Αστροφυσική II Ενότητα 7: Λευκοί Νάνοι: πίεση εκφυλισμένου αερίου Χριστοπούλου Παναγιώτα Ελευθερία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμ. Φυσικής

Σκοποί ενότητας Στόχος της παρούσας ενότητας είναι να γίνει μία πιο λεπτομερής περιγραφή της φυσικής της εκφυλισμένης ύλης για την καλύτερη κατανόηση του Λευκού Νάνου.

Εκφυλισμός Απαγορευτική αρχή του Pauli Δύο σωματίδια δεν μπορεί να έχουν τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς:

Η κυματοσυνάρτηση για το σύστημα 2 ηλεκτρονίων είναι: Ψ=Ψ 1 (α)Ψ 2 (β) αλλά δεν μπορεί να ισχύει γιατί είναι ταυτόσημα. Άρα θα πρέπει να είναι γραμμικός συνδυασμός: Ψ=Ψ 1 (α)Ψ 2 (β)±Ψ 1 (β)Ψ 2 (α) Σύμφωνα με την αρχή του Pauli τα φερμιόνια θα πρέπει να έχουν αντισυμμετρικές κυματοσυναρτήσεις ενώ τα μποζόνια συμμετρικές.

Παράδειγμα Σε ένα parking, μόνο ένα αυτοκίνητο μπορεί να σταθμεύσει ανά θέση. Όταν υπάρχουν πολλές άδειες θέσεις, υπάρχει μικρή κινητικότητα. Όταν είναι όμως γεμάτο υπάρχει συνεχής κινητικότητα καθώς τα αυτοκίνητα κινούνται από τη μία γραμμή στην άλλη καθώς οι οδηγοί αναζητούν θέση. Η πίεση αυξάνεται όταν εκκενώνεται μία θέση για να καταληφθεί αμέσως.

Η υπερβολικά πυκνή ύλη είναι σαν ένα υπερπλήρες parking. Όλες οι θέσεις χαμηλής ενέργειας είναι κατειλημμένες έτσι ώστε τα ηλεκτρόνια να αναγκάζονται να είναι σε υψηλότερες ενεργειακές στάθμες όχι γιατί είναι θερμά αλλά γιατί δεν έχουν πού αλλού να πάνε. Έτσι ασκούν μία «εκφυλισμένη» πίεση με την έννοια ότι οι χαμηλές στάθμες είναι κατειλημμένες. Αυτή η πίεση συγκρατεί τους λευκούς νάνους από το να καταρρεύσουν κάτω από την ιδιοβαρύτητά τους.

Εκφυλισμένο αέριο Όλοι οι ενεργειακοί φλοιοί μικρής ενέργειας είναι κατειλημμένοι από δύο σωματίδια (αντίθετου spin). Τα σωματίδια δεν έχουν χώρο να κινηθούν, είναι σαν παγωμένα, σαν ατσάλι. Η πίεση εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα, όχι από την Τ γι’ αυτό αυξάνοντας τη μάζα του πυρήνα αυξάνει η συμπίεση του πυρήνα. Ένας μεγαλύτερης μάζας αστρικός πυρήνας αυξάνει τη συμπίεση κι άρα τα εκφυλισμένα e αναγκάζονται να έρθουν πολύ κοντά (πόσο όμως). Όσο πιο μεγάλη είναι η μάζα του αστρικού πτώματος τόσο, μικρότερη ακτίνα έχει σε σχέση με ένα αστρικό πτώμα μικρότερης μάζα. Σε ένα εκφυλισμένο αέριο δεν αυξάνει η P με την Τ (κβαντική συμπεριφορά). Σαν να θερμαίνουμε ένα μπαλόνι και να μην διαστέλλεται!

Θερμοπυρηνικές αντιδράσεις σε εκφυλισμένο αέριο Σε ένα ιδανικό αέριο η έναρξη πυρηνικών αντιδράσεων ανεβάζει την Τ και άρα την P κι οδηγούν σε διαστολή οπότε μειώνεται η πυκνότητα και ο ρυθμός τους. Άρα υπό κανονικές συνθήκες οι εκρήξεις αυτοπεριορίζονται. Σε ένα εκφυλισμένο αέριο επειδή δεν αυξάνει η P με την Τ, δεν διαχωρίζεται το θερμαινόμενο καύσιμο από την έκρηξη, οπότε αυξάνεται ο ρυθμός τους και καταλήγουν σε μεγάλες εκρήξεις. (thermonuclear runaway, nova, Χ-ray εκλάμψεις, φλας ηλίου στους ερυθρούς γίγαντες).

Κβαντομηχανική: Απαγορευτική Αρχή του Pauli : δύο φερμιόνια δε μπορεί να βρίσκονται στην ίδια κβαντική κατάσταση (ενέργεια). Αρχή αβεβαιότητας Heisenberg : Άρα η ορμή των ελευθέρων ηλεκτρονίων ΔΕΝ μπορεί να μηδενιστεί, δηλαδή ακόμα κι αν έχουν T=0 έχουν μη μηδενική ταχύτητα. Εξαιτίας της ταχύτητας αυτής έχουν μη μηδενική κινητική πίεση πίεση εκφυλισμένων ηλεκτρονίων

Εάν “συγκρούονται” μέσα σε ένα κουτί, η κινητική τους πίεση στα τοιχώματα θα είναι - η μέση τετραγωνική ταχύτητα των εκφυλισμένων ηλεκτρονίων : Όπου p x η κλασική (μη σχετικιστική) ορμή των εκφυλισμένων ηλεκτρονίων (στη διεύθυνση x).

Ποιά είναι η μικρότερη ορμή μέση ορμή κατά τη διεύθυνση x που μπορεί να έχει ένα ηλεκτρόνιο; και σε τί απόσταση θα βρίσκεται από ένα άλλο; Εάν η αριθμητική πυκνότητα ανά μονάδα όγκου των ηλεκτρονίων σε ένα εκφυλισμένο αέριο είναι n e, τότε η μέση απόσταση τους θα είναι:

Ή αναλυτικά (όγκος που αντιστοιχεί σε ακίνητο ηλεκτρόνιο): και από Αρχή αβεβαιότητας Heisenberg η μέση ορμή κατά τη διεύθυνση x κάθε σωματιδίου: αν οι κινήσεις είναι μη σχετικιστικές, η μέση ταχύτητά τους κατά x θα είναι υ x = p x /m e. Η πίεσή τους αντικαθιστώντας την ορμή:

Άρα για ένα εκφυλισμένο αέριο H ακριβής σχέση προκύπτει εάν χρησιμοποιήσουμε την σχέση αριθμητικής πυκνότητας φερμιονίων αντικαθιστώντας : ανεξάρτητη της Τ Να την συγκρίνετε με τη θερμική πίεση των ηλεκτρονίων για Τ=10 7 Κ: με τη βαρυτική

Όταν η ρ είναι πολύ μεγάλη τα ηλεκτρόνια έχουν μεγαλύτερες ορμές δηλαδή μεγαλύτερες ταχύτητες αλλά επειδή πρέπει < c η πίεση γίνεται δηλαδή για το σχετικιστικό εκφυλισμένο αέριο H ακριβής σχέση προκύπτει (Για ποια τιμή n e η μη σχετικιστική έκφραση της πίεσης γίνεται ίση με τη σχετικιστική;) Μακροσκοπικά η ύλη του ΛΝ είναι ηλεκτρικά ουδέτερη δηλαδή Ζ, n ιόντα =n e. Εάν τα ιόντα είναι φερμιόνια, ποια θα είναι η πίεση εκφυλισμού τους; Γιατί αυτή η πίεση εκφυλισμού είναι μικρότερη από των e;

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Παναγιώτα-Ελευθερία Χριστοπούλου. «Αστροφυσική ΙΙ, Ενότητα 7». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: σύνδεσμο μαθήματος.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση Χ.ΥΖ. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση Χ1.Υ1Ζ1 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο). Έκδοση Χ2.Υ2Ζ2 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο). Έκδοση Χ3.Υ3Ζ3 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο).

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (1/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: Εικόνα 2: Εικόνα 3: Εικόνα 4: Εικόνα 5: Εικόνα 6: Εικόνα 7:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (2/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Πίνακες Πίνακας 1: Πίνακας 2: Πίνακας 3: