Ενότητα 2: Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.  Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

 Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.  Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.  Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)documentary Nobel Prize «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: WikipediaWikipedia

5 Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Nobel Lecture Πηγή: WikimediaWikimedia

6 Περιεχόμενα της ενότητας 2  Μέλαν σώμα Ακτινοβολία μέλανος σώματος. Νόμοι των Wien και Stefan-Boltzmann. Υπεριώδης καταστροφή. Οι υποθέσεις του Planck. Η έννοια του κβάντου ενέργειας.

7 Μέλαν σώμα Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει:  Το θεμελιώδες φυσικό φαινόμενο της ακτινοβολίας μέλανος σώματος.  Τη σπουδαιότητα του φαινομένου.  Την αδυναμία της κλασσικής φυσικής να το ερμηνεύσει.  Τους νόμους των Wien και Stefan-Boltzmann.  Την έννοια της υπεριώδους καταστροφής.  Τις υποθέσεις του Planck.  Τη σπουδαιότητα της υπόθεσης του κβάντου ενέργειας.

8  Μέλαν σώμα ονομάζεται ένα ιδανικό σώμα το οποίο απορροφά όλη την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που προσπίπτει πάνω του ανεξάρτητα από την συχνότητά της.  Το μέλαν σώμα δεν ανακλά ούτε διαχέει την προσπίπτουσα σε αυτό ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.  Ωστόσο, το ίδιο το σώμα εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.  Το μέλαν σώμα αποτελεί μια εξιδανίκευση καθόσον δεν υπάρχει σώμα, στη φύση, που να απορροφά κατά 100% την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που προσπίπτει σε αυτό. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

9  Το πρότυπο του μέλανος σώματος κατασκευάζεται υποθέτοντας την ύπαρξη μιας κοιλότητας στο εσωτερικό ενός σώματος η οποία συνδέεται με το περιβάλλον μέσω μιας μικρής οπής.  Η ακτινοβολία που εισέρχεται από την οπή υφίσταται πολλές ανακλάσεις και απορροφάται σταδιακά. Η ακτινοβολία που εκπέμπεται από την οπή είναι η ακτινοβολία μέλανος σώματος και εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Πηγή: WikimediaWikimedia

10  Το φάσμα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας του μέλανος σώματος είναι συνεχές με ένα ευρύ μέγιστο.  Εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία και όχι από τη χημική σύσταση ή τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του μέλανος σώματος. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Πηγή: WikimediaWikimedia

11  Το μέγιστο της καμπύλης μετακινείται προς μικρότερα μήκη κύματος (υψηλότερες συχνότητες) καθώς αυξάνει η θερμοκρασία (Νόμος του Wien). ή Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Πηγή: WikimediaWikimedia Όπου c και a σταθερές

12  Η συνολική εκπεμπόμενη ισχύς είναι ανάλογη προς την τέταρτη δύναμη της απόλυτης θερμοκρασίας (Νόμος Stefan – Boltzmann) Όπου P ολ είναι η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου (Ισχύς) και σ η σταθερά Stefan – Boltzmann με τιμή σ=5,67x10 -8 Wm -2 K -4 Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Πηγή: WikimediaWikimedia

13 Οι πρώτοι που προσπάθησαν να ερμηνεύσουν το φάσμα της ακτινοβολίας μέλανος σώματος ήταν οι Rayleigh – Jeans βασιζόμενοι στην συνάρτηση φασματικής κατανομής u(f,T):  όπου c η ταχύτητα του φωτός  f η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck  η μέση ενέργεια των ταλαντωτών και  Τ η απόλυτη θερμοκρασία του μέλανος σώματος John William Strutt, 3 rd Baron Rayleigh, πηγή: wikipediawikipedia James Hopwood Jeans, πηγή: wikipediawikipedia

14 Η συνάρτηση φασματικής κατανομής ως προς την συχνότητα u(f,T) μπορεί επίσης να εκφραστεί και ως προς το μήκος κύματος λ, λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει: Προκύπτει: Άρα Όπου στην θέση του f αντικαθιστούμε το f=c\λ Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck John William Strutt, 3 rd Baron Rayleigh, πηγή: wikipediawikipedia James Hopwood Jeans, πηγή: wikipediawikipedia

15 Λαμβάνοντας υπόψη, όπως αναφέρθηκε,συνεχές φάσμα ενεργειών των αρμονικών ταλαντωτών στο εσωτερικό της κοιλότητας προκύπτει ότι: Επομένως προκύπτει για την συνάρτηση φασματικής κατανομής ότι: ή Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck John William Strutt, 3 rd Baron Rayleigh, πηγή: wikipediawikipedia James Hopwood Jeans, πηγή: wikipediawikipedia

16 Η συνάρτηση αυτή φασματικής κατανομής δεν μπορεί να περιγράψει το φάσμα εκπομπής μέλανος σώματος διότι:  Δεν έχει μέγιστο (Νόμος του Wien)  Aπειρίζεται για f ∞ (Υπεριώδης καταστροφή)  Δεν αναπαράγει τον νόμο Stefan – Boltzmann  Προσεγγίζει ικανοποιητικά την μεταβολή του φάσματος για f 0 Το φάσμα ενεργειών δεν είναι συνεχές Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

17 Ο Wilhelm Wien πρότεινε το δικό του εμπειρικό τύπο: Όπου Α και α είναι θετικές σταθερές οι οποίες προσδιορίζονται εμπειρικά συγκρίνοντας με τις πειραματικές τιμές. Ο εμπειρικός τύπος του Wien ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις που προκύπτουν από τις πειραματικές μετρήσεις εκτός από την τιμή της μέσης τιμής της ενέργειας. Η τιμή της προκύπτει, για f 0, ίση με το 0 αντί της ορθής τιμής k B T. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck Wilhelm Wien πηγή: wikipediawikipedia

18 Η πλήρης εξήγηση της ακτινοβολίας μέλανος σώματος δόθηκε από τον Planck ο οποίος «ως πράξη απελπισίας» (όπως ο ίδιος το χαρακτήρισε) πρότεινε τα εξής:  Για κάθε συχνότητα f του φάσματος ακτινοβολίας του μέλανος σώματος, η ενέργεια Ε(f) των ταλαντωτών δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Η ενέργεια Ε(f) είναι κβαντισμένη και μπορεί να πάρει μια σειρά από διακριτές τιμές.  Οι διακριτές αυτές τιμές είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας στοιχειώδους τιμής hf και δίδονται από την σχέση: Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

19  Η ενέργεια της ακτινοβολίας που εκπέμπεται δίδεται από τη διαφορά μεταξύ δύο επιτρεπτών ενεργειακών τιμών. Η μικρότερη δυνατή ενέργεια της ακτινοβολίας ισούται με τη διαφορά ΔΕ μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών της ενέργειας ενός ταλαντωτή και ισούται με hf. Η σταθερά h ονομάστηκε προς τιμήν του Σταθερά του Planck Το φάσμα ενεργειών των ταλαντωτών είναι κβαντισμένο Επομένως: Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

20  Απέδειξε την σχέση της μέσης ενέργειας και θεωρητικά βασιζόμενος στην κλασσική θερμοδυναμική και στην στατιστική μηχανική. Δηλαδή δεν αρκέστηκε μόνο στην εύρεση της σχέσης για την μέση ενέργεια αλλά κατάφερε να καταλάβει το φυσικό περιεχόμενο για την απόκλιση της μέσης τιμής της ενέργειας από την κλασική τιμή k B T βασιζόμενος πάντα στην στατιστική Maxwell-Boltzmann όπως και οι Rayleigh- Jeans και Wien. Πρότεινε έτσι ο Planck την ακόλουθη σχέση για την μέση τιμή της ενέργειας: Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

21 Ο Planck οδηγήθηκε στην ακόλουθη σχέση για την συνάρτηση φασματικής κατανομής: Η συνάρτηση αυτή φασματικής κατανομής περιγράφει πλήρως το φάσμα εκπομπής μέλανος σώματος:  Παρουσιάζει μέγιστο (Νόμος του Wien)  Αναπαράγει τον νόμο Stefan – Boltzmann  Περιγράφει την μεταβολή του φάσματος για f 0  Παρέχει την σωστή τιμή k B T για τη μέση ενέργεια όταν f 0 Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

22 Επομένως ο Planck κατάλαβε ότι μόνο εάν η ενέργεια των αρμονικών ταλαντωτών παίρνει διακριτές τιμές τότε μόνον μπορούμε να εξηγήσουμε τη φασματική κατανομή της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Πρότεινε δηλαδή, ότι η ενέργεια των ανεξάρτητων ταλαντωτών αλλά και των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων παίρνει διακριτές τιμές, ακέραια πολλαπλάσια του hf, και ότι η μεταφορά ενέργειας από την ύλη στην ακτινοβολία γίνεται κατά «πακέτα ενέργειας». Για πρώτη φορά εισάγεται η έννοια της κβάντωσης της ενέργειας των αρμονικών ταλαντωτών. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

23 Αυτά τα πακέτα ενέργειας ο Planck ονόμασε κβάντα φωτός ή απλά κβάντα. Αργότερα ο μεγάλος Einstein χρησιμοποίησε τον όρο φωτόνια για να περιγράψει τα κβάντα ενέργειας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Για n=0 προκύπτει Ε=0. Τότε ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση και δεν μπορεί να μεταπέσει σε άλλη χαμηλότερη ενεργειακά κατάσταση εκπέμποντας ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

24 Οι κβαντικές καταστάσεις με n>0 ονομάζονται διεγερμένες καταστάσεις. Για n=1 προκύπτει Ε=hf. Τότε ο ταλαντωτής βρίσκεται στη 1 η διεγερμένη κατάσταση και μπορεί να μεταπέσει σε άλλη χαμηλότερη ( θεμελιώδη) ενεργειακά κατάσταση εκπέμποντας ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Για n=2 προκύπτει Ε=2hf. Τότε ο ταλαντωτής βρίσκεται στη 2 η διεγερμένη κατάσταση. Το n ονομάζεται κύριος κβαντικός αριθμός και καθορίζει πλήρως την ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

25 Ταλαντωτής που βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση δεν εκπέμπει ενέργεια και επομένως δεν συνεισφέρει στο φάσμα ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Οι ενέργειες του αρμονικού ταλαντωτή παριστάνονται συνήθως με ένα ενεργειακό διάγραμμα όπου εμφανίζονται οι ενεργειακές στάθμες ή ενεργειακά επίπεδα. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Για f 0 η ποσότητα hf παίρνει πολύ μικρές τιμές. Επομένως η απόσταση δύο διαδοχικών ενεργειακών σταθμών είναι πολύ μικρή και το φάσμα καθίσταται συνεχές. Οδηγούμαστε δηλαδή στο «κλασικό όριο» ή αλλιώς στην «Αρχή της Αντιστοιχίας». Μ. Planck

26 Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Η υπόθεση των κβάντων ενέργειας του Planck απαντά στο πρόβλημα της υπεριώδους καταστροφής. Στις υψηλές συχνότητες η ενέργεια του κβάντου είναι πολύ μεγάλη με αποτέλεσμα, στις συνήθεις θερμοκρασίες, η θερμική ενέργεια k Β T κάθε ταλαντωτή να μην αρκετή για να διεγείρει αυτά τα κβάντα. Η κβαντική φύση της ακτινοβολίας είναι φανερή στις υψηλές συχνότητες ενώ στο όριο των χαμηλών συχνοτήτων (f 0) έχουμε την ισχύ της κλασικής φυσικής. Μ. Planck

27 Κβαντική Θεωρία ή Θεωρία των Κβάντα Με την εισαγωγή της έννοιας των κβάντων ενέργειας οδηγηθήκαμε πλέον στην : Ελπίζω ότι θα βρείτε πολύ ενδιαφέρουσες τις δύο δημοσιεύσεις του Max Planck όπου τίθενται οι πρώτες έννοιες της κβάντωσης και ως εκ τούτου της πρώτης Κβαντικής Θεωρίας.δύο δημοσιεύσεις Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Μ. Planck

28  Ποιες υποθέσεις έκανε ο Planck για να ερμηνεύσει την ακτινοβολία μέλανος σώματος;  Όλα τα αντικείμενα ακτινοβολούν ενέργεια. Γιατί τότε δεν μπορούμε να τα δούμε όλα σε ένα σκοτεινό δωμάτιο;  Μερικά αστέρια φαίνονται κυανά και μερικά κοκκινωπά. Ποια αστέρια έχουν την υψηλότερη επιφανειακή θερμοκρασία;  Ποιο έχει περισσότερη ενέργεια; Το φωτόνιο της υπεριώδους ακτινοβολίας ή αυτό της κίτρινης; Ποιο έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος;  Η μέση ισχύς που ακτινοβολείται από τον ήλιο μας είναι 3.7x1026 W. Εάν το μέσο μήκος κύματος της ακτινοβολίας που εκπέμπει είναι 500nm πόσα φωτόνια εκπέμπονται σε 1s; Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μ. Planck

29  Η ενέργεια των φωτονίων που αντιστοιχεί στο μέγιστο της ακτινοβολίας μέλανος σώματος είναι 4eV. Ποια είναι η θερμοκρασία του σώματος; α) 15000Κ β) 10000Κ γ) 1500Κ δ) 3000Κ  Υπολογίστε την ενέργεια ενός φωτονίου σε eV του οποίου η συχνότητα f είναι: α) 1x10 14 Hz β) 1GHz και γ) 50MHz.  Ένα αντικείμενο μάζας m=1Kg βρίσκεται στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=20N/m και εκτελεί ταλαντώσεις πλάτους Α=0.15m. Να υπολογίσετε: α) Την ενέργεια Ε του συστήματος β) Τη μεταβολή του πλάτους Α όταν το ταλαντούμενο σύστημα χάνει ενέργεια ίση με ένα κβάντο ενέργειας. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μ. Planck

30  Να υπολογίσετε τον κβαντικό αριθμό n για ένα μαθηματικό εκκρεμές με ενέργεια Ε=1x10 -2 J. Τι συμπεραίνετε;  Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φασματικής κατανομής του Wien αναπαράγει τον ομώνυμο νόμο.  Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φασματικής κατανομής του Wien αναπαράγει τον νόμο Stefan-Boltzmann.  Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φασματικής κατανομής του Planck αναπαράγει τον νόμο του Wien.  Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φασματικής κατανομής του Planck αναπαράγει τον νόμο Stefan-Boltzmann. Ακτινοβολία Μέλανος Σώματος Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μ. Planck

Ε ΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ Π ΡΟΣΟΧΗ Σ ΑΣ

Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/ /PHY1961/

34 Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας