ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 9-4-2009. ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1) –Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο.

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 9-4-2009. ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1) –Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 9-4-2009

2 ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1) –Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet) –Τυχαία είσοδος πελατών – «γεννήσεις», μέσος ρυθμός λ πελάτες/sec –Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος Ε(a)=1/λ –Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών μ πελάτες/sec –Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s – τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος E(s) = 1/μ sec/πελάτη

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (2) –Ουρά αναμονής για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών – queue, buffer (απομόνωση εισόδου – εξυπηρέτησης) –Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση –Αριθμός εξυπηρετητών –Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης –Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά (σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής)

4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα παραμέτρων συστημάτων αναμονής –Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων –Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων –Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης –Αριθμός πελατών

5 ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (1) –Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Ένα Erlang αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 100% του χρόνου (π.χ. 1 call-minute per minute). Ένας εξυπηρετητής ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας  μεταφέρει 0.5 Erlangs κυκλοφοριακή ένταση –Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (2) –Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ –Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή u = γ/μ

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (3) –Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) –Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} –Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (4) –n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής –n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή –n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση –n(t) = n q (t) + n s (t) –E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} –Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s –Ε(Τ) = E(W) + E(s)

9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Τύπος Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)

10 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K –A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών –S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης –Ν: Αριθμός εξυπηρετητών –Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής

11 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα τυπολογίας ουρών αναμονής (1): Μ/Μ/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, μέγιστη χωρητικότητα (κατάσταση) 4 πελάτες Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) Μ/Μ/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, άπειρη χωρητικότητα συστήματος Μ/Μ/4/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες: Σύστημα χωρίς αναμονή, μοντέλο τηλεφωνικού κέντρου με 4 γραμμές Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα τυπολογίας ουρών αναμονής (2): M/G/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (general) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). GI/G/1: Αφίξεις με ανεξάρτητη κατανομή (General, Independent), χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (general) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (deterministic) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). D/D/1: Σύστημα σταθερής ροής χωρίς στατιστικές διακυμάνσεις

13 ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P n (T) = e –λT (λΤ) n / n ! E T (n) = λT Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

14 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson Διάσπαση διαδικασίας Poisson με πείραμα Bernoulli