ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 1-4-2013.

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems 1-4-2013."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (1/3) Εισαγωγή
Γενική Περιγραφή Συστημάτων Αναμονής Τεχνικές Μελέτης & Αξιολόγησης Επίδοσης Συστημάτων Αναμονής Μοντέλα Τηλεπικοινωνιακών & Υπολογιστικών Συστημάτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών. Χαρακτηριστικά & Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Μήκος Ουράς, Χρόνος Καθυστέρησης Νόμος Little Γνώσεις από Θεωρία Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή Κατανομή Poisson Ιδιότητα Απώλειας Μνήμης (Markov) Στοχαστικές Ανελίξεις

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (2/3)
4. Μοντέλο Γεννήσεων - Θανάτων (Birth - Death Processes). Συστήματα Markov και Εξισώσεις Ισορροπίας Ανάλυση απλών ουρών M/M/1 Άλλες ουρές Markov Μεταβάσεις Εξαρτώμενες από την Κατάσταση Ουρές με Απώλειες (Μ/Μ/1/Ν) Ουρές με Πολλαπλούς Εξυπηρετητές: Μ/Μ/m, M/M/m/K, M/M/m/m (Erlang – B)

4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (3/3)
Προσομοίωση Απλών Συστημάτων Αναμονής Ανοικτά και Κλειστά Δίκτυα Ουρών Παραδείγματα & Εφαρμογές Ανάλυση Υπολογιστικών Συστημάτων Ανάλυση & Σχεδίαση Τηλεφωνικών Κέντρων Ανάλυση Δικτύων Internet

5 Μοντέλα συμφόρησης (congestion)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μοντέλα συμφόρησης (congestion) Κυκλοφορία Ουρές σε καταστήματα, ταχυδρομεία, τράπεζες Πολλαπλοί εξυπηρετητές (servers) Κοινή ουρά ή παράλληλες ουρές, προτεραιότητες Τηλεφωνικά κέντρα (πολλαπλοί εξυπηρετητές) Κόμβοι δικτύων τύπου Internet Πόροι υπολογιστικών συστημάτων (CPU, Μνήμη, Δίσκοι)

6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1/2)
Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet) Τυχαία είσοδος πελατών – «γεννήσεις», μέσος ρυθμός λ πελάτες/sec Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος Ε(a)=1/λ Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών μ πελάτες/sec Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s – τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος E(s) = 1/μ sec/πελάτη

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (2/2)
Ουρά αναμονής για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών – queue, buffer (απομόνωση εισόδου – εξυπηρέτησης) Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση Αριθμός εξυπηρετητών Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά (σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής)

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα παραμέτρων συστημάτων αναμονής
Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης Αριθμός πελατών

9 ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (1)
Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Ένα Erlang αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 100% του χρόνου (π.χ. 1 call-minute per minute). Ένας εξυπηρετητής ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας  μεταφέρει 0.5 Erlangs κυκλοφοριακή ένταση Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

10 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (2)
Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) u = γ/μ

11 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (3)
Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (4)
n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής nq(t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση n(t) = nq(t) + ns(t) E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)} Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s)

13 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Τύπος Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s
Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{nq(t)}/γ + E{ns(t)}/γ (Τύπος Little)