Κλασσική Μηχανική Ενότητα 2: Μονοδιάστατες Κινήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Η εξίσωση της μηχανικής ενέργειας υλικού σημείου Ποιοτική μελέτη της κινήσεως με την χρήση της δυναμικής συναρτήσεως Αμείωτη αρμονική ταλάντωση υλικού σημείου Φθίνουσα ταλάντωση υλικού σημείου Εξαναγκασμένη ταλάντωση υλικού σημείου Διαγράμματα φάσεως

Η εξίσωση της μηχανικής ενέργειας υλικού σημείου (1) Κάθε δύναμη της μορφής F=F(x) απορρέει από δυναμική συνάρτηση U=U(x). Κατά συνέπεια το ολοκλήρωμα της ενεργείας υπάρχει και ισούται με: Μετά από τροποποιήσεις της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης ως προς x και ολοκλήρωσή της, παίρνουμε τη λύση:

Η εξίσωση της μηχανικής ενέργειας υλικού σημείου (2) Όταν η δύναμη απορρέει από δυναμική συνάρτηση, το πεδίο δυνάμεων καλείται διατηρητικό και γράφεται ως. Η συνθήκη του διατηρητικού πεδίου δυνάμεων είναι η: Σε πεδίο αυτής της μορφής, το έργο της δυνάμεως κατά μήκος οιασδήποτε ανοικτής διαδρομής είναι ανεξάρτητο της διαδρομής. Εξαρτάται μόνον από την αρχική και τελική θέση της διαδρομής. Προφανώς το έργο της δυνάμεως κατά μήκος κλειστής διαδρομής ισούται με μηδέν.

Ποιοτική μελέτη της κινήσεως με την χρήση της δυναμικής συναρτήσεως (1) Θεωρούμε σώμα μάζας m το οποίο κινείται σε μία διάσταση υπό την επίδραση δυνάμεως F. Για το διατηρητικό πεδίο ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

Ποιοτική μελέτη της κινήσεως με την χρήση της δυναμικής συναρτήσεως (2) Το σώμα ισορροπεί οπότε ισχύει η σχέση: Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν η ισορροπία είναι ευσταθής.

Ποιοτική μελέτη της κινήσεως με την χρήση της δυναμικής συναρτήσεως (3) Αν η ισορροπία είναι ασταθής. Η επιτρεπτή περιοχή της κίνησης είναι η:

Αμείωτη αρμονική ταλάντωση υλικού σημείου (1) Θεωρούμε σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται επί του άξονα Ox υπό την επίδραση δυνάμεως. H διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του είναι η παρακάτω: Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση και θέτοντας κατάλληλες αρχικές συνθήκες προκύπτει:

Αμείωτη αρμονική ταλάντωση υλικού σημείου (2)

Αμείωτη αρμονική ταλάντωση υλικού σημείου (3) Το πλάτος της ταλαντώσεως είναι: και το φ είναι η αρχική φάση.

Φθίνουσα ταλάντωση υλικού σημείου (1) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του σώματος είναι: Όπου: και

Φθίνουσα ταλάντωση υλικού σημείου (2) Η χαρακτηριστική εξίσωση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης κίνησης είναι: Και έχει ρίζες τις:

Φθίνουσα ταλάντωση υλικού σημείου (3) Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Μικρή απόσβεση, κατά την οποία, ισχυρή απόσβεση, κατά την οποία και κρίσιμη απόσβεση, κατά την οποία.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση υλικού σημείου (1) Η διαφορική εξίσωση της κινήσεως είναι: Και η γενική της λύση είναι:

Εξαναγκασμένη ταλάντωση υλικού σημείου (2) Στην γενική περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλαντώσεως υπό την επίδραση αρμονικής δυνάμεως εξαναγκασμού και αντιστάσεως, η παραπάνω εξίσωση γράφεται: Η λύση είναι ίση με το άθροισμα: όπου είναι η λύση της ομογενούς και η μερική λύση.

Διαγράμματα φάσεως (1) Η απαλοιφή του χρόνου μεταξύ των παρακάτω σχέσεων οδηγεί στη σχέση μεταξύ ταχύτητος και απομακρύνσεως.

Διαγράμματα φάσεως (2) Η γραφική παράσταση της σχέσεως αυτής σε άξονες καλείται καμπύλη φάσεως. Το σύνολο των καμπυλών, οι οποίες λαμβάνονται για διάφορες αρχικές συνθήκες καλείται διάγραμμα φάσεως της κινήσεως. Θα εξετάσουμε την μορφή του διαγράμματος φάσεως σε μερικές απλές περιπτώσεις.

Διαγράμματα φάσεως (3) Περίπτωση 1 η : Διάγραμμα φάσεως της απλής αρμονικής ταλαντώσεως (1) Οι εξισώσεις της απομακρύνσεως και της ταχύτητας είναι:

Διαγράμματα φάσεως (4) Περίπτωση 1 η : Διάγραμμα φάσεως της απλής αρμονικής ταλαντώσεως (2) Από τις παραπάνω σχέσεις εξάγεται η: Το διάγραμμα φάσεως επομένως της απλής αρμονικής ταλαντώσεως συνίσταται από ομοεστιακές ελλείψεις.

Διαγράμματα φάσεως (5) Περίπτωση 2 η : Διάγραμμα φάσεως της εξισώσεως για απωστικό πεδίο δυνάμεων: Η εξίσωση της κινήσεως γράφεται: Όπου C αναπαριστά τη μηχανική ενέργεια του υλικού σημείου.

Διαγράμματα φάσεως (6) Περίπτωση 2 η : Διάγραμμα φάσεως της εξισώσεως για απωστικό πεδίο δυνάμεων: Για δοθείσα τιμή της μηχανικής ενέργειας η καμπύλη φάσεως είναι υπερβολή, η οποία αποτελείται από δύο κλάδους.

Διαγράμματα φάσεως (7) Περίπτωση 3 η : Διάγραμμα φάσεως σε μη γραμμικά συστήματα 1 η Υποπερίπτωση: Η καμπύλη δυναμικού στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, οπότε εμφανίζει ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση οι καμπύλες φάσεως είναι κλειστές καμπύλες, όπως και στην περίπτωση της απλής αρμονικής ταλαντώσεως, αλλά δεν είναι ελλείψεις. Αν όμως η κίνηση του υλικού σημείου γίνεται στην περιοχή του σημείου ευσταθούς ισορροπίας, η φασική καμπύλη προσεγγίζεται από έλλειψη.

Διαγράμματα φάσεως (8) Περίπτωση 3 η : Διάγραμμα φάσεως σε μη γραμμικά συστήματα 1 η Υποπερίπτωση: Η καμπύλη δυναμικού στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, οπότε εμφανίζει μέγιστο Στην δεύτερη περίπτωση οι καμπύλες φάσεως είναι ανοικτές καμπύλες, όπως και στην περίπτωση του απωστικού πεδίου δυνάμεων, αλλά δεν είναι υπερβολές. Αν όμως η κίνηση του υλικού σημείου γίνεται στην περιοχή του σημείου ασταθούς ισορροπίας, η φασική καμπύλη προσεγγίζεται από κλάδους υπερβολής.

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από το βιβλίο: ‘ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Γεώργιος Καραχάλιος και Βασίλειος Λουκόπουλος, Πάτρα 2009’, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Βασίλειος Λουκόπουλος. «Κλασσική Μηχανική. Ενότητα 1». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

Τέλος Ενότητας