量子力学 第四章 力学量与算符. 第二章中，求 的平均值时，引入了算符概念： 将这一概念推广，得量子力学的第四个基本假定： * 任一力学量 A ，对应于一力学量算符 即， 那么： 1. 量子力学中算符的一般定义是什么？ 2. 算符之间如何运算？ 3. 与力学量 A 对应的算符 与数学上的一般算符有何异同？

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1 量子力学 第四章 力学量与算符

2 第二章中，求 的平均值时，引入了算符概念： 将这一概念推广，得量子力学的第四个基本假定： * 任一力学量 A ，对应于一力学量算符 即， 那么： 1. 量子力学中算符的一般定义是什么？ 2. 算符之间如何运算？ 3. 与力学量 A 对应的算符 与数学上的一般算符有何异同？ 4. 的本征值问题？ 5. 如何随时间变化？ 6. A n 如何随 中参数变化？ 这就是本章将要解答的问题！

3 4.1 力学量算符的定义及运算 一，定义：对任意波函数 ， = 算符的定义与波函数是分不开的，若无特别说明，算符对它后面的波 函数都起作用。 二，算法运算： 1 ，加减 a ，结合律 b ，交换律 2 ，乘 note: 不一定等于

4 3 ，对易关系 4, 逆算符：若 ，则 5 ，除： 6 ，算符函数：

5 三. 算符的厄米共轭运算与厄米算符 1 ，内积 2 ，算符的复共轭运算： 在某一表象下，求算符的共轭算符。如： 3 ，定义算符的转置算符，满足 * 厄米共轭运算：

6 4 ，算符的厄米共轭运算 (1) 定义：若 则 (2) 性质： 5 ，厄米算符：若 ，则称 为厄米算符

7 4.2 厄米算符的性质 1 厄米算符的平均值为实数 2 厄米算符的本征波函数具有正交性 3 厄米算符的本征函数是完备的 4 两个厄米算符有共同本征波函数完备集的 充分必要条件是：二者对易。

8 4.3 力学量与力学量算符及平均值 量子力学第三个基本假定：力学量和 力学量算符  任一力学量 都对应于一个力学量算 符 ；  且 是厄米算符， ；  力学量算符 的本征值就是力学量 F 允许的取值；  当且仅当粒子处在 本征态时，粒子的力学量有确 定值， i.e. 相应的本征值。

9 量子力学第四个基本假定：力学量的平均值  量子力学中所说的力学量算符的本征波函数是完备的， i.e. 任一波 函数均可用此本征波函数展开；  展开系数模平方是粒子处在该本征态的几率；  力学量在 ψ 态的平均值是：

10 4.4 常见力学量算符的本征值和 常见力学量算符： 一． 坐标： ， 任意且连续 归一化：

11 二，动量 正交归一： 经验：当本征值取连续值时，本征波函数要归一化为 δ 函数 三，轨道角动量  角动量算符及其对易关系

12 可证： 有共同的本征波函数完备集

13 2. 球坐标系下，轨道角动量算符的表达式 特点 、 只与 有关，与 r 无关 可求 或 或 的共同本征波函数完备集。

14 3. 球坐标下求解 的共同本征波函数完备集 在球坐标下有： 利用自然边界条件： 和 是同一点 得 将其带入方程并作参数变换，变形后对比 Legendre 方程可得： 其中 为球谐函数， 为连带 Legendre 多项式

15 球谐函数的性质： ① 正交归一性； ② 宇称确定； ③ 完备性； ④ 递推性。 升降算符  定义：  厄米共轭：  对易关系： 对于球谐函数有：

16 4.5 不确定关系 引入： 两算符 有共同本征波函数完备集的充分必要条件是： 当粒子处于算符 本征态时， 有确定值， 因此，当 时， 、 可同时有确定值 那么，当 时，两者是否可同时有确定值？ 计算可知： 此式称为测不准关系或不确定关系。

17 测不准关系的理解 测不准关系表示不论粒子处于什么状态，在任一时刻 测量到的粒子力学量 A 与 B 的几率分布宽度 ΔA 与 ΔB 之 间，存在一定的关系。若 与 不对易， 一般不为 零，这时测不准关系表示乘积 ΔA 与 ΔB 一定大于或等 于某一个正数。这表明 ΔA 与 ΔB 不能同时为零，粒子 波函数不可能同时是 与 的本征函数，粒子不可能 同时处于 与 的本征态上。

18 4.7 力学量平均值随时间的变化，守恒量 在由归一化波函数 描写的态中，力学量 F 的平均值 一般为时间 t 的函数，上式对 t 微商，得 利用薛定谔方程及其复共轭方程，结合 是厄米算符的特点，得 如果 不含 t ，且 与 对易，则 ， 不随时间变化，可见，力学 量算符不含 t ，且与 对易的条件下，无论粒子处于何态，该力学量的平均 值均不随时间变化，该力学量称为守恒量。

19 讨论 在某一力场中力学量 F 守恒，并不表示力学量 F 一定 去确定值 f n 。它仅表示无论粒子处于此力场的哪一 个态上，力学量 F 的平均值均不随时间变化。如果 t=0 时粒子的 F=f n ，即粒子处于 的本征值为 f n 的本 征态上，则任何时候该粒子的 F 都是 f n ，即粒子永远 处于 的本征值为 f n 的本征态上；反之亦然。

20 4.7 维里定理与 F-H 定理 维里定理 维里定理包含以下两个内容：  当粒子处于势场 V(r) 中的束缚定态 ψ n (r) 时，其动能平均值 可表示为： 或  如果 V(r) 是 r 的 ν 次齐次函数，则 费曼 - 海尔曼定理 (F-H 定理 )  F-H 定理：设粒子的束缚定态能量为 E n ，相应的归一化波 函数为 ψ n ， λ 为哈密顿算符中任一参数，则