1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Σάββατο, 20 Ιουνίου 2015 3η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ.

Παρουσίαση με θέμα: "1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Σάββατο, 20 Ιουνίου 2015 3η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Ακαδημαϊκό Έτος 2005-2006 Σάββατο, 20 Ιουνίου 2015 3η Εβδομάδα ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Πεπερασμένων Διαφορών για Παραβολικές Δ. Ε. Μ. Π.( συνέχεια ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2 2 III. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ (α) Τοπικό σφάλμα αποκοπής (Local Truncation error). Η μελέτη της τοπικής ακρίβειας ενός υπολογιστικού αλγορίθμου μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη του σφάλματος της προσεγγιστικής τιμής (u μ λ ),ενός υπολογιστικού αλγορίθμου σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού του διαφορικού συστήματος, από την ακριβή τιμή της λύσεως – u(μh,λκ) – στο ίδιο σημείο, που μπορεί φυσικά να εκφρασθεί με την βοήθεια του αναπτύγματος Taylor, αφού πάντοτε υποθέτουμε ότι υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι της λύσεως και είναι φραγμένες στο πεδίο ορισμού. Πιο συγκεκριμένα, ο γενικός τρόπος μελέτης του σφάλματος γίνεται ως εξής : Δημιουργούμε για τα σφάλματα, την παρόμοια σχέση που πληρούν οι προσεγγιστικές τιμές - με την βοήθεια των αναπτυγμάτων Taylor- οπότε έτσι σχηματίζεται η έκφραση του υπό μελέτη σφάλματος. Έτσι,πιο συγκεκριμένα θα έχουμε : (i) Για το κλασσικό Δ.Σ. (5) και τον αλγόριθμο των 3- σημείων, την εξίσωση :

3 3 και ας ορίσουμε το σφάλμα στο σημείο (μh,λκ) με την διαφορά : της αναλυτικής λύσης από την αριθμητική, οπότε η σχέση που επιθυμούμε να δημιουργήσουμε προφανώς θα είναι του τύπου: Προφανώς,για την δημιουργία της (35) έχουμε ανάγκη από τις τιμές των αναπτυγμάτων :

4 4 Έτσι, εάν από την (33) αφαιρέσουμε την πρώτη των (36) και προσθέσουμε τις δύο επόμενες με αναδιάταξη των όρων λαμβάνουμε τη σχέση: Εξάλλου, η ακριβής λύση του Δ.Σ. (17), προφανώς, θα ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού, και άρα και στο σημείο μελέτης μας (μh,λκ), οπότε η παρένθεση που ακολουθεί το κ θα μηδενίζεται. Δηλαδή θα ισχύει: ενώ η άλλη παρένθεση,που ακολουθεί, θα αποτελεί τον πρώτο όρο του σφάλματος οι άπειροι όροι του οποίου προσδιορίζουν το σφάλμα αποκοπής του υπολογιστικού αλγορίθμου.Σημαντικό ρόλο στο σφάλμα αποκοπής ενέχει ο πρώτος όρος αυτού:

5 5 που αποδίδει το κύριο μέρος (Principal part) και την τάξη ακρίβειας αυτού. Στην (38) εάν αξιοποιήσουμε το φραγμένο των παραγώγων και θέσουμε αντί του r την τιμή του, θα έχουμε την τυπική έκφραση ακρίβειας του σφάλματος: (προφανώς κάναμε χρήση του γνωστού συμβολισμού: αντί της σχέσης: όπου M>0 και x τείνοντας σε κάποιο καθορισμένο όριο). Έτσι η (37) γράφεται στην τελική μορφή που επιδιώκαμε να έχουμε, την: (ii) Για την αυτοσυζυγή περίπτωση, θα έχουμε το Δ.Σ.: οπότε για την μελέτη του σφάλματος της (40), και για τον αντίστοιχο υπολογιστικό αλγόριθμο των 3 σημείων που είναι ο (28), λαμβάνουμε όπως και προηγούμενα, τις τιμές της ακριβούς λύσεως από τα αναπτύγματα Taylor (41) που ακολουθούν- με υπόλοιπα τώρα, για να αποφύγουμε τους άπειρους όρους,χωρίς βλάβη της γενικότητος:

6 6 με a, β και γ να ικανοποιούν τις ανισότητες 0<α,β,γ<1,ενώ με κατάλληλο χειρισμό,δηλ. με αφαίρεση, από την (28),της τρίτης των (41) και στη συνέχεια πρόσθεσης σάυτήν των 2 πρώτων της (41) και ανακατάταξη των όρων του αθροίσματος, λαμβάνουμε την σχέση:

7 7 Στην (42), ο συντελεστής του κ προφανώς θα είναι μηδέν, αφού αποτελεί την εξίσωση του Δ.Σ. και αυτή ικανοποιείται σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού, ενώ ο επόμενος όρος της αγκύλης, εάν και πάλι αξιοποιήσουμε το φραγμένο όλων των μερικών παραγώγων και τον γνωστό συμβολισμό, μπορεί να καταλήξει στην έκφραση O(κ 2 +κh 2 ), οπότε η (42) γράφεται: που αποτελεί την παρόμοια σχέση σφαλμάτων με την (39). (β) Συνέπεια (Consistency ) ενός υπολογιστικού αλγορίθμου. Οι μέχρι τούδε υπολογιστικοί αλγόριθμοι (Υ.Α.) που έχουμε εξετάσει για την αριθμητική επίλυση των προβλημάτων Δ.Ε.Μ.Π. παραβολικού τύπου, έχουν ο καθένας τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του– φυσικά και διαφορετικά επίπεδα ακριβείας που επιτυγχάνει – και προφανώς έχουν μόνο τότε αξία (για την αριθμητική προσέγγιση των λύσεων των προβλημάτων που επιλύουν), όταν οι διαδικασίες που υλοποιούν είναι συνεπείς, συγκλίνουσες και ευσταθείς (Consistent, Convergent and Stable). Ορισμός: Ένας υπολογιστικός αλγόριθμος για την αριθμητική επίλυση μιας Δ.Ε.Μ.Π. παραβολικού τύπου είναι συνεπής, εάν το πηλίκο του σφάλματος αποκοπής (Σ.Α.) διά του πάχους του δικτυωτού k (ως προς την διάσταση του άξονα t) τείνει στο μηδέν όταν k και h  0, δηλαδή όταν ισχύει:

8 8 Εάν εφαρμόσουμε τον ορισμό (44) στον Υ.Α. των 3-σημείων (18), τότε ως γνωστόν, θα έχουμε για το σφάλμα αποκοπής (32): οπότε: Άρα ο Υ.Α. (18) είναι συνεπής. Γενικότερα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι όλοι οι Υ.Α., που έχουμε εξετάσει μέχρι τώρα, είναι ομοίως συνεπείς. (γ) Σύγκλιση (Convergence) ενός υπολογιστικού αλγορίθμου. Τώρα αναφορικά με την σύγκλιση (Convergence) ενός Υ.Α., αυτή προσδιορίζεται από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται, έτσι ώστε για το οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού (x,t)=(μh,λk) έχουμε ότι η διαφορά της θεωρητικής λύσεως του προβλήματος u(x,t) (δηλαδή της λύσεως της Δ.Ε.Μ.Π. που ικανοποιεί τις συνοδεύουσες συνθήκες) και της αριθμητικής λύσεως u μ λ, που παράγει για το ίδιο πρόβλημα ο Υ.Α., τείνει ομοιομόρφως (uniformly) στο μηδέν, καθώς το δικτυωτό επαυξάνει τους κόμβους του, με k και h  0, ενώ τα μ και λ  ∞, αλλά και τα μh  x και λk  t παραμένουν σταθερά – και ίσα με τις συντεταγμένες του αρχικού σημείου (x,t). Η μελέτη της σύγκλισης ενός Υ.Α. διευκολύνεται όταν υποτεθεί ότι τα πάχη k και h τείνουν στο μηδέν, όχι ανεξάρτητα αλλήλων, αλλά με βάση μια σχέση, όπως, π.χ. η :

9 9 που έχουμε ήδη συναντήσει στα προηγούμενα. (i) Περίπτωση λελυμένης μορφής. Έτσι μπορούμε να εξετάσουμε το χωρίο εξάρτησης (domain of dependence) του προβλήματος μας (βλέπε σχήμα 2), όταν π.χ. χρησιμοποιήσουμε τον Υ.Α. (18), και σαν τέτοιο εννοούμε όλα τα κομβικά σημεία του δικτυωτού μας, τα οποία συμβάλλουν στον υπολογισμό της τιμής της λύσεως στο σημείο (x,t). Προφανώς στην περίπτωση του σχήματος 2 και για τον Υ.Α. (18), είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το (x,t) και με γωνία ω ίση με: Ας δούμε στην συνέχεια πώς μεταβάλλεται το χωρίο εξάρτησης με το h  0 (ενώ το r παραμένει σταθερό)· προφανώς από την (46) έχουμε ω=π και άρα το χωρίο εξάρτησης στην οριακή περίπτωση περιέχει όλα τα σημεία που ορίζονται από 0≤t * ≤t, που ουσιαστικά είναι ότι η σχέση (45) έχει ως αποτέλεσμα να εξασφαλίζει ότι το χωρίο εξάρτησης του Υ.Α. (18) συμπίπτει οριακά με αυτό της Δ.Ε. Εύκολα συνάγεται ότι στην περίπτωση ενός πεπλεγμένου Υ.Α. (όπως π.χ. ο αλγόριθμος Crank-Nikolson) το χωρίο εξάρτησης συμπίπτει με αυτό της Δ.Ε. για όλα τα k και h.

10 10 Αλλά πιο συγκεκριμένα, ας προβούμε στην ανάλυση σύγκλισης του Υ.Α. (18). Για τον σκοπό αυτό ας συμβολίσουμε με e μ λ την διαφορά θεωρητικής και αριθμητικής λύσεως στο ληφθέν σημείο (x,t): όπου κατά τα γνωστά, ισχύει r≤1/2, και εάν λάβουμε απόλυτες τιμές έχουμε: όπου C μια θετική σταθερά, που εξαρτάται από τα άνω φράγματα των μερικών παραγώγων της λύσεως. Εάν στην (47) υποθέσουμε ότι η μέγιστη απόκλιση στο χρονικό επίπεδο λ είναι E (λ) τότε η (47) δίδει: που αν υποτεθεί ότι η αρχική μας συνθήκη είναι η ίδια για την Δ.Ε. και τον Υ.Α. (οπότε e (0) ), θα έχουμε: ή Άρα: όταν: k,h  0, k/h 2 =r για το οποιοδήποτε σταθερό σημείο του πεδίου ορισμού (x,t), οπότε εξασφαλίζεται η σύγκλιση του Υ.Α. (18), για το πρόβλημα που εξετάσαμε, και για τη συνθήκη που επιβλήθηκε (r≤1/2).

11 11 (δ) Ευστάθεια ενός υπολογιστικού αλγορίθμου Και ερχόμεθα τώρα στο τρίτο και τελευταίο θέμα της ευστάθειας των αριθμητικών υπολογισμών ενός Υ.Α., για την επίλυση ενός προβλήματος Δ.Ε.Μ.Π., που καθορίζεται από τις συνθήκες, που πρέπει να ικανοποιούνται έτσι ώστε η διαφορά μεταξύ της θεωρητικής λύσεως που παράγει ο Υ.Α. και της αριθμητικής λύσεως που επιτυγχάνεται με την βοήθεια των διαθέσιμων υπολογιστικών μέσων να παραμένει φραγμένη, καθώς το λ αυξάνεται, διατηρώντας όμως το k σταθερό. Για την παραπάνω διερεύνηση υπάρχουν δύο κλασσικές τεχνικές. Στην πρώτη, την τεχνική πίνακα (Matrix method) με την βοήθεια πινάκων θέτουμε σε μορφή εξισώσεως την παραγωγή των τιμών της ζητούμενης λύσεως σε κάποιο «χρονικό επίπεδο», συναρτήσει των τιμών της στο προηγούμενο «χρονικό επίπεδο», και εξετάζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα που εμπλέκεται. Στην δεύτερη – την τεχνική Von Neumann – χρησιμοποιούμε την ανάλυση Fourier. Εμείς εδώ θα εξετάσουμε την μέθοδο του πίνακα. Ι. Συνοριακές Συνθήκες Dirichlet – Y.A. (18) Προς τούτο ας λάβουμε το πρόβλημα: με τις συνοδεύουσες συνθήκες:

12 12 και ας εξετάσουμε τον υπολογιστικό αλγόριθμο (18): Ας υποθέσουμε ότι το δικτυωτό που επιβάλλαμε έχει χαρακτηριστικά h=1/M και k· άρα τα εσωτερικά σημεία κάθε χρονικού επιπέδου θα είναι μ=1,2,3,…,Μ-2,Μ-1, ενώ τα συνοριακά θα είναι μ=0 και μ=Μ. Κατά συνέπεια το σύνολο των σχέσεων (48) για όλα τα εσωτερικά σημεία μπορεί να αποδοθεί από την εξίσωση του πίνακα: ή συνοπτικά όπου είναι το διάνυσμα των αρχικών τιμών, που καθορίζεται από την αρχική συνθήκη. Για την μελέτη της ευστάθειας του Υ.Α. (70), υποθέτουμε ότι τα αρχικά δεδομένα μας υφίσταται μια διαταραχή (perturbation) και ότι το πραγματικό μας διάνυσμα είναι το έχοντας έτσι το αρχικό σφάλμα:

13 13 και υποθέτοντες ότι καθ’ όλη την χρονική εξέλιξη δεν υπεισέρχεται άλλο σφάλμα, επιζητούμε τις συνθήκες βάσει των οποίων το σφάλμα δεν θα αυξάνεται, αλλά θα υφίσταται συνεχή συστολή (Contraction). Από την (70) και την (51) εύκολα βρίσκουμε: και Από την (52) συμπεραίνουμε ότι η μετάδοση των σφαλμάτων (error propagation), με τις συνθήκες που έχουν επιβληθεί, ακολουθεί την ίδια σχέση που ικανοποιούν και οι τιμές της συναρτήσεως ενός χρονικού επιπέδου συναρτήσει των τιμών της, στο προηγούμενο χρονικό επίπεδο. Επί πλέον λόγω της γραμμικότητας των προβλημάτων Δ.Ε.Μ.Π. που μελετούμε, η επιπρόσθετη επίδραση προσθέτων σφαλμάτων επόμενων χρονικών επιπέδων (που απομονώθηκαν λόγω υποθέσεων) θα είναι απλώς προσθετική, με αποτέλεσμα η ολική επίδραση να είναι το άθροισμα των μερικών επιδράσεων· άρα μελετώντας τις συνθήκες για τη συστολή ενός απομονωμένου σφάλματος (όπως υποθέσαμε, για το αρχικό σφάλμα ), ουσιαστικά θα έχουμε τις συνθήκες και για το ολικό. Για τον σκοπό αυτό, παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α είναι συμμετρικός κατά συνέπεια θα έχει ένα πλήρες σύστημα ιδιοδιανυσμάτων, μ=1,2,…,Μ-1, που μπορεί να θεωρηθεί ως βάση στον χώρο  (Μ+1), στοιχείο του οποίου είναι το διάνυσμα σφάλματος

14 14 Άρα θα έχουμε, την ανάλυση του αρχικού όπου: είναι γνωστοί παράμετροι. Οπότε από την (52), για το πρώτο χρονικό επίπεδο θα έχουμε, με τη βοήθεια της (53): όπου μ=1,2,…,Μ-1 οι ιδιοτιμές του Α. Γενικότερα, μπορούμε να αποδείξουμε, χωρίς δυσκολία, για τα επόμενα στάδια: από την οποία συνάγουμε ότι τα σφάλματα δεν θα αυξάνονται εκθετικά αρκεί η ιδιοτιμή με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή να έχει μέτρο μικρότερο ή ίσο με την μονάδα: Εξάλλου είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιμές του τριδιαγώνιου πίνακα A δίδονται από την (10.1), ενώ η συνθήκη (11) εξασφαλίζεται ότι οι ιδιοτιμές αυτές είναι μικρότερες ή ίσες με την μονάδα. Άρα η (11) αποτελεί και την συνθήκη ευστάθειας του Υ.Α. (18).

15 15 ΙΙ. Συνοριακές Συνθήκες με Παράγωγο Στην περίπτωση αυτή, ας υποθέσουμε το πρόβλημα: Με τις συνθήκες: όπου k 1 *, k 2 *, c 1 και c 2 σταθερές με k 1 * ≥0 και k 2 * ≥0. Για την αριθμητική επίλυση του παραπάνω προβλήματος θα υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο λελυμένης μορφής (11), ενώ τις συνοριακές συνθήκες τις προσεγγίζουμε με κεντρικές διαφορές, όπως ακριβώς και προηγούμενα. Έτσι λοιπόν θα έχουμε:

16 16 οπότε η βασική εξίσωση είναι: όπου ή συντομογραφικά: Είναι εύκολο να δειχθεί ότι και στην περίπτωση της βασικής εξισώσεως (56), το σφάλμα θα ικανοποιεί τη σχέση: Κατά συνέπεια οι συνθήκες ευστάθειας θα εξαχθούν από την (55) που πρέπει να ικανοποιούν οι ιδιοτιμές του πίνακα G. Εξάλλου από το θεώρημα του Gerschgorin για τις ιδιοτιμές, αυτές θα ικανοποιούν τις σχέσεις: από τις οποίες εύκολα λαμβάνουμε τις σχέσεις:

17 17 Από τις δύο πρώτες λαμβάνουμε: ενώ από τις δύο επόμενες έχουμε: που οπωσδήποτε καλύπτουν την τελευταία. Κατά συνέπεια, η συνθήκη ευστάθειας για την προκείμενη περίπτωση είναι:

18 18 (ii) Περίπτωση αλγορίθμων πεπλεγμένης μορφής (Crank-Nikolson) Με παρόμοιο τρόπο θα έχουμε τον υπολογιστικό αλγόριθμο Crank-Nikolson, και για το ίδιο πρόβλημα την σχέση (βλέπε (13) του Α.Ε.Μ.Δ.Ε. 2) ή συνοπτικά: που γράφεται, επειδή |B|≠0, και, που λόγω της (78) και της σχετικής ιδιότητας των ιδιοτιμών πινάκων, ο πίνακας B -1 A έχει ιδιοτιμές (βλέπε και (16) του Α.Ε.Μ.Δ.Ε. 2)

19 19 που ικανοποιούν την (75) για κάθε θετική τιμή του r, με συνέπεια το σχήμα Crank- Nikolson να έχει ευστάθεια χωρίς κανένα περιορισμό. Η μέχρι τούδε μελέτη της ευστάθειας είχε σαν προϋπόθεση ότι το πάχος k ήταν σταθερό και ότι μόνον το σφάλμα στα αρχικά δεδομένα μεταβιβάζεται. η γενικότερη μελέτη της ευστάθειας είναι ανεξάρτητη από το δικτυωτό που χρησιμοποιείται, ενώ παράλληλα το πάχος k μεταβάλλεται, έτσι ώστε για το οποιοδήποτε χρονικό επίπεδο να απαιτείται μια απειρία βημάτων για τη μετάβαση σ’ αυτό, αφού το k  0. Η βαθύτερη έννοια της ευστάθειας σχετίζεται με το ομοιόμορφο φράξιμο όλων των πολλαπλασιαστικών συντελεστών του συνόλου των υπολογισμών. Τέλος, σχετικό με τα προηγούμενα είναι το θεώρημα της Ισοδυναμίας του Lax: «Δοθέντος ενός καλώς τεθειμένου προβλήματος αρχικής τιμής και ενός αλγορίθμου πεπερασμένων διαφορών που το προσεγγίζει και που ικανοποιεί την συνθήκη συνέπειας, η ευστάθεια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για σύγκλιση»