ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΙΝΤΑΡΙ ΑΦΡΙΜ

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΙΝΤΑΡΙ ΑΦΡΙΜ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΕΣΠΕΡΙΝΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Β’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ 2013/14 Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ

2 ΜΑΘΗΤΕΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΙΝΤΑΡΙ ΑΦΡΙΜ

3 Ο φ είναι ένας άρρητος αριθμός
Ο αριθμός φ είναι ρίζα της εξίσωσης x2 — x — 1 = 0. Η εξίσωση αυτή έχει ακέραιους συντελεστές. Ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου της είναι ο 1 και ο σταθερός όρος της είναι ο —1. Επομένως, αν η εξίσωση έχει ρητές ρίζες αυτές θα ανήκουν στο σύνολο {—1,1}.

4 Οι 2 ιδιαίτερες αλγεβρικές ιδιότητες που προκύπτουν είναι οι εξής:
Το τετράγωνο του αριθμού φ είναι το άθροισμα του αριθμού φ με το 1 Ο αντίστροφος του αριθμού φ είναι η διαφορά του αριθμού φ με το 1

5 Η μαγεία του αριθμού φ Ο αριθμός Φ δε θεωρείται σε καμία περίπτωση ένα απλό μαθηματικό κόλπο, δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα, είναι μία ΘΕΪΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ, ένα ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΖΩΗΣ που συναντάμε καθημερινά χωρίς, ωστόσο, να γνωρίζουμε κάτι γι’ αυτό, ίσως και να του χρωστάμε περισσότερα από ότι νομίζουμε.. ίσως και την ύπαρξή μας...!!

6 Η αριθμός της φύσης, της ωραιότητας, της αρχιτεκτονικής, της αρμονίας, της υγείας. Ο αριθμός της μουσικής, των λουλουδιών, των έμβιων, του ρυθμού, των αναλογιών, των πλανητών. Ο αριθμός του σύμπαντος. Ο Πυθαγόρας στην αρχαία Ελλάδα αποτέλεσε τον πρώτο μαθηματικό που μίλησε για τον αριθμό Φ, μία αναλογία που όπως προέκυψε αργότερα, κρύβεται πίσω από καθετί τέλειο. Απίστευτο κι όμως αληθινό. Ο αριθμός Φ πήρε το όνομα του από τον Φειδία, ο οποίος ήταν Έλληνας γλύπτης, ζωγράφος και αρχιτέκτονας, ο οποίος έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ. και θεωρείται ευρέως ως ένας από τους σημαντικότερους γλύπτες της Κλασικής εποχής.

7 ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ; Χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος (και γενικά ενός μετρήσιμου μεγέθους) είναι το σημείο εκείνο όπου ο λόγος του συνολικού μεγέθους προς το μεγαλύτερο τμήμα είναι ίσος με τον λόγο του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο τμήμα. Ο λόγος σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ ή αλλιώς με τον ΑΡΙΘΜΟ Φ, ο οποίος είναι ίσος με Φ=1,618034

8 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

9 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Το πρόβλημα της χρυσής τομής αναφέρεται στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος AB, από ένα εσωτερικό σημείο Γ, σε δυο άνισα τμήματα που το μεγαλύτερο να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου μέρους και ολόκληρου του τμήματος. Δηλαδή AΓ2 = AB · ΓB

10 Η Λογαριθμική σπείρα

11 Η λογαριθμική σπείρα ορίζεται ως ο γεωμετρικός τό­πος του σημείου Μ το οποίο κινείται σ’ ένα επίπεδο έτσι ώστε η εφαπτόμενη στο Μ να σχηματίζει στα­θερή γωνία ω, με τη διανυσματική ακτίνα ΟΜ, όταν Ο είναι σταθερό σημείο του επιπέδου. Η λογαριθμική σπείρα είναι η μόνη επίπεδη καμπύλη στην οποία δύο τόξα είναι πάντοτε όμοια μεταξύ τους, έτσι ώστε η σπείρα να αναπτύσσεται ενώ η μορφή του σχήματός της παραμένει αμετάβλητη. Η καμπύλη αυτή μελετήθηκε πρώτα από τον Descartes το 1638 και αργότερα από τον Jacob Bernoulli που εργάστηκε επίσης πάνω σ’ αυτήν και ανακάλυψε πολλές από τις αξιοσημείωτες ιδιοτητές της. Αναφέρεται μάλιστα ότι εντυπωσιάστηκε τόσο πολύ απ’αυτές τις σχεδόν μυστικές ιδιότητες που την ονόμασε “Spira Mirabilis” και ζητησε να χαράξουν την καμπύλη στον τάφο του με τις λεξεις : Eadem mutate resurgo (Αν και αλλαγμένος εγείρομαι ξανά ο ίδιος

12 Η Χρυσή σπείρα

13 Για την κατασκευή της ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο, και προχωράμε προς τα μέσα, σχηματίζοντας τετράγωνα που μικραίνουν συνε­χώς, στο εσωτερικό του χρυσού ορθογωνίου. Μετά διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Τα συνεχόμενα τεταρτοκύκλια δημιουργούν μία χρυσή σπείρα. Η χρυσή σπείρα που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα προσεγγίζει ικανοποιητικά τη λογαριθμική σπείρα.

14 Το χρυσό τρίγωνο

15 Το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α = 36° και Β = Γ = 72° λέγεται «Χρυσό τρίγωνο», γιατί ο αριθμός φ εμφανίζεται με μεγάλη συχνότητα στα διάφορα στοιχεία του. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΒΔ της γωνίας Β. Τότε ΑΒΔ = ΔΒΓ = 36° , ΒΔΓ = 72° και ΑΔΒ = 108°. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΔΓ είναι ισοσκελή με ΑΔ = ΒΔ = ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΓ είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, άρα

16 Δηλαδή, η διχοτόμος μιας από τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου, χωρίζει μία από τις ίσες πλευρές του σε μέσο και άκρο λόγο.

17 Το χρυσό ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο λέγεται χρυσό, όταν ο λόγος των δύο διαστάσεών του είναι ίσος με φ.

18 Η δεύτερη χρυσή σπείρα

19 Για την κατασκευή της δεύτερης χρυσής σπείρας ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα χρυσά τρίγωνα (ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο) Η διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται απλώς με το να πάρουμε τμήμα στην μία πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι ίσο με τη βάση του τριγώνου

20 Η διαίρεση αυτή επαναλαμβάνεται στα επόμενα βήματα, σε κάθε νέο σχηματιζόμενο οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο. Τέλος διαγράφουμε τόξα κύκλων με κέντρα τις κορυφές των χρυσών οξυγωνίων τριγώνων, και ακτίνα μία πλευρά τους. Έτσι, οι βάσεις των χρυσών τριγώνων είναι χορδές στα τόξα που διαγράφουμε.

21 Το αστέρι των Πυθαγορείων
. Το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων ήταν το «Πεντάγραμμο», δηλαδή το αστέρι που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πεντάγωνου. Αποδεικνύεται ότι κάθε πλευρά διαιρεί τις άλλες δυο σε «χρυσή τομή».

22 Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI

23 ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Ο Λεονάρδος Φιμπονάτσι γεννήθηκε το 1175 μ.Χ στην Πίζα της Ιταλίας. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκα- λούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιός του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ήταν γνωστός έμπορος και μαθηματικός της εποχής που τελείωνε στον Ευρωπαικό χώρο ο σκοτεινός μεσαίωνας και άρχιζε η αναγέννηση με πρωτοπόρες τις Ιταλικές πό­λεις Γένοβα, Φλωρεντία, Μιλάνο και Πίζα. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής, κυνηγώντας περισσότερο τη γνώση παρά τα πλούτη του εμπορίου.

24 Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή. Ταξίδεψε σε ανατολική Μεσόγειο και Κωνσταντινούπολη . Σπούδασε Αραβικά και Αρχαιοελληνικά μαθηματικά, έγραψε σημαντικά έργα με σημαντικότερα το Liberabbaci, Practica geometria

25 Το βιβλίο του Liber abbaci (βιβλίο των υπολογισμών) το οποίο ολοκληρώθηκε το 1202 έπεισε αρκετούς Ευρωπαίους μαθηματικούς να χρησιμοποιήσουν το «νέο» σύστημα. Το βιβλίο, γραμμένο στα λατινικά, περιγράφει με λεπτομέρεια τους μαθηματικούς κανόνες που σήμερα διδάσκονται στο δημοτικό για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και περιέχει πολλές ασκήσεις-παραδείγματα με λεπτομέρειες για την εφαρμογή αυτών των κανόνων.

26 Ένα από τα θέματα που ασχολέιται στο Liber abacci ειναι το πρόβλημα:
Πόσα ζευγάρια κουνέλια μπορούν να γεννηθούν μέσα σε ένα χρόνο από ένα νεογέννητο ζευγάρι, αν κάθε ζευγάρι γεννάει καθε μήνα ένα ζευγάρι, το οποίο απο το δεύτερο μήνα αρχίζει να γεννά. Ας δούμε τώρα τη λύση του προβλήματος:

27

28 Ξεκινάμε από ένα ζεύγος μετά τον πρώτο μήνα, το πρώτο ζεύγος γεννάει ένα άλλο ζεύγος, επομένως είναι δύο. Μετά τον δεύτερο μήνα, το ώριμο ζεύγος γεννάει ένα άλλο ζεύγος, ενώ το νεαρό ζεύγος ωριμάζει. Επομένως υπάρχουν τρία ζευγάρια. Μετά τον τρίτο μήνα, καθένα από τα δύο ώριμα ζεύγη γεννάει ένα άλλο ζευγάρι και το νεαρό ζεύγος ωριμάζει. Έτσι έχουμε πέντε.

29 Μετά τον τέταρτο μήνα, καθένα από τα τρία ώριμα ζεύγη, γεννάει ένα ζεύγος και τα δύο νεαρά ζεύγη ωριμάζουν, δίνοντας μας ένα σύνολο οχτώ ζευγαριών. Μετά τους πέντε μήνες, έχουν ένα μικρό ζεύγος από το καθένα από τα πέντε ενήλικα ζεύγη, συν τρία ζευγάρια που ωριμάζουν, ένα σύνολο δεκατριών Μέχρι τώρα έχουμε κατανοήσει τη διαδικασία, για τη λήψη των αριθμών των ώριμων ζευγαριών, των νεαρών ζευγαριών και των ζευγαριών στο σύνολο στους διαδοχικούς μήνες. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε μόνο τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών σε κάποιο συγκεκριμένο μήνα

30 Αυτός ο αριθμός δημιουργείται από τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών του προηγούμενου μήνα, συν τον αριθμό των νεαρών ζευγαριών (που έχουν ωριμάσει) από τον ίδιο προηγούμενο μήνα. Όμως, ο αριθμός των νεαρών ζευγαριών από τον προηγούμενο μήνα στη πραγματικότητα ισούται με τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών του προηγούμενου μήνα Επομένως, σε ένα συγκεκριμένο μήνα (ξεκινώντας από τον τρίτο) ο αριθμός των ενηλίκων ζευγαριών απλώς ισούται με το άθροισμα των αριθμών των ενηλίκων ζευγαριών τους δύο προηγούμενους μήνες.

31 Ο αριθμός των ενηλίκων ζευγαριών επομένως ακολουθεί τη σειρά:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 ,... Φυσικά, ο συνολικός αριθμός των ζευγαριών είναι απλώς το άθροισμα αυτών και δίνει την ίδια ακο­λουθία με αυτή των ενηλίκων ζευγαριών, όπου έχει παραληφθεί ο πρωτος όρος (1, 2,3,5,8,...). Η ακολουθία 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 . στην οποία κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, ονομάστηκε δικαίως ακολουθία Fibonacci τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Eduard

32 Η σπείρα του Fibonacci Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε τη σπείρα του Fibonacci που κατασκευάζεται ως εξής: Δημιουργούμε μια διάταξη από τετράγωνα με πλευρές 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,..., δηλαδή αριθμούς Fibonacci. Ξεκινάμε με τα δύο πρώτα τετράγωνα πλευράς 1, τα οποία τα βάζουμε δίπλα - δίπλα. Έτσι σχηματίζεται ένα ορθογώνιο διαστάσεων 2 χ 1. Στην πλευρά του μήκους 2 «κολλάμε» το 2 χ 2 τετράγωνο ώστε να σχηματι­στεί ένα νέο ορθογώνιο διαστάσεων 3 χ 2. Τώρα «κολλάμε» το 3 χ 3 τετράγωνο στην πλευρά του μήκους 3 και σχηματίζεται έτσι ένα ορθο­γώνιο 3 χ 5.

33 Ο φ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

34 Ο Παρθενώνας είναι το καλύτερο παράδειγμα μαθηματικής προσέγγισης στην τέχνη. Οι αρχαίοι Έλληνες αρχιτέκτονες φαίνεται πως γνώριζαν τις διάφορες αναλογίες που τείνουν να ισούνται με φ. Έτσι λοιπόν η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή

35 Οι αρχαίοι αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στη τέχνη.
Χρησιμοποίησαν την αναλογία της χρυσής τομής στο χτίσιμο των πυραμίδων. Αν κάνουμε μια τομή στην μεγάλη πυραμίδα, βλέπουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο που λέγεται Αιγυπτιακό τρίγωνο (Egyptian Triangle). Η αναλογία της διαγώνιου της πυραμίδας (υποτείνουσα του τριγώνου) προς την απόσταση από το κέντρο του εδάφους (το μισό μέγεθος της βάσης) ισούται με 1,61804.

36

37 ΤΟ ΘΕΑΤΡΟ ΤΗΣ ΕΠΙΔΑΥΡΟΥ
Ο χρυσός αριθμός Φ κάνει την εμφάνιση στο θέατρο της Επιδαύρου, απ'τα σημαντικότερα και αρχαιότερα ελληνικά θέατρα, μιας και η αναλογία σειρών των δυο διαζωμάτων 34/21=1,618=Φ, αλλά και η αναλογία του συνόλου των σειρών προς το κάτω διάζωμα είναι ίση με 55/34=1,618=Φ.

38

39 Η Παναγία των Παρισίων Ο αριθμός φ και η χρήση της Χρυσής Αναλογίας έχει βρεθεί και στο σχέδιο της Παναγίας των Παρισίων. Η δυτική πρόσοψη της εκκλησίας εί­ναι η μεριά όπου η παρουσία των χρυσών ευθύγραμμων τμημάτων είναι ιδιαίτερα αισθητή.

40 Το κτίριο των Ηνωμένων Εθνών Η Χρυσή Αναλογία φαίνεται και στο κτίριο των Ηνωμένων Εθνών (UN Building). Στο συγκε­κριμένο κτίριο, ο λόγος του πλάτους του κτιρίου προς το ύψος κάθε 10 ορόφων ισούται με φ.

41 Ο Πύργος των Τηλεπικοινωνιών CN O Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CN Tower) στο Τορόντο, ο ψηλότερος πύργος στον κόσμο, περιλαμβάνει τη χρυσή τομή στο σχεδιασμό του. Ο λόγος του συνολικού ύψους του, 553,33 μέτρα, προς το ύψος του «καταστρώματος παρατήρησης» (observation deck), 342 μέτρα, είναι 1,618 δηλαδή ο αριθμός φ.

42 Ο φ ΣΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Στην Αναγέννηση, η διεύρυνση της προοπτικής και η αναζήτηση των ιδανικών αναλογιών για την ομορφιά, ένωσαν καλλιτέχνες και επιστήμονες. Η κωδικοποίηση της προοπτικής σήμανε επίσης το ξεκίνημα της προβολικής γεωμετρίας, την οποία οι ίδιοι οι αναγεννησιακοί ζωγράφοι θεμελίωσαν απεικονίζοντας με ρεαλιστικό τρόπο τα τρισδιάστατα αντικείμενα στους πίνακες τους, δηλαδή σε δύο διαστάσεις. Καθοριστικός ήταν ο ρόλος του Λεονάρντο ντα Βίντσι στην προοπτική τέχνη, όπως και των Ραφαήλ και Ντίρερ

43 Τα πάντα εδραιώθηκαν ως οι νέοι κανόνες όπως αυτοί που εμφανίζονται στις περίφημες φράσεις «πρωταρχική προϋπόθεση για έναν ζωγράφο είναι να γνωρίζει γεωμετρία» και «ο πίνακας είναι το ανοιχτό παράθυρο μέσα από το οποίο παρουσιάζεται το ζωγραφισμένο αντικείμενο».

44 Ο Μυστικός Δείπνος του Da Vinci

45 Αναφορικά με τη χρήση της χρυσής αναλογίας,συνθέσεις έργων του όπως Ο Μυστικός Δείπνος του Ντα Βιντσι εντυπωσιάζουν για τα κοινά χαρακτηριστηκά που παρουσιάζουν με διάφορα χρυσά σχήματα, και ειδικά με το ορθογώνιο. Στο εν λόγω έργο το χρυσό ορθογώνιο προσδιορίζει τόσο τις αναλογίες του τραπεζιού όσο

46 και τη διαρρύθμιση γύρω από τον Χριστό και τους μαθητές του
και τη διαρρύθμιση γύρω από τον Χριστό και τους μαθητές του. Με τη γνώση που διαθέτουμε πια για τη χρυσή αναλογία, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε με την πρώτη ματιά πως την ακολουθούν ακόμη και οι τοίχοι του δωματίου αλλά και τα παράθυρα στο βάθος

47 Η Mona Liza   Στο πορτρέτο της Τζοκόντα, όπως έδειξαν διάφορες μελέτες, τόσο το πρόσωπο όσο και συνολικά στις λε­πτομέρειες του, εμπεριέχεται ακριβώς σε μια καλαί­σθητη ακολουθία χρυσών ορθογωνίων. Στην μεταγενέστερη εποχή χρησιμοποιείται στους πίνακες μεγά­λων ζωγράφων όπως του Da Vinci που δόμησε την Mona Lisa με βάση ένα χρυσό τρίγωνο και την ζω­γράφισε επεκτείνοντάς το με άλλα χρυσά τρίγωνα

48 Η ΙΕΡΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΟΥ MΙΧΑΗΛ ΑΓΓΕΛΟΥ
H ιερή οικογένεια του Michelangelo είναι διακεκριμένο έργο εξαιτίας της αναλογίας των κυρίων φιγούρων οι οποίες σχηματίζουν ένα πεντάγωνο(χρυσό αστέρι)

49 Ο φ στη μουσική Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε 2 μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, στο μαγικό αριθμό φ ( = 1,618..)

50 Ο φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ Ο Ελβετός αρχιτέκτονας Le Corbusier ( ), επεξεργάστηκε ένα νέο αναλογικό σύστημα, που ονομάστηκε «Modulor», μια σειρά αριθμητικών αναλογιών που σχετίζουν το κτίριο με τις αναλο­γίες του ανθρώπινου σώματος.

51 Ένας άνθρωπος ύψους 1,83μ. , με το χέρι σηκωμένο(σε ένα ύψος 2,26μ
Ένας άνθρωπος ύψους 1,83μ., με το χέρι σηκωμένο(σε ένα ύψος 2,26μ.) είναι εγγεγραμμένο σε ένα τετράγωνο. Ο λόγος του ύψους του άνδρα (1,83μ) προς το ύψος του αφαλού του θεωρείται ότι αντιστοιχεί ακριβώς στον Χρυσό Λόγο. Το συνολικό ύψος από τα πόδια έως το ανυψωμένο χέρι χωρίζεται επίσης στον Χρυσό Λόγο σε 1,40μ και στη συνέχεια 0,86μ στο ύψος του καρπού ενός χεριού που κρέμεται προς τα κάτω. Οι δύο λόγοι (113/70) και (140/86) χωρίζονται στη συνέχεια σε μικρότερες διαστάσεις, σύμφωνα με την ακολουθία Fibonacci.

52

53 Η Χρυσή αναλογία στα άκρα
Το χέρι μας παρουσιάζει τη χρυσή τομή και την ακολουθία Fibonacci. Κάθε τμήμα είναι 1,618 φορές μεγαλύτερο από το προηγούμενό του. Κάθε φάλαγγα του ανθρώπινου δείκτη, από το ακροδάκτυλο μέχρι τη βάση του στον καρπό είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενή της κατά περίπου 1,618, δηλαδή περίπου κατά το χρυσό λόγο, προσαρμοζόμενη επίσης στους αριθμούς Fibonacci 2,3,5 και 8. Με αυτή την κλίμακα το νύχι μας έχει μοναδιαίο μήκος.

54 Χρυσή αναλογία στην οδοντιατρική
Οι γιατροί πρέπει να επιδιώκουν την «Χρυσή τομή» δηλαδή την αναλογία 1,618 : 1 που οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν απαραίτητη για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να φαίνεται όμορφο. «Η Χρυσή τομή δεν αναφέρεται μόνον στη γραμμική διάσταση του πλάτους» δηλώνει ο Goldstein που ασχολείται με την αισθητική Οδοντιατρική. «Δεν μπορείτε να μετρήσετε κάθε δόντι ξεχωριστά για να δείτε αν αυτό βρίσκεται στην Χρυσή τομή». Αντίθετα, χρησιμοποιώντας την απεικόνιση σε υπολογιστή, ο Goldstein καθορίζει αυτήν την αναλογία βασιζόμενος στον τρόπο με τον οποίο τα δόντια συμμετέχουν στο τόξο.

55 Ο καρδιακός παλμός Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά με περίπου 60 σφυγμούς το λεπτό σε κατάσταση ηρεμίας και με έως και 120 σφυγμούς σε κατάσταση άγχους ή έντονης κίνησης. Η πίεση του αίματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της καρδιακής λειτουργίας. Φθάνει τη μέγιστη τιμή της στην αριστερή καρδιακή κοιλία τη στιγμή της συστολής. Στις αρτηρίες κατά τη διάρκεια της

56 κοιλιακής συστολής η πίεση του αίματος φθάνει τη μέγιστη τιμή των mm στήλης υδραργύρου. Τη στιγμή της χαλάρωσης του καρδια­κού μυός (διαστολή) η πίεση μειώνεται μέχρι τα mm στήλης υδραργύρου. Ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη πίεση ισούται κατά μέσο όρο με 1,6, δηλαδή, πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία.

57 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Όλα τα παραπάνω είναι ελάχιστα μόνο δείγματα που επιβεβαιώνουν το γεγονός πως η φύση μιλάει και αποκαλύπτεται στη γλωσσά των μαθηματικών. Δεν θα ήταν σωστό όμως αυτή ακριβώς η διαπίστωση να δημιουργήσει στο μυαλό μας μια μυστικιστική, θεοκεντρική, μεταφυσική και συνεπώς παραμορφωτική αντίληψη για τη φύση και το ρόλο της μαθηματικής επιστήμης.

58 Η συνεχής εφαρμογή και χρησιμοποίηση των μαθηματικών σαν εργαλείων ανάλυσης και ερμηνείας της φυσικής πραγματικότητας που μαρτυρεί την πιστή αντανάκλαση του αντικειμενικού κόσμου μέσα από αυτά έχει μια απλή «ανθρώπινη» και φυσιολογική ερμηνεία: Τα μαθηματικά είναι ένα από τα προϊόντα της ανθρώπινης σκέψης και του ανθρωπινού συλλογισμού. Ο φυσικός κόσμος βρίσκεται σε αρμονία και συμφωνία με αυτά ακριβώς τα συλλογιστικά πρότυπα, επειδή ακριβώς ο άνθρωπος έμαθε να σκέφτεται μελετώντας τη φύση και επενεργώντας πάνω σε αυτή.

59 . Το ερώτημα που απασχολεί τους φιλοσόφους ανά τους αιώνες, για το αν τα μαθηματικά είναι ανθρώπινη εφεύρεση ή προϋπήρχαν και εμείς τα ανακαλύψαμε, φαίνεται απλό, αρκεί κάποιος να θαυμάσει το πώς ένας αριθμός είναι ο αγαπημένος της ίδιας της φύσης. Πάντως, ένα πράγμα είναι σίγουρο: στα μαθηματικά κρύβεται μια απαράμιλλη ομορφιά που τελικά αντικατοπτρίζει την ίδια τη φύση. Και αν δεν υπήρχε αυτή η ομορφιά, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε..

60 ΠΗΓΕΣ www.wikipedia.gr www.livepedia.gr www.asxetos.gr
Περιοδικό Β’Ευκλείδης Τεύχος 71 Περιοδικό Β’Ευκλείδης Τεύχος 81 Βιβλίο «Μαθηματικά Μυστήρια» του Calvin C.Clawson