Το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.

Παρουσίαση με θέμα: "Το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

2 η Φυσική είναι ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ, ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ, ΕΝΝΟΙΕΣ, ΝΟΜΟΙ

3 ΕΝΝΟΙΕΣ ΝΟΜΟΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
εκκρεμές, ένα βαρίδι δεμένο σε ελατήριο ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ, ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ, ΔΥΝΑΜΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ ΕΝΝΟΙΕΣ ΝΟΜΟΙ ο Δεύτερος Νόμος της Κίνησης η Διατήρηση της ενέργειας

4

5 Αλλά ΑΡΜΟΝΙΚΗ; Γιατί τη λένε « αρμονική » ;
Το «ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ» το καταλαβαίνω γιατί το κινούμενο αντικείμενο πηγαινοέρχεται. Αλλά ΑΡΜΟΝΙΚΗ; Γιατί τη λένε « αρμονική » ; τώρα που το παρακολουθώ κάτι καταλαβαίνω αλλά . . Τι αρμονικό έχει ; Αν κρεμάσεις ένα σφαιρίδιο από το άκρο κατακόρυφου ελατηρίου , το ενεργοποιήσεις και παρακολουθήσεις την κίνησή του ίσως αφουγκραστείς την εσωτερική αρμονία της κίνησης

6 η ωραιότερη καμπύλη του Κόσμου

7 η ωραιότερη καμπύλη του κόσμου
Αν θέλεις περισσότερα θα χρειαστεί να «πείσουμε» την κίνηση να μας δείξει το ξετύλιγμά της μέσα στο χρόνο . Αν στην άκρη σφαιριδίου βρίσκεται η μύτη ενός μαρκαδόρου και δίπλα του υπάρχει ένα λευκό χαρτί, κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης θα αφήνει στο ακίνητο χαρτί μία ίσια γραμμή η οποία αποτελεί, βέβαια, μία πληροφορία για την κίνηση, χωρίς όμως να φανερώνει τίποτα για την ιδιαιτερότητα της εξέλιξής της. Εάν, όμως, κάποιος αρχίσει να μετακινεί το χαρτί με σταθερή ταχύτητα, κάθετα στη διεύθυνση της τροχιάς, (σε μια διαδικασία σαν εκείνη του σεισμογράφου) η εικόνα που θα προκύψει μας αποκαλύπτει την εξέλιξη της κίνησης μέσα στον χρόνο. Αντικρίζοντας τη γραμμή που εμφανίζεται μπροστά μας νιώθουμε έτοιμοι να αναφωνήσουμε η ωραιότερη καμπύλη του κόσμου

8 αρμονικό είναι το ημιτονοειδές
Και αυτό δεν είναι η τελευταία λέξη των φυσικών Ο Ισαάκ Νεύτων μας έπεισε ότι όλων των ειδών οι κινήσεις υπακούουν στους ίδιους νόμους. Εάν υιοθετήσουμε την πρακτική του, θεωρήσουμε δηλαδή το σφαιρίδιο ΥΛΙΚΌ ΣΗΜΕΙΟ και εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο της κίνησης καταλήγουμε σε μια εξίσωση. Αν λύσουμε την εξίσωση με τη βοήθεια των μαθηματικών, φθάνουμε στο συμπέρασμα ότι, η θέση του κινουμένου σώματος είναι μία ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. x = Aημωt Αν κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής θα εμφανιστεί μπροστά μας η εικόνα της αρμονικής καμπύλης, ίδια με εκείνη στην οποία είχαμε οδηγηθεί μέσα από τους δρόμους της έμπρακτης δραστηριότητας. Οι μαθηματικοί, δηλαδή, μας λένε ότι αρμονικό είναι το ημιτονοειδές

9 η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΉΣ ταλάντωση είναι το δομικό στοιχείο κάθε μουσικού ήχου
Όσο για τους φυσικούς, αυτοί μας καλούν να θυμηθούμε την απόλαυση που προσφέρει η μουσική και μας μιλούν για το μεγάλο «μυστικό» το οποίο έφερε στο φως η συνεργασία τους με τους μαθηματικούς τον 19ου αιώνα. κάθε μουσικός ήχος παράγεται από μία δόνηση η οποία είναι δυνατόν να αναλυθεί σε αρμονικές, δηλαδή ημιτονοειδείς, ταλαντώσεις Με άλλα λόγια η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΉΣ ταλάντωση είναι το δομικό στοιχείο κάθε μουσικού ήχου της αξίζει λοιπόν να την αποκαλούμε ΑΡΜΟΝΙΚΗ αυτό πολύ μου άρεσε

10

11 η ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ του φαινόμενου

12 Οι ΕΝΝΟΙΕΣ για την περιγραφή
Οι ΕΝΝΟΙΕΣ για την περιγραφή Εφόσον το φαινόμενο είναι ΚΙΝΗΣΗ υλικού σημείου οι έννοιες που χρειαζόμαστε για την περιγραφή του είναι η ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ ( για τον προσδιορισμό της οποίας χρειαζόμαστε τις έννοιες ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ και ΧΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ) η ΤΡΟΧΙΑ, το ΧΩΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ και τα διανυσματικά μεγέθη ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Εφόσον είναι ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ μπορούμε να χρησιμοποιούμε ένα κατάλληλο ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ, έτσι ώστε ή ευθεία του άξονα x να μην είναι μία τυχαία ευθεία αλλά να συμπίπτει με την τροχιά. Με αυτή την προϋπόθεση τα διανύσματα ΘΕΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑ και ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ θα βρίσκονται στον άξονα και μπορούμε να τα προσδιορίζουμε μόνο με τις αλγεβρικές τιμές τους. Ο Εφόσον είναι ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ, παλινδρομική δηλαδή κίνηση που λαμβάνει χώρα εκατέρωθεν μιας θέσης ( την συμβολίζουμε με 0) , μπορούμε να τοποθετήσουμε έτσι τον άξονα x ώστε η αρχή των αξόνων να βρίσκεται σε αυτή τη θέση. Εφόσον, τέλος, είναι ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ περιγράφεται και με τις έννοιες ΠΕΡΙΟΔΟΣ και ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ.

13 x > 0 T= 2,8 s x = 0 f = 0,36 Hz x < 0 T = 2,2 s f = 0,45 Hz
ΠΕΡΙΟΔΟΣ , Τ , είναι το « πόσα δευτερόλεπτα για κάθε παλινδρόμηση » ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, f , είναι το «πόσες παλινδρομήσεις σε κάθε δευτερόλεπτο» x > 0 T= 2,8 s x = 0 f = 0,36 Hz x < 0 T = 2,2 s f = 0,45 Hz T= 4,6 s f = 0,22 Hz

14 Τ= 1, 8 s f = 0,56 Hz

15 T= 1,6 s f= 0,625 Hz

16 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της περιγραφής
Η Γεωμετρία της περιγραφής περιλαμβάνει Τον άξονα x, η ευθεία του οποίου συμπίπτει με την ευθεία της τροχιάς το ευθύγραμμο τμήμα της ΑΑ΄ στο οποίο «περιορίζεται» η κίνηση Τρία από τα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτά ΣΗΜΕΙΑ αυτού του τμήματος παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον θέση A Ο A΄ x Τα δύο από αυτά είναι τα άκρα Α και Α΄ του τμήματος στο οποίο περιορίζεται η απλή αρμονική ταλάντωση. Η ιδιαιτερότητά τους έγκειται στο ότι όταν το κινούμενο σώμα βρεθεί στα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ αυτά ΣΗΜΕΙΑ, η ταχύτητά του είναι βέβαια αυτονόητα μηδενική αλλά η επιτάχυνση έχει τη μεγαλύτερη κατά μέτρο τιμή της. Ακόμα μεγαλύτερο ενδιαφέρον εμφανίζει το μέσον του ΑΑ΄ το λεγόμενο και ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ, στο οποίο, για λόγους απλούστευσης, τοποθετούμε και την Αρχή των αξόνων, και κατά συνέπεια από το σημείο αυτό μετράμε τη θέση ( απομάκρυνση ) x.

17 τα τρία ερωτήματα και οι τρεις συναρτήσεις

18 Μια ορισμένη χρονική στιγμή της εξέλιξης του φαινομένου
– όποια θέλουμε- την επιλέγουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ. Από κει και πέρα « ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ » σημαίνει « να απαντήσουμε σε τρία βασικά ερωτήματα » α. που θα βρίσκεται ο αρμονικός ταλαντωτής σε κάθε στιγμή στο μέλλον ; β. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του ( η ταχύτητά του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον; γ. ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του ( η επιτάχυνσή του ) σε κάθε στιγμή στο μέλλον ;

19 x = Aημωt η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δίνεται με τη συνάρτηση
Εάν επιλέξουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ μία χρονική στιγμή κατά την οποία ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενος προς τα θετικά του άξονα Ο ταχύτητα x η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δίνεται με τη συνάρτηση x = Aημωt Το σύμβολο x παριστάνει την αλγεβρική τιμή της θέσης ( απομάκρυνσης ) του ταλαντωτή Η αλγεβρική τιμή κάθε διανυσματικού μεγέθους είναι το μέτρο του με πρόσημο καθοριζόμενο από τη φορά του αντίστοιχου διανύσματος σε σχέση με συμφωνημένο άξονα

20 x = 0 ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ τυχαία ΘΕΣΗ διάνυσμα θέσης x > 0

21 x = Aημωt t x = Aημ(2πt/Τ) ω = 2πf οπότε και ω = 2π/Τ . x
περίοδος Το σύμβολο Α είναι θετική ποσότητα και παριστάνει τη μέγιστη τιμή του x . Λέγεται ΠΛΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ Το σύμβολο ω είναι συντομογραφία του γινομένου του αριθμού 2π επί τη συχνότητα της ταλάντωσης ω = 2πf οπότε και ω = 2π/Τ . Το γινόμενο 2πf λέγεται γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα

22 υ = ωΑσυνωt a =-ω2Αημωt Οι απαντήσεις στα δύο άλλα ερωτήματα,
για την ταχύτητα και την επιτάχυνση, δίνονται με τις συναρτήσεις υ = ωΑσυνωt και a =-ω2Αημωt Τόσο η ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι ως αρχή των χρόνων επιλέξαμε χρονική στιγμή με x = 0 και υ > 0 Τα σύμβολα υ και α παριστάνουν τις ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ των διανυσματικών μεγεθών ταχύτητα και επιτάχυνση.

23 θέση x = Aημωt ταχύτητα υ = ωAσυνωt επιτάχυνση α = - ω2Aημωt χρόνος

24

25 κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια

26 Από τις x = Aημωt και α = - ω2Aημωt απορρέει η συνάρτηση
επιτάχυνσης και θέσης α = - ω2x

27 α = - ω2x τι σημαίνει το πρόσημο πλην (–) στη συνάρτηση
επιτάχυνσης θέσης ; περιγράφει το ότι σε κάθε χρονική στιγμή η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης έχει αντίθετο πρόσημο από την αλγεβρική τιμή της θέσης αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση θα είναι πάντοτε επιβραδύνουσα ; ΟΧΙ . . ΟΧΙ . . σημαίνει ότι τα διανύσματα επιτάχυνσης και θέσης έχουν πάντοτε αντίθετες κατευθύνσεις Αν δηλαδή είναι x > 0 θα είναι οπωσδήποτε α < 0 και αντίστροφα ; Ακριβώς . . Και εφόσον το διάνυσμα θέση κατευθύνεται εξ ορισμού από το γεωμετρικό σημείο Ο - θέση ισορροπίας- προς το σημείο που βρίσκεται ο ταλαντωτής, το διάνυσμα της επιτάχυνσης θα ΚΟΙΤΑΖΕΙ ΠΑΝΤΟΤΕ προς τη θέση ισορροπίας και όταν η επιτάχυνση είναι αρνητική ; Το θετικό ή αρνητικό πρόσημο σχετίζεται με το «πώς έχουμε προσανατολίσει» τον άξονα x . Αν ο άξονας x είναι οριζόντιος και έχει τα θετικά προς τα δεξιά, α < 0 σημαίνει ότι η κατεύθυνση της επιτάχυνσης θα είναι προς τα αριστερά και τι γίνεται με το πρόσημο της ταχύτητας ; Αυτό καθορίζεται μόνο από το «προς τα που κινείται» σε σχέση με τον προσανατολισμό του άξονα

28 Σε σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης
η ταχύτητα η επιτάχυνση η θέση ( απομάκρυνση ) και αν κατά τη στιγμή εκείνη κινείται προς τα δεξιά

29 στο άκρο της ταλάντωσης x > 0 α < 0 υ = 0
ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ > 0 x > 0 α < 0 υ > 0 Θέση ( απομάκρυνση) ταχύτητα x > 0 α < 0 επιτάχυνση υ > 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x > 0 α < 0 υ = 0 x > 0 α < 0 υ < 0 x > 0 α < 0 υ < 0 ο ταλαντωτής στη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ x = 0 α = 0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 x < 0 α >0 υ < 0 ο ταλαντωτής στο άκρο της ταλάντωσης x < 0 α >0 υ = 0

30 οι συναρτήσεις x = Aημωt υ = ωΑσυνωt και α = - ω2Αημωt
ισχύουν μόνο εφόσον κατά την αρχή των χρόνων ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα αν ΔΕΝ ισχύει αυτό πώς θα είναι οι συναρτήσεις ; Γενικότερα οι συναρτήσεις είναι: x = Aημ(ωt+φ) υ= ωΑσυν(ωt+φ) και a = - ω2Αημ(ωt+φ)

31 x = Aημωt x = Aημ(ωt+π/2) x = Aημ(ωt-φ0)

32 και η συνάρτηση για την ταχύτητα που θα έχει
αν επιλέξουμε ως ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ τη στιγμή που βρίσκεται στο άκρο της ταλάντωσης με x = +A Ο A πώς θα είναι η συνάρτηση x= f(t) ; -A x = Aημ(ωt + π/2) ωA και η συνάρτηση για την ταχύτητα που θα έχει στο μέλλον ; -ωA υ = ωAσυν(ωt + π/2)

33 γωνία ; « ΦΑΣΗ του x» τι είναι αυτό ωt
που εμφανίζεται μαζί με το ημίτονο; γωνία ; Ας επιστέψουμε στην απλή μορφή x = Aημωt Είναι γωνία και λέγεται « ΦΑΣΗ του x» Ακριβώς Σε κάθε χρονική στιγμή αντιστοιχεί μία τιμή φάσης ωt ή 2πt/T. Γιa t = T/4 η φάση της θέσης θα είναι π/2 ενώ για t = Τ/2 θα είναι ίση με π Αν η συνάρτηση είναι x = Aημ(ωt+π/6) η φάση θα είναι (ωt+π/6) ; Φαντάσου ένα υλικό σημείο σε ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ με περίοδο Τ. Προσπάθησε στη συνέχεια να φανταστείς τη ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ του σε έναν οποιοδήποτε άξονα. η γωνία αυτή – η φάση - έχει κάποια ειδική απεικόνιση; Μπορούμε να αποδείξομε ότι η κίνηση της προβολής είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ και τι σχέση έχει αυτό με την έννοια ΦΑΣΗ ;

34 ωt η ΦΑΣΗ Φαντάσου και την «επιβατική ακτίνα» που συνδέει
Φαντάσου και την «επιβατική ακτίνα» που συνδέει το κέντρο του κύκλου με το κυκλικά κινούμενο και διαγράφει γωνίες ανάλογες με τον χρόνο τη χρονική στιγμή t x = A ημωt ωt στην ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΩΝ Εάν κατά την αρχή των χρόνων το κυκλικά κινούμενο βρίσκεται σε μια ορισμένη θέση η γωνία που θα έχει διαγράψει η επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστημα t, θα είναι η ΦΑΣΗ της ταλαντευόμενης προβολής του τη χρονική στιγμή t

35 η ΔΥΝΑΜΙΚΗ του φαινομένου

36 Κατά την περιγραφή της κίνησης δεν χρειάστηκε
να μας απασχολήσουν δύο σοβαρά – από τη σκοπιά της Φυσικής - ζητήματα το πρώτο είναι ότι το ότι το κινούμενο αντικείμενο έχει αδράνεια και το δεύτερο ότι το αντικείμενο αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του η αδράνεια του αντικειμένου περιγράφεται με την έννοια ΜΑΖΑ η αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον περιγράφεται με τις έννοιες ΔΥΝΑΜΗ και ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Πώς πρέπει να αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του ένα αντικείμενο ώστε να εκτελεί αρμονική ταλάντωση ; το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι Για να οδηγηθούμε στην απάντηση θα χρειαστεί να εφαρμόσουμε τον Δεύτερο νευτωνικό νόμο της κίνησης και τη Διατήρηση της ενέργειας.

37 οι ΝΟΜΟΙ

38 F = mα. F = - mω2x. έχει μάζα αδράνειας.
ο δεύτερος νευτωνικός νόμος της κίνησης που ισχύει για την οποιαδήποτε κίνηση υλικού σημείου, ισχύει και στο συγκεκριμένο φαινόμενο. Για να τον εφαρμόσουμε παίρνουμε υπόψη ότι το κινούμενο αντικείμενο έχει μάζα αδράνειας. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό, η συνισταμένη των δυνάμεων προσδιορίζει την κατεύθυνση της επιτάχυνσης - κατευθύνεται δηλαδή σε κάθε στιγμή προς τη θέση ισορροπίας– και έχει τιμή ίση με το γινόμενο της ΜΑΖΑΣ επί την ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ. Αν την συμβολίσουμε με το γράμμα F θα ισχύει F = mα. F = - mω2x. Στην εξίσωση αυτή το σύμβολο F παριστάνει την αλγεβρική τιμή της συνισταμένης των ασκουμένων δυνάμεων

39 Την mω2 την θεωρούμε ως μία φυσική ποσότητα την οποία συμβολίζουμε με το γράμμα D αποκαλώντας την
σταθερά επαναφοράς γιατί το κάνουμε αυτό ; F = - Dx οπότε η συνάρτηση δύναμης – θέσης παίρνει τη μορφή το κάνουμε διότι η mω2 : α. διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης και αυτό μας διευκολύνει να δώσουμε έμφαση στην ΑΝΑΛΟΓΙΑ των μεγεθών δύναμη και θέση β. είναι μία ποσότητα προσδιοριζόμενη μόνο από το σύστημα «ταλαντωτής-περιβάλλον»

40 i. έχει τιμή ανάλογη προς την τιμή της θέσης
η αλγεβρική ανάγνωση της F= - Dx μας «λέει» ότι σε κάθε αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη των ασκουμένων στο σώμα δυνάμεων i. έχει τιμή ανάλογη προς την τιμή της θέσης ii. έχει αντίθετο πρόσημο από εκείνο της θέσης και αυτό σημαίνει ότι έχει κατεύθυνση αντίθετη από εκείνη της θέσης (απομάκρυνσης), κατευθύνεται δηλαδή πάντοτε προς τη θέση ισορροπίας. Θέση ισορροπίας Θέση ισορροπίας Αυτό το τελευταίο μας κάνει να την χαρακτηρίζουμε «δύναμη επαναφοράς»

41 F x = 0, F=0 +A x -A x = 0, F=0 θέση x δύναμη F

42 πρέπει και αρκεί ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΤΙΜΗ ΑΝΑΛΟΓΗ
για να πραγματοποιηθεί το φαινόμενο ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ πρέπει και αρκεί το αντικείμενο να αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του έτσι ώστε η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ (να κατευθύνεται δηλαδή διαρκώς προς τη θέση ισορροπίας ) ΜΕ ΤΙΜΗ ΑΝΑΛΟΓΗ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ x = Aημωt F = - Dx F = - Dx x = Aημωt

43 Τ = 2π √m/k F F = - k x Άρα η κίνηση είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Εφόσον γνωρίζουμε τις αλληλεπιδράσεις ενός σώματος με το περιβάλλον του μπορούμε να προβλέψουμε εάν, ενεργοποιούμενο, θα εκτελέσει ή δεν θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση Ένα σφαιρικό αντικείμενο κρεμασμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου Το αντικείμενο ενεργοποιημένο σε τυχαία στιγμή της κίνησης Το θεωρούμενο αβαρές ελατήριο στο φυσικό του μήκος Για τη δύναμη Fελ του τεντωμένου ελατηρίου εφαρμόζουμε τον νόμο της ελαστικότητας – νόμο του Hοοκε- Fελ = kδ Το x δεν είναι μόνο η επί πλέον επιμήκυνση του ελατηρίου είναι και η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης ( θέσης ) kδ k(δ+x) δ θέση ισορροπίας Αποδεικνύεται δηλαδή ότι σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης- άρα και σε οποιαδήποτε στιγμή για τη συνισταμένη των δυνάμεων ισχύει F = - k x F x mg Άρα η κίνηση είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ασκούμενες δυνάμεις ασκούμενες δυνάμεις στο ακίνητο αντικείμενο mg η βάρος και ισχύει αυτό που ισχύει σε όλες τις αρμονικές ταλαντώσεις F = - mω2x η βάρος η δύναμη του τεντωμένου κατά δ+x ελατηρίου η δύναμη Fελ του τεντωμένου κατά δ ελατηρίου προσδιορίζουμε την αλγεβρική τιμή F της συνισταμένης k = mω2 k = m.4π2/Τ2 Θεωρούμε άξονα Τ = 2π √m/k Για το φαινόμενο ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ εφαρμόζουμε τον πρώτο νόμο της κίνησης F = mg – k(δ+x) και λόγω της mg=kδ F = -k x mg = kδ

44 πλάτος περίοδος Τ = 2π √m/k

45 Τ = 2π √m/k τρεις διαφορετικές σταθερές των ελατηρίων
αλλά και τρεις ταλαντώσεις με το ίδιο πλάτος τρεις διαφορετικές σταθερές των ελατηρίων Τ = 2π √m/k τρεις διαφορετικές περίοδοι

46 Τ = 2π √ℓ/g F = - mg/ℓ . x ℓ Fx x ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Ένα σφαιρίδιο κρεμασμένο από το άκρο νήματος ανελαστικού . Ένα απλό εκκρεμές Το σφαιρίδιο σε τυχαία στιγμή της κίνησης ασκούμενες δυνάμεις η βάρος ℓ Αποδεικνύεται δηλαδή ότι σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης - άρα και σε οποιαδήποτε στιγμή - για τη συνισταμένη των δυνάμεων ισχύει F = - mg/ℓ . x η δύναμη Ν του τεντωμένου ανελαστικού νήματος Ν αναλύουμε την βάρος σε δύο συνιστώσες x H Fx είναι η συνισταμένη των ασκουμένων στο σφαιρίδιο δυνάμεων Άρα, για μικρά πλάτη, η κίνηση του σφαιριδίου είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Fx mg Fy Για την αλγεβρική τιμή της θεωρούμε άξονα και ισχύει αυτό που ισχύει σε όλες τις αρμονικές ταλαντώσεις F = - mω2x Fx = - mg ημφ Το x είναι και η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης ( θέσης ) mg/ℓ= mω2= m .4π2/Τ2 ημφ = x/ ℓ Fx = - mgx/ℓ Τ = 2π √ℓ/g Για αιωρήσεις μικρού πλάτους ο άξονας μπορεί να θεωρηθεί οριζόντιος

47 η Διατήρηση της ενέργειας
Ένα αντικείμενο που εκτελεί αρμονική ταλάντωση είναι ένα σώμα με μάζα- αδράνεια που ΚΙΝΕΙΤΑΙ και ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑ με το περιβάλλον του. Και ενώ η ΚΙΝΗΣΗ του περιγράφεται με τις έννοιες ταχύτητα και ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ, η ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ του περιγράφεται με τις έννοιες ΔΥΝΑΜΗ και ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ εύκολα μπορώ να συμπεράνω η ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ του σώματος μια ορισμένη χρονική στιγμή της κίνησης είναι ίση με ½mυ2 και, κατά την εξέλιξη του φαινομένου, έχει τη μεγαλύτερη τιμή τη στιγμή που περνάει από τη θέση ισορροπίας και ελαττώνεται καθώς κατευθύνεται προς το άκρο της ταλάντωσης τι συμβαίνει όμως με τη ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ; τι είδους δυναμική ενέργεια είναι αυτή ; δυναμική ενέργεια βαρύτητας ; δυναμική ενέργεια παραμορφωμένου ελατηρίου; Είναι κάτι διαφορετικό

48 η ισορροπία του είναι βέβαια ευσταθής και –
Η λεγόμενη δυναμική ενέργεια ταλαντωτή περιγράφει τη « συνολική αλληλεπίδραση » - αυτήν δηλαδή που περιγράφεται, με διαφορετικό τρόπο και με την έννοια δύναμη επαναφοράς- του ταλαντωτή με το περιβάλλον του. Όταν ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση ισορροπίας ακίνητος, η ισορροπία του είναι βέβαια ευσταθής και – όπως κάθε σώμα σε ανάλογη θέση – η δυναμική του ενέργεια έχει την ελάχιστη τιμή Η ιδιαιτερότητα του αρμονικού ταλαντωτή έγκειται στο ότι εάν θελήσουμε να παρέμβουμε ώστε να τον μετακινήσουμε από τη θέση ισορροπίας του, το περιβάλλον θα επιδράσει πάνω του ασκώντας - όχι μια οποιαδήποτε δύναμη επαναφοράς αλλά – μια δύναμη ανάλογη προς την απομάκρυνση F= - Dx

49 Για να πετύχουμε δηλαδή αυτή τη μετακίνηση, θα χρειαστεί να ασκούμε δύναμη F΄= Dx, να μεταβιβάσουμε δηλαδή ενέργεια ίση με το έργο της δύναμης αυτής. Το έργο αυτό είναι ίσο με ½Dx2 x θέση ισορροπίας F ΄= Dx F = - Dx Με το που βρίσκεται ο ταλαντωτής σε μια οποιαδήποτε θέση (x) θα έχει – ανεξάρτητα από την κίνησή του - ενέργεια περισσότερη από αυτή που είχε στη θέση ισορροπίας του κατά ½Dx2. Η ενέργεια αυτή είναι η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή. Κάθε αρμονικός ταλαντωτής εφόσον απέχει κατά |x| από τη θέση ισορροπίας του θα έχει δυναμική ενέργεια U=½Dx2 ως προς τη θέση ισορροπίας του, στην οποία η δυναμική του ενέργεια θεωρείται μηδενική

50 H τιμή της δυναμικής ενέργειας ½Dx2 προκύπτει από την F= - Dx,
η οποία, με τη σειρά της, προκύπτει από την x = Αημωt Μια ακόμα συνέπεια των τριών αυτών μαθηματικών δομών είναι ότι οδηγούν στη ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Αν προσθέσουμε την κινητική και τη δυναμική ενέργεια, σε μια τυχαία στιγμή της κίνησης, προκύπτει ότι ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΜΙΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ το άθροισμα παραμένει σταθερό, Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ U + K = ½mυ2 + ½Dx2 = ½ mω2Α2συν2ωt + ½ DA2ημω2ωt U + K = ½DΑ2 = σταθερό U + K = ½ DΑ2συν2ωt + ½ DA2ημω2ωt

51 η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ
U =½Dx2 x = Αημωt F= - Dx η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ = ½ DΑ2

52 κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια
και δυναμική ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή κατά την εξέλιξη του φαινομένου

53

54 κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια ενέργεια

55 η έννοια ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ

56

57 ταλαντωτής είναι και το βαρίδι το κρεμασμένο από ελατήριο
το εκκρεμές, είτε αιωρείται είτε παραμένει ακίνητο, είναι ένας ταλαντωτής. ταλαντωτής είναι και το βαρίδι το κρεμασμένο από ελατήριο ένα κομματάκι φελλού που επιπλέει στο νερό η χορδή μιας κιθάρας μια μπίλια ακίνητη στο βάθος μιας λεκάνης μία από τις φωνητικές μας χορδές, ένα τζάμι στο παράθυρο. το διαπασών αλλά και μία κούνια

58

59

60 Για τη Φυσική ο ( μηχανικός ) ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
Για τη Φυσική ο ( μηχανικός ) ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ είναι μία ΕΝΝΟΙΑ με ιδιαίτερη σημασία Δεν είναι κάποιο συγκεκριμένο αντικείμενο με περιγράψιμη μορφή. Ο ρόλος του προσδιορίζεται από το «πώς αλληλεπιδρά με το Περιβάλλον». Και το «πώς αλληλεπιδρά» μπορεί να περιγραφεί είτε στη νευτωνική γλώσσα των δυνάμεων είτε στη γλώσσα της ενέργειας.

61 ταλαντωτής αρμονικός ταλαντωτής
Στη γλώσσα των δυνάμεων ταλαντωτής Στη γλώσσα των δυνάμεων ο ταλαντωτής είναι ένα αντικείμενο, το οποίο εάν βρεθεί ακίνητο -ως προς κάποιο Σύστημα Αναφοράς- και θελήσουμε να το μετακινήσουμε, το Περιβάλλον «συνωμοτεί» έτσι ώστε να δημιουργείται μία ΔΥΝΑΜΗ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ η οποία τείνει να το επαναφέρει στην αρχική του ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ. Αυτό διατυπώνεται με το ότι «Η ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΤΟΥ ΕΙΝΑΙ ΕΥΣΤΑΘΗΣ» αρμονικός ταλαντωτής Εφόσον ο ταλαντωτής είναι ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ και η ασκούμενη από το περιβάλλον (συνισταμένη ) δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη με την απόσταση από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας , περιγράφεται με άλλα λόγια με τη σχέση F = - Dx , ο ταλαντωτής είναι ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ και ΕΦΟΣΟΝ ενεργοποιηθεί θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.

62 Στη γλώσσα της ενέργειας
ταλαντωτής Στη γλώσσα της ενέργειας ο ταλαντωτής είναι ένα αντικείμενο σε μία ορισμένη θέση το οποίο εφόσον βρίσκεται ακίνητο στη θέση αυτή, η δυναμική του ενέργεια έχει τη μικρότερη τιμή της, και κάθε απόπειρα να τον μετακινήσουμε θα έχει ως συνέπεια να αυξηθεί η δυναμική του ενέργεια. Η συνήθης πρακτική μας είναι να θεωρούμε την δυναμική ενέργεια που έχει στη θέση ισορροπίας ίση με μηδέν, οπότε η δυναμική του ενέργεια σε κάθε άλλη θέση είναι θετική. Το ότι «στη θέση ισορροπίας η δυναμική του ενέργεια είναι ελάχιστη» ισοδυναμεί με το «η ισορροπία του ΕΙΝΑΙ ΕΥΣΤΑΘΗΣ» . αρμονικός ταλαντωτής Εφόσον ο ταλαντωτής είναι υλικό σημείο και η τιμή της δυναμικής του ενέργειας – σε σχέση με εκείνη που είχε στη θέση ευσταθούς ισορροπίας – είναι ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης στην οποία θα βρεθεί, ο ταλαντωτής είναι ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ

63 Ένα στοιχείο ιδιαίτερα σημαντικό σε κάθε ταλαντωτή είναι
η ΘΕΣΗ της ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΤΟΥ Όποτε βρίσκεται ΕΚΕΙ έχει την ελάχιστη δυναμική ενέργεια και η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων είναι μηδενική Για έναν αρμονικό ταλαντωτή – ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ η θέση ισορροπίας του, ως προς κάποιο Σύστημα Αναφοράς, είναι ένα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ

64 έχει τη "δική του" ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

65 Το σημαντικότερο όμως στοιχείο ταυτότητας είναι η τιμή της ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
με την οποία θα εκτελέσει την «ελεύθερη» ταλάντωση εφόσον βέβαια ενεργοποιηθεί. Ένα δηλαδή από τα «μυστικά» κάθε ταλαντωτή είναι αυτό που κάποτε υποψιάστηκε ο Γαλιλαίος με το εκκρεμές Οσηδήποτε ΕΝΕΡΓΕΙΑ και να μεταβιβάσουμε σε έναν ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ και τον «αφήσουμε» στη συνέχεια να εκτελέσει «ελεύθερα» την ταλάντωσή του - μπορεί να αλλάζει κάθε φορά το πλάτος της ταλάντωσης - αλλά η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ του θα είναι ορισμένη είτε εκκρεμές είτε η χορδή μιας κιθάρας, είτε διαπασών, θα « παίξει» πάντα με τη «ΔΙΚΗ ΤΟΥ» ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Για αρμονικό ταλαντωτή αυτό περιγράφεται με τη συνάρτηση U = ½DA2 στην οποία το D θα έχει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από την ενέργεια που θα μεταβιβάσουμε Και εξυπακούεται ότι ο Γαλιλαίος δεν το διατύπωσε με αυτό τον τρόπο, δεδομένου ότι η έννοια ΕΝΕΡΓΕΙΑ δεν είχε κάνει την εμφάνιση της στο λεξιλόγιο της Επιστήμης.

66 αλλά με την ίδια ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
ο ίδιος ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ κάθε φορά που τροφοδοτείται με διαφορετική «ποσότητα τζάουλ» εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση με διαφορετικό ΠΛΑΤΟΣ αλλά με την ίδια ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

67 το φαινόμενο ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

68 Οι «ελεύθερες» ταλαντώσεις είναι ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ.
Η «ελεύθερη» αρμονική ταλάντωση είναι μια κίνηση κατά την οποία ο αρχικά ακίνητος ταλαντωτής τροφοδοτείται ενεργειακά, αφήνεται ελεύθερος να παλινδρομήσει και στην εξέλιξη του φαινομένου, το πλάτος παραμένει αναλλοίωτο, η ενέργειά του διατηρείται ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ Αυτό βέβαια προϋποθέτει ότι δεν υπάρχουν παθητικές δυνάμεις, όπως η τριβή και η αντίσταση του αέρα Στον Μακρόκοσμο όμως των καθημερινών μας εμπειριών το εκκρεμές, εφόσον δεν το ξανατροφοδοτήσουμε με ενέργεια, κάποτε θα σταματήσει. Το ίδιο θα συμβεί με την κούνια, με το σφαιρίδιο το κρεμασμένο από ελατήριο, με τη χορδή της κιθάρας Οι «ελεύθερες» ταλαντώσεις είναι ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ. Κατά την εξέλιξή τους, το πλάτος μειώνεται συνεχώς, η ενέργεια που είχαμε μεταβιβάσει υποβαθμίζεται,

69 οδηγεί στην εξίσωση –Dx – bυ = ma
Χρησιμοποιώντας τις έννοιες ΕΝΕΡΓΕΙΑ και ΔΥΝΑΜΗ μπορούμε να πούμε ότι κατά την εξέλιξη του φαινομένου ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ : α. η ΕΝΕΡΓΕΙΑ την οποία του είχαμε αρχικά μεταβιβάσει ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ, γεγονός που διαπιστώνεται άμεσα με τη συνεχή ΜΕΙΩΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ. β. στον ταλαντωτή, εκτός από τις δυνάμεις που συγκροτούν τη δύναμη επαναφοράς ασκούνται και ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑ ΤΡΙΒΗΣ, αντιτιθέμενες στην κίνησή του Ιδιαίτερο θεωρητικό ενδιαφέρον έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις κατά τις οποίες η δύναμη η αντιτιθέμενη στην κίνηση έχει και τιμή ανάλογη της ταχύτητας του ταλαντωτή. Η δύναμη αυτή περιγράφεται αλγεβρικά με τη σχέση Fαντ = - bυ, στην οποία τα Fαντ και υ παριστάνουν τις αλγεβρικές τιμές της δύναμης και της ταχύτητας και το b μία θετική ποσότητα που λέγεται σταθερά απόσβεσης. Για έναν ταλαντωτή, ο οποίος χωρίς απόσβεση θα ήταν αρμονικός θα ίσχυε δηλαδή - Dx = ma, η παρουσία της δύναμης Fαντ = - bυ οδηγεί στην εξίσωση –Dx – bυ = ma

70 η εξίσωση –Dx – bυ = ma η ταλάντωση χωρίς απόσβεση x = Aημωt
( ταχύτητα υ ) και ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ( επιτάχυνση α ) είναι μία διαφορική εξίσωση η λύση της οποίας είναι μια συνάρτηση x = f ( t )

71 Από μία τιμή της b και πάνω, περίοδος δεν υφίσταται
Η ΠΕΡΙΟΔΟΣ Η τιμή μάλιστα της περιόδου είναι ανεξάρτητη από την αρχική ποσότητα ενέργειας με την οποία τροφοδοτήσαμε τον ταλαντωτή Για μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς b, η τιμή της περιόδου είναι επίσης – κατά την εξέλιξη του φαινομένου - σταθερή αλλά μεγαλύτερη από την προηγούμενη Από μία τιμή της b και πάνω, περίοδος δεν υφίσταται διότι ο ενεργοποιούμενος ταλαντωτής δεν «επανέρχεται». Το φαινόμενο γίνεται απεριοδικό.

72 Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος της τιμής κάθε πλάτους
Κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσης με F = - bυ, η συνάρτηση x = f ( t ) ( λύση της διαφορικής εξίσωσης ) δείχνει ότι το πλάτος μειώνεται ΕΚΘΕΤΙΚΑ. Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος της τιμής κάθε πλάτους προς την τιμή του επόμενου πλάτους ( μετά από χρόνο μιας περιόδου Τ ) είναι σταθερός. ΤΟ ΠΛΑΤΟΣ Χρόνος Τ Τ Τ Τ Τ κΤ Πλάτος Α Α0/μ Α0/μ Α0/μ Α0/μ Α0/μ Α0/μκ Αξίζει να προσέξουμε ότι καθώς οι τιμές του χρόνου αυξάνουν με αριθμητική πρόοδο, οι τιμές του πλάτους μειώνονται με φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο Μετά δηλαδή από χρόνο t= κΤ (από τη στιγμή που το πλάτος ήταν Α0) το πλάτος θα δίδεται από την Α= Α0μ-κ , ή Α= Α0μ-t/T η οποία , με αλλαγή της βάσης – ώστε η βάση να είναι για όλες τις ταλαντώσεις, η βάση e των νεπέριων λογαρίθμων - η εξίσωση μπορεί να γίνει Α=Α0e-Λt .

73 περίοδος της κόκκινης >
Απόσβεση με τριβή ολίσθησης Τ Απόσβεση με τριβή ολίσθησης και με αντίσταση του υγρού. Μεγαλύτερο b, μεγαλύτερη περίοδος Τ F περίοδος της κόκκινης > περίοδο της πράσινης

74 Ταλάντωση σε υγρό πιο πυκνόρρευστο
b ακόμα μεγαλύτερο b b b Ταλάντωση στον αέρα b σχετικά μικρό Ταλάντωση σε υγρό b μεγαλύτερο

75

76

77 Οι τιμές του πλάτους ανήκουν
σε εκθετική καμπύλη της μορφής Α =Α0e –Λt

78 το φαινόμενο ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

79 ταλαντωτή στη διάταξη και τον υποβάλουμε σε εξαναγκασμένη ταλάντωση
Βάζουμε τον ίδιο ταλαντωτή στη διάταξη και τον υποβάλουμε σε εξαναγκασμένη ταλάντωση Τροφοδοτούμε τον ταλαντωτή με ορισμένα τζάουλ και τον αφήνουμε να εκτελέσει την ελεύθερη ταλάντωσή του Στρέφουμε το στέλεχος- διεγέρτη με συχνότητα 2,2 Hz και διαπιστώνουμε ότι η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι 2,2 Hz ενώ το ΠΛΑΤΟΣ της είναι 21 mm Το χρονόμετρο μας δείχνει ότι η συχνότητά του είναι 5,2 Hz και η μετροταινία ότι το πλάτος της ταλάντωσης είναι 3,1 cm Επαναλαμβάνουμε με συχνότητα του διεγέρτη 3,2 Hz και διαπιστώνουμε ότι η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι f = 3,2 Hz ενώ το ΠΛΑΤΟΣ της είναι Α= 29 mm Τον τροφοδοτούμε με περισσότερα τζάουλ. Η συχνότητα του είναι και πάλι 5,2 Hz ενώ το πλάτος της ταλάντωσης μεγαλύτερο ο ταλαντωτής φαίνεται να «ξεχνάει» τη «δική του συχνότητα» αυτή που εκδήλωνε τότε που ήταν «ελεύθερος» και να αποδέχεται πάντα τη συχνότητα του διεγέρτη όσο όμως η συχνότητα που του επιβάλλεται πλησιάζει τη «δική του» , την 5,2 Hz, δείχνει να συγκινείται όλο και περισσότερο και το δείχνει με το ΠΛΑΤΟΣ Επαναλαμβάνουμε με fδιεγ = 4,4 Hz και διαπιστώνουμε f = 4,4 Hz ενώ το ΠΛΑΤΟΣ είναι A = 42 mm

80 fδιε = 2,2 Hz f = 2,2 Hz οπότε Α = 21 mm
πλάτος. Α fδιεγ = 6,7 Hz f = 6,7 Hz οπότε Α = 32 mm συχνότητα , f fδιεγ = 8 Hz f = 8 Hz οπότε Α = 25 mm

81

82 Ένα σωρό διαφορετικές συχνότητες . Νομίζω ότι άρχισα να τα μπερδεύω
Ένα σωρό διαφορετικές συχνότητες . Νομίζω ότι άρχισα να τα μπερδεύω Οι ενδιαφέρουσες συχνότητες είναι τρεις: 1. Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Είναι η «δική του», αυτή την οποία εμφάνιζε - ανεξάρτητα από το « πόση ενέργεια» θα του προσφέραμε- κατά την ελεύθερη ταλάντωσή του. Τη συμβολίζουμε με f0. 2. Η συχνότητα του διεγέρτη (fδ). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι η συχνότητα του περιστρεφόμενου τροχού. 3. Η συχνότητα του ταλαντωτή κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωση (f).

83 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ και τι συμβαίνει με τη του εξαναγκαζόμενου σε ταλάντωση ;
είναι πάντα ΙΣΗ με τη συχνότητα του διεγέρτη f = fδ ανεξάρτητα από το ποια ήταν η συχνότητα «την εποχή που εκτελούσε ελεύθερες ταλαντώσεις». τι συμβαίνει με το ΠΛΑΤΟΣ της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ; Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από το «πόσο» η συχνότητα του διεγέρτη (fδ = f) διαφέρει από την ιδιοσυχνότητα του συγκεκριμένου ταλαντωτή. Όσο λιγότερο διαφέρουν οι τιμές των δύο αυτών συχνοτήτων (fδ και f0 ) τόσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης Αυτό το δείχνουν καλύτερα οι σχετικές καμπύλες πλάτους - συχνότητας

84 Α Εάν οι δύο συχνότητες (fδ και f0 ) είναι ίσες το πλάτος για συγκεκριμένη ενεργειακή τροφοδοσία είναι το μέγιστο. Έχουμε ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ. fδ = f0 f

85 fδ = f0. Συνθήκη συντονισμού
το φαινόμενο ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ Κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωση, συντονισμός λέγεται το φαινόμενο κατά το οποίο το πλάτος του εξαναγκαζομένου σε ταλάντωση γίνεται μέγιστο εφόσον η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητά του fδ = f Συνθήκη συντονισμού

86 από τη σταθερά απόσβεσης b γιατί οι καμπύλες πλάτους συχνότητας
διαφέρουν τόσο πολύ μεταξύ τους ; Ορισμένες είναι αιχμηρές, άλλες καθόλου παράξενο μου φαίνεται όσο πιο μικρή είναι η σταθερά απόσβεσης τόσο πιο αιχμηρή θα είναι η καμπύλη κάθε ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ χαρακτηρίζεται από τη σταθερά απόσβεσης b

87 Συντονισμός με b = 0 Συντονισμός b2 > b1 Συντονισμός
πλάτος. Α Συντονισμός καμπύλη συντονισμού με σταθερά απόσβεσης b1 καμπύλη συντονισμού με μεγαλύτερη σταθερά απόσβεσης b2 > b1 Συντονισμός καμπύλη συντονισμού με ακόμα μεγαλύτερη σταθερά απόσβεσης b3 > b2 συχνότητα , f

88 οπωσδήποτε επιβεβαιώνονται από την εργαστηριακή πρακτική,
αλλά στα ίδια καταλήγει και η θεωρία πώς τα ξέρουμε όλα αυτά ; βασίζονται σε εμπειρία από το εργαστήριο ; στη γλώσσα των δυνάμεων μπορούμε να πούμε ότι εκτός από τη δύναμη επαναφοράς και από τις παθητικές δυνάμεις, όπως η τριβή, στο κινούμενο σώμα ασκείται και δύναμη η τιμή της οποίας εμφανίζει περιοδικότητα. Η αντίστοιχη συχνότητα είναι η συχνότητα fδ του διεγέρτη η ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ είναι ένα ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ στο οποίο πρωταγωνιστεί βέβαια κάποιος ταλαντωτής, αλλά το ιδιαίτερο στοιχείο είναι ότι κατά την εξέλιξή του ο ταλαντωτής αυτός τροφοδοτείται ενεργειακά με ΟΡΙΣΜΕΝH ΠΕΡΙΟΔΙΚΟTHTA Αν χρησιμοποιήσουμε ένα θεωρητικό μοντέλο στο οποίο η δύναμη επαναφοράς να είναι -Dx, η αντίσταση να είναι -bυ και η δύναμη του διεγέρτη να είναι F0 ημωδ , = F0 ημω2πfδ σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της κίνησης θα ισχύει F0 ημ2πfδ –bυ – Dx = ma είναι μία διαφορική εξίσωση, η λύση της οποίας οδηγεί σε καμπύλες σαν αυτές που παίρνουμε στο εργαστήριο

89 users.sch.gr/kassetas