1 Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου

2 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2 : Σύνολα & Σχέσεις (2/2) Αλέξανδρος Τζάλλας Καθηγητής Εφαρμογών Άρτα, 2015 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου

3 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 3

4 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Χρηματοδότηση Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Ηπείρου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

5 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Κλειστές Πράξεις Συνόλων Οι πράξεις της ένωσης και της τομής στο δυναμοσύνολο P(S) είναι κλειστές: Α  P(S), Β  P(S)  Α  Β  P(S) Α  P(S), Β  P(S)  Α  Β  P(S) 5

6 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παράδειγμα S={a, b, c} P(S) = { ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, c}, {a, b, c} = S} 6

7 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Πράξεις Συνόλων-Συμπλήρωμα 7

8 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συμπλήρωμα 8 S’

9 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Νόμοι του De Morgan (De Morgan’s laws) 9 Πρώτος νόμος De Morgan: Δεύτερος νόμος De Morgan:

1010 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Κάποιες Επιπλέον Ιδιότητες 10

1 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Διατεταγμένο Ζεύγος (ordered pair) Ζεύγος στοιχείων που είναι τοποθετημένα με συγκεκριμένη σειρά: (a, b) (a, b) = (a’, b’)  a = a’, b = b’ 11

1212 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Καρτεσιανό Γινόμενο (Cartesian product) Ακολουθία – Κατάλογος αντικειμένων με καθορισμένη σειρά – Παράδειγμα: (3, 6,9 ) – Προσοχή: (3, 6, 9) ≠ (3, 9, 6), (3, 6,6, 9) ≠ (3, 6, 9) Ακολουθία με k αντικείμενα λέγεται k-άδα – Ακολουθία με 2 αντικείμενα λέγεται δυάδα ή ζεύγος 12

1313 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Καρτεσιανό Γινόμενο (Cartesian product) Το σύνολο το οποίο αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a ∈ A και b ∈ B A x B= {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Αν το σύνολο A έχει n στοιχεία και το σύνολο B έχει m στοιχεία, τότε τα σύνολα A × B και B × A έχουν n▪m στοιχεία 13

1414 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Καρτεσιανό Γινόμενο (Cartesian product) Συντομογραφία Όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών γράφονται 14

1515 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παράδειγμα B = {a, b, c} Γ = {1, 2, 3} Β x Γ= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2),(c, 3)}} Α={1,2} Β={x, y, z} A × B={(1, x),(1, y),(1, z),(2, x),(2, y),(2, z)} 15

1616 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Καρτεσιανό Γινόμενο Πολλών Συνόλων 16

1717 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παράδειγμα Αν B = { 0, 1 } τότε n-άδες της μορφής (0, 1, 1, 0, 0,..., 1) 17

1818 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Σύνολα A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} |A| = 5 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} A ∩ B = {1, 3, 5} A × B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), …, (5, 5), (5, 7), (5, 9)} A – B = {2, 4} 2 A = { ∅, {1}, {2},…, {1, 2}, {1, 3},…, {1, 2, 3, 4, 5}} (δυναμοσύνολο) 18

1919 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Σχέση (Relation) Σχέση (relation) R από το σύνολο S στο σύνολο T:  Ένα υποσύνολο του S × T  R ⊆ S x T, (s, t) ∈ R το στοιχείο s σχετίζεται με το στοιχείο t sRt Αν S=T, οπότε R ⊆ S 2 : Σχέση στο σύνολο S 19

2020 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παράδειγμα S = {s 1, s 2, s 3, s 4 } T= {t 1, t 2, t 3, t 4, t 5 } R = {(s 1,, t 2 ), (s 2, t 1 ), (s 2,, t 2 ), (s 2, t 5 ), (s 4,, t 1 ), (s 4, t 4 ), (s 4, t 5 )} ⊆ S x T Πίνακας της σχέσης 20 R t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 s1s S s2s s3s s4s T

2121 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Η σχέση Κερδίζει (τυχαίνει να είναι και συνάρτηση) αναπαρίσταται από το σύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)} Εκεί που γίνεται αληθές δηλαδή 21 ΚερδίζειΠΕΤΡΑΨΑΛΙΔΙΧΑΡΤΙ ΠΕΤΡΑΨΑΨ ΨΑΛΙΔΙΨΨΑ ΧΑΡΤΙΑΨΨ

2 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Ανακλαστικότητα R σχέση στο σύνολο S Ανακλαστική (reflexive) σχέση: Για κάθε x ∈ S, ισχύει (x, x) ∈ R Ισοδύναμα: xRx

2323 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συμμετρικότητα R σχέση στο σύνολο S Σχέση συμμετρική (symmetric): Η παρουσία του (x, y) στo R συνεπάγεται και την παρουσία του (y, x) στo R, για κάθε x, y ∈ R (x, y)  R  ( y, x)  R ή xRy  yRx

2424 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Μεταβατικότητα R σχέση στο σύνολο S Σχέση μεταβατική (transitive): H ταυτόχρονη παρουσία τω (x, y) και (y, z) στοR συνεπάγεται την παρουσία του στο R για κάθε x, y, z  R (x, y)  R και ( y, z)  R  (x, z)  R xRy και yRz  xRz

2525 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παραδείγματα Ανακλαστική-Συμμετρική-Μεταβατική R 1   a, b  | a  b  R2 a, b| a  bR2 a, b| a  b R 3   a, b  | a  b ή a   b  R4 a, b| a  bR4 a, b| a  b R5 a, b| a  b 1R5 a, b| a  b 1 R6 a, b| a  b  3 ΣR6 a, b| a  b  3 Σ ΑΜΑΜ ΑΣ ΜΑΣ Μ Α ΣΜΑ ΣΜ Μ

2626 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συναρτήσεις (1/5) Συνάρτηση – Ένα αντικείμενο που ορίζει έναν συσχετισμό μεταξύ ενός συνόλου «εισόδων» και ενός συνόλου «εξόδων» Δέχεται μια είσοδο και παράγει μια έξοδο: f(a) = b Γράφουμε f : D → R για να δείξουμε ότι η συνάρτηση f έχει – ως σύνολο δυνατών εισόδων το D (πεδίο ορισμού) και – ως σύνολο δυνατών εξόδων το R (πεδίο τιμών)

2727 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συναρτήσεις (2/5) Συμβολισμός t εικόνα (image) του στοιχείου s κάτω από τη συνάρτηση f S πεδίο ορισμού (domain) T πεδίο τιμών (range) f: S  T,f: S  T, f (s)  t

2828 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συναρτήσεις (3/5) Συμβολισμός sΤSsΤS f t

2929 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συναρτήσεις (4/5) Παραδείγματα: – Απόλυτο, | | : Z→ Z |-2 | = 2, | 64 | = 64 – Πρόσθεση, + : Z × Z → Z +(2, 48) = 50

3030 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Συναρτήσεις (5/5) Αν μια συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A 1 ×... × A k... × A k, τότε κάθε είσοδος της συνάρτησης είναι μια k-άδα (a 1,…,α k ), όπου για κάθε i, a i  Ai είναι οι παράμετροι της συνάρτησης. Μία συνάρτηση ονομάζεται διπαραμετρική, αν οι είσοδοι της είναι ζεύγη Αναπαράσταση διπαραμετρικών συναρτήσεων: – Ενθηματική, π.χ. α + β – Προθηματική, π.χ. +(α,β)

3131 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Παράδειγμα S  {s1, s2, s3, s4}S  {s1, s2, s3, s4} T {t1, t2, t3, t4, t5}T {t1, t2, t3, t4, t5} f  {(s 1, t 5 ), (s 2, t 3 ), (s 3, t 2 ), (s 4, t 3 )}  S  T ST t1t2t 3t4t5t1t2t 3t4t5 s1s2s3s4s1s2s3s4

3232 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Κατηγόρημα ή Ιδιότητα Συνάρτηση με πεδίο τιμών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥΔΕΣ} Αν το πεδίο ορισμού είναι ένα σύνολο k-άδων τότε λέγεται k-μελής σχέση. Τα κατηγορήματα P:D→{Α,Ψ} μπορούμε να τα αναπαριστούμε και με σύνολα αντί για συναρτήσεις

3 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Κατηγόρημα ή Ιδιότητα Συνάρτηση με πεδίο τιμών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥΔΕΣ} Αν το πεδίο ορισμού είναι ένα σύνολο k-άδων τότε λέγεται k-μελής σχέση. Τα κατηγορήματα P:D→{Α,Ψ} μπορούμε να τα αναπαριστούμε και με σύνολα αντί για συναρτήσεις

3434 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Βιβλιογραφία H.R. Lewis, Χ. Παπαδημητρίου, "Στοιχεία θεωρίας υπολογισμού", 1η έκδοση/2005, Εκδόσεις Κριτική, ISBN: Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: M. Sipser, "Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού", 1η έκδοση/2009, Εκδόσεις ΙΤΕ-Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, ISBN: Κωδικός Βιβλίου στον Εύδοξο: 257 Επιπλέον συνιστώμενη βιβλιογραφία E. Rich, "Automata, Computability and Complexity: Theory and Applications", 1st edition/2007, Prentice Hall, ISBN: J. E. Hopcroft, R. Motwani, J. D. Ullman, "Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation", 3rd edition/2006, Prentice Hall, ISBN: J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman, Intoduction to Automata Theory, Languages and Computation, 2nd ed., Pearson - Addison Wesley, 2003 M. Sipser, Εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007

3535 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΦΩΝΗΣ, Ενότητα 0, ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου 35 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Ίδρυμα Ηπείρου. Αλέξανδρος Τζάλλας. Θεωρία Υπολογισμού. Έκδοση: 1.0 Άρτα, Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

3636 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 Διεθνές [1] ή μεταγενέστερη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, Διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

3737 Θεωρία Υπολογισμού – Σύνολα & Σχέσεις (2/2), Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ - Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Ευάγγελος Καρβούνης Άρτα, 2015

3838 Τέλος Ενότητας Σύνολα & Σχέσεις (2/2)