Μορφές Αντισταθμιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης

Παρουσίαση με θέμα: "Μορφές Αντισταθμιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μορφές Αντισταθμιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης
ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Μορφές Αντισταθμιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης

2 Βιβλιογραφία Ενότητας
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 9: Ενότητες Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες DiStefano [1995]: Chapter 6: Section 6.3, Chapter 10: Sections Chapter 16: Sections Tewari [2005]: Chapters 5: Section 5.1

3 Εισαγωγή Το πρόβλημα της σχεδίασης Σ.Α.Ε διατυπώνεται ως εξής:
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Εισαγωγή Το πρόβλημα της σχεδίασης Σ.Α.Ε διατυπώνεται ως εξής: Δίνεται το υπό έλεγχο σύστημα Σ και η επιθυμητή συμπεριφορά του (έξοδος) y(t) η οποία καθορίζεται με ένα σύνολο προδιαγραφών. Ζητείται να βρεθεί κατάλληλος αντισταθμιστής ή ελεγκτής Α ώστε το σύνθετο σύστημα (δηλαδή ο συνδυασμός του αρχικού συστήματος και του αντισταθμιστή ή ελεγκτή) να έχει ως έξοδο την προδιαγραφείσα έξοδο y(t). Παρόλο που είναι δυνατό να σχεδιαστούν ανοικτά συστήματα αυτομάτου ελέγχου το συνηθέστερο είναι η σχεδίαση κλειστών συστημάτων. Σε αυτή την περίπτωση ο αντισταθμιστής μπορεί να ευρίσκεται στον ευθύ κλάδο (cascade compensator) ή στον κλάδο ανατροφοδότησης (feedback compensator) Υπάρχουν δυο διαφορετικές φιλοσοφίες σχεδίασης Σχεδίαση με κλασικές μεθόδους (Bode, Nyquist, Nichols, Γ.Τ.Ρ), οι οποίες είναι κατά κύριο λόγο γραφικές και εμπειρικές Σχεδίαση με σύγχρονες μεθόδους, οι οποίες στηρίζονται στην περιγραφή με εξισώσεις κατάστασης (μετατόπιση ιδιοτιμών, αποσύζευξη εισόδων-εξόδοων)

4 Διάταξη αντισταθμιστών
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Διάταξη αντισταθμιστών Αντισταθμιστής στον ευθύ κλάδο: Σχεδίαση ανοικτού Σ.Α.Ε Αντισταθμιστής στον κλάδο ανατροφοδότησης:

5 Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Μια από τις βασικότερες προδιαγραφές σχεδίασης που τίθενται είναι η μετατροπή ενός ασταθούς συστήματος σε ευσταθές. Άλλες προδιαγραφές μπορούν να τεθούν εφόσον έχει εξασφαλιστεί η ευστάθεια του συστήματος. Τέτοιες προδιαγραφές μπορούν να τεθούν στο πεδίο του χρόνου και αφορούν: Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση (eμον(t)=διαφορά επιθυμητής εξόδου από πραγματική έξοδο όταν το t->∞) Μέγιστη υπερύψωση (overshoot) Χρόνος ανύψωσης Tr - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει από το 10% στο 90% της τελικής της τιμής Συνήθεις προδιαγραφές στο πεδίο της συχνότητας είναι: Περιθώριο κέρδους Gm (Gain Margin), είναι το πλάτος |Η(ω)| της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση με -180ο (-π) Περιθώριο φάσης ΦPM (Phase Margin) Το εύρος ζώνης BW Η τιμή συντονισμού Μp Η συχνότητα συντονισμού ωp

6 Παράδειγμα προδιαγραφών σχεδίασης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Παράδειγμα προδιαγραφών σχεδίασης Σε πολλές περιπτώσεις οι προδιαγραφές σχεδίασης είναι αντικρουόμενες και αυτή είναι η δυσκολία σχεδίασης. Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας ω(t) = 2*t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.1 m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 3 rad/sec (ΒW 3 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45ο±5ο Όπως φαίνεται από το διάγραμμα Bode του τρέχοντος συστήματος το εύρος ζώνης είναι περίπου 2 rad/sec και το περιθώριο φάσης είναι 38ο είναι. Επίσης δεν ικανοποιείται η προδιαγραφή για το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση δεδομένου ότι

7 Παράδειγμα προδιαγραφών σχεδίασης (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Παράδειγμα προδιαγραφών σχεδίασης (II)

8  Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Ελεγκτές PID Για διευκόλυνση της διαδικασίας σχεδίασης στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται ειδικές δομές για τους αντισταθμιστές και αυτό που αναζητείται είναι η εύρεση των τιμών των παραμέτρων τους ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές σχεδίασης Οι ελεγκτές PID (Proportional – Integrator – Differentiator) έχουν τη μορφή: και το ζητούμενο είναι η εύρεση των παραμέτρων KP, KI, KD, με βάση τις προδιαγραφές σχεδίασης. Σημειώνεται ότι: Σε αρκετές περιπτώσεις οι προδιαγραφές μπορούν να ικανοποιηθούν χωρίς να χρειάζονται όλοι οι όροι του PID ελεγκτή (π.χ. Με χρήση μόνο του αναλογικού όρου, ή του αναλογικού όρου και του όρου διαφόρισης κοκ.) Σε περιπτώσεις που δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές με χρήση όλων των όρων του PID ελεγκτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και δεύτερος ελεγκτής σε σειρά με τον πρώτο

9 Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID Η σχεδίαση με ελεγκτές PID εξετάζεται σε 4 στάδια: Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου και του όρου διαφόρισης Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου και του όρου ολοκλήρωσης Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση όλων των όρων του ελεγκτή Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αναλυτικά τις τέσσερις προηγούμενες περιπτώσεις

10 Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή Στη σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή το μόνο που μπορούμε να ρυθμίσουμε είναι το κέρδος του κλειστού συστήματος. Αυξάνοντας το KP μειώνουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση αλλά μειώνουμε την ευστάθεια του συστήματος. Η μέθοδος του Γ.Τ.Ρ είναι ένας καλός τρόπος προσδιορισμού της κατάλληλης τιμής του KP ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές του συστήματος εφόσον αυτό είναι εφικτό. Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση αναλογικού ελεγκτή. Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP Για αρνητικές τιμές του ΚP μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως έξοδος η απόκριση του πρώτου Τελεστικού Ενισχυτή

11 Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (II) Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι αυξάνοντας KP μειώνουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση Από το διάγραμμα Bode βλέπουμε ότι για KP=1 έχουμε περιθώριο κέρδους Gm = 18.2 db και περιθώριο φάσης ΦPM= 57o Για KP=5 (βλέπε διάγραμμα Bode της επόμενης ΄διαφάνειας) έχουμε περιθώριο κέρδους GM = 4.18 db και περιθώριο φάσης ΦPM= 12o.Επομένως έχουμε μείωση της ευρωστίας του συστήματος

12 Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (IIΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (IIΙ) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αναλογικός αντισταθμιστής ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας ω(t) = 2t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.5 m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 3 rad/sec (ΒW 3 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45ο±5ο

13 Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (IV)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή (IV) Λύση: Το κλειστό σύστημα είναι του σχήματος είναι τάξης j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =2t το σφάλμα είναι: Άρα για χρειάζεται KP=4. Για KP=4 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης ΦPM= 18o και εύρος ζώνης ≈2.88 rad/sec. Αμφότερα δεν ικανοποιούν τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί άρα ο αναλογικός ελεγκτής δεν μπορεί να μας δώσει λύση στο πρόβλημα σχεδίασης που έχει τεθεί

14  Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD Στη σχεδίαση με PD ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος αλλά και να προσθέσουμε ένα μηδενικό στη θέση s=-KP/KD. Η εισαγωγή μηδενικού κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές. Εντούτοις με δεδομένο ότι το μηδενικό δεν εισάγεται στο s=0 το κλειστό σύστημα διατηρεί τον τύπο του Η αύξηση της παραμέτρου KD τείνει να μειώσει την υπερύψωση (overshoot) ενώ με τη ρύθμιση του κέρδους KP μπορούμε να μειώσουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PD ελεγκτή. Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και οι τιμές των Rf1, Rf2, R1,C2 για τον καθορισμό του ΚD.

15 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙ) Δεδομένης της αναλογικής παραμέτρου KP το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση δίνεται και πάλι από το διπλανό πίνακα. Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με σταθερό ΚD) οδηγεί σε αύξηση της ταχύτητας απόκρισης αλλά ταυτόχρονα και της υπερύψωσης.

16 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙΙ) Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚD (με σταθερό ΚP) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης και σε ελαφρά μείωση του χρόνου αποκατάστασης

17 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙV)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙV) Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚD (με σταθερό ΚP) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (ΚD=1 =>BW≈1.4, ΦPM=96.6o, ΚD=4 =>BW≈4.4, ΦPM=74o )

18 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (V)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (V) Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με σταθερό ΚD) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης και μείωση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση (ΚP=3 =>BW≈2.32, ΦPM=57o, ΚP=5 =>BW≈2.94, ΦPM=39o )

19 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙ) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PD ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας ω(t) = 2t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.5 m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 4 rad/sec (ΒW 4 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45ο±5ο Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του μηδενικού είναι τάξης j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =2t το σφάλμα είναι: Άρα για χρειάζεται KP≥4.

20 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙΙ) Για KP=4, KD=1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης ΦPM= 47o και εύρος ζώνης ≈3.32 rad/sec. Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του εύρους ζώνης. Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό αυξάνοντας είτε το ΚP είτε το ΚD.

21 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙIΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙIΙ)

22 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (IX)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (IX) Όπως ήδη αναφέρθηκε ο σχεδιασμός Σ.Α.Ε με γραφικές μεθόδους βασίζεται σε ευριστικούς κανόνες και χρειάζεται αρκετές δοκιμές με διάφορες παραμέτρους. Στη συνέχεια δίνουμε μια διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση PD ελεγκτών: Υπολογίζουμε το KP ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s)) στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KP ώστε(δηλαδή για τη συνάρτηση KPG(s)F(s)) Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0. Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 45ο και το εύρος ζώνης ταυτόχρονα επιλέγουμε Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 45ο χωρίς σημαντική αύξηση του εύρους ζώνης ταυτόχρονα επιλέγουμε Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το ΚD δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το

23 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (X)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (X) Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε βρει KP = 4 ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της KPG(s)H(s) βρίσκουμε ω1=2.4 και την ΦPM =18ο. Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση του ΦPM κατά 27ο. Άρα πρέπει να επιλέξουμε. Επιλέγοντας KD=1.15 έχουμε το ζητούμενο ΦPM =50ο και ελαφρά αύξηση του εύρους ζώνης (βλέπε επόμενη διαφάνεια)

24 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙ) Για μεγαλύτερη αύξηση του εύρους ζώνης χρειάζεται να αυξήσουμε το KD το οποίο βέβαια αυξάνει και το περιθώριο φάσης αλλά και την υπερύψωση της χρονικής απόκρισης του συστήματος (βλέπε επόμενη διαφάνεια).

25 Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙΙ)

26  Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ Στη σχεδίαση με PΙ ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος, να προσθέσουμε ένα μηδενικό στη θέση s=-KΙ/KP και ένα πόλο στο s=0 Η εισαγωγή μηδενικού κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές. Mε δεδομένο ότι εισάγεται ένας πόλος στο s=0 το κλειστό σύστημα αυξάνει τον τύπο του κατά 1 βελτιώνοντας σημαντικά τις επιδόσεις του στα σφάλματα μόνιμης κατάστασης αλλά μειώνοντας την ευρωστία του. Σε πολλές περιπτώσεις κλειστό σύστημα καθίσταται ασταθές Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή. Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και οι τιμές των Rf1, R1, R2, C2 για τον καθορισμό του ΚΙ.

27 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙ) Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ρυθμίζεται από την παράμετρο ΚΙ και δίνεται από τον παραπάνω πίνακα (σημειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο s=0 αυξάνει τον τύπο του συστήματος) . Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚΙ (με σταθερό ΚP) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης, του χρόνου αποκατάστασης και είναι δυνατό να οδηγεί σε αστάθεια.

28 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙΙ) Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με σταθερό ΚΙ) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης, αύξηση της ταχύτητας απόκρισης και είναι δυνατό να οδηγήσει σε αστάθεια.

29 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙV)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙV) Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με σταθερό ΚI) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (ΚP=3 =>BW≈2.08, ΦPM=7o, ΚP=5 =>BW≈2.73, ΦPM=3o )

30 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (V)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (V) Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚI (με σταθερό ΚP) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα μικρή αύξηση του εύρους ζώνης (ΚI=1 =>BW≈2.02, ΦPM=17o, ΚI =2 =>BW≈2.08, ΦPM=7o )

31 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙ) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PI ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση επιτάχυνσης ω(t) = 0.5t2, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.5 m/s2. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 2.6 rad/sec (ΒW=2 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >5ο Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του πόλου στο s=0 είναι τάξης j=2, άρα για είσοδο ω(t) = 0.5At2 = 0.5t2 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι: Άρα για χρειάζεται KΙ>2. Έστω KΙ=2.1

32 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙ) Για KP=5, KΙ=2.1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης ΦPM= 3o και εύρος ζώνης ≈3.26 rad/sec. Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του περιθωρίου φάσης με ενδεχόμενη μείωση του εύρους ζώνης. Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό μειώνοντας είτε το ΚP.

33 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙΙ) Για KP=4, KΙ=2.1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης ΦPM= 6o και εύρος ζώνης ≈2.92 rad/sec. Επομένως πληρούνται όλες οι προδιαγραφές σχεδίασης.

34 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (IX)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (IX) Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙ ελεγκτών: Υπολογίζουμε το KΙ ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s)) στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο μηδέν και έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KΙ (δηλαδή για τη συνάρτηση ) Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0. Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 40ο επιλέγουμε Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 40ο χωρίς σημαντική ταυτόχρονη αύξηση του εύρους ζώνης επιλέγουμε Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το ΚP δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το

35 Σχεδίαση με ελεγκτή PI (X)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PI (X) Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε βρει KI = 2.1 ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της βρίσκουμε ω1=1.31 και ΦPM =-46ο. Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση του ΦPM κατά 51ο. Άρα πρέπει να επιλέξουμε. Επιλέγοντας KP=3 έχουμε το ζητούμενο ΦPM =6ο. (δυστυχώς δεν ικανοποιείται η προδιαγραφή του του εύρους ζώνης, άρα χρειάζεται μεγαλύτερο ΚP - βλέπε επόμενη διαφάνεια)

36 Σχεδίαση με ελεγκτή PI (XI)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PI (XI)

37 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD Στη σχεδίαση με PΙD ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος, να προσθέσουμε δύο μηδενικά στις θέσεις: και ένα πόλο στο s=0 Η εισαγωγή μηδενικών κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές. Η εισαγωγή πόλου στο s=0 αυξάνει τον τύπο του κλειστού συστήματος κατά 1 βελτιώνοντας τις επιδόσεις του στα σφάλματα μόνιμης κατάστασης αλλά μειώνει την ευρωστία του.

38 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙΙ) Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή. Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και οι τιμές των Rf1, R1, R2, C2 για τον καθορισμό του ΚΙ. Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση ρυθμίζεται από την παράμετρο ΚΙ και δίνεται από τον διπλανό πίνακα (σημειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο s=0 αυξάνει τον τύπο του συστήματος) .

39 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (III)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (III) Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙD ελεγκτών: Υπολογίζουμε το KΙ ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s)) στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο μηδέν και έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KΙ (δηλαδή για τη συνάρτηση ) Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0. Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 90ο και ταυτόχρονη αύξηση του εύρους ζώνης επιλέγουμε Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 90ο επιλέγουμε Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το ΚD δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το

40 Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙV)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙV) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PID ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση επιτάχυνσης ω(t) = 0.5t2, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.2 m/s2. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 4 rad/sec (ΒW=2 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >45ο Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του πόλου στο s=0 είναι τάξης j=2, άρα για είσοδο ω(t) = 0.5At2 = 0.5t2 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι: Άρα για χρειάζεται KΙ>5. Έστω KΙ=5.1

41 Σχεδίαση με ελεγκτή PID (V)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PID (V) Βρήκαμε KI = 5.1 ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της βρίσκουμε ω1=1.88 και ΦPM =-61ο. Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση του ΦPM κατά 106ο. Άρα πρέπει να επιλέξουμε. Έστω ότι επιλέγουμε KD=3 τότε, Επιλέγοντας Κp =7 έχουμε το ζητούμενο ΦPM =47ο και ταυτόχρονη ικανοποίηση της προδιαγραφής του εύρους ζώνης, ΒW > 4 (βλέπε επόμενη διαφάνεια)

42 Σχεδίαση με ελεγκτή PID (VI)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με ελεγκτή PID (VI)

43 Μορφές Αντισταθμιστών
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Μορφές Αντισταθμιστών Οι αντισταθμιστές είναι συνήθως παθητικά δίκτυα (RC) τα οποία χρησιμοποιούνται για να προσδώσουν στο υπό έλεγχο σύστημα κάποια επιθυμητά χαρακτηριστικά όπως: Αύξηση περιθωρίου φάσης Αύξηση εύρους ζώνης. Μείωση σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Μεγαλύτερη ταχύτητα απόκρισης Στη σύγχρονη μορφή τους κατασκευάζονται και αυτά με χρήση Τελεστικών Ενισχυτών όποτε η χρήση τους έχει περιοριστεί δεδομένου ότι οι ελεγκτές PID παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευελιξία όσον αφορά το σχεδιασμό συστημάτων. Διακρίνουμε τρεις κατηγορίες αντισταθμιστών: Δίκτυα προήγησης φάσης Δίκτυα καθυστέρησης φάσης Δίκτυα προήγησης-καθυστέρησης Ανάλογα με τις προδιαγραφές της σχεδίασης μπορεί να επιλεγεί η κατάλληλη κατηγορία

44 Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές Τα δίκτυα προήγησης και τα δίκτυα καθυστέρησης εισάγουν στο σύστημα ένα πόλο και ένα μηδενικό και ρυθμίζουν το κέρδος. Ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης καθορίζονται οι θέσεις του πόλου και του μηδενικού Στα δίκτυα προήγησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε αριστερότερα του μηδενικού με αποτέλεσμα η έξοδος να ‘προηγείται’ χρονικά της εισόδου. Στα δίκτυα καθυστέρησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε δεξιότερα του μηδενικού με αποτέλεσμα η έξοδος να ‘καθυστερεί’ χρονικά σε σχέση με την είσοδο. Τα δίκτυα προήγησης-καθυστέρησης εισάγουν στο σύστημα δύο πόλους και δύο μηδενικά και ρυθμίζουν το κέρδος. Στη πραγματικότητα αποτελούνται από ένα δίκτυο καθυστέρησης και ένα δίκτυο προήγησης φάσης σε διαδοχή. Η σχεδίαση με δίκτυα προήγησης, καθυστέρησης και προήγησης- καθυστέρησης γίνεται με ευρυστικό τρόπο και είναι μια διαδικασία δοκιμής-λάθους Τα διαγράμματα Bode είναι ο βασικός άξονας της επαναληπικής διαδικασίας σχεδίασης.

45 Αντισταθμιστής προήγησης φάσης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής προήγησης φάσης Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή προήγησης φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση: όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -b είναι οι θέσεις του μηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστημα. Οι παράμετροι Κc, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθμιστή προήγησης φάσης.

46 Αντισταθμιστής προήγησης φάσης (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής προήγησης φάσης (II) Όπως φαίνεται από τα διάγραμμα Bode του διπλανού σχήματος ο αντισταθμιστής προήγησης φάσης συμπεριφέρεται ως υψιπερατό φίλτρο: Ανάλογα με το λόγο b/a εισάγεται στο υπό έλεγχο σύστημα φάση φ η οποία κυμαίνεται από 0<φ<90 αλλά ταυτόχρονα μειώνεται το κέρδος στις χαμηλές συχνότητες (μικρότερες από τη συχνότητα ωa=a). Η μέγιστη φάση φmax εισάγεται στη συχνότητα: Η μέγιστη φάση φmax συνδέεται με το λόγο b/a μέσω της σχέσης

47 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται από τη σταθερά Kc και αυξάνεται όσο ο λόγος c=b/a αυξάνεται. Δεδομένου ότι αύξηση του λόγου c=b/a αυξάνει το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης γίνεται φανερό ότι το κόστος για αυτή την αύξηση είναι η αύξηση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Ρύθμιση του Kc μας επιτρέπει να αντισταθμίσουμε τη μείωση εξαιτίας του λόγου c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι πάντοτε μεγαλύτερος από 1 )

