Ενότητα 8: Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 Κβαντομηχανική σε μία διάσταση E. Schrödinger ( documentary ) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) (documentary) Nobel Prize lecture Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262Wikipedia Πηγή: WikipediaWikipedia

6 Περιεχόμενα της ενότητας 8  Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Κυματική εξίσωση Χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger σε μία διάσταση Κυματοσυνάρτηση Χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger Στάσιμες καταστάσεις

7 Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Την περίφημη χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση του Schrödinger.  Την περίφημη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger.  Τη κυματοσυνάρτηση ως λύση της εξίσωσης του Schrödinger.

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα σωμάτιο κινείται επάνω στον άξονα x και συνοδεύεται από ένα υλικό κύμα το οποίο περιγράφεται από μία κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t). Η κυματοσυνάρτηση αυτή θα είναι λύση μιας κυματικής εξίσωσης η οποία πρέπει να έχει τις εξής ιδιότητες: Να είναι συμβατή με την σχέση (ενέργεια του σωματίου): Να είναι γραμμική ώστε να ισχύει η αρχή της επαλληλίας (διαφορετικά οι λύσεις της δεν θα μπορούσαν να περιγράψουν φαινόμενα συμβολής και περίθλασης). E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Η U(x,t) είναι η δυναμική ενέργεια του σωματίου και i η μιγαδική μονάδα. Να θυμηθούμε εδώ ότι: Τη γραμμική αυτή κυματική εξίσωση, η οποία ικανοποιεί τις προηγούμενες ιδιότητες, εισήγαγε ο E. Schrödinger. Πρόκειται για την περίφημη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση του Schrödinger. E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Η εξίσωση αυτή δεν αποδεικνύεται αλλά τέθηκε από τον Schrödinger «αξιωματικά». Το γεγονός ότι η εξίσωση αυτή ισχύει, επιβεβαιώνεται «εκ των υστέρων», από το γεγονός ότι οι τιμές των φυσικών μεγεθών, που υπολογίζονται με τη βοήθεια των λύσεων της εξίσωσης, συμπίπτουν με αυτές που προσδιορίζονται πειραματικά. Επίσης, στο δεύτερο σκέλος της εξίσωσης εμφανίζεται η φανταστική μονάδα. Συνέπεια αυτού είναι ότι οι λύσεις της (κυματοσυναρτήσεις) είναι μιγαδικές συναρτήσεις. Επομένως η ίδια η κυματοσυνάρτηση δεν είναι δυνατόν να παριστάνει ένα παρατηρήσιμο φυσικό μέγεθος. Παρ’ όλα αυτά, χρησιμοποιώντας την συνάρτηση αυτή, μπορούμε να προσδιορίσουμε κατά σωστό τρόπο τα πραγματικά φυσικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν ένα σωμάτιο. E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Η εξίσωση Schrödinger είναι μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους. Δεν είναι πάντα δυνατή η αναλυτική λύση της εξίσωσης. Μπορεί να λυθεί αναλυτικά εάν η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας U(x,t) είναι συνάρτηση μόνο θέσης και όχι χρόνου. Δηλαδή U=f(x). Τότε η εξίσωση Schrödinger δέχεται λύσεις της μορφής: Η μέθοδος αυτή επίλυσης είναι γνωστή ως μέθοδος των διαχωρισμένων μεταβλητών. Ας την παρακολουθήσουμε: E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Αντικαθιστούμε στην εξίσωση Schrödinger το Ψ(x,t) με το y(x)φ(t). Είναι φανερό ότι πρέπει να ισχύει: Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το y(x)φ(t). Προκύπτει: E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Λύνουμε τώρα την εξίσωση (2) Η εξίσωση για τη χωρική συνάρτηση είναι: Αλλά Οπότε προκύπτει για τη χρονική συνάρτηση φ(t) Η εξίσωση αυτή ονομάζεται χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Επομένως η κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t) θα ισούται με: Οι λύσεις σε χωριζόμενη μορφή της εξίσωσης Schrödinger περιγράφουν καταστάσεις μεγάλου φυσικού ενδιαφέροντος. Ας δούμε ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό που έχουν όλες αυτές οι κυματοσυναρτήσεις. Η ισότητα αυτήεκφράζει την ανεξαρτησία από τον χρόνο όλων των πιθανοτήτων που υπολογίζονται από την Ψ(x,t). Γι’ αυτό το λόγο οι λύσεις σε χωριζόμενη μορφή ονομάζονται στάσιμες καταστάσεις. Επομένως για τις στάσιμες καταστάσεις οι πιθανότητες δεν αλλάζουν με το χρόνο και υπολογίζονται από την y(x) αντί της Ψ(x,t). E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger μπορεί να γραφεί και ως εξής: Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι οι λύσεις y(x) της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης του Schrödinger είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της ολικής ενέργειας (Χαμιλτονιανής) με ιδιοτιμές Ε. Προσέξτε τώρα ότι ο όρος, στο πρώτο μέλος, μέσα στην παρένθεση είναι ο τελεστής της ολικής ενέργειας (Χαμιλτονιανή). E. Schrödinger

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση Ας συγκεντρώσουμε τώρα τα βασικά σημεία στα οποία έχουμε αναφερθεί:  Σε κάθε σωμάτιο αντιστοιχεί ένα υλικό κύμα το οποίο περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση Ψ(x,y,z,t).  Η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι μιγαδική.  Η κυματοσυνάρτηση συνδέεται με την πιθανότητα να βρεθεί το σωμάτιο σε μια περιοχή του χώρου dxdydz μια δεδομένη χρονική στιγμή t μέσω της σχέσης:  Η κυματοσυνάρτηση είναι λύση της κυματικής εξίσωσης του Schrödinger E. Schrödinger

Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 8». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/ /PHY1961/

20 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας