Κεφάλαιο 5 Συμπεριφορά των ΣΑΕ Πλεονεκτήματα της διαδικασίας σχεδίασης ΣΑΕ κλειστού βρόχου Συμπεριφορά των ΣΑΕ στο πεδίο του χρόνου Απόκριση ΣΑΕ σε διάφορα είδη σημάτων εισόδου Προδιαγραφές της ζητούμενης συμπεριφοράς με παραμέτρους (φυσική συχνότητα, συντελεστή απόσβεσης) για ένα σύστημα δεύτερης τάξης. Επίδραση τρίτου πόλου και μηδενικού Έννοια δείκτη συμπεριφοράς ενός ΣΑΕ

Εισαγωγή-Προδιαγραφές Σχεδίασης Τα περισσότερα συστήματα είναι από τη φύση τους δυναμικά και επομένως η αντίστοιχη συμπεριφορά τους καθορίζεται συνήθως συναρτήσει τόσο της μεταβατικής τους απόκρισης, όσο και της απόκρισής τους στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας. Η μεταβατική απόκριση (transient response) ενός συστήματος εξασθενεί με την πάροδο κάποιου χρονικού διαστήματος. Η απόκριση στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας (steady state response) είναι το τμήμα εκείνο της συνολικής απόκρισης του συστήματος το οποίο παραμένει για μακρύ χρονικό διάστημα παρακολουθώντας οποιαδήποτε μεταβολή του σήματος εισόδου.

Πλεονεκτήματα της διαδικασίας σχεδίασης ΣΑΕ κλειστού βρόχου Σχήμα: Παρουσιάζεται η διαδικασία κατά την οποία λαμβάνονται υπόψη όλοι οι φυσικοί περιορισμοί και οι απαραίτητοι συμβιβασμοί που πρέπει να γίνονται μαζί με τις απαιτούμενες τροποποιήσεις που αφορούν το υπό μελέτη σύστημα. Δύο διαφορετικά μέτρα προδιαγραφών συναρτήσει μιας παραμέτρου p Σχήμα 5.1 σελίδα 363

Συμπεριφορά των ΣΑΕ στο πεδίο του χρόνου Η χρονική απόκριση του συστήματος είναι κατά κύριο λόγο εκείνο το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει περισσότερο. Η απόκριση ενός συστήματος σε ένα συγκεκριμένο σήμα εισόδου μας παρέχει πολλές πληροφορίες σχετικά με τη γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος αυτού. Επιλέγουμε τυποποιημένα Σήματα Δοκιμής (test signals). α) Βηματική β) Ράμπα ή συνάρτηση κλίσης γ) Παραβολική Σχήμα 5.2 σελίδα 364

Εκτός από τις παραπάνω πολύ σημαντική συνάρτηση ως σήμα δοκιμής είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση ή μοναδιαία ώση (unit impulse) δ(t). Πίνακας 5.1 σελίδα 365

Κρουστική συνάρτηση-κρουστική απόκριση Ολοκλήρωμα συνέλιξης – convolution integral Για σήμα εισόδου την μοναδιαία κρουστική συνάρτηση Η οποία ονομάζεται κρουστική απόκριση του συστήματος

Συμπεριφορά των ΣΑΕ στο πεδίο του χρόνου Τα τυποποιημένα σήματα δοκιμής έχουν την ακόλουθη γενική μορφή, Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Laplace είναι: Έστω ένα σύστημα με βηματική συνάρτηση εισόδου και Ο μεταβατικός όρος της χρονικής απόκρισης του συτήματος προκύπτει:

Συμπεριφορά ενός συστήματος Δεύτερης Τάξης Έξοδος του Συστήματος Μετασχηματισμός Laplace Σχήμα 5.4 σελίδα 367

Μεταβατική απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης

Μεταβατική απόκριση συστήματος δεύτερης τάξης συναρτήσει του ζ και του Σχήμα 5.5 σελίδα 368

Κρουστική απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης

Τυπικά μεγέθη με βάση τη βηματική απόκριση Χρόνος ανόδου (rise time) Ποσοστό υπερύψωσης (percent overhoot) Χρόνος μεγίστου (peak time) Χρόνος αποκατάστασης (settling time) fυ είναι η τιμή της εξόδου στην μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Σχήμα 5.7 σελίδα 370

Προσεγγιστικά ο χρόνος αποκατάστασης για μια περιοχή τιμών που διαφέρουν το πολύ 2% δίνεται από τον τύπο Δηλαδή ίσο με 4 σταθερές χρόνου Η χρονική απόκριση μπορεί να περιγράφει συναρτήσει δύο παραγόντων την ταχύτητα της απόκρισης, όπως αυτή ορίζεται από το χρόνο ανόδου και τον χρόνο μεγίστου το μέγεθος της ταύτισης της πραγματικής με την επιθυμητή απόκριση του συστήματος όπως αυτή εκφράζεται από το ποσοστό υπερύψωσης και το χρόνο αποκατάστασης Οι παραπάνω παράγοντες είναι από τη φύση τους αλληλοσυγκρουόμενοι και για αυτό θα πρέπει να γίνονται κάποιοι σχετικοί συμβιβασμοί

Για ένα σύστημα δευτέρας τάξης Χρόνος απόκρισης Τιμή κορυφής της απόκρισης Ποσοστό υπερύψωσης Ποσοστό υπερύψωσης κανονικοποιημένος («ανοιγμένος») χρόνος μεγίστου συναρτήσει του συντελεστή απόσβεσης ζ Σχήμα 5.8 σελίδα 372

Η ταχύτητα της βηματικής απόκρισης μπορεί να μετρηθεί ως το χρονικό διάστημα που απαιτείται μέχρι η έξοδος του συστήματος (απόκριση) να ανεβεί από 10% στο 90% του πλάτους της βηματικής εισόδου Η καμπύλη μεταβολής του κανονικοποιημένη χρόνου ανόδου συναρτήσει του συντελεστή απόσβεσης δίνεται στο παρακάτω σχήμα Η παρακάτω γραμμική προσέγγιση δίνει αρκετή ακρίβεια για Σχήμα 5.9 σελίδα 373

Συνεπώς για δεδομένο ζ η απόκριση είναι ταχύτερη για μεγαλύτερες τιμές της φυσικής συχνότητας Σχήμα 5.10 σελίδα 373

...και δεδομένη φυσική συχνότητα η απόκριση είναι ταχύτερη για μικρότερες τιμές του συντελεστή απόσβεσης ζ Σχήμα 5.11 σελίδα 374

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Συστήματα ανωτέρας τάξεως που διαθέτουν 2 κυρίαρχους πόλους μπορούν να προσεγγιστούν από ένα σύστημα δευτέρας τάξης Για παράδειγμα ένα σύστημα τρίτης τάξης με συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου το οποίο είναι κανονικοποιημένο με και του οποίο το διάγραμμα ριζών στο μιγαδικό επίπεδο είναι Σχήμα 5.12 σελίδα 375

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Εξακριβώθηκε πειραματικά ότι η συμπεριφορά του συστήματος όπως προδιαγράφεται από το ποσοστό υπερύψωσης και από το χρόνο αποκατάστασης, αντιπροσωπεύεται με ικανοποιητική ακρίβεια από τις αντίστοιχες καμπύλες του συστήματος δεύτερης τάξης όταν ισχύει Δηλαδή η απόκριση ενός συστήματος τρίτης τάξης προσεγγίζεται με τους κυρίαρχους πόλους του συστήματος δεύτερης τάξης, όσο το πραγματικό μέρος των κυρίαρχων πόλων είναι μικρότερο από το 1/10 του πραγματικού μέρους του τρίτου πόλου

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Παράδειγμα Αν οι συζυγείς μιγαδικοί πόλοι ήταν οι κυρίαρχοι πόλοι του συστήματος (dominant poles) θα περιμέναμε ένα ποσοστό υπερύψωσης 20% και ένα χρόνο αποκατάστασης ίσο με δευτερόλεπτα. Με τη βοήθεια εξομοιώσεων και για το προηγούμενο σύστημα με ζ=0.45 και για διάφορες τιμές του γ παίρνουμε τα παρακάτω Πίνακας 5.4 σελίδα 376

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος περιλαμβάνει και κάποια πεπερασμένα μηδενικά, τότε η ύπαρξη αυτών των μηδενικών θα επηρεάσει σημαντικά την απόκριση του συστήματος Για ένα σύστημα με ένα μηδενικό και δύο πόλους με συνάρτηση μεταφοράς φαίνεται η βηματική απόκριση του συστήματος για επιλεγμένες τιμές το όρου Σχήμα 5.13 σελίδα 377

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Παράδειγμα Για το κλειστό σύστημα που φαίνεται παρακάτω απαιτείται η βηματική του απόκριση να είναι όσο το δυνατόν ταχύτερη το ποσοστό υπερύψωσης κάτω από 5% ο χρόνος αποκατάστασης μικρότερος από 5sec Σχήμα 5.14 σελίδα 378

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Ο συντελεστής απόσβεσης για υπερύψωση 4.3% πρέπει να είναι ζ= Αυτός ο συντελεστής αντιστοιχεί σε μια γραμμή στο μιγαδικό επίπεδο Ο χρόνος αποκατάστασης θα πρέπει να είναι μικρότερος από 4 δευτερόλεπτα Δηλαδή το πραγματικό μέρος των συζυγών μιγαδικών πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του κλειστού, πρέπει να είναι μεγαλύτερο της μονάδας. Οι δυο παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται εντός του γραμμοσκιασμένου τμήματος Σχήμα 5.15 σελίδα 378

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Αν οι πόλοι του κλειστού συστήματος επιλεγούν να είναι τότε προκύπτει και το ποσοστό υπερύψωσης είναι 4.3%. Επομένως είναι και η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι Συνεπώς θέλουμε

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Παράδειγμα Έστω σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς Έστω ότι και πιο συγκεκριμένα Με Οι πόλοι και τα μηδενικά φαίνονται στο διπλανό σχήμα

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Σε μια πρώτη προσέγγιση μπορούμε να εξαλείψουμε τον πραγματικό πόλο. οπότε Τώρα πλέον έχουμε για τους δύο κυρίαρχους πόλους και ένα μηδενικό για το οποίο

Επίδραση ενός τρίτου πόλου και μηδενικού στην απόκριση ενός συστήματος δευτέρας τάξης Εξομοιώνονατας τα δύο συστήματα διαπιστώνουμε ότι η παρουσία του τρίτου πόλου εξασθενεί την υπερύψωση και αυξάνει τον χρόνο αποκατάστασης (συνεπώς ο τρίτος πόλος δεν μπορεί να αγνοηθεί)

Εκτίμηση του συντελεστή απόσβεσης με βάση τη βηματική απόκριση Για ένα σύστημα δεύτερης τάξης η βηματική απόκριση δίνεται από τη σχέση Συνεπώς η συχνότητα του αποσβεννύμενου ημιτονοειδούς όρου είναι και ο αριθμός των περιόδων σε ένα δευτερόλεπτο είναι ω/2π. Η σταθερά χρόνου που προκύπτει από τον εκθετικό όρο είναι (σε δευτερόλεπτα) Συνεπώς ο αριθμός των περιόδων του αποσβεννυμένου ημιτονοειδούς όρου στο διάστημα μιας σταθεράς χρόνου είναι

Εκτίμηση του συντελεστή απόσβεσης με βάση τη βηματική απόκριση Υποθέτοντας ότι ο μεταβατικός όρος εξασθενεί ύστερα από n σταθερές χρόνου τότε Για σύστημα δεύτερης τάξης μετά από n=4 σταθερές χρόνου η απόκριση διαφέρει από την τελική κατά 2%. Οπότε Παράδειγμα Για ζ=0.4 και μέχρι να φτάσουμε στο 98% της τελικής τιμής έχουμε 1.4 περιόδους. Οπότε πλήθος περιόδων για

Εκτίμηση του συντελεστή απόσβεσης με βάση τη βηματική απόκριση Την προηγούμενη προσεγγιστική μέθοδο μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε και για συστήματα με κυρίαρχους συζυγείς μιγαδικού πόλους Εναλλακτικά χρησιμοποιώντας την υπερύψωση της βηματικής απόκρισης και τις καμπύλες Σχήμα 5.8 σελίδα 372

Παράδειγμα Για ζ=0.4 η υπερύψωση είναι γύρω στο 25% και από τον προηγούμενο πίνακα βρίσκουμε ότι αυτό αντιστοιχεί όπως ήταν αναμενόμενο σε συντελεστή απόσβεση ζ=0.4 Εκτίμηση του συντελεστή απόσβεσης με βάση τη βηματική απόκριση