ΑΠΟΜΑΓΝΗΤΟΦΩΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΤΗΝ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ κ. ΝΑΚΗ ΧΡΗΣΤΟΥ

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ Δ και Ε μέσα του ΑΒ,ΑΓ ν.δ.ο. η ΔΕ διχοτομεί την ΑΖ Ζ τυχαίο σημείο ΒΓ Κ: Πώς θα ξεκινήσουμε παιδιά; Μ: Με το σχήμα κυρία. Κ: Τι σχήμα θα κάνω; Μ: Ένα τρίγωνο. Κ: Τι τρίγωνο; Μ: Σκαληνό. Κ: Σχεδιάζω Μετά; Μ: Θα φέρω τα μέσα Δ στο ΑΒ και Ε στο ΒΓ Κ: Ωραία ! Σχεδιάζω Κ: Το σημείο Ζ πού θα το σημειώσω; Μ: Στην ΒΓ πλευρά. Κ: Στο μέσο της ΒΓ όπως τα προηγούμενα; Μ: Όχι. Τυχαία. Κ: Τι θέλει να δείξουμε μετά; Μ: Ότι η ΔΕ διχοτομεί την ΑΖ. Κ: Άρα πρέπει να φέρω την ΑΖ και την ΔΕ Κ: Τι σημαίνει διχοτομεί; M: Ότι χωρίζει την γωνία σε δύο ίσα μέρη Κ: Το ότι η ΔΕ διχοτομεί την ΑΖ σημαίνει ότι χωρίζεται η γωνία σε δύο ίσα μέρη; Εδώ έχεις να κάνεις με πλευρές. Μ: Α…. Το τμήμα τότε. Κ: Ποίο τμήμα; M: Το ΑΖ. Κ: Ωραία …! Πώς θα ξεκινήσουμε; Ας χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα της άσκησης και να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα. M: Το ΔΕ είναι παράλληλο και ίσο με το ΒΓ/2 Κ: Γιατί; M: Από το θεώρημα. Κ: Ποιο θεώρημα; M: Αυτό που λέει ότι αν ενώσω τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ισχύει αυτό που είπα. Κ: Σωστός. Κ: Πως θα πάμε σιγά σιγά στην ζητούμενη πλευρά την ΑΖ;

M: Θα πάω στο τρίγωνο ΑΒΖ. Κ: Στο οποίο τι έχω; M: Το Δ μέσο της ΑΒ και το Κ δεν θα είναι μέσο της ΑΖ; Κ: Πώς το σκέφτηκες; M: Για τον ίδιο λόγο με πριν. Κ: Συγκεκριμένα για τον αντίστροφο λόγο με πριν. M: ΕΜ… Ναι… Δηλαδη; Κ: Δηλαδή τι σκέφτηκες και είπες ότι Κ μέσο του ΑΖ; M: Ότι το Δ μέσο του ΑΒ το ΔΚ//ΒΖ άρα περνάει από το μέσο του ΑΖ. Κ: Άρα αυτό είναι το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος. Γιατί πριν είπαμε ότι όταν ενώνεις τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου το τμήμα θα είναι παράλληλο με την πλευρά που περισσεύει ενώ τώρα ισχύει το αντίστροφο δηλαδή όταν από το μέσο μιας πλευράς ξεκινάει ένα τμήμα που είναι παράλληλο με την μία πλευρά του τριγώνου θα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς. M: Α…. Αυτό λέτε; Ναι αυτό το ήξερα ! M: Κυρία θα πρέπει να είναι μόνο παράλληλο ή και ίσο με το μισό της πλευράς στο αντίστροφο; Κ: Αρκεί να είναι παράλληλο. Κ: Άρα η ΑΖ διχοτομείται από την ΔΕ

ΔΕΔΟΜΕΝΑΖΗΤΟΥΜΕΝΑ ΑΔ διάμεσοςν.δ.ο το ΔΕΖΗ παραλληλόγραμμο Ε, Ζ, Η μέσα των ΒΔ ΑΔ και ΑΓ Κ: Ποιος θα σηκωθεί να με βοηθήσει στο σχέδιο; Μ: (σηκώνεται ο μαθητής…ξεκινάει με ένα τυχαίο τρίγωνο) Φέρνω την ΑΔ Κ: Όπου τι είναι η ΑΔ; Μ: Διάμεσος άρα θα χωρίζει την πλευρά στην μέση. Μετά φέρνω τα μέσα των πλευρών Κ: Ωραία ! Πολύ σωστά ! Κάτσε να σκεφτείς τώρα και εσύ την λύση της άσκησης. Κ: Πως θα ξεκινήσω; (παρατηρώ ένα παιδί που δεν συμμετέχει και επιλέγω αυτόν) Μ: Δεν ξέρω.. Κ: Τι μου ζητάει η άσκηση; Μ: Να δείξω ότι το ΔΕΖΗ παραλληλόγραμμο Κ: Πως θα το δείξω ότι είναι παραλληλόγραμμο; Μ: Δεν ξέρω… Αν οι διαγώνιοι του διχοτομούνται; Κ: Είναι και αυτό κριτήριο αλλά εδώ έχω διαγώνιους; Μήπως είναι προτιμότερο κάποιο άλλο κριτήριο; Μ: Ότι οι πλευρές παράλληλες; Δεν ξέρω κυρία. Κ: Σωστός. Και αυτό είναι κριτήριο παραλληλογράμμου. Ποιες θα πρέπει να είναι παράλληλες; Μ: Οι ΖΗ//ΕΔ και η ΕΖ//ΔΗ Κ: Μήπως είναι; Μ: Η ΖΗ//ΒΓ Κ: Χμ…. Γιατί; Μ: Η ΖΗ περνάει από τα μέσα των πλευρών τριγώνου. Κ: Άρα θα πρέπει να είναι η ΖΗ παράλληλη με την Τρίτη πλευρά του τριγώνου. Ποια είναι αυτή; Μ: Η ΔΓ. Α…… Άρα η ΖΗ//ΔΓ. Άρα δεν θα είναι και παράλληλη με την ΕΔ; Κ: Σωστά. Τώρα γιατί η ΕΖ//ΗΔ; Μ: Το ίδιο θα κάνουμε Κ: Σε ποιο τρίγωνο τώρα; Μ: Στο ΒΑΔ.

ΑΠΟΜΑΓΝΗΤΟΦΩΝΗΣΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ 2 ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΕΓΙΝΕ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤOΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΜΑΣ ΖΩΗ Κ: Το πρώτο πρόβλημα είναι το εξής Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα σιντριβάνι κυκλικό και γύρω από αυτό να στρώσουμε με βότσαλα ένα κυκλικό δακτύλιο πλάτους 3μ. Αν ο δακτύλιος πρέπει να έχει εμβαδόν τριπλάσιο από το εμβαδόν που καλύπτει το σιντριβάνι, να βρείτε την ακτίνα του σιντριβανιού.

Κ: Θέλω να το σκεφτείτε 2, 3 λεπτά και μετά να μου απαντήσετε. Κ: Το έλυσε κάποιο παιδί. Μ: Είναι δύσκολο. Θα πρέπει σίγουρα να χρησιμοποιήσω το εμβαδών των κύκλων αλλά δεν μου δίνει για κανέναν από τους δύο κύκλους το εμβαδών. Κ: Πες ότι σου δινότανε το εμβαδών του σιντριβανιού και σου έλεγα ότι είναι 5. Θα μπορούσες να βρεις το εμβαδόν του μεγάλου κύκλου; Μ: Ναι. Κ: Πώς; Μ: Θα ήτανε 15. Κ: Αν σου έδινα ότι ήταν 10; Μ: Τότε το μεγάλο θα είχε εμβαδόν 30. Κ: Αν σου έδινα ότι ήταν 15 τότε το μεγάλο θα ήταν 45. Κ: Ωραία! Όταν λοιπόν δεν μας δίνει η άσκηση των αριθμό τι βάζουμε εμείς στην θέση του αριθμού. Μ: Α… Μία μεταβλητή. Να βάλουμε χ. Κ: Και τι θα συμβολίζει το χ τώρα; Μ: Το εμβαδόν. Κ: Ποιανού κύκλου; Μ: Του μικρού. Κ: Ωραία ! Για να βλέπουμε καλύτερα ότι το χ είναι το εμβαδόν αντί για χ να γράψε Εσιντριβανιού ; Μ: Α ναι καλύτερα. Κ:Και μιας που έχω 2 κύκλους θα έχω το Εσιντριβανιού και το Εμεγάλου κύκλου. Σωστά μέχρι εδώ…. Ποία σχέση μου είπες ότι συνδέει αυτά τα 2; Μ: Το δεύτερο είναι μεγαλύτερο από το πρώτο Κ:Πόσο μεγαλύτερο; Μ: Α ναι είναι τριπλάσιο.. Κ:Άρα τι θα γράψω; Κάποιος άλλος να μου πει. Μ: Θα γράψω Εσιντριβανιού=3*Εμεγάλου κύκλου Κ:Μετά πως θα συνεχίσω;

ΒΗΜΑ ΠΡΩΤΟ: ΔΙΑΔΙΑΚΑΣΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Οι μαθητές συσχέτισαν το πρόβλημα με το εμβαδών των κύκλων αλλά επειδή δεν είχαν σαν δεδομένο το εμβαδόν κανενός από τους δύο κύκλους διστάζουν να λύσουν την άσκηση. Για να συνεχίσουν οι μαθητές έκρινα ως ευκολότερο το να υποθέσουμε τυχαίους αριθμούς για το εμβαδών του μικρού κύκλου. Και αφού γίνει αντιληπτή η σχέση των δύο κύκλων με αριθμητικά παραδείγματα αντικαθιστώ αυτούς τους τυχαίους αριθμούς με την μεταβλητή χ.

Μ: Θα βάλω τον τύπο για το εμβαδόν Κ:Για σήκω να το συνεχίσεις. Μ: π*ρ 2 =3*π*R 2 Κ:Έβαλες ρ την ακτίνα του μικρού R του μεγάλου. Μήπως όμως έχουν κάποια σχέση αυτά τα δύο; Μ: Η R είναι μεγαλύτερη από την ρ Κ:Πόσο μεγαλύτερη; Μ: 3 φορές μεγαλύτερη Κ:3 φορές μεγαλύτερη ή 3μέτρα επιπλέον μεγαλύτερη; Μ: 3 μέτρα Κ:Άρα ποια σχέση θα γράψουμε; Μ: ρ+3 Κ:Άρα όπου R θα γράψεις ρ+3. Για κάνε αντικατάσταση να δούμε σε τι θα καταλήξουμε. Μ: πρ 2 =3π(ρ+3) 2 Κ:Αυτό στα μαθηματικά πως λέγεται; Ότι έχει ισότητα και άγνωστο; Μ: Εξίσωση. Κ:Τι βαθμού; Μ: Δευτέρου. Κ:Πολύ ωραία τώρα απλά έμεινε να λύσεις την εξίσωση. Καταφέραμε πολύ σωστά να μοντελοποιήσουμε ένα πρόβλημα σε δευτεροβάθμια εξίσωση.