5/11/2014ΧΡΙΣΤΟΠΟΥΛΟΥ Ενότητα 5#: Εξίσωση Saha Boltzmann Παναγιώτα-Ελευθερία Χριστοπούλου Eπιμέλεια Μαθήματος: Σπετσιέρη Ζωή-Τζόγια Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Σκοποί Ενότητας Σκοπός της συγκεκριμένης ενόητας είναι η κατανόηση των αστρικών φασμάτων και της εξίσωσης Saha- Boltzmann, στοιχείων πολύ σημαντικών για την εξέλιξη της αστροφυσικής.

1817, Joseph Fraunhofer

ος των Δεκαετία1890 HARVARD COLLEGE OBSERVATOTY Edward C. Pickering ( ) και Williamina P. Fleming( ) ταξινόμησαν τα φάσματα ΑΛΦΑΒΗΤΙΚΑ ανάλογα με την ισχύ των γραμμών του υδρογόνου (Balmer) με το “A” (ισχυρότερο-ευρύτερες γραμμές) Δεκαετία 1890 Antonia Maury ( ) ανέπτυξε σύστημα με βάση το πλάτ γραμμών. Τοποθέτησε τους “B” πριν τους “A” Annie Cannon ( ), συνδύασε ΌΛΑ τα παραπάνω. Επαναταξινόμησε O πριν B πριν A, πρόσθεσε και υποδιαιρέσεις (A0...A9) και συγχώνευσε τάξεις δημιουργώντας το σημερινό σύστημα OBAFGKM (Oh Be A Fine Guy/Girl, Kiss Me) «Προγενέστερου τύπου» (στην αρχή της ακολουθίας αλλά και Κ0) «Μεταγενέστερου τύπου» (στο τέλος της ακολουθίας αλλά και Κ9) Η Annie Cannon ταξινόμησε φάσματα στον κατάλογο Henry Draper 1 (HD) π.χ Betelgeuse είναι ο ΗD ( 1 Πήρε το 1872 το πρώτο φάσμα, χρηματοδότησε τον κατάλογο) Φασματική ταξινόμηση των αστέρων

Πότε δημιουργούνται οι γραμμές Balmer εκπομπής ή απορρόφησης του υδρογόνου; H διαφοροποίηση των φασμάτων αστέρων διαφορετικών θερμοκρασιών οφείλεται στο γεγονός ότι τα ηλεκτρόνιά τους βρίσκονται σε διαφορετικές ατομικές στοιβάδες στην ατμόσφαιρά τους. Εύκολο; Τα ηλεκτρόνια μπορεί να βρίσκονται σε οποιαδήποτε ατομική στοιβάδα. Το άτομο μπορεί να βρίσκεται σε διαφορετική κατάσταση ιονισμού κάθε μία από τις οποίες έχει συγκεκριμένες ατομικές στοιβάδες. Συμβολισμός ΗΙ, HeI-HII, HeII, SiIII, SiIV. Σύστημα ταξινόμησης κατά Harvard (Cannon) σε ποιο φασματικό τύπο οι Balmer είναι πιο ισχυρές; A0 Te =9520K Στο οπτικό HeI ισχυρότερες Β2 (22000Κ), CaII (KO, 5250 K) Ο τρόπος ταξινόμησης Harvard δεν ήταν σαφής … A0 (Βέγας) πιο ισχυρές γραμμές υδρογόνου από τον Ήλιο (G2). O Ήλιος πιο ισχυρές γραμμές Ca από τον Βέγα. Διαφορετική σύσταση ή διαφορετικές Τ;

Φασματική ταξινόμηση των αστέρων κατά Harvard ΚΑΦΕ ΝΑΝΟΙ Κ <1300 Κ

Ηγ, Ηδ αυξάνεται από Ο9-Α0, ελατώνεται από Α0-F5 και μετά εξαφανίζεται στους Κ Ηe Ι στους Ο και προγενέστερους Β

Ηα (656.2 nm) Hβ (486.1 nm) Hγ (434 nm), Ηδ (410.2 nm) αυξάνεται από Ο9-Α0, ελαττώνεται από Α0-F5 και μετά εξαφανίζεται στους Κ

Σε ποιες στάθμες έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθούν τα e; Ποια είναι η σχετική περιεκτικότητα των διαφόρων ιονισμένων ατόμων κάθε φορά σε κάθε κατάσταση ιονισμού; Στατιστική Μηχανική: Αέριο σε θερμοδυναμική ισορροπία με n σωματίδια /dV Ποσοστό σωματιδίων με ταχύτητες μεταξύ υ – υ+dυ, mp=most probable mp=most probable Μέση rms

Εξίσωση Boltzmann Οι ενεργειακές στάθμες είναι εκφυλισμένες: περισσότερες κβαντικές καταστάσεις με την ίδια ενέργεια, δηλαδή Eα=Eb αλλά s a  s b. Έστω, g a, g b ο αριθμός καταστάσεων με Eα, Eb = στατιστικά βάρη των ενεργειακών σταθμών. Ο λόγος πιθανοτήτων να βρίσκεται το σύστημα σε κάποια από τις g εκφυλισμένες καταστάσεις ενέργειας Ε δίνεται: Επειδή στις αστρικές ατμόσφαιρες υπάρχει πολύ μεγάλος αριθμός ατόμων, Τα άτομα ενός αερίου κερδίζουν και χάνουν ενέργεια καθώς συγκρούονται οπότε η κατανομή των ταχυτήτων των ατόμων παράγει μια συγκεκριμένη κατανομή e σε διάφορες στάθμες. Πώς καθορίζονται; Από τη στατιστική μηχανική. Οι υψηλότερες ενέργειες έχουν μικρή πιθανότητα να καταληφθούν. Σε ένα σύστημα σωματιδίων, s a, s b κβαντικοί αριθμοί, ενέργειας Eα, Eb> Eα, Ea=-13.6 eV χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη Η, Παράγοντας Boltzmann 300 K kT ~1/40 eV

Εκφυλισμός: Στο άτομο του Η είναι θεμελειώδεις, δύο κβαντικές καταστάσεις με eV για m s =±½ και 1 η διεγερμένη έχει 8 εκφυλισμένες ενέργειας eV Βαθμός εκφυλισμού g n =2n 2

Σε ένα αέριο με ουδέτερο ατομικό υδρογόνο, σε ποια θερμοκρασία ο αριθμός των ατόμων με e στην 1 η διεγερμένη είναι ο ίδιος με τον αριθμό των ατόμων με e στη θεμελιώδη; α=1 θεμελιώδης n=1, b=2 1 η διεγερμένη n=2 Άρα χρειάζονται πολύ μεγάλες θερμοκρασίες για να υπάρξει ένας σημαντικός αριθμός ατόμων υδρογόνου με e στην 1 η διεγερμένη (n=2) από εκει που ξεκινούν οι Balmer Πώς όμως έχω Balmer απορρόφησης με μέγιστη ένταση ( δηλαδή με e στην 2 η διεγερμένη n=2 για πολύ χαμηλότερη Τ=9520 K;). Σύμφωνα με την (1) σε Τ >9520Κ θα υπάρχει πολύ μεγαλύτερος αριθμός στην n=2 από ότι στην n=1. Ποιός είναι ο λόγος που η ισχύς των Balmer εξαφανίζεται σε υψηλές θερμοκρασίες;

Αυτός είναι ο λόγος που η ισχύς των Balmer εξαφανίζεται σε υψηλές θερμοκρασίες; Θα πρέπει να λάβουμε υπόψιν τον αριθμό των ατόμων που βρίσκονται σε διαφορετική κατάσταση ιονισμού Εάν χ i η ενέργεια για να πάει από i σε (i+1) π.χ χ i =13.6 eV από ΗΙ σε ΗΙΙ. Μπορεί όμως η αρχική κατάσταση να μην είναι η θεμελιώδης!. Συνάρτηση διαμερισμού Ζ για τα αρχικά και τα τελικά άτομα = Το άθροισμα του σταθμισμένου αθροίσματος των τρόπων με τους οποίους ένα άτομο μπορεί να διατάξει τα e με την ίδια ενέργεια, με τους πιο ενεργητικούς (κι άρα λιγότερο πιθανούς) συνδυασμούς να έχουν λιγότερη πιθανότητα λόγω του συντελεστή Boltzmann στο άθροισμα. Εάν Ε j είναι η ενέργεια της j στάθμης και gj o εκφυλισμός αυτής της στάθμης τότε η συνάρτηση διαμερισμού Z ορίζεται ως: Εάν για ένα άτομο σε βαθμό ιονισμού από i σε (i+1) οι συναρτήσεις διαμερισμού είναι Z i Z i+1, τότε ο λόγος του αριθμού των ατόμων στην κατάσταση σε (i+1) προς τα άτομα στην i θα είναι Eξίσωση Saha 1920 Είναι περίεργο που (Ν i+1 / Ν i )~1/ n e. Όταν αυξάνει n e ελατώνεται το Ν i+1 γιατί υπάρχουν περισσότερα e με τα οποία τα άτομα ανασυνδέονται. Ο παράγοντας 2 μπροστά από τη συνάρτηση διαμερισμού Z i+1 δείχνει τα δύο δυνατά spin m s =±½ του ελευθέρου e.

Eξίσωση Saha : διαφορετικά άτομα σε διαφορετική κατάσταση ιονισμού H πίεση του ηλεκτρονιακού αερίου κυμαίνεται από ( ) Ν m -2 ψυχρότερες και θερμότερες αστρικές ατμόσφαιρες

Συνδυασμός Boltzman+Saha Υποθέστε αστέρα μόνο από Η με πίεση στην ατμόσφαιρά του σταθερή P e =20 Ν m -2 Ποιό είναι το ποσοστό των ιονισμένων ατόμων για Τ= Κ Πώς θα υπολογίσω Z I, Z II. Για το Z II : τo ιόν Η είναι p άρα δεν έχει εκφυλισμό, άρα Z II =1. Επειδή Ε 2 -Ε 1 =10.2 eV και 10.2 eV>>kT για Τ= Κ είδαμε ότι σχεδόν όλα τα άτομα είναι στη θεμελιώδη στάθμη άρα άρα Z I ~ g 1 =2 (1) 2 =2 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Saha χ Ι =13.6 eV βρίσκουμε το λόγο Ν ΙΙ /Ν Ι Τον χρησιμοποιώ για να υπολογίσω το λόγο Ν ΙΙ /Ν total

Για Τ=5000 Κ, δεν υπάρχει ιονισμός Για Τ = 8300 Κ, το 5% ιονισμένα Για Τ=9600 τα μισά ιονισμένα και για Τ= όλα εκτός του 5% ιονισμένα. Άρα ιονισμός γίνεται μέσα σε ΔΤ=3000 K. Ζώνη μερικού ιονισμού γύρω στα Κ για τους αστέρες

Μπορούμε τώρα να κατανοήσουμε γιατί οι γραμμές Balmer έχουν μέγιστη ένταση σε Τ = 9520 K αντί για K που χρειάζεται για τη διέγερση των e στην n=2 του υδρογόνου; Η ισχύς των Balmer εξαρτάται από Ν 2 /Ν total δηλαδη το ποσοστό ΌΛΩΝ των ατόμων που είναι στην 1 η διεγερμένη. Αυτό υπολογίζεται από τον συνδυασμό Boltzman+Saha. Επειδή ουσιαστικά όλο το ουδέτερο Η βρίσκεται στη θεμελιώδη ή στην 1 η διεγερμένη, μπορούμε να γράψουμεμπορούμε να γράψουμε Η μείωση της έντασης των γραμμών Balmer σε υψηλότερες Τ οφείλεται στον γρήγορο ΙΟΝΙΣΜΟ του υδρογόνου για Τ>10000 Κ

Η θέση του e στο άτομο του υδρογόνου σε διαφορετικές Τ (α) e στη θεμελιώδη (b) Οι Balmer παράγονται όταν e βρίσκεται αρχικά στην n=2 (c) Το άτομο είναι ιονισμένο Πραγματικότητα: αστρικές ατμόσφαιρες δεν έχουν μόνο H και έχουν και άλλη πίεση. Υπάρχει 1 άτομο Ηe για 10 άτομα Η. Η παρουσία ιονισμένου He παρέχει e με τα οποία μπορεί το Η να ανασυνδεθεί. Άρα με He χρειάζεται υψηλότερη Τ ώστε να επιτευχθεί ο ίδιος βαθμός ιονισμού. Συνθήκες Eξ. Saha: αέριο σε θερμοδυναμική ισορροπία ώστε να ισχύει MB. Πυκνότητα αερίου μικρή (<1 kg m -3 ),ώστε η παρουσία γειτονικών ατόμων να μην διαταράξει τροχιακά και χαμηλώσει την ενέργεια ιονισμού

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Παναγιώτα Ελευθερία Χριστοπούλου 2015, Σπετσιέρη Ζωή Τζόγια. «Αστροφυσική Ι. Εξίσωση Saha-Boltzmann». Έκδοση: 1.0. Πατρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: Εικόνα 2: Εικόνα 3: Εικόνα 4: Εικόνα 5: Εικόνα 6: Εικόνα 7:

Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Πίνακες Πίνακας 1: Πίνακας 2: Πίνακας 3: