Αξιολόγηση επενδύσεων

Αξιολόγηση επενδύσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Αξιολόγηση επενδύσεων Ενότητα 4 : Παρούσα αξία ράντας Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων
Παράδειγμα υπολογισμού παρούσης αξίας ράντας : Να βρεθεί η παρούσα αξία διαδοχικών καταβολών εάν το ποσό της ετήσιας καταβολής είναι 8,800 για 7 χρόνια με επιτόκιο 1.3% Από τον τύπο της παρούσης αξίας

Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 => Π.Α.=8,800 ( ) 7 − ( ) 7 => Π.Α.=8, − ∗ ⇒Π.Α.=8, − ∗ ⇒ Π.Α.=8, => Π.Α.=8,800∗6.661⇒Π.Α.=53,295.77

Παράδειγμα υπολογισμού παρούσης αξίας ράντας 2: Πόσα χρήματα πρέπει να καταθέτω κάθε χρόνο προκειμένου να εξοφλήσω σε 8 χρόνια γραμμάτιο του οποίου η σημερινή αξία είναι 14,540 και το επιτόκιο είναι 2.1% ;

Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 => Α= Π.Α. (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 =>Α= 14,540 ( ) 8 − ( ) 8 ⇒ Α= 14, − ∗ ⇒Α= 14, − ∗ =>Α= 14, => Α= 14, => Α= Άρα πρέπει να καταβάλουμε το χρόνο.

Παράδειγμα υπολογισμού επιτοκίου παρούσης αξίας ράντας. «με τι επιτόκιο θα πρέπει να δανειστώ 20,000 σήμερα αν θέλω να καταβάλω 4,500 το χρόνο για 6 χρόνια;

Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 => (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 = Π.Α. Α => (1+𝑖) 6 −1 𝑖 (1+𝑖) 6 =20,000/4,500 => (1+𝑖) 6 −1 𝑖 (1+𝑖) 6 =4.444. Βρίσκουμε από τους πίνακες το αντίστοιχο επιτόκιο για τα 6 έτη. Βλέπουμε ότι στο 9% το αποτέλεσμα είναι

Στο 10% Η διαφορά τους : =0.1306 Υπολογίζουμε το βήμα /10= Βρίσκουμε ότι το επιτόκιο είναι περίπου 9.3%

Παράδειγμα υπολογισμού ετών παρούσης αξίας ράντας «Πόσα χρόνια θα πρέπει να δανειστώ 52,900 παρούσης αξίας αν θέλω να καταβάλω 6,000 το χρόνο με 5% επιτόκιο;

Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 => (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 = Π.Α. Α => (1+0.05) 𝑛 − (1+0.05) 𝑛 =52,900/6,000=> (1+0.05) 𝑛 − (1+0.05) 𝑛 Tα 12 χρόνια δίνουν και τα Η διαφορά τους είναι =0.5569 Διαιρούμε με το /12= Δηλαδή απαιτούνται 11 χρόνια και 11 μήνες

Δημιουργία πίνακα πληρωμών δανείου : Η εταιρεία Α έχει υπογράψει μια σειρά 6 γραμματίων των 9,000 τα οποία λήγουν κάθε χρόνο στο τέλος του έτους. Ποια είναι η παρούσα αξία του δανείου αυτού την 1η Ιανουαρίου του πρώτου έτους προκειμένου να συνταχθεί ισολογισμός εάν το επιτόκιο είναι ίσο με 2.5%;

Βρίσκουμε την παρούσα αξία των γραμματίων : Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 =>Π.Α.=9,000 ( ) 6 − ( ) 6 ⇒ Π.Α.=9, − ∗ ⇒Π.Α.=9, − ∗ ⇒ Π.Α.=9, => Π.Α.=9,000∗5.505=> Π.Α.=49,548.12

Δημιουργούμε τον πίνακα πληρωμών: Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 9,000 31/12/2 31/12/3 31/12/4 31/12/5 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 1ου έτους : Ι=49, *0.025=1,238.70 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9,000-1,486.44=7,761.30 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 31/12/2 31/12/3 31/12/4 31/12/5 31/12/6

και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο δανείου: 49, ,761.30= 41,786.82 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 31/12/3 31/12/4 31/12/5 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 2ου έτους : Ι=41, *0.025=1,044.67 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9,000-=1,044.67=7,955.33 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 31/12/3 31/12/4 31/12/5 31/12/6

και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο δανείου: 42, ,955.33=34,076.23 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 31/12/4 31/12/5 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 3ου έτους : Ι=34,076.23*0.025=851.90 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9, =8,148.10 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 31/12/4 31/12/5 31/12/6

και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο δανείου: 34, =25,928.13 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 31/12/5 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 4ου έτους : Ι=25,928.13*0.025=648.20 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9, =8351.8 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 8,351.80 31/12/5 31/12/6

και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο δανείου: 25, – 8,351.80=17,576.33 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 8,351.80 17,576.33 31/12/5 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 5ου έτους : Ι=17,576.33*0.025=439.40 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9, = Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 8,351.80 17,576.33 31/12/5 8,560.60 31/12/6

και το αφαιρούμε από το υπόλοιπο δανείου: 17, = 9,015.73 Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 8,351.80 17,576.33 31/12/5 8,560.60 9,015.73 31/12/6

Βρίσκουμε τον τόκο του 5ου έτους : Ι=9,015.73*0.025=225.39 Άρα η καθαρή μείωση χρέους είναι 9, = Ημερομηνία Τόκος (i=0.025) Πληρωμή στο τέλος του χρόνου Καθαρή μείωση χρέους Υπόλοιπο δανείου 1/1/1 49,548.12 31/12/1 1,238.70 9,000 7,761.30 41,786.82 31/12/2 1,044.67 7,955.33 34,076.23 31/12/3 8,148.10 25,928.13 31/12/4 8,351.80 17,576.33 31/12/5 8,560.60 9,015.73 31/12/6

Προκαταβλητέα ράντα: Ζητείται η παρούσα αξία ράντας n=5 ετών με επιτόκιο 2.9% και δόση Α=6,000 Το βρίσκουμε με 2 τρόπους: Α. Βρίσκουμε την παρούσα αξία της αντίστοιχης ληξιπρόθεσμης ράντας και πολλαπλασιάζουμε με (1+i): Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 =>Π.Α.= 6,000 ( ) 5 − ( ) 5 ⇒ Π.Α.=6,000* =>Π.Α.=6,000*4.5988=>

Π.Α.=27,592.81 Και η προκαταβλητέα ράντα Π.Α.=27,592.81*1.029=28,393

Δεύτερος τρόπος : Βρίσκουμε την παρούσα αξία μίας καταβολής λιγότερης και προσθέτουμε μία ακόμη καταβολή. Π.Α.=Α (1+𝑖) 𝑛 −1 𝑖 (1+𝑖) 𝑛 =>Π.Α.= 6,000 ( ) 4 − ( ) 4 ⇒ Π.Α.=6,000* =>Π.Α.=6,000*3.726=> Π.Α.=22,386.90, και η προκαταβλητέα Π.Α. = 22, ,000=28,386.90

Ετήσιες πληρωμές προεξοφλητέας ράντας: Έστω ότι η εταιρεία Ρ αγοράζει ένα κτήριο αξίας 140,000 με έξι ισόποσες ετήσιες δόσεις στην αρχή κάθε έτους με επιτόκιο 2.3%: Βρίσκουμε το ποσό της δόσης Π.Α.=Α 1+𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 (1+𝑖)=> Α= Π.Α 𝑖 𝑛 −1 𝑖 1+𝑖 𝑛 (1+𝑖) =>Α= 140, − ( ) => Α= 140, (1.023) ⇒ Α 140, => A-=24,678.30

Σχηματίζουμε τον πίνακα πληρωμών συμπληρώνοντας το Α=24,678.30 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 2 3 4 5 6

Το ποσό μίας δόσης θα είναι και όσο θα μειωθεί το υπόλοιπο είναι 140,000-24,678.30=115,321.70 O τόκος είναι ίσος με 115,321.70*0.023=2,652.40 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 2 3 4 5 6

Το υπόλοιπο υποχρέωσης που θα μεταφερθεί στο επόμενο έτος είναι : 115, ,652.40=117,974.10 Το ποσό αυτό το μεταφέρουμε στο επόμενο έτος 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 3 4 5 6

Το υπόλοιπο προς τόκο είναι 117, ,678.30=93,295.80 Ο τόκος είναι 93,295.80*0.023=2,145.80 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 3 4 5 6

Το υπόλοιπο υποχρέωσης προς εξόφληση γίνεται: 93, , = To ποσό αυτό μεταφέρεται στο τρίτο έτος 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 4 5 6

Το υπόλοιπο προς πληρωμή τόκου γίνεται: 95, ,678.30=70,763.30 Ο τόκος είναι: 70,763.30*0.023=1,627.56 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 4 5 6

Το υπόλοιπο στο τέλος του έτους γίνεται: 70, ,627.56=72,390.86 Το ποσό αυτό μεταφέρεται στο επόμενο έτος 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 72,390.86 4 5 6

Το υπόλοιπο προς τοκισμό γίνεται : 72, ,678.30=47,712.56 Ο τόκος είναι 47,712.56*0.023=1,097.39 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 72,390.86 4 72,390.86 47,712.56 1,097.39 5 6

Το υπόλοιπο προς τοκισμό γίνεται : 47, ,097.39=48,809.95 Το ποσό αυτό μεταφέρεται στο επόμενο έτος 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 72,390.86 4 72,390.86 47,712.56 1,097.39 48,809.95 5 6

Το υπόλοιπο προς τόκο είναι : 48, ,678.30=24,131.65 Ο τόκος είναι 24,131.65*0.023= Το υπόλοιπο επόμενου έτους είναι 24, =24,681.67 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 72,390.86 4 72,390.86 47,712.56 1,097.39 48,809.95 5 48,809.95 24,131.65 24,681.67 6

H μικρή διαφορά οφείλεται στις στρογγυλοποιήσεις : 1/1 έτους Υπόλοιπο χρέους Πληρωμή στην αρχή του χρόνου Υπόλοιπο για Πληρωμή τόκου Τόκος (i=0.023) Υπόλοιπο υποχρέωσης στο τέλος Του έτους 1 140,000 24,678.30 115,321.70 2,652.40 117,974.10 2 93,295.80 2,145.80 95,441.60 3 95,441.60 70,763.30 1,627.56 72,390.86 4 72,390.86 47,712.56 1,097.39 48,809.95 5 48,809.95 24,131.65 24,681.67 6 24,681.67

NPV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την καθαρή παρούσα αξία μιας επένδυσης. Σύνταξη =NPV(επιτόκιο; εισροή1; εισροή2; …) Επιτόκιο: Το προεξοφλητικό επιτόκιο δανείου ή κεφαλαίου. Εισροή1, εισροή2, … : Είναι τα εισοδήματα και οι πληρωμές. Για τα εισοδήματα δίνουμε θετικές τιμές ενώ για τις πληρωμές αρνητικές.

Παράδειγμα Έστω ότι μια επένδυση έχει ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο 14% και αρχικό κόστος επένδυσης Το κέρδος από την επένδυση υπολογίζουμε να είναι € για το πρώτο έτος, € για το δεύτερο, € για το τρίτο και € για το τέταρτο. Να βρείτε αν συμφέρει η επένδυση. Απάντηση: =NPV(14%;-50000;15000;22000;23000;25000), το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι 9.133,80€. Άρα η επένδυση είναι συμφέρουσα.

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων
Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Αξιολόγηση επενδύσεων

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Αξιολόγηση επενδύσεων"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Αξιολόγηση επενδύσεων

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Αξιολόγηση επενδύσεων"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια