ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παχατουρίδη Σάββα(676) Επιβλέπων: Σ

Παρουσίαση με θέμα: "ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παχατουρίδη Σάββα(676) Επιβλέπων: Σ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παχατουρίδη Σάββα(676) Επιβλέπων: Σ. Βολογιαννίδης Θέμα: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΜΕ ΠΙΘΑΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

2 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Μελέτη πτυχιακής: 1)Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα 2)Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων 3)Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων με πιθανές συμμετρίες

3 Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα Μέθοδος της Δύναμης Μέθοδος QR Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων Μέθοδος QZ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Γραμμικοποιηση Πρώτη συνοδεύουσα μορφή Δεύτερη συνοδεύουσα μορφή Συνοδεύουσα μορφή σύμφωνα με την διδακτορική διατριβή του Σ. Βολογιαννιδη

4 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα Μέθοδος της Δύναμης εύρεση μεγαλύτερης ιδιοτιμής ενός πινάκα και του αντιστοίχου ιδιοδιανύσματος, καθώς και μια επέκταση της μεθόδου για τον υπολογισμό όλων των ιδιοτιμών

5 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα Μέθοδος της Δύναμης

6 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα Μέθοδος της Δύναμης

7 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα Μέθοδος της Δύναμης Τα λ1,λ2,λ3,λ4 είναι οι ιδιοτιμες του Α του αρχικού μας πινάκα οπότε η διαδικασία που θα επακολουθήσει η μέθοδος της δύναμης είναι : Επομένως το επόμενο μας ερώτημα είναι πώς βρίσκουμε τον πινάκα αυτό που θα μας δώσει τα παραπάνω αποτελέσματα

8 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Μέθοδος Householder

9 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Μέθοδος Householder

10 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Μέθοδος Householder

11 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα b. Μέθοδος QR Η μέθοδος QR υπολογίζει όλες τις ιδιοτιμές ενός πινάκα και είναι προς το παρόν από τις καλύτερες μεθόδους. Η μέθοδος αυτή κάνει χρήση της παραγοντοποίησης πινάκων. Για την περιγραφή τις μεθόδου QR θα χρησιμοποιήσουμε ένα πινάκα Α∊Rn×n όπου θα τον μετατρέψουμε σένα γινόμενο δυο πινάκων όπου ο ένας θα είναι ο Q ορθογώνιος πίνακας και ο άλλος θα είναι ο R όπου θα είναι άνω τριγωνικός πίνακας.

12 Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών ενός τετραγωνικού πίνακα b. Μέθοδος QR Επομένως το ερώτημα είναι πώς βρίσκουμε τους πίνακες Q και R

13 Παραγοντοποίηση με την χρήση Householder
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Παραγοντοποίηση με την χρήση Householder

14 Παραγοντοποίηση με την χρήση Householder
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Παραγοντοποίηση με την χρήση Householder

15 Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων α. Μέθοδος QZ Την μέθοδο QZ την χρησιμοποιούμε για την εύρεση των γενικευμένων ιδιοτιμων δυο πινάκων. Μέχρι στιγμής μιλούσαμε για την εύρεση ιδιοτιμων ενός πινάκα τώρα θα μελετήσουμε ζευγάρι πινάκων. Θεωρούμε ότι έχουμε έναν πινάκα Α που είναι σε άνω hessenberg μορφή και ο Β θα είναι άνω τριγωνικός. Στόχος είναι να βρούμε δυο ορθογωνίους πίνακες Q και Z όπου θα ισχύουν QT AZ να είναι άνω hessenberg και QTΒΖ να είναι άνω τριγωνικός.

16 Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων α. Μέθοδος QZ

17 Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Γενικευμένο πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών ενός ζευγαριού πινάκων α. Μέθοδος QZ

18 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Hessenberg Έστω ότι έχουμε δύο πίνακες Α και Β διαστάσεων n×n. Στόχος του αλγορίθμου που θα παρουσιαστεί είναι να μετατραπεί με ισοδυναμία πινάκων ο πίνακας Α σε Hessenberg μορφή ενώ ο πίνακας Β σε άνω τριγωνική.

19 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Hessenberg

20 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Πρώτη συνοδεύουσα μορφή Δεύτερη συνοδεύουσα μορφή Η πρώτη και η δεύτερη συνοδεύουσα μορφή είναι γνωστό ότι είναι μια γραμμικοποιηση του πολυωνυμικού πινάκα T(s). Καθώς έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πολυωνυμικό πίνακα T(s).

21 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Πρώτη συνοδεύουσα μορφή Δεύτερη συνοδεύουσα μορφή

22 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Πρώτη συνοδεύουσα μορφή Δεύτερη συνοδεύουσα μορφή

23 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Τρίτη συνοδεύουσα μορφή

24 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Τρίτη συνοδεύουσα μορφή

25 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Τρίτη συνοδεύουσα μορφή

26 Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εύρεση ιδιοτιμών πολυωνυμικών πινάκων Τρίτη συνοδεύουσα μορφή

27 Υλοποιήσεις στο matlab
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Υλοποιήσεις στο matlab Υλοποιήσαμε τους αλγορίθμους γραμμικοποίησης και με της τρείς συνοδεύουσες μορφές και συγχρόνως κάναμε κάποια τεστ χρονομετρήσεις

28 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Test1 κρατήσαμε σταθερή την διάσταση των πινάκων σε 10×10 και μεταβάλαμε τον βαθμό του μέγιστου πολυωνυμικού πίνακα

29 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Test2 κρατήσαμε σταθερό τον βαθμό του μέγιστου πολυωνυμικού πίνακα σε 10 βαθμού και μεταβάλαμε την διάσταση του πίνακα.

30 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΑΥΤΗΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΟΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ: Δρ. Σταύρο Βολογιαννίδη

31 ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ !
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΑΣ !