Αθροιστική Σχετική Συχνότητα

Παρουσίαση με θέμα: "Αθροιστική Σχετική Συχνότητα"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αθροιστική Σχετική Συχνότητα
I Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Πίνακας Συχνοτήτων Αθροιστική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Διαγράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

2 Vi Πίνακας Συχνοτήτων...

3 Ας υποθέσουμε πως θέλουμε να αναλύσουμε τα αποτελέσματα της γραπτής εξέτασης στο μάθημα «Πληκτικά Μαθηματικά», από ένα δείγμα 40 φοιτητών. 40

4 «Η βαθμολογία στο μάθημα των Πληκτικών Μαθηματικών»
Για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις με μαθηματικό τρόπο, χρειάζεται να ορίσουμε μια μεταβλητή (δηλ. ένα όνομα) - έστω Χ - η οποία θα αντιπροσωπεύει την ποσότητα την οποία μετράμε. Άρα... Χ = Αυτό που μετράμε ... Συνεπώς, στο παράδειγμά μας θα είναι: «Η βαθμολογία στο μάθημα των Πληκτικών Μαθηματικών» Χ = Το σύνολο των μετρήσεων που έχουμε κάνει (δηλαδή, το πόσες βαθμολογίες μετρήσαμε) λέγεται μέγεθος ν του δείγματος και για το παράδειγμά μας είναι: ν = 40

5 Έστω, λοιπόν, ότι αφού εξετάστηκαν οι 40 φοιτητές συγκεντρώθηκαν οι παρακάτω βαθμολογίες:
5, 3, 7, 6, 2, 10, 8, 6, 4, 4, 6, 9, 1, 5, 5, 7, 7, 3, 7, 6, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 5, 1, 10, 8, 6, 7, 2, 1, 9, 4, 8, 5

6 Μια καλή ιδέα, γι’ αρχή, θα ήταν να ταξινομήσουμε τις βαθμολογίες, ξαναγράφοντάς τες από τη
μεγαλύτερη προς τη μικρότερη ... 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10

7 Φυσικά, ακόμα καλύτερα θα ήταν κάπως έτσι:
1, 1, 1, 1, 1 2, 2, 2 3, 3, 3, 3 4, 4, 4, 4, 4 5, 5, 5, 5, 5, 5 6, 6, 6, 6, 6 7, 7, 7, 7, 7 8, 8, 8 9, 9 10, 10

8 το 1 → 5 φορές το 2 → 3 φορές το 3 → 4 φορές το 4 → 5 φορές
Υπάρχει, όμως, και μια εξυπνότερη ιδέα: αντί να γράφουμε πολλές φορές τον ίδιο αριθμό, είναι προτιμότερο να τον γράφουμε μόνο μια φορά και δίπλα να σημειώνουμε το πόσες φορές τον συναντάμε, δηλαδή... το 1 → 5 φορές το 2 → 3 φορές το 3 → 4 φορές το 4 → 5 φορές το 5 → 6 φορές το 6 → 5 φορές το 7 → 5 φορές το 8 → 3 φορές το 9 → 2 φορές το 10 → 2 φορές

9 Βαθμολογία Πόσες φορές 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10
Τώρα, αντί να γράφουμε συνεχώς τη λέξη «φορές», θα ήταν προτιμότερο να φτιάξουμε ένα μικρό πίνακα: Βαθμολογία Πόσες φορές 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10

10 Το i είναι απλά ένα είδος μετρητή, που παίρνει τις τιμές
Οι διάφορες βαθμολογίες που διαβάζουμε στην πρώτη στήλη δεν είναι παρά οι διαφορετικές «τιμές» που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Χ την οποία μετράμε. Οι διαφορετικές αυτές τιμές, που παίρνει γενικά το μέγεθος Χ, συμβολίζονται με xi . Συνεπώς: x1 = 1 x6 = 6 x2 = 2 x7 = 7 x3 = 3 x8 = 8 x4 = 4 x9 = 9 x5 = 5 x10 = 10 x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = x9 = x10 =

11 i-σιχτίρ με τα μαθηματικά !!!
Επιπλέον, το πόσες φορές μετράμε την κάθε τιμή, δηλαδή οι αριθμοί που καταγράψαμε στη 2η στήλη, ονομάζεται «συχνότητα» της αντίστοιχης τιμής. Η συχνότητα κάθε τιμής xi συμβολίζεται με νi . Συνεπώς: ν1 = 5 ν6 = 5 ν2 = 3 ν7 = 5 ν3 = 4 ν8 = 3 ν4 = 5 ν9 = 2 ν5 = 6 ν10 = 2 ν1 = ν2 = ν3 = ν4 = ν5 = ν6 = ν7 = ν8 = ν9 = ν10 =

12 Πίνακας Συχνοτήτων Πίνακας Συχνοτήτων
Έτσι, ο πίνακας που είχαμε φτιάξει αρχικά γράφεται τώρα ακριβέστερα, όπως φαίνεται παρακάτω, και ονομάζεται: Πίνακας Συχνοτήτων Πίνακας Συχνοτήτων Τιμές xi Συχνότητα νi 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10

13 5 3 ν ν = 40 Τιμές xi Συχνότητα νi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Άθροισμα
Παρατηρώντας τον πίνακα, είναι προφανές πως αν προσθέσουμε: Τιμές xi Συχνότητα νi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Άθροισμα τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «1» (δηλ. τη συχνότητα ν1) 5 3 τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «2» (δηλ. τη συχνότητα ν2) και τα λοιπά ... ... γενικότερα τις συχνότητες που εμφανίζεται καθεμία απ’ τις τιμές xi, τότε θα βρούμε το πλήθος όλων των μετρήσεων, δηλαδή το μέγεθος ν του δείγματος. Συνεπώς: ν ν = 40 ν = ν1 + ν νκ * (*) Το κ είναι απλά ένας συμβολισμός που δείχνει πως έχουμε υποθετικά κ διαφορετικές τιμές xi.

14 ? Με τη βοήθεια της στήλης των συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, σε ένα σωρό ερωτήσεις των παρακάτω τύπων: ? Πόσοι φοιτητές έγραψαν 9 Πόσοι φοιτητές έγραψαν έως και 7 Πόσοι φοιτητές έγραψαν το πολύ 4 Πόσοι φοιτητές έγραψαν λιγότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν περισσότερο από 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν τουλάχιστον 5 Πόσοι φοιτητές έγραψαν μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) Πόσοι φοιτητές έγραψαν πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 κλπ... ? ? ? ? ? ? ? Το ζητούμενο σε καθεμία από τις ερωτήσεις αυτές είναι, πρωτίστως, να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει και ποιες περιπτώσεις περιλαμβάνει. Ή, με άλλα λόγια, να μπορέσουμε να «μεταφράσουμε» τη γλώσσα της γραμματικής στη γλώσσα των μαθηματικών.

15 Απάντηση Τι σημαίνει ; Συχνότητες που αντιστοιχούν
Βαθμολογία που Έγραψαν... Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί Συχνότητες που αντιστοιχούν 9 (ακριβώς) Σημαίνει αυτό (ακριβώς) που λέει! x = 9 ν9 2 έως και 7 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 x ≤ 7 ν1 + ν ν7 33 το πολύ 4 1, 2, 3, άντε και 4 x ≤ 4 ν1 + ν2 + ν3 + ν4 17 λιγότερο από 5 1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5) x < 5 περισσότερο από 5 6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5) x > 5 ν6+ν7+ν8+ν9+ν10 τουλάχιστον 7 7, 8, 9 & 10 x ≥ 7 ν7 + ν8 + ν9 + ν10 12 μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) 8, 9, 10 8 ≤ x ≤ 10 ν8 + ν9 + ν10 7 πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 5, 6, 7 (όχι όμως κι 8) 5 ≤ x < 8 ν5 + ν6 + ν7 16 Τι σημαίνει ; Απάντηση Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

16 Τιμές xi Συχνότητα νi 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10 Άθροισμα 40

17 Νi Αθροιστική Συχνότητα...

18 Τη στήλη αυτή θα τη φτιάχνουμε ως εξής:
Αν θέλουμε ν’ απαντούμε κατευθείαν στις ερωτήσεις του τύπου «το πολύ» τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα στήλη, που θα την ονομάζουμε «αθροιστική συχνότητα» και θα τη συμβολίζουμε με Νi. Τη στήλη αυτή θα τη φτιάχνουμε ως εξής:

19 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10
Άθροισμα 40 το ίδιο 5 Αντιγράφουμε στην πρώτη σειρά την 1η συχνότητα όπως ακριβώς είναι (δηλ. τη ν1) και συνεχίζουμε σε κάθε νέα σειρά προσθέτοντας μία-μία όλες τις συχνότητες, φτιάχνοντας έτσι ένα κλιμακωτό άθροισμα. Ας το δούμε αυτό να γίνεται, σταδιακά, στο παράδειγμά μας...

20 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10
Άθροισμα 40 προσθέτω

21 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 4 6 7 8 9 10
Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 8

22 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 6 7 9 10
Άθροισμα 40 προσθέτω

23 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 6 7 9 10
Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 12

24 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 12 6 7 9
10 Άθροισμα 40 προσθέτω

25 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 12 6 7 9
10 Άθροισμα 40 προσθέτω ίσον = 17

26 40 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 12 17 6 7
9 10 Άθροισμα 40 …και με την ίδια λογική... 23 28 33 36 38 40

27 Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το ν !!!
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi 1 5 2 3 8 4 12 17 6 23 28 7 33 36 9 38 10 40 Άθροισμα Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το ν !!!

28 fi Σχετική Συχνότητα...

29 Στο παράδειγμά μας, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο ν’ αντιληφθούμε τι σημαίνει ότι 6 άτομα στα 40 έγραψαν τη βάση, γιατί οι αριθμοί είναι μικροί και στρογγυλοί. Τι θα συνέβαινε όμως αν είχαμε 373 άτομα στα 475 ή άτομα στα 9.822; Γενικότερα, κάθε φορά που αντιμετωπίζουμε μεγάλα και «περίεργα» νούμερα και ζητάμε να κατανοήσουμε τί σχέση έχει το μέρος με το σύνολο, τότε χρησιμοποιούμε την έννοια του ποσοστού. Όπως γνωρίζουμε, το ποσοστό το μετράμε συνήθως με βάση το 100, δηλαδή «επί τοις εκατό (%)», όπως συνηθίζουμε να λέμε. Άρα: Όταν δηλαδή στο δημοτικό λέγαμε ότι από τα 8 κομμάτια μιας πίτσας φάγαμε τα 6, τότε το κλάσμα 6/8 = 0,75 σήμαινε ότι φάγαμε το 0,75∙100 = 75% της πίτσας!

30 Στη Στατιστική το μέγεθος εκείνο που προσδιορίζει τι ποσοστό ενός δείγματός καταλαμβάνει κάποια τιμή xi λέγεται «σχετική συχνότητα» και συμβολίζεται με fi . Σύμφωνα με όσα είπαμε πριν θα είναι, λοιπόν: πχ. Για το παράδειγμα των 40 φοιτητών είναι: f1 = 5 / 40 = 0,125 Συνήθως, μετατρέπουμε το δεκαδικό που προκύπτει σε ποσοστό % - όπως ήδη έχουμε πει - πολλαπλασιάζοντας το με το 100. Έτσι προκύπτει μια ακόμα στήλη: η σχετική συχνότητα (%). Δηλαδή... f1 = 0,125 ή 0,125∙100 = 12,5 %.

31 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) 1 5 2 3 8 4 12 17 6 23 28 7 33 36 9 38 10 40 Άθροισμα ∙ 100 0,125 12,5

32 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) 1 5 0,125 12,5 2 3 8 4 12 17 6 23 28 7 33 36 9 38 10 40 Άθροισμα ∙ 100 0,075 7,5

33 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) 1 5 0,125 12,5 2 3 8 0,075 7,5 4 12 17 6 23 28 7 33 36 9 38 10 40 Άθροισμα ∙ 100 0,10 10

34 Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) 1 5 0,125 12,5 2 3 8 0,075 7,5 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα 100 ΔΩΣΕ ΒΑΣΗ !!! f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f6 = f7 = f8 = f9 = f10 = …και τα λοιπά...

35 Με άλλα λόγια στη μαθηματική γλώσσα, αυτό που πρέπει να ισχύει είναι:
ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα αθροίσματα 1 και 100 δεν είναι τυχαία, παρά είναι εκείνα ακριβώς που πρέπει να βρίσκουμε ΠΑΝΤΑ στη βάση της στήλης fi και fi (%), αντίστοιχα. Αυτός είναι κι ένας τρόπος να κάνουμε έμμεσα την επαλήθευσή μας! Με άλλα λόγια στη μαθηματική γλώσσα, αυτό που πρέπει να ισχύει είναι: Μικρές αποκλίσεις είναι δυνατό να συμβούν, πχ. 0,98 ή 1,01 εξαιτίας στρογγυλοποιήσεων που πιθανόν έχουν γίνει στους προηγούμενους υπολογισμούς. Δεν πρέπει να μας ανησυχεί κάτι τέτοιο! f1 + f2 + … + fκ = 1 ή f1% + f2% + … + fκ% = 100%

36 Με τη βοήθεια της στήλης των σχετικών συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, στις ίδιες ερωτήσεις που απαντήσαμε νωρίτερα, όταν αντί για απόλυτους αριθμούς μας ζητάνε ποσοστό (%): ? Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε 9 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε έως και 7 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 4 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε λιγότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε περισσότερο από 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε τουλάχιστον 5 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε μεταξύ 8 και 10 Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε πάνω απ’ τη βάση & λιγότερο από 8 κλπ... ? ? ? ? ? ? ? ? Στον επόμενο πίνακα, παρατηρούμε ότι αθροίζουμε ακριβώς τις ίδιες περιπτώσεις, μόνο που κοιτάζουμε στη στήλη των fi αντί εκείνης των νi.

37 Ποσοστό % Τι σημαίνει ; Βαθμολογία που έγραψαν... Σχετικές συχνότητες
Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί Σχετικές συχνότητες 9 (ακριβώς) Σημαίνει αυτό (ακριβώς) που λέει! x = 9 f9 5 % έως και 7 Έγραψαν: 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 x ≤ 7 f1 + f f7 82,5 % το πολύ 4 1, 2, 3, άντε και 4 x ≤ 4 f1 + f2 + f3 + f4 42,5 % λιγότερο από 5 1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5) x < 5 περισσότερο από 5 6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5) x > 5 f6 + f7 + f8 + f9 + f10 τουλάχιστον 7 7, 8, 9 & 10 x ≥ 7 f7 + f8 + f9 + f10 30 % μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων) 8, 9, 10 8 ≤ x ≤ 10 f8 + f9 + f10 17,5 % πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8 5, 6, 7 (όχι όμως κι 8) 5 ≤ x < 8 f5 + f6 + f7 40 % Ποσοστό Τι σημαίνει ; % Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

38 100 Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi
5 0,125 12,5 2 3 8 0,075 7,5 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα 100

39 Αθροιστική Σχετική Συχνότητα...
Fi Αθροιστική Σχετική Συχνότητα...

40 Η «αθροιστική σχετική συχνότητα» συμβολίζεται με Fi
Η «αθροιστική σχετική συχνότητα» συμβολίζεται με Fi . Από μια άποψη, εκφράζει για τα αντίστοιχα Νi ό,τι εκφράζει και η fi για τα αντίστοιχα vi, δηλαδή το ποσοστό. Για το λόγο αυτό, πολύ συχνά, δίπλα στην απλή στήλη Fi θα κατασκευάζουμε και την Fi (%), απλά πολλαπλασιάζοντας με το 100. Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάσαμε τη στήλη Νi (δηλ. τις αθροιστικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη νi (δηλ. τις συχνότητες)… …θα κατασκευάσουμε τη στήλη Fi (δηλ. τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη fi (δηλ. τις σχετικές συχνότητες)...

41 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 2 3 8 0,075 7,5 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα το ίδιο ∙ 100 0,125 12,5 %

42 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα προσθέτω

43 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα προσθέτω ίσον = ∙ 100 0,20 20 %

44 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 % 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα προσθέτω

45 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 % 4 12 0,10 10 17 6 23 0,15 15 28 7 33 36 9 38 0,05 40 Άθροισμα προσθέτω ίσον = ∙ 100 0,30 30 %

46 Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...
Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 % 4 12 0,10 10 0,30 30 % 17 0,425 42,5% 6 23 0,15 15 0,575 57,5 % 28 0,70 70 % 7 33 0,825 82,5 % 36 0,90 90 % 9 38 0,05 0,95 95 % 40 100 % Άθροισμα 100 F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = F9 = F10 = …και τα λοιπά...

47 Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το 1 & το 100 !!!
Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται... Τιμές xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική Συχνότητα fi fi (%) Fi Fi (%) 1 5 0,125 12,5 12,5 % 2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 % 4 12 0,10 10 0,30 30 % 17 0,425 42,5% 6 23 0,15 15 0,575 57,5 % 28 0,70 70 % 7 33 0,825 82,5 % 36 0,90 90 % 9 38 0,05 0,95 95 % 40 100 % Άθροισμα 100 F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = F9 = F10 = Δεν είναι τυχαίο που βρήκαμε το 1 & το 100 !!!

48 Διαγράμματα...

49 τα κυκλικά διαγράμματα.
Συνηθιζούμε να λέμε ότι μια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις και η Στατιστική δεν αποτελεί εξαίρεση. Πολύ συχνά, παρατηρώντας ένα διάγραμμα μπορούμε να εξάγουμε άμεσα συμπεράσματα ταχύτερα απ’ ότι αν προσπαθούσαμε να επεξεργαστούμε νοητικά τα αριθμητικά δεδομένα ενός πίνακα συχνοτήτων. Με αυτό το στόχο, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι τρόποι απεικόνισης των δεδομένων ενός δείγματος σε κατάλληλα διαγράμματα. Δύο απ’ τα συνηθέστερα είναι: τα ραβδογράμματα και τα κυκλικά διαγράμματα.

50 Ας ξεκινήσουμε, με ένα απλό ραβδόγραμμα συχνοτήτων.
Καταρχάς, σχεδιάζουμε 2 κάθετους άξονες.

51 νi xi Άξονας των τεταγμένων Άξονας των τετμημένων
Στον κατακόρυφο άξονα παριστάνουμε τις συχνότητες vi των αντίστοιχων xi. Άξονας των τεταγμένων Άξονας των τετμημένων xi

52 νi Στη συνέχεια, τοποθετούμε τις τιμές xi πάνω στον άξονα. Εδώ θέλει προσοχή, καθώς στα ραβδογράμματα ο άξονας xi ΔΕΝ είναι αριθμητικός άξονας, αλλά ένας απλός άξονας διακριτών θέσεων, χωρίς καμία συνέχεια ανάμεσά τους. Έτσι, δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι ανάμεσα στις τιμές 1 και 2 υπάρχουν οι τιμές 1,2 ή 1,75 κλπ. Γι’ αυτό το λόγο, ΔΕΝ σχεδιάζουμε τις τιμές πάνω στις γραμμές του οριζόντιου άξονα... ...αλλά ανάμεσά τους... xi

53 νi Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... Από χρώματα ... ΜΠΛΕ ΚΟΚΚΙΝΟ ΚΙΤΡΙΝΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΚΑΦΕ ΡΟΖ ΜΩΒ ΓΑΛΑΖΙΟ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ ΛΑΔΙ xi

54 ... μέχρι εικόνες !!! Από χρώματα ... νi xi
Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... Από χρώματα ... ΜΠΛΕ ΚΟΚΚΙΝΟ ΚΙΤΡΙΝΟ ΠΡΑΣΙΝΟ ΚΑΦΕ ΡΟΖ ΜΩΒ ΓΑΛΑΖΙΟ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙ ΛΑΔΙ ... μέχρι εικόνες !!! xi

55 ... μέχρι εικόνες !!! Από χρώματα ... νi xi
Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε... Από χρώματα ... ... μέχρι εικόνες !!! xi

56 νi 7 6 5 4 3 2 1 Σειρά έχουν τώρα οι συχνότητες vi, τις οποίες και τοποθετούμε στον κατακόρυφο άξονα, κανονικά, ΠΑΝΩ στις γραμμές του άξονα, αφού πρόκειται για αριθμητικό άξονα. Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή xi «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία. xi

57 Οι μπάρες που σχεδιάζουμε μπορεί να είναι λεπτές...
νi Οι μπάρες που σχεδιάζουμε μπορεί να είναι λεπτές... 7 6 5 4 3 2 1 Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή xi «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία. 6 5 5 5 5 4 3 3 2 2 xi

58 ...ή μπορεί πάλι να είναι όσο παχιές παίρνει!
νi ...ή μπορεί πάλι να είναι όσο παχιές παίρνει! 7 6 5 4 3 2 1 6 5 5 5 5 4 3 3 2 2 xi

59 Μπορούμε, επίσης, να κατασκευάσουμε ραβδογραμμάτα και για τα υπόλοιπα στατιστικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα για την αθροιστική συχνότητα ... i

60 Νi 40 40 35 30 25 20 15 10 5 38 36 33 28 23 17 12 8 5 xi

61 … ή για την αθροιστική σχετική συχνότητα ...
i … ή για την αθροιστική σχετική συχνότητα ...

62 Fi 0,95 1 1,000 0,875 0,750 0,625 0,500 0,375 0,250 0,125 0,90 0,825 0,70 0,575 0,425 0,30 0,20 0,125 xi

63 Τα κυκλικά διαγράμματα έχουν μια δυσκολία παραπάνω, καθώς αντί για ορθογώνια παραλληλόγραμμα χρειάζεται να σχεδιάζουμε επίκεντρες γωνίες. Αυτό και μόνο αρκεί για να προκαλέσει ζωηρά κύματα αντιδράσεων από το κοινό! Επίκεντρη γωνία

64 Το καλό της υπόθεσης είναι πως αρκεί να καταλάβουμε τι σχέση έχει κάθε γωνία του διαγράμματος με την αντίστοιχη σχετική συχνότητα. Έτσι θα μπορούμε να κατανοούμε και να «διαβάζουμε» ένα τέτοιο διάγραμμα κάθε φορά που το συναντάμε, αλλά και να υπολογίζουμε το ένα από τα δύο μεγέθη όταν, φυσικά, γνωρίζουμε το άλλο. Αρκεί, λοιπόν, να γνωρίζουμε ότι το ποσοστό του κύκλου που καταλαμβάνει κάθε γωνία ισούται με το ποσοστό του δείγματος που καταλαμβάνει κάθε τιμή xi, με άλλα λόγια τη σχετική συχνότητα fi : ή

65 xi νi fi φi 1 5 0,125 2 3 0,075 4 0,10 6 0,15 7 8 9 0,05 10 40 45ο 1 45ο φ1 = 360∙0,125 = 45ο

66 xi νi fi φi 1 5 0,125 2 3 0,075 4 0,10 6 0,15 7 8 9 0,05 10 40 45ο 27ο 2 27ο 1 45ο φ2 = 360∙0,075 = 27ο

67 xi νi fi φi 1 5 0,125 2 3 0,075 4 0,10 6 0,15 7 8 9 0,05 10 40 45ο 27ο 3 36ο 2 36ο 27ο 1 45ο φ3 = 360∙0,10 = 36ο

68 …και τα λοιπά... 3 2 4 1 5 10 9 6 8 7 36ο 27ο 45ο 54ο 18ο xi νi fi φi
0,125 45ο 2 3 0,075 27ο 4 0,10 36ο 6 0,15 54ο 7 8 9 0,05 18ο 10 40 360ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45ο 27ο 36ο 54ο 18ο …και τα λοιπά...

69 τέλος 1ου μέρους Στο επόμενο επεισόδιο: «Έχετε κλάση; Κανένα πρόβλημα! Η Στατιστική καλύπτει διακριτικά κάθε σας ανάγκη!»