ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Διάλεξη 2: Άλγεβρα Boole - Λογικές πύλες Δρ Κώστας Χαϊκάλης

Δυαδική λογική Οι δυαδικές μεταβλητές παίρνουν δύο τιμές:  0 ή 1  ναι (yes) ή όχι (no)  αληθές (true) ή ψευδές (false)  ανοικτό (open) ή κλειστό (close) Σε αυτή την διάλεξη θα μελετήσουμε τη δυαδική λογική και την άλγεβρα Boole ώστε:  να μπορέσουμε να την συνδυάσουμε με τα ψηφιακά κυκλώματα (hardware) τα οποία την υλοποιούν (λογικές πύλες) 2 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Δυαδική λογική Δυαδικές μεταβλητές  x, y, z, w, A, B, C, D, …. Παίρνουν τιμές 0 ή 1 Λογικές πράξεις  Λογικό ΚΑΙ (AND) ή σύζευξη: Συμβολίζεται με τελεία · δηλαδή x · y Δίνει αποτέλεσμα 1 μόνο όταν και το x και το y είναι ίσα με 1. Διαφορετικά το αποτέλεσμα του λογικού ΚΑΙ είναι ίσο με 0.  Λογικό Ή (OR) ή διάζευξη: Συμβολίζεται με + δηλαδή x + y Δίνει αποτέλεσμα 1 όταν τουλάχιστον ένα από τα x,y είναι ίσο με 1. Διαφορετικά το αποτέλεσμα του λογικού Ή είναι ίσο με 0.  Λογικό ΟΧΙ (NOT) ή αντιστροφή: Συμβολίζεται με τόνο (x’) ή με πάνω παύλα x Όταν το x είναι ίσο με 1 τότε το x’ είναι ίσο με 0 και αντίστροφα 3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Αριθμητικές και λογικές πράξεις Προσοχή  Αν κάνουμε αριθμητική πρόσθεση, τότε η πράξη δίνει αποτέλεσμα 2 στο δεκαδικο αριθμητικό σύστημα  Αν όμως κάνουμε τη λογική πράξη OR που και πάλι συμβολίζεται με +, τότε η (λογική) πράξη δίνει αποτέλεσμα 1 (στο δυαδικο αριθμητικο σύστημα) Στην δυαδική λογική το λογικό AND ονομάζεται «πολλαπλασιασμός» και το λογικό OR ονομάζεται «πρόσθεση» 4 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πίνακες αληθείας (truth tables) Πίνακας αληθείας: τρόπος αναπαράστασης και ορισμού των λογικών συναρτήσεων Για κάθε συνδυασμό δυαδικών τιμών των μεταβλητών ποια είναι η τιμή (0 ή 1) της λογικής συνάρτησης Πίνακες αληθείας των 3 λογικων πραξεων AND, OR και NOT 5 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Λογικές πύλε Λογικές πύλες Κυκλώματα που κατασκευάζονται από transistors και λειτουργούν ως διακόπτες  Ανοικτός και Κλειστός «Ερμηνεύουν» την ηλεκτρική τάση στις εισόδους τους σαν λογικό 0 ή λογικό 1 ανάλογα με την τιμή της τάσης Στο σχήμα δίπλα τάσεις μεταξύ  3 και 4 volts ερμηνεύονται σαν λογικό 1, και τάσεις μεταξύ 0 και 1 volts σαν λογικό 0 6 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣύμβολαλογικώνπυλώνΣύμβολα λογικών πυλών Οι λογικές πύλες που υλοποιούν στο hardware τις τρεις βασικές λογικές πράξεις (AND, OR, NOT) συμβολίζονται με τα ακόλουθα σύμβολα 7 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣύμβολαλογικώνπυλώνΣύμβολα λογικών πυλών Όταν δεχθούν στις εισόδους ηλεκτρικά σήματα με τάση στα επίπεδα του λογικού 0 και του λογικού 1, δίνουν στην έξοδο την αντίστοιχη λογική τιμή  Υπάρχουν και άλλοι τύποι λογικών πυλών που υλοποιούν άλλες λογικές συναρτήσεις  Γενικά οι λογικές πύλες μπορούν να έχουν k ≥ 2 εισόδους και συνεπώς να υλοποιούν λογικές συναρτήσεις με k ≥ 2 μεταβλητές 8 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠύλεςπολλαπλώνεισόδωνΠύλες πολλαπλών εισόδων Πύλες AND και OR τριών και τεσσάρων εισόδων (μεταβλητών) αντίστοιχα 9 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Σήματαεισόδου/εξόδουΣήματα εισόδου/εξόδου Κυματομορφές εισόδου/εξόδου  Άλλος τρόπος αναπαράστασης/περιγραφής λογικών κυκλωμάτων Μια «επάνω» γραμμή δείχνει λογικό-1 Μια «κάτω» γραμμή δείχνει λογικό-0 10 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Άλγεβρα Boole George Boole ( )  Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος  Tο 1854 ανέπτυξε ένα αλγεβρικό σύστημα δύο τιμών που ονομάζουμε άλγεβρα Boole Claude E. Shannon ( )  Αμερικανός μαθηματικός  Θεμελίωσε τη θεωρία της πληροφορίας (Information theory)  Το 1938 προσάρμοσε την άλγεβρα Boole ώστε να περιγράψει πλήρως τις ιδιότητες και τη λειτουργία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων διακοπτών (switching algebra) Στους ηλεκτρικούς διακόπτες, οι οποίοι κατασκευάζονται από τρανζίστορ, βασίζεται η λειτουργία των υπολογιστών 11 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Άλγεβρα Boole Αλγεβρικό σύστημα δυο τιμών: 0, 1 Δυαδικοί τελεστές OR + και AND Μοναδιαίος τελεστής συμπληρώματος NOT ‘ Ορισμός τελεστέων 12 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆλγεβραBoole:αξιώματαΆλγεβρα Boole: αξιώματα Βασίζεται σε έναν αριθμό αξιωμάτων (αξιώματα Huntington):  Κλειστότητα (closure): Κλειστότητα ως προς τον τελεστή + Κλειστότητα ως προς τον τελεστή  Κανόνας ουδέτερου στοιχείου (identity law): Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς τον + που συμβολίζεται με 0: x+0= 0+x= x Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς τον που συμβολίζεται με 1: x1=1x=x  Αντιμεταθετικός κανόνας (commutative law): Η πράξη + είναι αντιμεταθετική x+y=y+x Η πράξη είναι αντιμεταθετική xy=yx 13 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆλγεβραBoole:αξιώματαΆλγεβρα Boole: αξιώματα Προσεταιριστικός κανόνας (associative law):  Η πράξη + είναι προσεταιριστική: (x+y)+z = x+(y+z)  Η πράξη είναι προσεταιριστική: (xy)z = x(yz) Επιμεριστικός κανόνας (distributive law):  Η πράξη είναι επιμεριστική ως προς την + : x(y+z) = xy + xz  Η πράξη + είναι επιμεριστική ως προς την : x+(yz) = (x+y) (x+z) Κανόνας συμπληρώματος (complement law):  Για κάθε στοιχείο x, υπάρχει x’ που ονομάζεται συμπλήρωμα και ισχύει x+ x’ = 1 και x x’ =0 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14

ΆλγεβραBoole:θεωρήματαΆλγεβρα Boole: θεωρήματα Αρχή του δυϊσμού (duality principle)  Αν σε μία αλγεβρική παράσταση της άλγεβρας Boole, αλλάξουμε όλα τα 0 με 1 και αντίστροφα και όλες τις πράξεις + τις αντικαταστήσουμε με και αντίστροφα, τότε λαμβάνουμε μια ισοδύναμη παράσταση Θεώρημα 1:  x+x=xκαιxx=x Θεώρημα 2 :  x+1= 1καιx 0 = 0 Θεώρημα 3 :  (x’)’ = x Θεώρημα 4:  x + xy = x και x(x + y) = x ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 15

ΘεώρημαDeMorganΘεώρημα DeMorgan ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 16

Κανονικές μορφές λογικής συνάρτησης Είναι χρήσιμο οι λογικές συναρτήσεις να είναι σε μια μορφή η οποία θα επιτρέπει τα εξής:  Σύγκριση για γρήγορο προσδιορισμό πολυπλοκότητας υλοποίησης  Γρήγορη παραπομπή στον πίνακα αλήθειας της λογικής συνάρτησης Κανονικές μορφές λογικής συνάρτησης:  Άθροισμα ελαχιστορων  Γινόμενο μεγιστορων ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 17

Ελαχιστοροι (Minterms) Οι ελαχιστοροι λογικής συνάρτησης είναι AND όροι (λογικά γινόμενα) όπου κάθε μεταβλητή παίρνει κανονική ή συμπληρωματική μορφή Υπάρχουν 2 n ελαχιστοροι για n μεταβλητές Παράδειγμα: 2 μεταβλητές (X και Y), 4 συνδυασμοί (λογικά γινόμενα): (Χ, Υ κανονικό) (Χ κανονικό, Υ συμπληρωματικό) (Χ συμπληρωματικό, Υ κανονικό) (και τα 2 συμπληρωματικά) YX XY YX YX ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 18

Μεγιστοροι (Maxterms) Οι μεγιστοροι λογικής συνάρτησης είναι OR όροι (λογικά αθροίσματα δηλαδή) όπου κάθε μεταβλητή παίρνει κανονική ή συμπληρωματική μορφή Υπάρχουν 2 n μεγιστοροι για n μεταβλητές Παράδειγμα: 2 μεταβλητές (X και Y) παράγουν 2 x 2 = 4 συνδυασμούς: (Χ, Υ κανονικό) (Χ κανονικό, Υ συμπληρωματικό) (Χ συμπληρωματικό, Υ κανονικό) (και τα 2 συμπληρωματικά) YX  YX  YX  YX  ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 19

Παράδειγμα: Ελαχιστοροι-Μεγιστοροι λογικης συνάρτησης 2 μεταβλητών IndexMintermMaxterm 0x yx + y 1x yx + y 2x yx + y 3x yx + y ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 20

