…οι ομάδες εργασίας και τα αντίστοιχα θέματα έρευνας

Παρουσίαση με θέμα: "…οι ομάδες εργασίας και τα αντίστοιχα θέματα έρευνας"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 …οι ομάδες εργασίας και τα αντίστοιχα θέματα έρευνας

2 ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΑΚΩΒΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ
ΓΚΟΤΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΡΕΜΛΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΑΣΚΑΡΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΤΑΡΑΜΟΝΛΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΓΚΕΖΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΟΥ ΡΕΝΤΟ ΑΓΚΟ 1. ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ 2. ΜΕΡΙΣΜΟΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΜΠΙΖΙΟΥΡΑΣ ΚΩΣΤΑΣ ΜΕΛΙΟΠΟΥΛΟΥ ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΛΙΟΤΣΟΥ ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΑΚΩΒΟΣ ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΝΑ ΛΙΑΝΙΔΟΥ ΚΛΕΙΩ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ-ΡΙΨΗ ANTIKEIMENΩΝ ΣΕ ΘΗΚΕΣ ΟΜΑΔΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΤΙΓΚΙΝΑΓΚΑΣ ΝΙΚΟΣ ΚΟΥΚΟΥΤΣΙΔΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΧΑΣΙΩΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΠΑΚΑΝΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΠΑΖΑΚΑΣ ΖΩΗΣ ΘΩΜΑΪΔΗΣ ΘΩΜΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ ΟΜΑΔΑ ΤΡΙΤΗ

3 ΘΕΜΑ: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ-ΜΕΡΙΣΜΟΙ
ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΘΕΜΑ: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ-ΜΕΡΙΣΜΟΙ Ισοπληθείς-Ανισοπληθείς –Μικτοί Ελεύθεροι- Διατεταγμένοι

4 Στο πρόβλημα της υπεργεωμετρικής κατανομής λ
Στο πρόβλημα της υπεργεωμετρικής κατανομής λ.χ στην τυχαία συλλογή αντικειμένων από μία θήκη, παρατηρήσαμε τα εξής σημαντικά: 1. Η ζητούμενη πιθανότητα δεν άλλαζε είτε τα αντικείμενα ήταν πανομοιότυπα -και διέφεραν μόνο κατά το χρώμα- είτε ήταν διακεκριμένα (λ.χ αριθμημένα). 2. Η ζητούμενη πιθανότητα δεν άλλαζε, αν -χωρίς επανάθεση- η συλλογή γίνονταν διαδοχικά ή συνολικά (με μία ενέργεια) όλων των αντικειμένων 3. Η ζητούμενη πιθανότητα άλλαζε, όταν το πείραμα τύχης γινότανε -με ή χωρίς- επανάθεση.

5 Ζητείται-σε κάθε περίπτωση- η πιθανότητα των ενδεχομένων…
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Σε ένα δοχείο υπάρχουν: 4 κόκκινα, 5 άσπρα και 2 μπλε μπαλάκια, απολύτως πανομοιότυπα, τα οποία διαφέρουν μόνο, ως προς το χρώμα. Επιλέγουμε -στην τύχη- τρία από αυτά- χωρίς ή με επανατοποθέτηση-. Ζητείται-σε κάθε περίπτωση- η πιθανότητα των ενδεχομένων… Α. Ε1=<Να πάρουμε τρία μπαλάκια ίδιου χρώματος >. Β. Ε2=< Να πάρουμε τρία μπαλάκια διαφορετικού χρώματος >. Γ. Ε3= < Να πάρουμε τουλάχιστον ένα μπλε μπαλάκι >.

6 ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΤΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΘΕΣΗ

7 Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων σε κάθε περίπτωση είναι:
[1]. Για να πάρουμε τρία μπαλάκια ίδιου χρώματος θα πρέπει να πάρουμε ή τρία κόκκινα ή τρία άσπρα. ή Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να πραγματοποιηθεί - αυτό το ενδεχόμενο- όταν δεν έχουμε επανάθεση- είναι : Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

8 Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
[2]. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε –χωρίς επανάθεση- τρία μπαλάκια διαφορετικού χρώματος είναι: Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

9 [3]. Η ζητούμενη πιθανότητα για πάρω- χωρίς επανάθεση- ένα τουλάχιστον μπλε μπαλάκι, με βάση την προσθετική Αρχή, είναι: ή

10 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΤΑΙ ΜΕ ΕΠΑΝΑΘΕΣΗ

11 Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων -σε κάθε περίπτωση- είναι:
[1]. Για να πάρουμε τρία μπαλάκια ίδιου χρώματος θα πρέπει να πάρουμε ή τρία κόκκινα ή τρία άσπρα. ή Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να πραγματοποιηθεί - αυτό το ενδεχόμενο, όταν έχουμε επανάθεση, είναι : Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

12 Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
[2]. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε –με επανάθεση- τρία μπαλάκια διαφορετικού χρώματος είναι: Επομένως , η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

13 [3]. Η ζητούμενη πιθανότητα για πάρω- με επανάθεση- δύο τουλάχιστον μπλε μπαλάκια, με βάση την προσθετική Αρχή είναι:

14 ΠΩΣ ΕΙΣΑΓΕΤΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
ΜΕΡΙΣΜΟΙ ΠΩΣ ΕΙΣΑΓΕΤΑΙ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ομάδα n –το πλήθος- διακεκριμένων αντικειμένων, να διαμελιστεί, με συγκεκριμένη κατανομή , (με ή χωρίς τις μεταθέσεις της) σε υποομάδες 6 2 1 2 1

15 Όταν οι k υποομάδες του μερισμού μίας ομάδας n στοιχείων είναι ισοπληθείς, πλήθους m, τότε με την ενέργεια: δεν χωρίζουμε απλά σε υποομάδες , αλλά τοποθετούμε και στην σειρά, δηλαδή προσμετράμε και τις μεταθέσεις των υποομάδων. Σε ορισμένα προβλήματα, αυτό, ήταν σοβαρό ατόπημα, καθώς μετρούσαμε- δύο φορές- το ίδιο ενδεχόμενο λ.χ : Ε1 =<ο Πάνος παίζει σκάκι με τον Γιώργο…> και < ο Γιώργος παίζει σκάκι με τον Πάνο…>, (αδιάφορο ποιός έχει τα λευκά) αφού είναι φανερό ότι τα δύο παραπάνω ενδεχόμενα είναι ισοδύναμα και συνιστούν ένα- και μοναδικό- ενδεχόμενο.

16 Ένα παράδειγμα θα διαφωτίσει την αιτία του σφάλματος που συχνά διαπράτταμε…
Στο ερώτημα «με πόσους τρόπους μπορεί να χωριστεί ομάδα 2 ατόμων (π.χ {Πάνος-Γιώργος}), σε δύο μονομελείς υποομάδες;» … η απάντηση είναι προφανής… …Με έναν και μοναδικό τρόπο : Ν(Ω)={{Πάνος}, {Γιώργος}} . Kι όμως, ο προηγούμενος συλλογισμός, θα έδινε : Είναι φανερό ότι δεν χωρίσαμε- απλά- την ομάδα των 2 ατόμων σε δύο μονομελείς υποομάδες, αλλά πήραμε και τις μεταθέσεις τους, που έχουν πλήθος 2! . Κάτι, που θα ήταν σωστό, αν- στην άσκηση- δεν μας ζητούσαν- απλά- να χωρίσουμε σε υποομάδες, αλλά στην συνέχεια και να τις τοποθετήσουμε λ.χ σε δύο καρέκλες … Γρήγορα αντιληφθήκαμε ότι αυτό το λανθασμένο αποτέλεσμα, μετατρέπεται στο ορθό, όταν απομεταθέσουμε, δηλαδή όταν διαιρέσουμε με το πλήθος των μεταθέσεων των k υποομάδων που είναι k!. Πράγματι:

17 Aργότερα παρατηρήσαμε -εντυπωσιασμένοι -ότι αυτό το πρόβλημα δεν συναντάται στους ανισοπληθείς μερισμούς . Έτσι λ.χ αυτή η ενέργεια λειτουργούσε σωστά, αν επιχειρούσαμε- έτσι- να προσδιορίσουμε τους δυνατούς τρόπους χωρισμού μίας ομάδας 10 ατόμων με την κατανομή Οι δυνατοί τρόποι είναι πράγματι, τώρα: Αν δε, επιθυμούσαμε να τοποθετήσουμε και στη σειρά αυτές τις τρεις υποομάδες, δεν απέμενε παρά να πολλαπλασιάσουμε επί τον αριθμό των μεταθέσεων των τριών αντικειμένων δηλαδή επί 3!. Τότε λοιπόν, θα ήταν :

18 Δεν απέμενε πλέον παρά να εντοπίσουμε την φόρμα εκείνη που θα «δούλευε» και για τους μικτούς μερισμούς, δηλαδή, όταν συναντούσαμε συγχρόνως ισοπληθείς και ανισοπληθείς υποομάδες. Επιχειρήσαμε να δοκιμάσουμε το λογικό, όπως αυτό φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε ομάδα 20 διακεκριμένων αντικειμένων, με την κατανομή: ; Απομετάθεση 2 αντικειμένων Απομετάθεση 4 αντικειμένων Αν δε, επιθυμούσαμε να τοποθετήσουμε και στη σειρά αυτές τις τρεις υποομάδες, δεν απέμενε παρά να πολλαπλασιάσουμε επί τον αριθμό των μεταθέσεων των τριών αντικειμένων δηλαδή επί 3!. Τότε λοιπόν, θα ήταν :

19 Tί σήμαινε η επίλυση του προβλήματος των μερισμών…

20 ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΑΚΩΒΟΣ ΣΕ ΚΛΗΡΩΤΙΔΕΣ ME Ή ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ ΙI ΜΠΙΖΙΟΥΡΑΣ ΚΩΣΤΑΣ ΜΕΛΙΟΠΟΥΛΟΥ ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΛΙΟΤΣΟΥ ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΚΑΚΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΑΚΩΒΟΣ ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΝΑ ΛΙΑΝΙΔΟΥ ΚΛΕΙΩ ΔΕΥΤΕΡΗ ΟΜΑΔΑ ΘΕΜΑ: ΣΥΛΛΟΓΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ-ΡΙΨΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΕ ΚΛΗΡΩΤΙΔΕΣ ME Ή ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ

21 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΘΗΚΕΣ Ένα θεμελιακό πρόβλημα που θα έπρεπε αρχικά να επιλύσουμε ήταν ο διαχωρισμός αντικειμένων και θηκών, ο οποίος- συνήθως- πραγματοποιείται εμπειρικά. Λ.χ κατά την άνοδο σε ένα λεωφορείο και αποβίβαση σε δέκα στάσεις, δέκα επιβατών είναι ευνόητο ότι ως θήκες , θα ληφθούν οι στάσεις και ως αντικείμενα οι επιβάτες. Ωστόσο η εμπειρία δεν αποτελεί Μαθηματική τεκμηρίωση. Το να εργαζόμασταν με τις θήκες θα ήταν επίπονο και χρονοβόρο, καθώς σε κάθε στάση, θα μπορούσαν να αποβιβαστούν ένας –κανένας δύο κ.λ.π επιβάτες. Όμως, κάθε επιβάτης σε μία και μοναδική στάση θα κατεβεί! Συνεπώς Αντικείμενα είναι τα στοιχεία του προβλήματος , τα οποία έχουν μοναδικό προορισμό

22 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΑ ΜΠΑΛΑΚΙΑ
Ρίχνουμε στην τύχη επτά πανομοιότυπα μπαλάκια σε πέντε κουτιά. Ζητείται-σε κάθε περίπτωση- η πιθανότητα των ενδεχομένων… Α. Ε1=<Να πέσουν όλα τα μπαλάκια σε ένα μόνο δοχείο>. Β. Ε2=<Να πέσει ένα μπαλάκι σε ένα δοχείο και τα υπόλοιπα έξι σε ένα άλλο>. Γ. Ε3= <Να πέσει ένα μπαλάκι σε ένα συγκεκριμένο δοχείο και –ακριβώς- δύο σε ένα συγκεκριμένο άλλο δοχείο >. Δ. Ε4= <Να πέσουν- ακριβώς- δύο μπαλάκια σε ένα συγκεκριμένο δοχείο >.