48 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙΙ) Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε με δίκτυα προήγησης φάσης: Υπολογίζουμε το ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s)) στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση , δηλαδή για τη συνάρτηση ΚpG(s)F(s)) Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και την αύξηση Δφ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης. Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε την αύξηση ΔΦPM που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0. Αν ΔΦPM >60ο το πρόβλημα δεν έχει λύση με αντισταθμιστή προήγηση φάσης, αλλιώς επιλέγουμε Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης αυξάνουμε το λόγο και επαναλαμβάνουμε το βήμα 6.

49 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙΙΙ) Παράδειγμα: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής προήγησης φάσης ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.25 m/s. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 6 rad/sec (ΒW=6 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >40ο Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή αντισταθμιστή παραμένει τύπου j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι: Άρα για χρειάζεται Kp>4. Έστω Kp=4.1

50 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙV)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (ΙV) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της KPG(s)F(s) βρίσκουμε ΦPM =17ο. Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση του ΦPM κατά 23ο (Δφ=23ο) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της log2(Δφ)KPG(s)F(s) βρίσκουμε (βλέπε επόμενη διαφάνεια) Αφού ΔΦPM =59ο <60ο μπορούμε να σχεδιάσουμε το Σ.Α.Ε με δίκτυο προήγησης φάσης. Επιλέγουμε

51 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (V)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (V) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode του αντισταθμισμένου συστήματος (διάγραμμα δεξιά) βρίσκουμε ΦPM =48ο και BW=5.54 rad/sec. Επομένως για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του εύρους ζώνης. Αύξηση του εύρους ζώνης μπορεί να επιτευχθεί με αύξηση του λόγου b/a. Μειώνοντας το a σε 1.1 έχουμε c ≈ και Κc=67.42.

52 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (VI)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης φάσης (VI) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode του αντισταθμισμένου συστήματος (a=1.1, b=18.4, Kc=67.42) βρίσκουμε ΦPM =43ο και BW=6.46 rad/sec. Επομένως πληρούνται αμφότερες οι προδιαγραφές για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης.

53 Αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή προήγησης φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση: όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -b είναι οι θέσεις του μηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστημα. Οι παράμετροι Κc, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθμιστή προήγησης φάσης.

54 Αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης (II) Όπως φαίνεται από τα διάγραμμα Bode του διπλανού σχήματος ο αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης συμπεριφέρεται ως βαθυπερατό φίλτρο: Ανάλογα με το λόγο a/b εισάγεται στο υπό έλεγχο σύστημα καθυστέρηση φάσης φ η οποία κυμαίνεται από -90ο<φ<0. Ταυτόχρονα αυξάνεται το κέρδος στις χαμηλές συχνότητες (μικρότερες από τη συχνότητα ωa=a). Η μεγαλύτερη καθυστέρηση φάσης φmin εισάγεται στη συχνότητα: Η φάση φmin συνδέεται με το λόγο b/a μέσω της σχέσης

55 Σχεδίαση με αντισταθμιστή καθυστέρησης φάσης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή καθυστέρησης φάσης Αντισταθμιστές καθυστέρησης φάσης χρησιμοποιούνται κυρίως για τη μείωση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Γενικά αντιστάθμιση με καθυστέρηση φάσης οδηγεί σε: Μείωση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Μείωση του εύρους ζώνης Μείωση της ταχύτητας απόκρισης Με δεδομένο σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση αυξάνεται η σχετική ευστάθεια (ευρωστία του συστήματος) Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται από τη σταθερά Kc και μειώνεται όσο ο λόγος c=b/a μειώνεται.

56 Αντισταθμιστής καθυστέρησης - προήγησης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής καθυστέρησης - προήγησης Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση: όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -bΤ είναι οι θέσεις των μηδενικών και –b, -aΤ είναι οι θέσεις των πόλων που εισάγονται στο σύστημα. Οι παράμετροι Κc, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης.

57 Αντισταθμιστής καθυστέρησης – προήγησης (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής καθυστέρησης – προήγησης (II) Αντισταθμιστές καθυστέρησης – προήγησης χρησιμοποιούνται όταν χρειάζεται να σχεδιαστούν συστήματα με ζωνοφρακτική συμπεριφορά (βλέπε σχήμα). Συνήθως συνδυάζουν τα πλεονεκτήματα των αντισταθμιστών προήγησης φάσης με αυτά των αντισταθμιστών καθυστέρησης φάσης, ενώ επηρεάζονται σχετικά λίγο από τα μειονεκτήματα τους. Η σχεδίαση με αντισταθμιστές καθυστέρησης – προήγησης είναι μια δύσκολη και ευρυστική διαδικασία.

58 Αντισταθμιστής προήγησης - καθυστέρησης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστής προήγησης - καθυστέρησης Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση: όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -bΤ είναι οι θέσεις των μηδενικών και –b, -aΤ είναι οι θέσεις των πόλων που εισάγονται στο σύστημα. Οι παράμετροι Κc, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης.

59 Αντισταθμιστή προήγησης- καθυστέρησης (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Αντισταθμιστή προήγησης- καθυστέρησης (ΙΙ) Αντισταθμιστές προήγησης – καθυστέρησης χρησιμοποιούνται όταν χρειάζεται να σχεδιαστούν συστήματα με ζωνοπερατή συμπεριφορά (βλέπε σχήμα). Η σχεδίαση με αντισταθμιστές προήγησης – καθυστέρησης είναι αντίστοιχη με τη διαδικασία σχεδίασης με δίκτυα προήγησης φάσης. Εξαιτίας της παρουσίας του καθυστερητή φάσης η δυσκολία στην επιλογή του λόγου b/a στον αντισταθμιστή προήγησης φάσης περιορίζεται.

60 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται αποκλειστικά από τη σταθερά Kc, δεδομένου ότι ισχύει: δηλαδή η μείωση εξαιτίας του κέρδους του κλειστού συστήματος εξαιτίας του λόγου c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι πάντοτε μεγαλύτερος από 1 ) αντισταθμίζεται εξαιτίας του λόγου d=aΤ/(bT)

61 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης (ΙΙ)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης (ΙΙ) Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε με δίκτυα προήγησης φάσης: Υπολογίζουμε το Κc ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s)) στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση Κc, δηλαδή για τη συνάρτηση ΚcG(s)F(s)) Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και την αύξηση Δφ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης. Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το την αύξηση ΔΦPM που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0. Αν ΔΦPM >70ο το πρόβλημα δεν έχει λύση με αντισταθμιστή προήγηση – καθυστέρησης φάσης, αλλιώς επιλέγουμε Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης αυξάνουμε το λόγο και επαναλαμβάνουμε το βήμα 6.

62 Παραδείγματα Παράδειγμα Ι: Λύση
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Παραδείγματα Παράδειγμα Ι: Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής προήγησης - καθυστέρησης φάσης ώστε: Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράμπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.2 m/s. Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 6 rad/sec (ΒW=6 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >40ο Λύση Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή αντισταθμιστή παραμένει τύπου j=1, άρα για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι: Άρα για χρειάζεται KC>5. Έστω KC=5.1

63 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης - καθυστέρησης Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της KcG(s)F(s) βρίσκουμε ΦPM =11ο. Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση του ΦPM κατά 29ο (Δφ=29ο) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode της log2(Δφ)KcG(s)F(s) βρίσκουμε (βλέπε επόμενη διαφάνεια) Αφού ΔΦPM =65 <75ο μπορούμε να σχεδιάσουμε το Σ.Α.Ε με δίκτυο προήγησης – αντιστάθμισης φάσης. Επιλέγουμε

64 Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης – καθυστέρησης (II)
 Εισαγωγή  Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε  Ελεγκτές PID  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID  Μορφές Αντισταθμιστών  Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές  Παραδείγματα Σχεδίαση με αντισταθμιστή προήγησης – καθυστέρησης (II) Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode του αντισταθμισμένου συστήματος (διάγραμμα δεξιά) βρίσκουμε ΦPM =40ο και BW=6.93 rad/sec. Επομένως πληρούνται αμφότερες οι προδιαγραφές για το εύρος ζώνης και το περιθώριο φάσης.