημα μεταφοράς Για να αναπαρασταθεί μαθηματικά το πρόβλημα πρέπει να προσδιορίζουμε τις μεταβλητές καθώς και τη μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης και των περιορισμών. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε δύο σύνολα στοιχείων τις τοποθεσίες των εργοστασίων (i ={seattle, san diego}) και αυτές των αποθηκών (j = {new york, chicago, topeka}). Πρέπει να προσδιοριστούν οι ποσότητες που μεταφέρονται ανά εργοστάσιο και αποθήκη έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος και ταυτόχρονα να ικανοποιηθεί η ζήτηση με δεδομένες τις δυναμικότητες των μονάδων παραγωγής. Συμβολίζουμε τις μεταβλητές με x ij. Έτσι X (seattle, new york) είναι η ποσότητα που μεταφέρεται από το Σηάτλ στη Νέα Υόρκη. Το συνολικό κόστος μπορεί να γραφεί σύντομα ως εξής: Σ i Σ j (c ij x ij ) όπου c ij είναι το μοναδιαίο κόστος ανά τόννο και χιλιόμετρο

Πρόβλημα μεταφοράς Το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως εξής : Να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς Σ i Σ j (c ij x ij ) υπό τους εξής περιορισμούς Α. Δυναμικότητας (δύο περιορισμοί) Σ i (x ij ) ≤ Ε i (Ε i μέγεθος εργοστασίου i) Β. Ζήτησης (τρείς περιορισμοί) Σ j (x ij ) ≥ Ζ j (Ζ j ζήτηση στην αποθήκη j) Γ. Μη αρνητικότητας των μεταβλητών (έξι περιορισμοί) x ij ≥ 0 x ij ≥ 0 Για παράδειγμα ο πρώτος περιορισμός δυναμικότητας γράφεται αναλυτικά παρακάτω: X seattle, new york + X seattle, chicago + X seattle, topeka ≤ E seattle = 350 Η ποσότητα που φεύγει από το Σηάτλ προς οποιαδήποτε αποθήκη δεν μπορεί να υπερβαίνει τη δυναμικότητα του εκεί εργοστασίου

Κώδικας GAMS και επίλυση προβλήματος μεταφοράς $Title A Transportation Problem (TRNSPORT,SEQ=1) This problem finds a least cost shipping schedule that meets requirements at markets and supplies at factories. Dantzig, G B, Chapter 3.3. In Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, This formulation is described in detail in: Rosenthal, R E, Chapter 2: A GAMS Tutorial. In GAMS: A User's Guide.The Scientific Press, Redwood City, California, st step : SET DEFINITION Sets i canning plants / seattle, san-diego / i canning plants / seattle, san-diego / j markets / new-york, chicago, topeka / ; j markets / new-york, chicago, topeka / ;

2d step DATA ENTRY Parameters a(i) capacity of plant i in cases a(i) capacity of plant i in cases / seattle 350 / seattle 350 san-diego 600 / san-diego 600 / b(j) demand at market j in cases b(j) demand at market j in cases / new-york 325 / new-york 325 chicago 300 chicago 300 topeka 275 / ; topeka 275 / ; Table d(i,j) distance in thousands of miles new-york chicago topeka new-york chicago topeka seattle seattle san-diego ; san-diego ; Scalar f freight in dollars per case per thousand miles /90/ ;

3d step CALCULATIONS Parameter c(i,j) transport cost in thousands of dollars per case ; c(i,j) = f * d(i,j) / 1000 ; c(i,j) = f * d(i,j) / 1000 ; 4th step variable & equation DECLARATION Variables Variables x(i,j) shipment quantities in cases x(i,j) shipment quantities in cases z total transportation costs in thousands of dollars ; z total transportation costs in thousands of dollars ; Positive Variable x ; Equations Equations cost define objective function cost define objective function supply(i) observe supply limit at plant i supply(i) observe supply limit at plant i demand(j) satisfy demand at market j ; demand(j) satisfy demand at market j ;

5th step equation SPECIFICATION cost.. z =e= sum((i,j), c(i,j)*x(i,j)) ; supply(i).. sum(j, x(i,j)) =l= a(i) ; demand(j).. sum(i, x(i,j)) =g= b(j) ; 6th step model declaration; solve statement Model transport /all/ ; Solve transport using lp minimizing z ; Display x.l, x.m ;

Πρόβλημα μεταφοράς συνέχεια Μια επιχείρηση διαθέτει δύο εργοστάσια παραγωγής και τρείς αποθήκες μέσω των οποίων αποστέλλει το προϊόν της σε τέσσερα καταστήματα λιανικής πώλησης. Το κάθε εργοστάσιο έχει μια εβδομαδιαία δυναμικότητα παραγωγής την οποία δεν μπορεί να υπερβεί, τα δε καταστήματα πρέπει να ικανοποιήσουν τη ζήτηση. Ζητείται να αριστοποιηθεί η εφοδιαστική αλυσίδα.

Δίκτυο μεταφοράς

Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής : να βρεθούν τιμές για τις μεταβλητές (ποσότητες μεταφοράς) ωστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος μεταφοράς. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μια μεταβλητή ανα διαδρομή και ένας περιορισμός ανά κόμβο.

Για όλα τα προβλήματα δικτύων ισχύει ότι : όταν χαρακτηρίζονται από έναν ειδικής μορφής πίνακα, όπου όλες οι σταθερές στο εσωτερικό του έχουν τιμή 1 ή -1, έχουν άριστες λύσεις με ακέραιες τιμές. Πράγματι όπως βλέπουμε στο φύλλο Αναφορά Απάντησης σημειώνονται οι άριστες ποσότητες με την αρχή και τον προορισμό τους, καθώς και τη μείωση κόστους που απαιτείται για τις υπόλοιπες διαδρομές να μπούν στην άριστη λύση

Η ανάλυση ευαισθησίας μας δίνει την επίπτωση στο συνολικό κόστος των περιορισμών δυναμικότητας, ζήτησης και ισοζυγίου ροής (εισροές - εκροές). Η αύξηση δυναμικότητας της παραγωγής δεν έχει επίπτωση στο κόστος, εφόσον συνεχιστούν να παράγονται οι σημερινές ελάχιστες ποσότητες. Για τους περιορισμούς εισροών – εκροών, η μεταβολή του δεξιού μέλους από 0 σε 1, σημαίνει ότι οι εισροές υπολείπονται κατά μια μονάδα στον αντίστοιχο κόμβο, επομένως πρέπει να μεταφερθεί εκεί μια επιπλέον μονάδα. Για τους περιορισμούς ζήτησης, η δυϊκή τιμή είναι η επίπτωση στο συνολικό κόστος, αν αυξηθεί η ζήτηση των καταστημάτων. Αυτό γιατί κάθε αύξηση της ζήτησης συνεπάγεται μεγαλύτερη ποσότητα προς μεταφορά. Βέβαια το μοντέλο βρίσκει την οικονομικότερη διαδρομή για κάθε επιπλέον μονάδα.

Πρόβλημα ανάθεσης Το πρόβλημα ανάθεσης είναι μια ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς όπου Δεν υπάρχουν ενδιάμεσοι κόμβοιΔεν υπάρχουν ενδιάμεσοι κόμβοι Ο αριθμός των κόμβων της αφετηρίας ισούται με τον αριθμό των κόμβων προορισμούΟ αριθμός των κόμβων της αφετηρίας ισούται με τον αριθμό των κόμβων προορισμού Το ζητούμενο είναι κάποιας μορφής οργανωτική ανάθεση μεταξύ των κόμβων αφετηρίας και προορισμού, ώστε να επιτευχθεί άριστο αποτέλεσμαΤο ζητούμενο είναι κάποιας μορφής οργανωτική ανάθεση μεταξύ των κόμβων αφετηρίας και προορισμού, ώστε να επιτευχθεί άριστο αποτέλεσμα Παράδειγμα : έστω ότι σε μια επιχείρηση πρέπει να εκτελεστούν τρείς εργασίες και μπορούμε να καλέσουμε τρείς συνεργάτες. Γνωρίζοντας το κόστος που συνεπάγεται η ανάθεση κάθεμιας εργασίας σε συγκεκριμένο υπάλληλο, ζητείται να βρεθεί η ανάθεση (συνδυασμός) εκείνη που θα ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος εκτέλεσης των εργασιών.

Κόστος ανάθεσης

Το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως εξής : Να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος ανάθεσης Σ i Σ j (c ij x ij ) υπό τους εξής περιορισμούς Α. Ο κάθε συνεργάτης δεν μπορεί να αναλάβει πάνω από μία εργασία (τρείς περιορισμοί) Σ i (x ij ) ≤ 1 Β. Η κάθε εργασία πρέπει να ανατεθεί οπωσδήποτε σε κάποιον συνεργάτη (τρείς περιορισμοί) Σ j (x ij ) ≥ 1 Γ. Μη αρνητικότητας των μεταβλητών (έξι περιορισμοί) x ij ≥ 0 x ij ≥ 0 Για παράδειγμα ο πρώτος περιορισμός δυναμικότητας γράφεται αναλυτικά παρακάτω: X 1, 4 + X 1, 5 + X 1, 6 ≤ 1 Πρόβλημα ανάθεσης

Παρατηρούμε ότι υπάρχει μια μεταβλητή ανα διαδρομή και ένας περιορισμός ανά κόμβο. Η άριστη λύση αναθέτει στον 1 την εργασία 5, στον 2 την εργασία 4 και στον 3 την εργασία 6. Το συνολικό κόστος είναι 8. Ολοι οι περιορισμοί ικανοποιούνται. Παρατηρούμε ότι δεν χρειάζεται να θέσουμε τις μεταβλητές υποχρεωτικά ακέραιους και 0-1 αριθμούς.

Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής

Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής είναι παραλλαγή του προβλήματος μεταφοράς με τις εξής ιδιομορφίες : Υπάρχει ένας κόμβος αφετηρίας, ένας κόμβος προορισμού και ενδιάμεσοι κόμβοι σε διάφορα στάδιαΥπάρχει ένας κόμβος αφετηρίας, ένας κόμβος προορισμού και ενδιάμεσοι κόμβοι σε διάφορα στάδια Η παραγωγή στον κόμβο αφετηρίας και η ζήτηση στον κόμβο προορισμού είναι ίσες με τη μονάδαΗ παραγωγή στον κόμβο αφετηρίας και η ζήτηση στον κόμβο προορισμού είναι ίσες με τη μονάδα Το κόστος κατά μήκος ενός τόξου είναι ίσο με την απόσταση της αντίστοιχης διαδρομήςΤο κόστος κατά μήκος ενός τόξου είναι ίσο με την απόσταση της αντίστοιχης διαδρομής Έτσι το ελάχιστο κόστος από την αφετηρία στον προορισμό ισούται με τη συντομότερη διαδρομή. Οι μεταβλητές του προβλήματος Χ με δείκτες i τον αριθμό του κόμβου αφετηρίας και j προορισμού δείχνουν το ποσοστό του φορτίου που ακολουθεί τη συγκεκριμένη διαδρομή ij.

Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής