Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ1 - ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ - ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ Γ. ΣΚΛΑΒΟΥΝΟΥ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.1. Γενικά 1.2. Μέθοδοι μελέτης των μη γραμμικών συστημάτων 1.3. Μη γραμμικές χαρακτηριστικές συνηθών συστημάτων 1.4. Η μέθοδος της περιγραφικής συνάρτησης 1.5. Υπολογισμός της περιγραφικής συνάρτησης 1.6. Μελέτη κλειστών μη γραμμικών συστημάτων με χρήση της περιγραφικής συνάρτησης στο επίπεδο της μιγαδικής συχνότητας 1.7. Βελτίωση μη γραμμικών συστημάτων 1.8. Η μέθοδος του επιπέδου των φάσεων 1.9. Εξίσωση τροχιών Ευστάθεια συστήματος Παραδείγματα

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (OPTIMAL CONTROL) 2.1. Γενικά 2.2. Πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου 2.3. Ειδικές μορφές προβλημάτων βέλτιστου ελέγχου Το πρόβλημα του ελαχίστου χρόνου Το πρόβλημα της ελάχιστης προσπάθειας Το πρόβλημα του τελικού ελέγχου Το πρόβλημα της βέλτιστης παρακολούθησης ή του βέλτιστου σερβομηχανισμού Το πρόβλημα του βέλτιστου ρυθμιστή 2.4. Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων συνεχούς χρόνου Βέλτιστος γραμμικός ρυθμιστής Βέλτιστος γραμμικός σερβομηχανισμός 2.5. Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Βέλτιστος γραμμικός ρυθμιστής διακριτού χρόνου

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ 3.1. Φίλτρο Kalman για συστήματα συνεχούς χρόνου 3.2. Παρατηρητές κατάστασης 3.3. Σχεδίαση παρατηρητών κατάστασης με τη μέθοδο της αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων 4. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (STOCHASTIC CONTROL) 4.1. Γενικά 4.2. Στοχαστικός έλεγχος συνεχών συστημάτων Α. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Β. ΞΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ5 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.1. ΓΕΝΙΚΑ Η διαφορά των μη γραμμικών συστημάτων από τα γραμμικά, είναι ότι σ’ αυτά δεν ισχύει η ιδιότητα της υπέρθεσης, την οποία έχουν τα γραμμικά. 1. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ6 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.2. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Υπάρχουν δυο μέθοδοι μελέτης των μη γραμμικών συστημάτων: α. Η μέθοδος της συνάρτησης περιγραφής β. Η μέθοδος του επιπέδου των φάσεων Η μέθοδος της συνάρτησης περιγραφής είναι ουσιαστικά επέκταση των μεθόδων συχνότητας στα μη γραμμικά συστήματα. Εφαρμόζεται σε συστήματα οποιουδήποτε βαθμού και δίνει πληροφορίες κύρια μόνο για την ευστάθεια. Η μέθοδος του επιπέδου των φάσεων εφαρμόζεται μόνο σε συστήματα δευτέρου βαθμού (ή σε συστήματα που μπορούν να αναπτυχθούν σε δευτεροβάθμια) και μας δίνει λεπτομερή στοιχεία της μεταβατικής χρονικής απόκρισης.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ7 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.3. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ α. χαρακτηριστική του ηλεκτρονόμου Ονομάζεται και χαρακτηριστική ON-OFF (δύο καταστάσεων) και περιγράφει εκτός από τον ηλεκτρονόμο, μη γραμμικά στοιχεία όπως ένα διακόπτη και άλλα. β. χαρακτηριστική κόρου Είναι γνωστή από τους ενισχυτές και δείχνει ότι αν το πλάτος R του σήματος εισόδου είναι -m  R  m, τότε ο ενισχυτής λειτουργεί γραμμικά και αν R  m ή R  -m, τότε η έξοδος του ενισχυτή έχει σταθερή τιμή  Μ.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ8 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ9 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) γ. χαρακτηριστική της νεκρής ζώνης Εμφανίζεται σε συστήματα που δεν είναι ευαίσθητα σε μικρά σήματα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ10 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) δ. χαρακτηριστική υστέρησης Εμφανίζεται στους μαγνητικούς σιδηροπυρήνες και η καμπύλη απόκρισης, όταν το πλάτος εισόδου R αυξάνει, είναι διαφορετική από την καμπύλη απόκρισης, όταν το R ελαττώνεται.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ11 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) ε. χαρακτηριστική ανάκρουσης Εμφανίζεται στους οδοντωτούς τροχούς και είναι μια μορφή υστέρησης στη φάση της αλλαγής της φοράς περιστροφής. Στην περίπτωση αυτή δημιουργείται ένα νεκρό διάστημα μεταξύ των οδόντων.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ12 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.4. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στο σύστημα αυτό, η μη γραμμικότητα οφείλεται στον κόρο του ενισχυτή.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ13 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Εάν η είσοδος r(t) στο μη γραμμικό στοιχείο Ν είναι αρμονική, τότε η έξοδος y(t) θα είναι περιοδική (αλλά όχι αρμονική). Έστω r(t) =sinωt. Τότε η έξοδος y(t) αναλύεται σε σειρά Fourier με μορφή όπου Τ είναι η περίοδος του σήματος εισόδου και ω=2π/Τ.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ14 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Επειδή στα μη γραμμικά στοιχεία, όπως είδαμε η έξοδος εξαρτάται από το πλάτος R της εισόδου, είναι φανερό ότι οι συντελεστές Αn και Βn θα είναι συναρτήσεις του R. G είναι η συνάρτηση μεταφοράς του μη γραμμικού στοιχείου Ν για τη θεμελιώδη αρμονική (πρώτη) και G΄ είναι η συνάρτηση μεταφοράς για όλες τις υπόλοιπες αρμονικές. Η περιγραφική συνάρτηση ενός μη γραμμικού συστήματος Ν(R,ω) ορίζεται ως εξής:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ15 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ16 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Η περιγραφική συνάρτηση Ν(R,ω) είναι μια περιγραφή εισόδου – εξόδου. Παρουσιάζει μια αναλογία με την αρμονική απόκριση των συστημάτων (γραμμικών), μόνο που στην περίπτωση των μη γραμμικών, λαμβάνεται υπ’ όψη ένα μόνο μέρος της εξόδου, η πρώτη αρμονική. Η περιγραφή ενός μη γραμμικού συστήματος με την περιγραφική συνάρτηση είναι μια προσεγγιστική περιγραφή που ισχύει όταν η διέγερση είναι ημιτονοειδής και βασίζεται στην υπόθεση ότι η έξοδος του μη γραμμικού προσεγγίζεται ικανοποιητικά με την πρώτη αρμονική. Η υπόθεση αυτή ικανοποιείται αρκετά όταν πρόκειται για ΣΑΕ, αφού αυτά συμπεριφέρονται ως βαθυπερατά φίλτρα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ17 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Επειδή η περιγραφική συνάρτηση παρουσιάζει μια αναλογία με τη συνάρτηση μεταφοράς των γραμμικών συστημάτων, πολλά αποτελέσματα με βάση τη συνάρτηση μεταφοράς, όπως π.χ. το κριτήριο Nyquist, οι μέθοδοι βελτίωσης της συμπεριφοράς ενός συστήματος κ.λ.π. μπορούν εύκολα να επεκταθούν και στα μη γραμμικά, με βάση την περιγραφική συνάρτηση ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η περιγραφική συνάρτηση N(R,ω) είναι εν γένει συνάρτηση του πλάτους R και της συχνότητας ω του σήματος εισόδου r(t)=Rsinωt.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ18 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) α. χαρακτηριστική ηλεκτρονόμου

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ19 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Άρα: Ν(R,ω)=4Μ/πR

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ20 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Όταν η χαρακτηριστική του μη γραμμικού συστήματος είναι μονότιμη (π.χ. ηλεκτρονόμου κόρου, νεκρής ζώνης) τότε N(R,ω)=Ν(R) και είναι μια πραγματική συνάρτηση (θ=0). Όταν η χαρακτηριστική είναι πλειότιμη (π.χ. υστέρησης, ανάκρουσης) τότε N(R,ω)=Ν(R) και είναι μια μιγαδική συνάρτηση. Όταν το μη γραμμικό σύστημα περιέχει και στοιχεία αποθήκευσης ενεργείας το n Ν(R,ω) είναι μια μιγαδική συνάρτηση των R και ω.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ21 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) β. χαρακτηριστική κόρου Συντελεστές της πρώτης αρμονικής : (γιατί η y(t) είναι περιττή συνάρτηση)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ22 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ23 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Επομένως η περιγραφική συνάρτηση του κόρου είναι:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ24 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Χαρακτηριστικές και περιγραφικές συναρτήσεις

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ25 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ26 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.6. ΜΕΛΕΤΗ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Η συνάρτηση μεταφοράς του όλου ΣΑΕ είναι:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ27 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Η χαρακτηριστική εξίσωση του κλειστού ΣΑΕ είναι: 1+Ν(R,ω) G(jω)=0 Από την πιο πάνω σχέση φαίνεται ότι το κρίσιμο σημείο (-1, j0) που μας είναι γνωστό από τα γραμμικά ΣΑΕ, τώρα είναι ο γεωμετρικός τόπος (γ.τ.) των σημείων της συνάρτησης Επειδή η συνάρτηση N(R,ω) μεταβάλλεται μετά του πλάτους R και της συχνότητας ω, υπάρχουν άπειρα κρίσιμα σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται ένα τυπικό παράδειγμα γ.τ. των κρίσιμων σημείων. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σ’ ένα ζευγάρι τιμών (Ri, ωi).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ28 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Όταν η περιγραφική συνάρτηση N(R,ω)=N(R), τότε ο γεωμετρικός τόπος των κρίσιμων σημείων είναι μια καμπύλη.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ29 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Για τον έλεγχο της ευστάθειας του συστήματος, εφαρμόζεται το κριτήριο Nyquist με τη διαφορά ότι σαν ‘’κρίσιμο σημείο’’ θεωρείται εδώ ολόκληρος ο γεωμετρικός τόπος των κρίσιμων σημείων Έτσι εφαρμόζοντας το κριτήριο Nyquist στην πιο απλή του μορφή καταλήγουμε στο ακόλουθο κριτήριο. Ένα μη γραμμικό ΣΑΕ, στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος της περιγραφικής συνάρτησης, είναι ευσταθές, όταν η καμπύλη της συνάρτησης G(j,ω) δεν περικλείει, δεξιόστροφα διαγραφόμενη, τμήμα του γ.τ. (Η καμπύλη G(j,ω) διαγράφεται κατά τη φορά αύξησης του ω). Για απλούστευση του παραδείγματος, θεωρούμε ότι η περιγραφική συνάρτηση είναι συνάρτηση μονού πλάτους και ότι ο τόπος, καθώς και η καμπύλη της συνάρτησης G(j,ω), στο μιγαδικό επίπεδο, έχουν τη μορφή που φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ30 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Παρατηρούμε ότι η καμπύλη χωρίζεται από την καμπύλη G(jω) σε τρία τμήματα. Από αυτά το ΒΓ βρίσκεται στα δεξιά (κατά τη φορά αύξησης του ω) της καμπύλης G(jω) και ως εκ τούτου το σύστημα είναι ασταθές. Τα δύο σημεία τομής των δύο καμπυλών, το Β και το Γ, είναι σημεία λειτουργίας.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ31 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Στο σημείο Γ το σύστημα είναι ευσταθές ενώ στο σημείο Β το σύστημα είναι ασταθές. Πράγματι αν θεωρήσουμε σαν σημείο λειτουργίας το Γ. Έστω ότι το Γ μετατοπίζεται ελαφρά πάνω στην καμπύλη προς την κατεύθυνση του σημείου Δ, όπου το πλάτος R αυξάνει. Στην περίπτωση αυτή, το σημείο λειτουργίας εισέρχεται σε περιοχή ευστάθειας της και το πλάτος R των παραγόμενων ταλαντώσεων, εφ’ όσον το σύστημα είναι ευσταθές, θα τείνει να ελαττωθεί.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ32 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Συνεπώς το σημείο λειτουργίας θα μετακινηθεί πίσω προς τη διεύθυνση ελάττωσης του R και θα καταλήξει πάλι στο Γ. Αν η μετατόπιση του Γ γίνει προς το Β, το σημείο λειτουργίας θα πέσει στην περιοχή αστάθειας ΒΓ οπότε το πλάτος θα τείνει να αυξηθεί, μεταφέροντας ξανά το σημείο λειτουργίας στο σημείο Γ. Άρα στο σημείο Γ το σύστημα είναι ευσταθές. Με παρόμοιους συλλογισμούς συμπεραίνουμε ότι η μετατόπιση του σημείου Β προς το Α, το οδηγεί τελικά στο Α και μετατόπιση του σημείου Β προς το Γ, το οδηγεί τελικά στο Γ. Άρα στο σημείο Β το σύστημα είναι ασταθές. Το σύστημα επομένως όταν δεν διεγείρεται από εξωτερικό σήμα ή θα ηρεμεί (σημείο Α, όπου R=0) ή θα εμφανίζει οριακούς κύκλους.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ33 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.7. ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Το θέμα της βελτίωσης των μη γραμμικών ΣΑΕ είναι αντίστοιχο με αυτό των γραμμικών ΣΑΕ. Δηλαδή και στα μη γραμμικά ΣΑΕ προσπαθούμε να βρούμε μεθόδους ώστε να βελτιωθεί η επίδοσή τους. Σε αρκετές περιπτώσεις, εφαρμόζονται οι μέθοδοι βελτίωσης που χρησιμοποιούνται στα γραμμικά ΣΑΕ. Για παράδειγμα σε μη γραμμικό σύστημα με χαρακτηριστική κόρου, για τη βελτίωση της χρονικής του απόκρισης ή της ευσταθείς, χρησιμοποιούνται σαν αντισταθμιστές τα γνωστά γραμμικά δικτυώματα. Σε περιπτώσεις όμως ειδικών προβλημάτων, όπως η ύπαρξη οριακών κύκλων απαιτείται διαφορετική αντιμετώπιση. Οι οριακοί κύκλοι είναι ταλαντώσεις, μικρού πλάτους τις περισσότερες φορές, που είναι ανεπιθύμητες στο σύστημα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ34 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Οι μέθοδοι βελτίωσης (ή αντιστάθμισης) των μη γραμμικών ΣΑΕ είναι: α. Γραμμικές μέθοδοι β. Μη γραμμικές μέθοδοι Με τις γραμμικές μεθόδους στόχος μας είναι η αλλαγή της καμπύλης G(j,ω), δηλαδή επεμβαίνουμε με ένα γραμμικό αντισταθμιστή στο γραμμικό τμήμα του ΣΑΕ. Όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα αυτό το πετυχαίνουμε με εισαγωγή στον απ’ ευθείας κλάδο του συστήματος ενός καταλλήλου αντισταθμιστή, με συνάρτηση μεταφοράς Gc(j,ω) τέτοια ώστε να μην τέμνει η νέα καμπύλη Gc(jω)G(jω) την καμπύλη

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ35 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ36 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Με τις μη γραμμικές μεθόδους, στόχος είναι η αλλαγή της καμπύλης Αυτό το πετυχαίνουμε με εισαγωγή στο σύστημα ενός καταλλήλου μη γραμμικού αντισταθμιστή, τέτοιου ώστε η νέα καμπύλη να μην τέμνει την καμπύλη G(jω).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ37 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ38 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.8. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ Γενικά Με τον όρο ‘’φάση’’ υπονοούμε την ‘’κατάσταση’’ του συστήματος, δηλαδή εννοούμε την τιμή μιας μεταβλητής κατάστασης και των παραγώγων αυτής σε κάποια χρονική στιγμή. Με τη μέθοδο αυτή μπορούν να μελετηθούν γραμμικά και μη συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης. Αυτό όμως δεν μειώνει την αξία της μεθόδου, λόγω του ότι στην πράξη τα συστήματα που συναντάμε είναι ως επί το πλείστον πρώτης και δεύτερης τάξης. Για συστήματα τρίτης τάξης και ανώτερης δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το επίπεδο των φάσεων, αλλά μας χρειάζεται ‘’ο χώρος των φάσεων’’. Η μελέτη αυτών των συστημάτων είναι πολύ δύσκολη, λόγω του ότι δεν μπορούμε να απεικονίσουμε τις διάφορες καταστάσεις του συστήματος στο χώρο n (όπου n είναι η τάξη του συστήματος) διαστάσεων.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ39 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Έστω το σύστημα δεύτερης τάξης της μορφής: όπου r(t) είναι η είσοδος, y(t) η έξοδος, και Ορίζουμε: Μεταβαίνοντας από την περιγραφή του συστήματος με την σχέση εισόδου – εξόδου, στην περιγραφή στο χώρο κατάστασης, έχουμε τις εξής εξισώσεις κατάστασης:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ40 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) όπου Η περιγραφή αυτή λέγεται ‘’κανονική μορφή φάσης’’ και οι μεταβλητές κατάστασης x1(t) και x2(t) λέγονται μεταβλητές φάσης.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ41 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Η μέθοδος του επιπέδου των φάσεων, στοχεύει στην σχεδίαση της τροχιάς του διανύσματος κατάστασης x(t) με συντεταγμένες τις μεταβλητές x 1 (t), x 2 (t). Από την τροχιά του x(t) μπορούν να βγουν συμπεράσματα για την συμπεριφορά του συστήματος, όπως η ευστάθεια οι οριακοί κύκλοι κ.λ.π. Σαν τροχιά του x(t) ορίζεται ο γ.τ. του διανύσματος x(t) για t  [t0,tf] στο επίπεδο των φάσεων με ορθογώνιους άξονες x1(t)=y(t), x2(t)=y(t ).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ42 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Έστω ότι η έξοδος ενός συστήματος δεύτερης τάξης είναι αυτή του σχήματος. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται και η πρώτη παράγωγος της εξόδου (α), και η τροχιά του συστήματος (β). Εάν r(t)=R u(t) και μεταβάλλεται το πλάτος R της εισόδου, τότε θα παίρνουμε διαφορετικές τροχιές. Το σύνολο αυτών των τροχιών ονομάζεται εικόνα ή πορτραίτο φάσεων.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ43 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 1.9. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ Έστω το σύστημα του σχήματος που είναι ένας διπλός ολοκληρωτής Στο σύστημα έχουμε και με χρήση Εάν Τότε

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ44 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Άρα οι εξισώσεις κατάστασης του συστήματος σε μορφή φάσης είναι: όπου Έστω ότι η είσοδος r(t)=u(t) (βηματική). Ζητείται να χαραχθούν οι τροχιές του συστήματος. Έχουμε: Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ45 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) και ολοκληρώνοντας προκύπτει: όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η εξίσωση αυτή παριστάνει μια οικογένεια παραβολών με παράμετρο το C όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ46 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Γενίκευση Στη γενική περίπτωση, σε ένα μη γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης, ομογενές, δηλ. έχουμε την διαφορική εξίσωση : Οι εξισώσεις κατάστασης στην κανονική μορφή φάσης είναι: Σχηματίζουμε το λόγο

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ47 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Η εξίσωση αυτή είναι η εξίσωση των τροχιών του ομογενούς μη γραμμικού συστήματος δεύτερης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, όπως και σε πολλές άλλες περιπτώσεις, δεν είναι εύκολος ο προσδιορισμός της αναλυτικής λύσης. Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε στη γραφική χάραξη των τροχιών με τη χρήση των ισοκλινών καμπυλών. ΙΣΟΚΛΙΝΕΙΣ Ισοκλινή καμπύλη ονομάζεται κάθε καμπύλη του επιπέδου των φάσεων, που τέμνει τις τροχιές με την ίδια γωνία. Αν στην εξίσωση: Θέσουμε (όπου λ σταθερή κλίση)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ48 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) παίρνουμε:–λx2(t)=α0(x1,x2)x1(t)+α1(x1,x2)x2(t) Η χάραξη των τροχιών με τη βοήθεια της πιο πάνω εξίσωσης των ισοκλινών γίνεται ως εξής: Για διάφορες τιμές της κλίσης λ βρίσκουμε την ισοκλινή καμπύλη και πάνω σε κάθε ισοκλινή καμπύλη γράφουμε σε ίσες μικρές αποστάσεις μικρά παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα. Τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα έχουν κλίση λ. Ξεκινώντας από κάποιο σημείο του επιπέδου γράφουμε μια καμπύλη, που να είναι πάντοτε παράλληλη με τα ευθύγραμμα τμήματα, που έχουμε ήδη σημειώσει στις ισοκλινείς καμπύλες. Η καμπύλη που προκύπτει είναι μια τροχιά του συστήματος. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, ξεκινώντας από διαφορετικά σημεία, θα προκύψει μια οικογένεια τροχιών που αποτελεί το πορτραίτο των φάσεων.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ49 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Από την σύγκλιση ή την απόκλιση των τροχιών, εξαρτάται η ευστάθεια του συστήματος. Όταν οι τροχιές του συστήματος συγκλίνουν σε ένα σημείο, το σύστημα είναι ευσταθές και όταν αποκλίνουν είναι ασταθές ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Έστω το γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης του σχήματος

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ50 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Η συνάρτηση μεταφοράς: όπου: Από την συνάρτηση H(s) προκύπτει η διαφορική εξίσωση λειτουργίας του κλειστού συστήματος

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ51 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Μετατρέπουμε το σύστημα στην κανονική μορφή φάσης όπου Ζητείται να χαραχθούν οι τροχιές του συστήματος με r(t)=δ(t) (κρουστική συνάρτηση). Για κάθε έχουμε r(t)=0 και Έχουμε:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ52 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Άρα Η εξίσωση των ισοκλινών καμπυλών θα είναι: - Δηλαδή οι ισοκλινείς είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, με κλίση Με ω 0 = και ζ=έχουμε:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ53 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Στο σχήμα φαίνονται οι ισοκλινείς και η οικογένεια των τροχιών.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ54 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) 2. Έλεγχος κινητήρα με ηλεκτρονόμο Σε πολλά ΣΑΕ χρησιμοποιείται ευρέως ο ηλεκτρονόμος. Τα ΣΑΕ αυτά έχουν το μεγάλο πλεονέκτημα ότι δεν χρησιμοποιούνται οι πολύπλοκοι στην κατασκευή ενισχυτές ισχύος, αλλά αντί αυτών χρησιμοποιούνται ηλεκτρονόμοι. Στο ΣΑΕ στροφών κινητήρα, ο ηλεκτρονόμος χρησιμοποιείται μετά το διαφορικό ενισχυτή ανάδειξης της διαφοράς (του σφάλματος), όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ55 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Ο ηλεκτρονόμος τροφοδοτεί το ελεύθερο άκρο του κινητήρα, άλλοτε με θετικό και άλλοτε με αρνητικό δυναμικό, ανάλογα με το πρόσημο του σφάλματος e(t). Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα βαθμίδων του ΣΑΕ Έτσι ο κινητήρας περιστρέφεται πότε από την μία φορά και πότε από την άλλη, παίρνοντας όλη την ισχύ από τις πηγές τάσης +V και –V μέσω του ηλεκτρονόμου.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ56 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Για απλούστευση του παραδείγματος θεωρούμε ότι Κ=1, T m =1, V=1. Έστω ότι το σύστημα διεγείρεται από την μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, δηλαδή ω(t)=δ(t). Δηλαδή θα έχουμε Άρα Η έξοδος του ηλεκτρονόμου r(t) θα είναι: Η σχέση εισόδου – εξόδου του κινητήρα μας δίνει: r(t) = Άρα 1(t)=x2(t)1(t)=x2(t) 2 (t)+x 2 (t)=r(t)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ57 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) όπου r(t)=  1 θέτουμε ότα ν

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ58 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε τις εξής εξισώσεις των τροχιών: Οι εξισώσεις των ισοκλινών καμπυλών θα είναι:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ59 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ (NON LINEAR AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS) Στο σχήμα φαίνεται το πορτραίτο των φάσεων του συστήματος.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ60 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (OPTIMAL CONTROL) 2.1. ΓΕΝΙΚΑ Τα βασικά προβλήματα ελέγχου είναι τα εξής: α. Αιτιοκρατικός έλεγχος Στο σύστημα δεν έχουμε θορύβους ούτε στο γνωστό σύστημα ούτε στις μετρήσεις. Το πρόβλημα είναι να βρεθεί ένα βέλτιστο διάνυσμα u(t) ώστε το x(t) να έχει μία επιθυμητή συμπεριφορά που να ικανοποιεί ορισμένες απαιτήσεις.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ61 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ β. Εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης Στο όλο σύστημα μπαίνουν δύο τυχαία διανύσματα θορύβου w(t) και v(t), των οποίων γνωρίζουμε τα στοχαστικά τους χαρακτηριστικά. Το πρόβλημα εντοπίζεται στο να προσδιοριστεί από το μετρούμενο διάνυσμα εξόδου z(t) η καλύτερη εκτίμηση x^(t) του πραγματικού διανύσματος κατάστασης x (t). Η λύση του προβλήματος γίνεται με τη χρήση του φίλτρου Kalman.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ62 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ γ. Στοχαστικός Έλεγχος Το πρόβλημα του στοχαστικού ελέγχου είναι συνδυασμός των προβλημάτων α και β. Ζητείται να βρεθεί ένα βέλτιστο διάνυσμα ελέγχου r (t) ώστε το x(t) να έχει μια επιθυμητή συμπεριφορά που να ικανοποιεί ορισμένες προδιαγραφές. Κατ’ αρχάς προσδιορίζεται μια βέλτιστη εκτίμηση και στη συνέχεια προσδιορίζεται το βέλτιστο r(t) σαν συνάρτηση του.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ63 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ δ. Εκτίμηση παραμέτρων συστήματος Στο πρόβλημα αυτό ζητούνται οι παράμετροι του αγνώστου συστήματος. Η εκτίμηση των παραμέτρων γίνεται με βάση το γνωστό διάνυσμα εισόδου r (t), το μετρούμενο διάνυσμα z (t) και με βάση των a priori πληροφοριών σχετικών με το σύστημα. Η εκτίμηση μπορεί να γίνει μία φορά (off line) ή να γίνεται συνέχεια (on line).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ64 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ε. Προσαρμοστικός Έλεγχος Ο συνδυασμός των προβλημάτων α,β,γ,δ, συνιστά το πρόβλημα του προσαρμοστικού ελέγχου. Η λύση του προβλήματος έχει τα εξής στάδια: Κατ’ αρχάς γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων του αγνώστου συστήματος και συγχρόνως εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης x(t). Στη συνέχεια προσδιορίζεται το βέλτιστo διάνυσμα r(t) ώστε το x (t) να έχει μια επιθυμητή συμπεριφορά που να ικανοποιεί ορισμένες προδιαγραφές. Όλη η διαδικασία γίνεται συνέχεια (on line).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ65 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.2. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Να προσδιοριστεί ένα διάνυσμα ελέγχου r(t) ώστε να ελαχιστοποιείται το κριτήριο κόστους + J =

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ66 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ο πρώτος όρος Το θ[x(t 0 ),t 0 ] είναι το κόστος στην αρχή και το θ[x(t f ),t f ] είναι το κόστος στο τέλος του διαστήματος βελτιστοποίησης [t 0, t f ]. αναφέρεται στο κόστος σε όλο το διάστημα βελτιστοποίησης. Το κριτήριο εκφράζει συνήθως κάποια ποσότητα που να έχει φυσική σημασία, όπως παράδειγμα η ενέργεια. Έτσι η ελαχιστοποίηση του κριτηρίου του κόστους έχει φυσική έννοια την ελαχιστοποίηση π.χ. της καταναλισκόμενης ενέργειας. Ανάλογα με τις απαιτήσεις του συγκεκριμένου προβλήματος βελτιστοποίησης οι συναρτήσεις θ και φ παίρνουν κάποιες συγκεκριμένες μορφές. αναφέρεται στο κόστος στα άκρα του χρονικού διαστήματος. O δεύτερος όρος, ο ολοκληρωτικός,

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ67 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.3 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Κριτήριο Κόστους J = όπου R(t) ένας m x m πίνακας βάρους, συμμετρικά ορισμένος, t Εδώ το J εκφράζει ενέργεια. Κριτήριο Κόστους J = Το πρόβλημα του ελάχιστου χρόνου = tf – t To πρόβλημα της ελάχιστης προσπάθειας rT(t) R(t) r(t)dt (t0, tf) Το πρόβλημα του τελικού ελέγχου Κριτήριο Κόστους J = [x(tf) – n(tf)]T S [x(tf) – n(tf)] όπου n(t) η επιθυμητή τελική τιμή του διανύσματος κατάστασης x(t) και S ένας πραγματικός, συμμετρικός και θετικά ημιορισμένος πίνακας βάρους.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ68 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το πρόβλημα της βέλτιστης παρακολούθησης (tracking) ή του βέλτιστου σερβομηχανισμού. Εδώ μας ενδιαφέρει το σύστημα να ακολουθεί μία επιθυμητή τροχιά n(t). Το διάνυσμα e(t) = x(t) – n(t) είναι το σφάλμα το οποίο θέλουμε να είναι το πιο μικρό. Άρα το κριτήριο κόστους για την ελαχιστοποίηση του σφάλματος είναι: = Αν στο κριτήριο κόστους συμπεριληφθεί και η ελάχιστη προσπάθεια έχουμε : J =

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ69 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Αν συμπεριληφθεί και ο τελικός έλεγχος έχουμε το συνολικό κριτήριο κόστους του βέλτιστου σερβομηχανισμού: J = [ x(tf) - n(t0)]T S [x(tf) - n(t0)] + όπου S, Q(t), R(t) πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες βάρους t και συγκεκριμένα : S διαστάσεων n x n θετικά ημιορισμένος Q(t) διαστάσεων n x n θετικά ημιορισμένος R(t) διαστάσεων n x m θετικά ορισμένος ( t0, tf)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ70 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το πρόβλημα του βέλτιστου ρυθμιστή Το κριτήριο κόστους είναι αυτό του προβλήματος του βέλτιστου σερβομηχανισμού με n(t) = Ø J = x Τ (t f ) S x(t f ) + Παράδειγμα βέλτιστου ρυθμιστή είναι η επαναφορά ενός συστήματος στη θέση ηρεμίας του, μετά από μία διαταραχή.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ71 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.4. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ Βέλτιστος γραμμικός ρυθμιστής Από φυσικής πλευράς το πρόβλημα έχει ως εξής : Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα με μηδενική διέγερση και με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες x(t 0 ). Στην περίπτωσή μας δηλαδή οι αρχικές συνθήκες x(t 0 ) παίζουν το ρόλο της διέγερσης του συστήματος. Ζητούμε να βρεθεί ένα βέλτιστο σήμα ελέγχου r(t) ώστε να επαναφέρει το διάνυσμα κατάστασης στο σημείο ηρεμίας του, δηλαδή ελαχιστοποιώντας κάποιο κριτήριο κόστους. Από μαθηματικής πλευράς το πρόβλημα του γραμμικού ρυθμιστή έχει ως εξής: Έστω το γραμμικό, χρονικά μεταβαλλόμενο, σύστημα που περιγράφεται :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ72 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ζητείται να βρεθεί ένα σήμα ελέγχου r(t) που να ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους τετραγωνικής μορφής : Οι πίνακες S, Q(t), R(t) είναι πίνακες βάρους που συνήθως επιλέγονται συμμετρικοί. Στο κριτήριο κόστους J έχουν συμπεριληφθεί οι τετραγωνικοί όροι και για να υπάρχει περιορισμός στα πλάτη των διανυσμάτων x(t) και r(t). έχει συμπεριληφθεί, για να είναι η τελική τιμήπιο κοντά στο σημείο είναι ακαθόριστο. Ο τετραγωνικός όρος ηρεμίας. Το

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ73 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το διάνυσμα ελέγχου θα είναι : Τη λύση αυτή πρώτος εισήγαγε ο Kalman γι’αυτό και ο πίνακας F(t) καλείται πίνακας Kalman. όπου ο πίνακας K(t) είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης Riccati: Η τελική συνθήκη του Κ(t) είναι: Παρατήρηση: Για τα γραμμικά μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα, αν S=0 και είναι μη χρονικά μεταβαλλόμενοι και η εξίσωση Riccati γίνεται γραμμική αλγεβρική της μορφής : τότε ο πίνακας K(t) και ως εκ τούτου και ο F(t)

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ74 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα βαθμίδων του βέλτιστου γραμμικού ρυθμιστή.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ75 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Βέλτιστος γραμμικός σερβομηχανισμός Έστω το γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα του σχήματος: Οι εξισώσεις κατάστασης και εξόδου του συστήματος είναι :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ76 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Δίδεται επίσης και η επιθυμητή έξοδος του κλειστού συστήματος n(t). Ζητείται να βρεθεί ένα διάνυσμα ελέγχου r(t) τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους J : όπου Το πρόβλημα αυτό είναι μία γενίκευση του προβλήματος του βέλτιστου γραμμικού ρυθμιστή. Παρατήρηση : Αν το υπό έλεγχο σύστημα είναι χρονικά μη μεταβαλλόμενο, S = 0 και τότε οι διαφορικές εξισώσεις Riccati και μ(t) γίνονται αλγεβρικές εξισώσεις.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ77 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το διάνυσμα ελέγχου θα έχει τη μορφή : όπου και όπου ο πίνακας K(t) και το διάνυσμα μ(t) είναι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων Riccati :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ78 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Οι τελικές συνθήκες είναι: (Τελική συνθήκη της εξίσωσης Riccati) ( Τελική συνθήκη της διαφορικής εξίσωσης που δίνει εκείνο το μέρος του διανύσματος ελέγχου r(t) που εξαρτάται από την επιθυμητή έξοδο n(t) του κλειστού συστήματος). Παρατήρηση : Αν το υπό έλεγχο σύστημα είναι μη χρονικά μεταβαλλόμενο, S = 0 και τότε οι διαφορικές εξισώσεις Riccati γίνονται αλγεβρικές εξισώσεις.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ79 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα βαθμίδων του βέλτιστου γραμμικού σερβομηχανισμού.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ80 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.5. ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Βέλτιστος γραμμικός ρυθμιστής διακριτού χρόνου Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα διακριτού χρόνου με μηδενική διέγερση και με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες x(k 0 ). Ζητούμε να βρεθεί ένα βέλτιστο σήμα ελέγχου r(k) ώστε να επαναφέρει το διάνυσμα κατάστασης στο σημείο ηρεμίας του, δηλαδή ελαχιστοποιώντας το κριτήριο κόστους :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ81 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το βέλτιστο σήμα ελέγχου είναι : όπου είναι ο πίνακας Kalman διακριτού χρόνου, και το Κ(k) είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών Riccati: με τελική συνθήκη K(kf) = S Στο επόμενο σχήμα δίδεται το διάγραμμα βαθμίδων βέλτιστου γραμμικού ρυθμιστή συστημάτων διακριτού χρόνου με εξίσωση Riccati.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ82 ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ83 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Η μοντέρνα θεωρία των ΣΑΕ έχει εισάγει μεθόδους σχεδίασης κλειστών συστημάτων με ανατροφοδότηση του διανύσματος κατάστασης. Ένα βασικό μειονέκτημα που έχει στην πράξη η μέθοδος αυτή, είναι ότι τις περισσότερες φορές το διάνυσμα κατάστασης x(t) δεν μπορεί να μετρηθεί ολόκληρο, αλλά και στις περιπτώσεις που μπορεί να μετρηθεί ολόκληρο, οι θόρυβοι (σφάλματα) που μπαίνουν στις μετρήσεις αλλοιώνουν σημαντικά το x(t). Σ’ αυτές τις περιπτώσεις αναπτύσσουμε μια διαδικασία παραγωγής ενός διανύσματος κατάστασης, που να προσεγγίζει όσο το δυνατόν περισσότερο, το πραγματικό διάνυσμα κατάστασης. Η διαδικασία παραγωγής του ονομάζεται εκτίμηση ή ανακατασκευή του διανύσματος κατάστασης x(t).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ84 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το πρόβλήμα τίθεται ως εξής: Δίνεται ένα γνωστό σύστημα που υπόκειται σε τυχαίους θορύβους (διαταραχές) w(t). Το διάνυσμα κατάστασης x(t) θεωρούμε ότι δεν είναι μετρήσιμο εξ ολοκλήρου. Το διάνυσμα εξόδου y(t) το μετράμε με ένα μη ιδεώδες όργανο μέτρησης v(t). Το αποτέλεσμα της μέτρησης είναι το διάνυσμα z(t).

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ85 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Οι στατιστικές ιδιότητες των θορύβων w(t) και v(t) είναι γνωστές. Ζητείται να προσδιοριστεί με βάση το z(t), ένα διάνυσμα κατάστασης τέτοιο ώστε να προσεγγίζει όσο γίνεται πιο ικανοποιητικά, το πραγματικό διάνυσμα κατάστασης x(t). Το διάνυσμα της εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης ανάγεται σε ένα πρόβλήμα φιλτραρίσματος. Πρώτος ασχολήθηκε με το πρόβλημα του φιλτραρίσματος ο Wiener στην αρχή της δεκαετίας του 40. Ο Wiener όμως βασίστηκε στη θεωρία της συνάρτησης μεταφοράς και της κρουστικής απόκρισης. Η θεωρία του Wiener εφαρμόζεται μόνο στα γραμμικά σταθερά συστήματα και έχει περιορισμένη ισχύ. Στη συνέχεια με το πρόβλημα του φιλτραρίσματος, στην αρχή της δεκαετίας του 60, ασχολήθηκαν ο Kalman και ο Bucy και έδωσαν μια ισχυρότατη μεθοδολογία φιλτραρίσματος στο πεδίο του χρόνου, μεθοδολογία που καλύπτει και τα μη γραμμικά συστήματα. Τα αποτελέσματα των Kalman και Bucy είναι γνωστά σαν φίλτρο Kalman.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ86 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 3.1. ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ Σύστημα : Φίλτρο Kalman : όπου: και οείναι λύση της διαφορικής εξίσωσης Riccati: με πίνακα αρχικών συνθηκών

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ87 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στατιστικά δεδομένα των

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ88 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ όπου είναι η συνάρτηση δέλτα ή kronecker που ορίζεται ως εξής: 3.2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Το φίλτρο Kalman μας κάνει εκτίμηση του του διανύσματος κατάστασης σε στοχαστικό περιβάλλον. Εάν όμως και αιτιοκρατική (όπως συμβαίνει σε πολλές εφαρμογές), τότε διευκολύνεται σημαντικά η λύση του προβλήματος της εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης. Την ειδική αυτή περίπτωση μελέτησε ο Luenberger στα μέσα της δεκαετίας του 60. Εδώ ο εκτιμητής κατάστασης ονομάζεται και παρατηρητής κατάστασης. Το φίλτρο Kalman και ο παρατηρητής κατάστασης κάνουν το ίδιο πράγμα, δηλαδή κάνουν μία εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης και.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ89 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το φίλτρο Kalman όμως είναι το βέλτιστο φίλτρο και η εκτίμηση που μας δίνει, ελαχιστοποιεί τον πίνακα μεταβλητής P(t) του σφάλματος Ο παρατηρητής κατάστασης δίνει μία εκτίμηση ώστε το σφάλμα να είναι αφ΄ενός μικρό και αφ΄ετέρου να τείνει όσο το δυνατόν γρηγορότερα στο μηδέν.. Το φίλτρο Kalman μπορεί να θεωρηθεί σαν ο βέλτιστος παρατηρητής κατάστασης.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ90 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 3.3. ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΥΘΑΙΡΕΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ Έστω το σύστημα: Το διάνυσμα δεν μπορεί να μετρηθεί, μετρήσιμο είναι μόνο το διάνυσμα Για την εκτίμηση του προτείνεται ένα νέο σύστημα ο παρατηρητής όπου το και οι πίνακες προς το παρόν είναι άγνωστοι. κατάστασης:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ91 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ο παρατηρητής είναι ένα δυναμικό σύστημα με δύο εισόδους και και μία έξοδο το Το σφάλμα θα είναι: Το πρόβλημα του παρατηρητή συνίσταται στο εξής: Να προσδιοριστούν οι πίνακες του παρατηρητή ώστε το να τείνει στο μηδέν όσο το δυνατόν πιο γρήγορα.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ92 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Έχουμε: Για να είναι το σφάλμα πολύ μικρό ανεξάρτητα από τα και πρέπει: Ο πίνακας Για το σφάλμα έχουμε: να είναι ευσταθής.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ93 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Για τον παρατηρητή έχουμε: Ο παρατηρητής λοιπόν είναι ένα σύστημα που κατασκευάζεται με βάση τους πίνακες του αρχικού συστήματος και ενός αυθαίρετου πίνακα Κ. Ο πίνακας Κ εκλέγεται έτσι ώστε ο πίνακας να έχει ιδιοτιμές τέτοιες ώστε το να τείνει στο μηδέν όσο το δυνατόν πιο γρήγορα. Ο παρατηρητής είναι το ίδιο ακριβώς σύστημα με το αρχικό, με τη διαφορά ότι περιέχει έναν επιπλέον όρο, τον διορθωτικό όρο

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ94 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το διάγραμμα βαθμίδων του παρατηρητή φαίνεται στο σχήμα

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ95 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ο παρατηρητής μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί εκλέγοντας μόνο τον πίνακα Κ. Αυτό είναι εφικτό όταν το αρχικό σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Στη περίπτωση που το σύστημα είναι παρατηρήσιμο, δηλαδή η τάξη τουR=n όπου έχει αποδειχθεί ότι όλοι οι πόλοι του πίνακα μπορούν να παίρνουν οποιασδήποτε τιμές θέλουμε. Η περίπτωση που το αρχικό σύστημα έχει μία έξοδο. Ο πίνακας ( διάνυσμα γραμμής ) και ο R είναι τετραγωνικός nxn: Ο γίνεται όπου

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ96 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Χαρακτηριστικά πολυώνυμο του παρατηρητή: Όπου οι επιθυμητές ιδιοτιμές του παρατηρητή. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο του αρχικού συστήματος: όπου οι ιδιοτιμές του αρχικού συστήματος.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ97 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Έχει αποδειχθεί ότι για να έχει ο παρατηρητής τις επιθυμητές ιδιοτιμές το απαιτούμενο εδώ διάνυσμα είναι μοναδικό και δίδεται από τη σχέση: όπου

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ98 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 4. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (STOCHASTIC CONTROL) 4.1. ΓΕΝΙΚΑ Το πρόβλημα του στοχαστικού ελέγχου φαίνεται στο σχήμα:

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ99 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το πρόβλημα του στοχαστικού ελέγχου έχει ως εξής : Να προσδιοριστεί ένα διάνυσμα ελέγχου ώστε το πραγματικό διάνυσμα κατάστασης να έχει μία επιθυμητή συμπεριφορά, που να ικανοποιεί ορισμένες προδιαγραφές. Η λύση του προβλήματος περιέχει τα εξής βήματα : Εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης. Προσδιορισμός του διανύσματος σαν γραμμική συνάρτηση του ώστε να ελαχιστοποιείται το κριτήριο κόστους.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ100 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 4.2. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Έστω το υπό έλεγχο σύστημα : = = όπου τυχαία σήματα με τις εξής στοχαστικές ιδιότητες :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ101 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Τα δεν συσχετίζονται ανά δύο μεταξύ τους δηλαδή

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ102 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Κριτήριο κόστους ορίζεται η συνάρτηση : Ν(t): συμμετρικός, θετικά ορισμένος S, D(t) : συμμετρικοί μη αρνητικά ορισμένοι Το πρόβλημα είναι να βρούμε ένα διάνυσμα ελέγχου τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί το J. To πρόβλημα αυτό ονομάζεται : ''Linear Quadratic Gaussian'' problem, ή LQG problem.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ103 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Κατ΄ αρχάς κάνουμε εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης : με όπου : και με (αρχική συνθήκη) Στην συνέχεια υπολογίζουμε το διάνυσμα ελέγχου ώστε να ελαχιστοποιείται το κριτήριο κόστους J ή ισοδύναμα το κριτήριο κόστους :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ104 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Το βέλτιστο δίδεται από την σχέση : όπου : Κ 1 (t)=-N -1 (t)B T (t)P 1 (t) και με (τελική συνθήκη) Για να λυθεί λοιπόν το πρόβλημα, πρέπει να λυθούν οι δύο διαφορικές εξισώσεις Riccati που δίνουν τους πίνακες και, η πρώτη για την εκτίμηση και η δεύτερη για τον προσδιορισμό του βέλτιστου διανυσματικού ελέγχου.

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ105 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ106 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Για την περίπτωση μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων έχουμε : Σύστημα : Με την προυπόθεση ότι το σύστημα είναι έλεγξιμο και παρατηρήσιμο, έχει αποδειχτεί ότι οι εξισώσεις Riccati γίνονται αλγεβρικές. To βέλτιστο διάνυσμα ελέγχου στη μόνιμη κατάσταση θα είναι :

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ107 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ όπου : και Κ=P 2 C T R -1 με

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ108 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Π.Ν. Παρασκευοπούλου ''Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου'' Π.Ν.Παρασκευοπούλου ''Σημειώσεις Στοχαστικού Ελέγχου'' Κ.Α. Καρύμπακα - Ε.Κ.Σερβέτα '' ''Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου'' Σ.Γ. Τζαφέστα ''Μαθήματα Αυτομάτου Ελέγχου''

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ109 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Β. ΞΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ D.P.Atherton ''Nonlinear Control Engineering'' Van Nostrand Reinhold Co.London. K.J.Astrom and B.Wittenmark ''Computer Control Systems '' Prentice-Hall, Eenglewood Cliffs, N.Jersey. A.E.Bryson Jr. and Y.C. Ho ''Applied optimal control'' John Wiley, N.York O.I. Elgerd ''Control Systems Theory'' Mc Graw-Hill N.York J.E.Gibson ''Nonlinear Automatic Control'' McGraw-Hill,N.York G.C. Goodwin and R.L. Payne ''Dynamic System Identification'' Academic Press N.York D.E.Kirk ''Optimal control theory, an inroduction'' Prentice -Hall, Englewood Cliffs, N.Jersey B.C Kuo ''Digital Control Systems'' Holt – Saun Tokyo

Ειδικά Κεφάλαια ΣΑΕ110 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ J.L.Melsa and A.D.Sage ''An Introduction to probability and Stochastic processes'' Prentice -Hall Englewood Cliffs,N.Jersey K.Ogata ''State Space analysis of control system'' Prentice -Hall Englewood Cliffs,N.Jersey K.Ogata ''Modern control engineering'' Prentice -Hall Englewood Cliffs,N.Jersey F.H. Raven ''Automatic Control engineering'' Mc Raven - Hill, N.York A.D. sage and J.L. Melsa ''Estimation theory with applications to communications And content Mc Raven - Hill, N.York A.D. Sage and CC While ''Optimum systems control'' Prentice -Hall Englewood Cliffs,N.Jersey A.D Sage and J L. Melsa ''System identifications'' Academic press, N.York