1 关于回转仪平衡 问题的研究 03 级物理一班 李超 学号 : PB03203017 2004.4.

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1 1 关于回转仪平衡 问题的研究 03 级物理一班 李超 学号 : PB03203017 2004.4

2 2  很多人在小时候都玩过一种玩具陀螺, 将其一端架在支点上然后水平地释 放它, 开始它在水平面上摇摆着离去, 之后就平稳地做均匀的进动, 人们不 禁会脱口问道 : 陀螺为什么不掉下来呢 ?  这就涉及到刚体力学中凭知觉很难 理解的一个问题 : 回转仪的进动.  如果从运动方去求回转仪的普遍运动将是 非常复杂 的, 而我们这里要研究的运动只是 一种最简单的形式 : 均 匀的进动.(a) 是常见 的玩具回转仪, 其主要部分是 一个旋转的飞 轮, 和一个用于固定转轴方向的支架. 转 轴 一端置于塔状的支架顶上, 使轴不受约束地可取各 种不同的方位. (a)

3 3  图 (b) 是回转仪的略图, 三角形表示无约束的支 点, 飞 轮旋转方向如图所示, 再根据受力图 (c) 可以看出回转 仪竖直方向的合力是 N-mg, 其中 N 是支点所施的竖 直力,mg 是重力, 若 N=mg 则 质心不会下降. (b) mg N (c)  这个解释是正确的, 但不能令人满意. 我们提 出了一个错误的问题. 我们不应该问回转 仪为什么不掉下来, 而应该问它为什么不像 摆那样绕支点摆动.

4 4  事 事实上, 如果释放回转仪时它的飞轮没有转动, 那么它的 行为就严格和摆一样, 它竖直地摆动而不是水平地进动, 只有 当飞轮高速旋转时才做进动, 在这种情况下, 飞轮巨大的自旋 角动量支配着系统的动力学.  几 回转仪全部角动量都依自旋角 动量 L 而定.L 是沿轴取向, 其大小为 Iω.I 是飞轮绕其转轴的转 动惯量. 当回转仪绕 z 轴进动时, 在 z 方向有一个很小的轨道角 动量, 可是就均匀进动而言, 轨道角动量的大小和方向都是常 量, 并不起动力学的作用, 因此我们在这里不考虑它. L (d)

5 5  L 的方向总是沿着转轴, 当回转仪进 动时,L 跟着它一起转动, 若进动角速 度是 Ω, 则 L 的变化率为 =ΩL L(t1) L(t2) L(t3) Ω (e)  的方向和 L 所掠过的水平圆相切,L 变化的原因是由于力矩的作用, 可以从 (f) 中看出, 当把支点选作原点时力矩就是由作用在转轴端点 的飞轮重量引起的, 这个力矩的大小就是 M=lmg, 方向在 y 方向上平 行于, 从关系式 =M 可求进动角速度 Ω. = ΩL 及 M=lmg, 故有 Ω= (1). 该式指出, Ω 随飞轮旋转减慢而增 大, 用玩具回转仪很容易看到这个效应, 显然 Ω 不可能无限增大, 最后均匀进动将要变成猛烈而不稳定的运动. N L l mg (f) x y z

6 6  以上用角动量定理解释了回转仪在重力作用下的进动的 道理，现在我们从另一个更直接的角度来理解这一问题。 相对于跟着回转仪一起进动的参考系而言，回转仪的角 动量的大小和方向保持不变。进动参考系是匀速转动的 参考系，是一非惯性系。在这一非惯性系中，回转仪除 受到重力作用以外还受到惯性力的作用。  将回转仪看成匀质圆盘， θ 是圆盘上 一质量为 dm 的质点，在圆盘平面极坐 标系中矢径与极 轴的夹角， x z y

7 7 在进动参考系中写出各物理量的分量式： Ω=Ωk r=xsinθi+lj+xcosθk v=ωxcosθi-ωxsinθk 圆盘上一点 dm 所受到的惯性离心力为 Fc=- Ω×(Ω×r)dm =( lxsinθi+ lj)dm dm 惯性离心力在支点产生的力矩 Mfc=r×Fc =(- xlcosθi+ sinθcosθj)dm 对圆盘上所有的质点积分, 设 ρ 为面密度 ΣMfc= （ - xlcosθi+ sinθcosθj)ρxdxdθ =0 x v θ Ω ω x z y l r Fc

8 8 再研究圆盘上一点 dm 所受到的科里奥利力为 Fcor=-2Ω×vdm =(2Ωωxcosθj)dm dm 科里奥利力在支点产生的力矩 Mfcor=r×Fcor =(2Ωω cosθi-2Ωω sinθcosθk)dm 对圆盘上所有的质点积分 ΣMfcor= （ 2Ωω cosθi -2Ωω sinθcosθk)ρxdxdθ = Ωωρπi 再由（ 1 ）式推出 Ω= = = 代入 于是 ΣMfcor=mgli x v θ Ω ω x z y l Fcor r

9 9  ΣMfc=0  ΣMfcor=mgli  ΣMmg=-mgli ΣMfc+ΣMfcor+ΣMmg=0 由刚体的平衡原理知回转仪在进动参考系中处于平衡状态 因此不会像摆一样上下摆动。  参考书目： 《力学》杨维纮编著；中国科学技术大学出版社出版； 《力学》郑永令编著；复旦大学出版社出版；