Κεφάλαιο 6: Κινητική Ενέργεια και Έργο

Παρουσίαση με θέμα: "Κεφάλαιο 6: Κινητική Ενέργεια και Έργο"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κεφάλαιο 6: Κινητική Ενέργεια και Έργο

2

3 m Ορίζουμε την κινητική ενέργεια K για να περιγράψουμε την κατάσταση κίνησης ενός σώματος με μάζα m και ταχύτητα v Μονάδα ενέργειας στο Διεθνές Σύστημα (SI) (Joule: J). Ένα σώμα μάζας m = 1kg το οποίο κινείται με ταχύτητα v = 1 m/s έχει K = 1J Έργο: Δύναμη F ασκείται σε σώμα μάζας m. Η δύναμη μπορεί να επιταχύνει το σώμα και να αυξήσει την ταχύτητά του v και άρα την K. H F μπορεί επίσης να επιβραδύνει το σώμα και να ελαττώσει την Κ. Οι μεταβολές της K οφείλονται στο ότι η F μεταφέρει ενέργεια προς ή από το σώμα. Την ενέργεια αυτή ονομάζουμε έργο W

4 m Σώμα μάζας m κινείται χωρίς τριβή σε ευθεία (άξονας x). Σταθερή δύναμη F ασκείται σε γωνία φ ως προς τον x. Από 2ο Νόμο του Νεύτωνα ΣFx = max (1) Έστω το σώμα έχει αρχική ταχύτητα uo και αφού κινηθεί σε απόσταση d η ταχύτητά του είναι u. Τότε από τις εξισώσεις κίνησης για επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση ισχύει u2 – uo2 = 2αxd. (2) Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέρη της (2) με m/2 και με χρήση της (1) και του ορισμού της Κ: ΔΚ = Fx d = F cosφ d = W (3)

5 Όπου η ποσότητα W είναι το έργο της δύναμης F

6

7 ▪ Οι παραπάνω σχέσεις για το έργο ισχύουν μόνο για F σταθερή
m ▪ Οι παραπάνω σχέσεις για το έργο ισχύουν μόνο για F σταθερή ▪ Από τις σχέσεις προκύπτουν οι παρατηρήσεις μας για το πρόσημο έργου που εκτελείται σε σύστημα: W>0 για 0 <φ<90º, W<0 για 90º<φ< 180º Αν στο σώμα ασκούνται περισσότερες από μία δυνάμεις, υπάρχουν δύο μέθοδοι για τον υπολογισμό του ολικού έργου Wολικό Μέθοδος 1: Υπολογίζουμε το έργο κάθε δύναμης, π.χ. για το σχήμα WA της FA, WB της FB , WC της FC και κατόπιν το Wολικό = WA + WB + WC Μέθοδος 2: Υπολογίζουμε την συνισταμένη δύναμη ΣF = FA + FB + FC και τότε Wολικό = ΣF · d

8 Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας-Έργου
m Θεώρημα Κινητικής Ενέργειας-Έργου Ολικό Έργο στο Σώμα Μεταβολή στην Κ

9 Εφαρμογή 1: Έργο Βαρυτικής Δύναμης
A B Εφαρμογή 1: Έργο Βαρυτικής Δύναμης Σώμα ρίχνεται προς τα πάνω στο Α με αρχική ταχύτητα vo. Στο Β το οποίο βρίσκεται ψηλότερα του Α κατά απόσταση d το σώμα θα έχει μικρότερο μέτρο ταχύτητας v. Το έργο της δύναμης της βαρύτητας κατά την διαδρομή Α → Β ισούται με: Wg (A → B) = Fg · AB = mgd cos180º = -mgd To έργο της Fg για τη διαδρομή Β → Α είναι: Wg (B → A) = Fg · BA = mgd cos0º = mgd = - Wg (A → B)

10 . Έργο που παράγεται από δύναμη που σηκώνει σώμα:
A B m . Έργο που παράγεται από δύναμη που σηκώνει σώμα: Σώμα μάζας m σηκώνεται από δύναμη F (όχι απαραίτητα σταθερή σε όλη την τροχιά) από ένα Α σε σημείο Β. Το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία στο Α και φτάνει στο Β με μηδενική ταχύτητα. Θεώρημα κινητικής ενέργειας-έργου: ΔΚ = Kf – Κι = 0 = Wολικό Δύο δυνάμεις ασκούνται στο σώμα, βαρύτητα Fg και η F, οπότε Wολικό = Wg (A → B) + WF (A → B) = 0 → WF (A → B) = -Wg (A → B) = - mgd cos180º = -(-mgd) = mgd Για τις ίδιες συνθήκες κίνησης αλλά αν τώρα η δύναμη F κατεβάζει το σώμα: WF (B → A) = -Wg (B → A) = - mgd cos0º = - mgd

11

12

13 Έργο από μεταβλητή δύναμη F(x)
Δύναμη F μεταβάλλεται σαν συνάρτηση του x όπως στο σχήμα α. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το έργο που παράγει η δύναμη σε σώμα που κινείται από xi σε xf ; Χωρίζουμε το διάστημα (xi, xf) σε Ν διαστήματα μήκους Δx όπως στο σχήμα b. Το έργο της F στο j-στό διάστημα είναι: ΔWj = Fj, μέση Δx me Fj μέση μέση τιμή της F στο j-διάστημα. Το συνολικό έργο είναι W = Σj Fj μέση Δx. Για Δx → 0 (ή ισοδύναμα Ν → ∞) τότε το όριο δίνει Γεωμετρικά το W ισούται με την επιφάνεια ανάμεσα στην καμπύλη F(x) και τον άξονα x (από xi έως xf)

14

15 Δύναμη Ελατηρίου, Νόμος του Hooke
To (α) δείχνει ελατήριο στο φυσικό του μήκος. Στο (β) επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά d. To ελατήριο αντιστέκεται και ασκεί δύναμη F στο χέρι μας προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στο (γ) συμπιέζουμε το ελατήριο κατά d. Το ελατήριο αντιστέκεται και ασκεί δύναμη F στο χέρι μας προς την αντίθετη κατεύθυνση. Η δύναμη F που ασκείται από το ελατήριο σε οποιαδήποτε αίτιο που προσπαθεί να μεταβάλλει το μήκος του (επιμήκυνση ή συμπίεση) δίνεται: όπου x η επιμήκυνση/συμπίεση ελατηρίου (ως προς το φυσικό μήκος του) Η εξίσωση είναι γνωστή ως Νόμος του Hooke και k ως σταθερά ελατηρίου

16 Έργο που παράγεται από την δύναμη ελατηρίου
Θεωρούμε το ελατήριο και το σώμα που εξαρτάται από το ελατήριο ως το σύστημά μας Η μοναδική δύναμη κατά τον x στο σύστημα είναι η δύναμη στο ελατήριο. Υποθέτουμε ότι το ελατήριο έχει αμελητέα μάζα και υπακούει στον Νόμο του Hooke. Τότε: O (b) xi x (c) xf (a)

17

18 Έργο Μεταβλητής Δύναμης F=F(x)
Ας θεωρήσουμε μια μεταβλητή δύναμη F(x) η οποία κινεί σώμα από σημείο Α (x = xi) σε σημείο Β (x = xf) 2ος Νόμος Νεύτωνα: Άρα το θεώρημα κινητικής ενέργειας-έργου ισχύει και στην γενικότερη περίπτωση της μεταβλητής δύναμης F

19 O ρυθμός με τον οποίο παράγεται έργο από δύναμη F: P =
Αν F παράγει έργο W σε χρόνο Δt, η μέση ισχύς ορίζεται ως: Pμέση= Μονάδες: 1 Watt, η ισχύς μηχανής που παράγει έργο 1 Joule σε χρόνο1 sec. Kilowatt-hour (KWh) = Μονάδα Έργου! Το έργο που παράγει μια μηχανή ισχύος 1000 W (1kW) σε μία ώρα W = P t = 1000 W * 3600 s = 3.6 * 106 Joules Ισχύς δύναμης που ασκείται σε σώμα υπό γωνία φ το οποίο κινείται με ταχύτητα v: v