23 [Α] Ε1 : <όλα τα μπαλάκια σε ένα δοχείο>
Πλήθος δυνατών περιπτώσεων: Ν(Ω) Πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων: Ε(Ω) Κάθε μπαλάκι έχει 5 επιλογές , να πέσει σε κάποιο δοχείο. Επομένως το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι 1. Επιλέγω 1 δοχείο από τα 5 Αυτή η ενέργεια πραγματοποιείται με 2. Τοποθετώ και τα 5 μπαλάκια στο δοχείο που επέλεξα Αυτή η ενέργεια πραγματοποιείται με 1 τρόπο Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

24 διαφορετικούς τρόπους
[Β] Επιθυμούμε να πέσει ένα μπαλάκι σε ένα δοχείο και τα υπόλοιπα έξι σε ένα άλλο. Επιλέγουμε δύο δοχεία από τα πέντε. Αυτή μας η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους Ακολούθως επιζητούμε το πλήθος των διατεταγμένων μερισμών των επτά σφαιριδίων με βάση την κατανομή 6-1 Αυτή μας η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

25 διαφορετικούς τρόπους
[Γ] Επιθυμούμε να πέσει ένα μπαλάκι σε ένα συγκεκριμένο δοχείο και δύο σε ένα άλλο συγκεκριμένο δοχείο . Επιλέγουμε δύο δοχεία από τα πέντε και τρία μπαλάκια από τα επτά. Αυτή μας η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους Τα 3 μπαλάκια, τοποθετούνται στα δύο συγκεκριμένο δοχεία που επιλέξαμε -με βάση την κατανομή 1-2- με 1 τρόπο. Απέμειναν τέσσερα μπαλάκια, κάθε ένα από τα οποία έχει 3 επιλογές να πέσει στα εναπομείναντα 3 κενά δοχεία Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

26 διαφορετικούς τρόπους
[Δ] Επιθυμούμε να πέσουν δύο μπαλάκια σε ένα συγκεκριμένο δοχείο. Επιλέγουμε δύο μπαλάκια από τα επτά. Αυτή μας η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους Τοποθετούμε τα δύο επιλεγέντα μπαλάκια στο συγκεκριμένο δοχείο. Αυτή μας η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με έναν τρόπο. Απέμειναν πέντε μπαλάκια, κάθε ένα από τα οποία έχει 4 επιλογές να πέσει στα εναπομείναντα 4 κενά δοχεία Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

27 Το πρόβλημα των ξενώνων
Επτά ορειβάτες πρόκειται να διανυκτερεύσουν σε 4 μικρούς ξενώνες , κάθε ένας από τα οποίους, έχει -μόνο ένα- τρίκλινο δωμάτιο διαθέσιμο. [Α]. Βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό και στη συνέχεια… [Β]. Βρείτε την πιθανότητα, του ενδεχομένου «τρεις συγκεκριμένοι φίλοι από τους επτά ταξιδιώτες, να διανυκτερεύσουν στον ίδιο ξενώνα.

28 Α) η κατανομή: 1-1-2-3 και οι μεταθέσεις της.
Παρατηρούμε ότι οι δυνατές κατανομές, με τις οποίες οι 7 ορειβάτες μπορούν να διανυκτερεύσουν στους τέσσερις ξενώνες είναι: Α) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. Β) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. Γ) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. Δ) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. Σε κάθε περίπτωση πρόκειται μια μικτούς διατεταγμένους μερισμούς. Επομένως –με βάση τα όσα έχουν ήδη προαναφερθεί- οι δυνατοί τρόποι είναι:

29 διαφορετικούς τρόπους
Για να βρούμε το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων του ενδεχομένου «τρεις συγκεκριμένοι φίλοι από τους επτά ταξιδιώτες, να μείνουν στον ίδιο ξενώνα». Α) Επιλέγουμε ένα ξενοδοχείο από τα τέσσερα και τοποθετούμε -εκεί -τους τρεις συγκεκριμένους φίλους . Αυτή η ενέργεια μας πραγματοποιείται με διαφορετικούς τρόπους 1) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. 2) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. 3) η κατανομή: και οι μεταθέσεις της. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Για τους εναπομείναντες τέσσερις ορειβάτες, οι δυνατοί τόποι με τους οποίους μπορούν να διανυκτερεύσουν στα τρία ξενοδοχεία που απομένουν είναι:

30 ΘΕΜΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ ΘΕΜΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ

31 Η ΣΎΧΡΟΝΗ ΘΕΑ ΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΩΝ
ΤΥΧΗ Η ΣΎΧΡΟΝΗ ΘΕΑ ΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΩΝ

32 Ρίχνω ένα αμερόληπτο ζάρι έξι φορές.
ΤΑ ΖΑΡΙΑ Ρίχνω ένα αμερόληπτο ζάρι έξι φορές. Ζητείται-σε κάθε περίπτωση- η πιθανότητα των ενδεχομένων… Ε1 =<να φέρω 4 φορές άσσο» Ε2 =<να φέρω μία τουλάχιστον φορά εξάρι» Ε3 =<να φέρω και τις έξι φορές το ίδιο αποτέλεσμα» Ε4 =<να φέρω τουλάχιστον 5 φορές το ίδιο αποτέλεσμα»

33 Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
1. Θέλω να φέρω τέσσερις φορές άσσο. Επιλέγω 4 θήκες από τις 6 και τις γεμίζω με άσσους. Αυτή η ενέργεια πραγματοποιείται με διαφορετικούς τρόπους. Απομένουν 2 θήκες κενές. Κάθε μία από αυτές, έχει 5 επιλογές (όχι άσσο). Συνεπώς επειδή- κάθε μία- καταλαμβάνεται , ανεξάρτητα από την άλλη, συμπληρώνονται και οι δύο με Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 2. Είναι: p(ένα τουλάχιστον εξάρι)=1- p(κανένα εξάρι). Επειδή δε, για το συμπληρωματικό ενδεχόμενο «να μην έρθει κανένα εξάρι», κάθε ευνοϊκή θήκη έχει 5 επιλογές , η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι:

34 3. Θέλω να φέρω και τις έξι φορές το ίδιο αποτέλεσμα.
Επιλέγω 1 αριθμό από τους 6 (αυτό γίνεται με 6 τρόπους) και γεμίζω με αυτόν και τις 6 θήκες. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: 4. Θέλω να φέρω τουλάχιστον 5 φορές το ίδιο αποτέλεσμα. Επιλέγω έναν αριθμό από 1 έως 6. Αυτό γίνεται με 6 τρόπους. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων να φέρω 5 ή 6 φορές την ένδειξη που επέλεξα. Για να φέρω 5 φορές την ένδειξη που επέλεξα, επιλέγω 5 από τις έξι θήκες και τις συμπληρώνω με αυτή την ένδειξη. Απομένει μία κενή θήκη που έχει 5 επιλογές (όχι αυτή που έχω επιλέξει). Για να φέρω 6 φορές την ένδειξη που επέλεξα συμπληρώνω και τις 6 θήκες με αυτή την ένδειξη (ένας τρόπος) . Επομένως –με βάση την προσθετική Αρχή-η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

35 Το πρόβλημα του Chevalier De Mere
«Ποιό είναι συμφερότερο να στοιχηματίσει ένας παίκτης….. Ότι θα φέρει 1 τουλάχιστον εξάρι, ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές ή ότι θα φέρει- τουλάχιστον μία φορά- εξάρες, ρίχνοντας, μαζί, δύο ζάρια 24 φορές;». Για το πρώτο ενδεχόμενο είναι p1=1-p(καμία φορά 6άρι σε τέσσερις ρίψεις)= Πράγματι, μας ενδιαφέρουν εκείνες οι διατεταγμένες τετράδες, που δεν περιέχουν κανένα 6άρι. Σε κάθε μία από τις τέσσερις ρίψεις –αυτό- μπορεί να συμβεί κατά πέντε τρόπους. Για το δεύτερο ενδεχόμενο ο δειγματικός χώρος αποτελείται από 24άδες και κάθε στοιχείο μίας τέτοιας 24άδας είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων/ενδείξεων από τις οποίες η μία αντιστοιχεί στο ένα ζάρι και η άλλη στο άλλο. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: είναι p2 =1-p(όχι δύο 6άρια σε 24 ρίψεις)=

36 ΤΟ ΠΟΚΕΡ Η Τράπουλα του Πόκερ περιέχει 32 χαρτιά. Συγκεκριμένα 7άρια, 8άρια, 9άρια,10 άρια, φιγούρες και άσσους. Λέγοντας «χρώμα» εννοούμε κούπες, σπαθιά, καρά ή μπαστούνια. Λέγοντας «είδος», αναφερόμαστε σε παπά, ντάμα, δεκάρι , άσσο κ.λ.π Παίρνοντας στην τύχη, λοιπόν, πέντε φύλα , το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι:

37 Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΧΡΩΜΑ»
Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΧΡΩΜΑ» -Όλα του ίδιου χρώματος , αλλά όχι και τα πέντε διαδοχικά 1. Επιλέγω ένα χρώμα από τα τέσσερα. Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 2. Από τα οκτώ φύλα του χρώματος που επέλεξα επιλέγω –τυχαία- πέντε. Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 3. Επομένως το πλήθος των ευνοϊκών τρόπων είναι Ε(Ω)=4∙56=224 και συνακόλουθα η ζητούμενη πιθανότητα:

38 Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΦΟΥΛ»
Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΦΟΥΛ» -τρία ίδιου είδους και τα υπόλοιπα, δύο, επίσης ίδιου είδους- π.χ «…φουλ του βαλέ με οκτάρια» 1. Επιλέγω ένα είδος από τα οκτώ. Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 2. Από τα τέσσερα φύλα του είδους που επέλεξα επιλέγω τα τρία . Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 3. Επιλέγω ένα είδος από τα επτά εναπομείναντα. Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 4. Από τα τέσσερα φύλα του νέου είδους που επέλεξα επιλέγω τα δύο . Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με 5. Επομένως το πλήθος των ευνοϊκών τρόπων είναι Ε(Ω)=4∙7∙6∙8=1.344 και συνακόλουθα η ζητούμενη πιθανότητα:

39 Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΚΑΡΡΕ»
Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΚΑΡΡΕ» -Τέσσερα φύλα του ίδιου είδους- 1. Επιλέγω ένα είδος από τα οκτώ. Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με: 2. Από το είδος που επέλεξα επιλέγω και τα τέσσερα φύλα. Αυτό γίνεται με έναν τρόπο 3. Από τα 28 εναπομείναντα φύλα επιλέγω τυχαία ένα . Αυτή η ενέργεια μπορεί να πραγματοποιηθεί με: 4. Επομένως το πλήθος των ευνοϊκών τρόπων είναι Ε(Ω)=28∙8=224 και συνακόλουθα η ζητούμενη πιθανότητα:

40 Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΚΕΝΤΑ»
Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΦΕΡΩ «ΚΕΝΤΑ» -Και τα πέντε φύλα διαδοχικά, αλλά όχι όλα του ίδιου χρώματος 1. Υπάρχουν 4 διαδοχικές πεντάδες φύλων. Σε κάθε μία από αυτές, αν εξαιρέσουμε την περίπτωση να είναι και τα πέντε φύλα του ίδιου χρώματος (φλος) αντιστοιχούν: ευνοϊκές πεντάδες (κέντες). 2. Επομένως το πλήθος των ευνοϊκών τρόπων είναι: και συνακόλουθα η ζητούμενη πιθανότητα: Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο καταλήξαμε στα συμπεράσματα του συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα

41 ΖΕΥΓΑΡΙA ΤΡΙΑ ΦΥΛΑ ΦΛΟΣ
Δύο φύλα του ίδιου είδους και τα υπόλοιπα διαφορετικών ειδών p=53% ΖΕΥΓΑΡΙA Δύο φύλα του ίδιου είδους , άλλα δύο ίδιου είδους και το πέμπτο διαφορετικό p=12% ΤΡΙΑ ΦΥΛΑ Τρία του ίδιου είδους και τα υπόλοιπα διαφορετικών ειδών p=5,3% ΦΛΟΣ Πέντε διαδοχικά ίδιου χρώματος p=0,00008

42 Δύο λόγια από τον καθηγητή μας…
ΕΝΟΤΗΤΑ ΙV Δύο λόγια από τον καθηγητή μας…

43 Η φτώχεια δεν θα νικηθεί από αυτόκλητους Μεσσίες η «ειδικούς», που στοίχειωσαν τις γωνιές, όπου κάποτε φτερούγιζαν οι προσδοκίες και τα όνειρα της νιότης μας. Μήτε κι από πολιτικά αηδόνια με τα «ψεύτικα τα λόγια τα μεγάλα…» Το φως της Γνώσης των νέων θα κτίσει, μία μέρα, έναν κόσμο πιο δίκαιο και πιο ανθρώπινο. Η μόρφωση και η καλλιέργεια τους, θα οδηγήσει την απληστία το ψεύδος και το όνειδος στην «τελευταία τους κατοικία». Σε μας που αποτύχαμε…μία οδός μας απομένει. Να σταθούμε αρωγοί στη γνώση τους, Μόνο αυτό, πια, μας απέμεινε….

44 και την υπέρτατη μαγεία των Μαθηματικών,
Αγαπημένε μου μαθητή… Προτού μάθεις την απέραντη Ιστορία μας, την εξαίσια αρμονία της Γλώσσας μας και την υπέρτατη μαγεία των Μαθηματικών, θα πρέπει- πρώτα- να μάθεις τί δεν πρέπει, ποτέ, να ρωτάς…. Αγωνιάς… Και πάλι θα ρωτήσεις, ξανά και ξανά… με παράπονο …, μα η ερώτηση σου, θα μένει πάντα χωρίς απόκριση… Γιατί οι ηγετίσκοι δεν απαντάνε, ποτέ, σε τέτοιες ερωτήσεις… Κανείς από δαύτους δεν ξέρει τι σημαίνει να αγωνιά ένα παιδί... Μόνο με τη γνώση θα τους νικήσεις και με την αξιοπρέπεια … Κι είναι τραχύς και δύσβατος αυτός δρόμος. Μα από τις πικρές ρίζες του δένδρου της Γνώσης, θα καρποφορήσουν καρποί εξαίσιοι… Και μόνο έτσι δεν θα σε λυγίσουν ποτέ… Ο καθηγητής σου

45 Ὅταν κάποτε φύγω ἀπὸ τοῦτο τὸ φῶς θὰ ἑλιχθῶ πρὸς τὰ πάνω ὅπως ἕνα ρυακάκι ποὺ μουρμουρίζει. Κι ἂν τυχὸν κάπου ἀνάμεσα στοὺς γαλάζιους διαδρόμους συναντήσω ἀγγέλους, θὰ τοὺς μιλήσω ἑλληνικά, ἐπειδὴ δὲν ξέρουνε γλῶσσες. Μιλᾶνε μεταξύ τους μὲ μουσική…

46 Οι προτάσεις μας για μία Ελλάδα αναβαθμισμένης Παιδείας
ΕΝΟΤΗΤΑ ΙV Οι προτάσεις μας για μία Ελλάδα αναβαθμισμένης Παιδείας

47 Τα αγαθά Copys κτώνται…
Η ΠΡΩΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΑΣ Να επαναεξεταστεί το Διαβλητό των ερωτήσεων ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ Λοιπόν παιδιά όπως είπαμε. ..Αν το [Α] είναι λάθος ο Σταμάτης ξύνει το αριστερό του αυτί..Αν το [Β] λάθος η Μαρία το δεξί της μάτι, αν το [Γ] είναι λάθος, τότε θα πρέπει να βρούμε τί θα ξύσουμε….. Τα αγαθά Copys κτώνται…

48 …και το πρόβλημα δεν σταματά εδώ
Αλλά και αν υποτεθεί ότι μία τέτοια εξέταση διενεργείται αδιάβλητα, υπολογίσαμε με βάση την Συνδυαστική, ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου ένας απολύτως απροετοίμαστος μαθητής να απαντήσει ορθά στις k από τις n –συνολικά- ερωτήσεις ενός test «ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ» , (0 ≤ k ≤ n), είναι: Αυτό σημαίνει, ότι ένας τέτοιος μαθητής, απαντώντας τυχαία και στις πέντε ερωτήσεις, έχει πιθανότητα να απαντήσει- ορθά- στις τρεις από αυτές- περίπου 31% Ο προβληματισμός απομένει σε μας και τα σχόλια αφήνονται σε Σας…..

49 Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΑΣ Ο ΕΛΛΗΝΑΣ ΚΑΙ Η ΤΥΧΗ

50 Ότι δεν ανεζήτησε την επιτυχία στην εύνοια της «τυφλής» θεάς,
μα στην συνεπή, συνεχή και συγκροτημένη προπαρασκευή του.

51 Αλήθεια..πόσο λίγο –ως κοινωνία - γνωρίζουμε τις ανάγκες μας……
Ρε τον μπαγάσα..Πού την βρήκε αυτή τη κίνηση…Την έπαιξε ο Καρπόφ το 1993. Κι ο Μήτσος απέναντι άρχισε να με κοιτάει παράξενα… Εδώ ο Καρπόφ έπαιζε συνήθως πύργο στο Α4… Αλήθεια..πόσο λίγο –ως κοινωνία - γνωρίζουμε τις ανάγκες μας……

52 5252 Η ΤΡΙΤΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΜΑΣ Η κατανομή των πρώτων

53 Σίγουρα στο Λύκειο διδαχθήκατε τον όγκο του τετραέδρου
Σίγουρα στο Λύκειο διδαχθήκατε τον όγκο του τετραέδρου. Ποιός από σας θέλει θα μας τον θυμήσει ; Μήπως εννοεί τον κανόνα De L’ Hospital? Μήπως το σχήμα Ηοrner? ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ? ΣΑΝ ΤΙ ΝΑ ΜΟΙΑΖΕΙ ΡΕ… ΣΑΝ ΤΙ ΝΑ ΜΟΙΑΖΕΙ?

54 Γιώργο πού τρέχει το μυαλό σου; Γιατί είσαι αφηρημένος;
Είναι βασική ταυτότητα αυτή

55

56 Μόνον έτσι, θα κρατήσουμε στον Τόπο μας τους πεφωτισμένους αυριανούς επιστήμονες που φεύγουν -πάλι -από την αγαπημένη Γη

57 …γι αυτούς που φεύγουν απ΄το αγαπημένο χώμα , απ΄ την αγαπημένη θάλασσα…
…Και τι φρικτή η μέρα που ενδίδεις, (η μέρα που αφέθηκες κ’ ενδίδεις), και φεύγεις οδοιπόρος για τα Σούσα, και πηγαίνεις στον μονάρχην Aρταξέρξη που ευνοϊκά σε βάζει στην αυλή του, και σε προσφέρει σατραπείες και τέτοια. Και συ τα δέχεσαι με απελπισία αυτά τα πράγματα που δεν τα θέλεις… Άλλα ζητεί η ψυχή σου, γι’ άλλα κλαίει· τον έπαινο του Δήμου και των Σοφιστών, τα δύσκολα και τ’ ανεκτίμητα Εύγε· την Aγορά, το Θέατρο, και τους Στεφάνους. Aυτά πού θα σ’ τα δώσει ο Aρταξέρξης, αυτά πού θα τα βρεις στη σατραπεία· και τι ζωή χωρίς αυτά θα κάμεις ; 

58 Και μία οδός απομένει για να ξαναφέρουμε στην Ελλάδα την ελπίδα…

59 Να αναστήσουμε την Ελλάδα της επιστήμης, την Ελλάδα της Τέχνης και της ποίησης .
Την Ελλάδα των πνευματικών διακρίσεων Την φωτοδότρα Ελλάδα που λατρέψαμε ,

60

61

62 Η Ελλάδα που λατρέψαμε δεν υπάρχει πια…

63 Σας ευχαριστούμε θερμά για την Τιμή που μας κάνατε…
1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ & ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Σας ευχαριστούμε θερμά για την Τιμή που μας κάνατε…