ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Περιγραφική Στατιστική

Παρουσίαση με θέμα: "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Περιγραφική Στατιστική"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Περιγραφική Στατιστική
© 2002 Thomson / South-Western

2 Στόχοι του Μαθήματος Διάκριση μεταξύ μέτρων κεντρικής τάσης, μέτρων διασποράς και μέτρων σχήματος κατανομής. Κατανόηση της σημασίας του μέσου, της διαμέσου και της επικρατούσας τιμής, του τεταρτημορίου, του εκατοστημορίου και του εύρους. Υπολογισμός μέσου, διαμέσου, επικρατούσας τιμής, τεταρτημορίου, εκατοστημορίου, εύρους, διακύμανσης, τυπικής απόκλισης και μέσης απόλυτης απόκλισης. © 2002 Thomson / South-Western

3 Στόχοι του Μαθήματος-Συνέχεια
Διάκριση μεταξύ δειγματικής και πληθυσμιακής διακύμανσης και τυπικής απόκλισης. Κατανόηση της σημασίας της τυπικής απόκλισης όπως αυτή εφαρμόζεται χρησιμοποιώντας τον εμπειρικό κανόνα. Κατανόηση του θηκογράμματος, της ασυμμετρίας και της κύρτωσης. © 2002 Thomson / South-Western

4 Μέτρα Κεντρικής Τάσης Τα Μέτρα Κεντρικής Τάσης παρέχουν πληροφορίες για ‘συγκεκριμένες θέσεις ή τοποθεσίες ενός συνόλου αριθμών’. Κοινά μέτρα θέσης της κατανομής Επικρατούσα Τιμή Διάμεσος Μέσος Εκατοστημόρια Τεταρτημόρια © 2002 Thomson / South-Western

5 Επικρατούσα Τιμή Η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων. Εφαρμόζεται σε όλα τα επίπεδα μέτρησης δεδομένων (ονομαστικά, διατάξιμα, διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου). Bimodal – Δεδομένα που εμφανίζουν 2 επικρατούσας τιμές. Multimodal – Δεδομένα που περιλαμβάνουν περισσότερες από 2 επικρατούσας τιμές. © 2002 Thomson / South-Western

6 Επικρατούσα Τιμή- Παράδειγμα
Η επικρατούσα τιμή είναι 44. Η τιμή 44 εμφανίζεται περισσότερες φορές από οποιαδήποτε άλλη τιμή. 35 37 39 40 41 43 44 45 46 48 © 2002 Thomson / South-Western

7 Διάμεσος Είναι η ενδιάμεση τιμή σε ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών.
Εφαρμόζεται στα διατάξιμα δεδομένα, στα δεδομένα διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου. Δεν εφαρμόζεται στα ονομαστικά δεδομένα. Δεν επηρεάζεται από τις υπερβολικά υψηλές και από τις υπερβολικά χαμηλές τιμές. © 2002 Thomson / South-Western

8 Διάμεσος: Υπολογιστική Λειτουργία
Πρώτη Λειτουργία Τοποθέτηση των παρατηρήσεων σε ένα διατεταγμένο σύνολο. Αν ο αριθμών των στοιχείων είναι μονός, η διάμεσος είναι το μέσο στοιχείο του διατεταγμένου συνόλου. Αν ο αριθμών των στοιχείων είναι ζυγός, η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δυο μέσων στοιχείων. Δεύτερη Λειτουργία Η θέση της διαμέσου σε ένα διατεταγμένο σύνολο δίνεται από (n+1)/2. © 2002 Thomson / South-Western

9 Διάμεσος: Παράδειγμα με μονό αριθμό στοιχείων
Διάμεσος: Παράδειγμα με μονό αριθμό στοιχείων Το διατεταγμένο σύνολο περιλαμβάνει: Υπάρχουν 17 στοιχεία στο διατεταγμένο σύνολο. Θέση της Διαμέσου = (n+1)/2 = (17+1)/2 = 9 Η διάμεσος είναι το 9ο στοιχείο, δηλ. το15. Αν το 22 αντικατασταθεί από το 100, η διάμεσος παραμένει το 15. Αν το 3 αντικατασταθεί από το -103, η διάμεσος παραμένει το 15. © 2002 Thomson / South-Western

10 Μέσος Είναι ο μέσος όρος μιας ομάδας αριθμών.
Εφαρμόζεται στα δεδομένα διαστηματικής κλίμακας και κλίμακας λόγου, δεν εφαρμόζεται στα ονομαστικά ή διατάξιμα δεδομένα. Επηρεάζεται από κάθε παρατήρηση, περιλαμβανομένων και των υπερβολικών τιμών. Υπολογίζεται αθροίζοντας όλες τις παρατηρήσεις και διαιρώντας με τον αριθμό τους. © 2002 Thomson / South-Western

11 Πληθυσμιακός Μέσος © 2002 Thomson / South-Western

12 Δειγματικός Μέσος © 2002 Thomson / South-Western

13 Τεταρτημόρια Q1: 25% των δεδομένων ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο.
Είναι Μέτρα Κεντρικής Τάσης που χωρίζουν το σύνολο των δεδομένων σε 4 υποσύνολα. Q1: 25% των δεδομένων ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο. Q2: 50% των δεδομένων ανήκει στο δεύτερο τεταρτημόριο Q3: 75% των δεδομένων ανήκει στο τρίτο τεταρτημόριο © 2002 Thomson / South-Western

14 Τεταρτημόρια-Συνέχεια
Το Q1 είναι ίσο με το 25ο εκατοστημόριο Το Q2 τοποθετείται στο 50ο εκατοστημόριο και είναι ίσο με τη διάμεσο Το Q3 είναι ίσο με το 75ο εκατοστημόριο Οι τιμές των τεταρτημορίων δεν είναι αναγκαστικά κομμάτι των δεδομένων. © 2002 Thomson / South-Western

15 Τεταρτημόρια 25% Q3 Q2 Q1 © 2002 Thomson / South-Western

16 Τεταρτημόρια: Παράδειγμα
Τεταρτημόρια: Παράδειγμα Διατεταγμένο σύνολο: 106, 109, 114, 116, 121, 122, 125, 129 Q1: Q2: Q3: © 2002 Thomson / South-Western

17 Μέτρα Διασποράς Τα Μέτρα Διασποράς περιγράφουν την απόκλιση ή την διασπορά ενός συνόλου δεδομένων. Κοινά Μέτρα Διασποράς Εύρος Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος Μέση Απόλυτη Απόκλιση Διακύμανση Τυπική Απόκλιση Z scores Συντελεστής Μεταβλητότητας © 2002 Thomson / South-Western

18 Μεταβλητότητα Μη Μεταβλητότητα των Χρηματορροών
Μέσος Μέσος Mean Mean © 2002 Thomson / South-Western

19 Μεταβλητότητα Μεταβλητότητα Μη Μεταβλητότητα
© 2002 Thomson / South-Western

20 Εύρος Η διαφορά μεταξύ της υψηλότερης και της χαμηλότερης τιμής σε ένα σύνολο δεδομένων. Εύκολο να υπολογιστεί. Αγνοεί όλα τα στοιχεία των δεδομένων εκτός από τις τιμές που βρίσκονται στα 2 άκρα. Παράδειγμα: Εύρος = = Υψηλότερη-Χαμηλότερη τιμή = = 13 35 37 39 40 41 43 44 45 46 48 © 2002 Thomson / South-Western

21 Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος
Εύρος τιμών μεταξύ του πρώτου και του τρίτου τεταρτημορίου. Εύρος του “middle half”. Λιγότερο επηρεασμένο από τις ακραίες τιμές. © 2002 Thomson / South-Western

22 Απόκλιση από το μέσο Παρατηρήσεις: 5, 9, 16, 17, 18 Μέσος:
Παρατηρήσεις: 5, 9, 16, 17, 18 Μέσος: Αποκλίσεις από το μέσο: -8, -4, 3, 4, 5 -8 -4 +3 +4 +5 © 2002 Thomson / South-Western

23 Μέση Απόλυτη Απόκλιση Μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων από τον μέσο.
5 9 16 17 18 -8 -4 +3 +4 +5 +8 24 © 2002 Thomson / South-Western

24 Πληθυσμιακή Διακύμανση
Μέσος όρος τετραγωνικών αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο. 5 9 16 17 18 -8 -4 +3 +4 +5 64 25 130 © 2002 Thomson / South-Western

25 Πληθυσμιακή Τυπική Απόκλιση
Τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης 5 9 16 17 18 -8 -4 +3 +4 +5 64 25 130 © 2002 Thomson / South-Western

26 Εμπειρικός Κανόνας Τα δεδομένα ακολουθούν την κανονική κατανομή (ή κατά προσέγγιση κανονική) 95 99.7 68 Απόσταση από το μέσο Ποσοστό των τιμών που βρίσκεται πλησίον του μέσου © 2002 Thomson / South-Western

27 Δειγματική Διακύμανση
Μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο. 2,398 1,844 1,539 1,311 7,092 625 71 -234 -462 390,625 5,041 54,756 213,444 663,866 © 2002 Thomson / South-Western

28 Δειγματική Τυπική Απόκλιση
Τετραγωνική ρίζα της δειγματικής διακύμανσης 2,398 1,844 1,539 1,311 7,092 625 71 -234 -462 390,625 5,041 54,756 213,444 663,866 © 2002 Thomson / South-Western

29 Συντελεστής Μεταβλητότητας
Εύρος της τυπικής απόκλισης από το μέσο, εκφρασμένο ως ποσοστό. Μέτρο της σχετικής διασποράς. © 2002 Thomson / South-Western

30 Συντελεστής Μεταβλητότητας
© 2002 Thomson / South-Western

31 Μέτρα Σχήματος Ασυμμετρία Απουσία συμμετρίας
Ακραίες τιμές στη μια πλευρά της κατανομής Κύρτωση Κορυφή μιας κατανομής Θηκόγραμμα Γραφική απεικόνιση μιας κατανομής Αποκαλύπτει ασυμμετρία © 2002 Thomson / South-Western

32 Ασυμμετρία Αρνητική Ασυμμετρία Θετική Ασυμμετρία Συμμετρία
© 2002 Thomson / South-Western

33 Ασυμμετρία Αρνητική Συμμετρία Θετική Ασυμμετρία Μέσος Επικρατούσα Τιμή
Διάμεσος Μέσος Συμμετρία Επικρατούσα Τιμή Θετική © 2002 Thomson / South-Western

34 Συντελεστής Ασυμμετρίας
Συνοπτικό μέτρο ασυμμετρίας Αν S < 0, η κατανομή είναι αρνητικά ασύμμετρη (ασύμμετρη στα αριστερά). Αν S = 0, η κατανομή είναι συμμετρική (όχι ασύμμετρη). Αν S > 0, η κατανομή είναι θετικά ασύμμετρη (ασύμμετρη στα δεξιά). © 2002 Thomson / South-Western

35 Συντελεστής Ασυμμετρίας
© 2002 Thomson / South-Western

36 Κύρτωση Κορυφή μιας κατανομής Λεπτόκυρτη: ψηλή και λεπτή
Λεπτόκυρτη: ψηλή και λεπτή Μεσόκυρτη κανονική στο σχήμα Πλατύκυρτη: επίπεδη και εξαπλωμένη προς τα έξω Λεπτόκυρτη Μεσόκυρτη Πλατόκυρτη © 2002 Thomson / South-Western

37 Θηκόγραμμα Χρησιμοποιούνται 5 συγκεκριμένες τιμές: Διάμεσος, Q2
Ελάχιστη τιμή στο σύνολο δεδομένων Μέγιστη τιμή στο σύνολο δεδομένων © 2002 Thomson / South-Western

38 Θηκόγραμμα-Συνέχεια Εσωτερικά Όρια IQR = Q3 - Q1
Χαμηλότερο εσωτερικό όριο = Q IQR Υψηλότερο εσωτερικό όριο = Q IQR Εξωτερικά Όρια Χαμηλότερο εξωτερικό όριο = Q IQR Υψηλότερο εξωτερικό όριο = Q IQR © 2002 Thomson / South-Western

39 Θηκόγραμμα Q1 Q3 Q2 Ελάχιστη τιμή Μέγιστη τιμή
© 2002 Thomson / South-Western

40 Ασυμμετρία: Θηκογράμματα και Συντελεστής Ασυμμετρίας
Ασυμμετρία: Θηκογράμματα και Συντελεστής Ασυμμετρίας Αρνητική Ασυμμετρία Θετική Συμμετρία S < 0 S = 0 S > 0 © 2002 Thomson / South-Western