Ελαχιστόροι λογικής συνάρτησης 3 μεταβλητών 21 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠροτεραιότητατελεστώνΠροτεραιότητα τελεστών Για τον υπολογισμό της τιμής μιας αλγεβρικής παράστασης Boole ακολουθούμε την εξής σειρά προτεραιότητας:  Παρενθέσεις  Συμπλήρωμα (πράξη NOT)  Πράξη AND  Πράξη OR x+yz’ Παράδειγμα: x+yz’  Σειρά των πράξεων: Συμπλήρωμα του z (δηλαδή z’) Λογικό ΚΑΙ του y και του z’ (δηλαδή yz’) Λογικό Ή του x και του yz’ (δηλαδή x+yz’)  Ποια είναι η τιμή της παράστασης αν x=0, y=1 και z=0; z=0 → z’ = 1 y=1 και z’=1 → yz’ = 1 x=0 και yz’=1 → x+yz’=1 22 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΛογικέςσυναρτήσειςΛογικές συναρτήσεις Περιγράφονται από αλγεβρικές εκφράσεις που περιέχουν:  Δυαδικές μεταβλητές  Λογικές πράξεις AND, OR, NOT Υπολογισμός της τιμής μιας λογικής συνάρτησης:  Παράδειγμα F1 = x + y’z  Η F1 είναι ίση με 1 εάν το x είναι ίσο με 1 ή εάν το y’ είναι ίσο με 1 και το z είναι ίσο με 1 Από την αλγεβρική έκφραση προκύπτει μια υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 23 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠίνακαςαλήθειαςΠίνακας αλήθειας Ο πίνακας αληθείας μπορεί να εξαχθεί από την αλγεβρική έκφραση μιας συνάρτησης  Και αντίστροφα, από τον πίνακα αληθείας μπορεί να εξαχθεί η αλγεβρική παράσταση Πίνακες αληθείας για τις συναρτήσεις F1 και F2 24 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΗσυνάρτησηF2Η συνάρτηση F2 25 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑλγεβρικήαπλοποίησητηςF2Αλγεβρική απλοποίηση της F2 26 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Απλοποίηση λογικών συναρτήσεωνΑπλοποίηση λογικών συναρτήσεων αλγεβρικούςμετασχηματισμούς Χρησιμοποιώντας αλγεβρικούς μετασχηματισμούς (δηλαδή τα αξιώματα και τα θεωρήματα της άλγεβρας Boole) μπορούμε να απλοποιήσουμε μια συνάρτηση  Όμως όταν οι αλγεβρικές συναρτήσεις περιέχουν πολλές μεταβλητές μπορεί να οδηγηθούμε σε λάθη συστηματικούςτρόπους ελαχιστοποίησης  Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε συστηματικούς τρόπους ελαχιστοποίησης λογικών συναρτήσεων ΧάρτηKarnaugh  Ένας συστηματικός τρόπος είναι η μέθοδος Χάρτη Karnaugh (θα τη μελετήσουμε σε επόμενα μαθήματα) 27 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Συμπλήρωμα λογικής συνάρτησης Κάθε μια λογική συνάρτηση F έχει μια συμπληρωματική συνάρτηση F’ η οποία δίνει τιμή 0 εκεί που η F δίνει 1 και αντίστροφα Αλγεβρικά το συμπλήρωμα παράγεται από την F με χρήση του θεωρήματος του DeMorgan Γενίκευση θεωρήματος DeMorgan  (Α + Β + C + D + … + F)’ = A’ B’ C’ D’ … F’  (A B C D … F)’ = A’ + B’ + C’ + D’ + … + F’ Παράδειγμα: Βρείτε το συμπλήρωμα της F1 = x’yz’+x’y’z  F1’ = (x’yz’+x’y’z)’ = (x’yz’)’(x’y’z)’ = (x+y’+z)(x+y+z’) 28 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Κανονικέςμορφές λογικής συνάρτησης 3 μεταβλητών Κανονικές μορφές λογικής συνάρτησης 3 μεταβλητών 29 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆθροισμαελαχιστόρωνΆθροισμα ελαχιστόρων 30 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Υλοποίηση λογικής συνάρτησης σαν άθροισμα γινομένων 31 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥλοποίησημεδιαφορετικάεπίπεδαΥλοποίηση με διαφορετικά επίπεδα 32 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΆλλεςλογικέςπράξειςΆλλες λογικές πράξεις 33 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ψηφιακέςλογικέςπύλες(1)Ψηφιακές λογικές πύλες (1) 34 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ψηφιακέςλογικέςπύλες(2)Ψηφιακές λογικές πύλες (2) 35 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠύλεςNORκαιNANDΠύλες NOR και NAND 36 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Πυλη ExclusiveOR–XORΠυλη Exclusive OR – XOR 37 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘετικήκαιαρνητικήλογικήΘετική και αρνητική λογική 38 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εξήγησηθετικήςκαιαρνητικής λογικής Εξήγηση θετικής και αρνητικής λογικής 39 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει την λογική H και L αντί για την δυαδική λογική Σε αυτή την περίπτωση δεν θα ήταν δυνατή η ανάπτυξη τεχνολογιών όπως πχ το ιντερνετ

Επίπεδα ολοκλήρωσης 40 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τα επίπεδα ολοκλήρωσης τους στις εξής κατηγορίες (αριθμός λογικών πυλών σε ένα chip):  SSI: Small Scale Integration  MSI: Medium Scale Integration  LSI: Large Scale Integration  VLSI: Very Large Scale Integration

Οικογένειες λογικών πυλών 41 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ TTL (Transistor-Transistor Logic) ECL (Emitter-Coupled Logic) MOS (Metal-Oxide-Semiconductor) CMOS (Complementary-MOS)