Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Παρουσίαση με θέμα: "Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point
Με n bits μπορούμε να παραστήσουμε 2n διαφορετικούς αριθμούς π.χ. με n=32 μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς από 0 έως 232= 4,294,967,296  4 δισεκατ., ή από –231= - 2,147,483,648 έως = 2,147,483,647. Για την παράσταση μεγαλύτερων αριθμών χρησιμοποιείται η μέθοδος της κινητής υποδιαστολής (floating point): Ένας αριθμός R μπορεί να παρασταθεί και ως εξής: R =  Μ Β±Ε όπου Μ = μέτρο (mantissa) Β = βάση (base), συνηθως υπονοειται (2, 8, 10, 16...) και Ε = έκθετης (exponent)

2 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point
Με n = 32 bits μπορω να εχω την ακολουθη παρασταση οπου S = προσημο, 0=> (+) 1=> (-), Ε = εκθετης μηκους 8 bits, πολωμενος με +127 (παριστανει τιμες απο το –127 = εως το 128 = ), Μ= μετρο στην μορφη 1.f1f2…f23 οπου fi τα bits στο πεδιο Μ Ο αριθμος που παριστανεται ειναι ο R = (-1)S 2E-127 (1.M) Παραδειγμα: Να παρασταθει ο –3/16 σε μορφη f.p. 3/16 = = Αρα: S=1, E=-3+127= , M=10…0 => -3/16 = S E M 1

3 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point
Με την μεθοδο της κινητης υποδιαστολης παριστανονται οι αριθμοι -231 = 2,147,483, = 2,147,483,647 -(1-2-24) (1-2-24) 2128

4 Κωδικες ανιχνευσης λαθων
Μεταδοση αριθμων κωδικοποιημενων κατα BCD Για την ανιχνευση των απλων σφαλματων προσθετουμε στην κωδικη λεξη BCD ενα bit ισοτιμιας (parity bit) το οποιο υπολογιζεται ετσι ωστε ο συνολικος αριθμος ασσων σε καθε 5 bit κωδικη λεξη να ειναι περιττος (odd parity) Πομπος Καναλι Δεκτης Σφαλμα Καναλι ? bit περιττης ισοτιμιας Σφαλμα

5 Κωδικες Διορθωσης Λαθων
Καναλι d0 d1 d2 d3 P1 P2 P3 Γεννητρια ισοτιμιας δ0 δ1 δ2 δ3 Π1 Π2 Π3 Γεννητρια ισοτιμιας C1 C2 C3 P1 = parity(d0d2d3) P2 = parity(d0d1d3) P3 = parity(d0d1d2) Ci=1 αν Πi Pi

6 Κωδικες Διορθωσης Λαθων (2)
Υπολογισμος των bits ισοτιμιας Pi ODD Parity P1 = parity(d0d2d3) P2 = parity(d0d1d3) P3 = parity(d0d1d2) d1 P2 P3 d0 d2 d3 P1 Αν συμβει λαθος στα: {C1 C2 C3} το σφαλμα ειναι στο bit P1 και P δ3 P1 και P δ2 P3 και P δ1 P1 , P2 και P δ0 P P1 P P2 P P3

7 Κωδικες Διορθωσης Λαθων
Καναλι d0 d1 d2 d3 P1 P2 P3 Γεννητρια ισοτιμιας δ0 δ1 1 δ2 0 δ3 0 1 Γεννητρια ισοτιμιας 1 C1 0 1 C2 1 1 C3 1 P1 = parity(d0d2d3) P2 = parity(d0d1d3) P3 = parity(d0d1d2) Ci=1 αν Πi Pi

8 Διακοπτης δυο καταστασεων
x = x = 1 (a) Δυο καταστασεις ενος διακοπτη S x (b) Συμβολο του ελεγχομενου διακοπτη Διακοπτης δυο καταστασεων

9 Μια λαμπα ελεγχομενη απο ενα διακοπτη
S Μπαταρια L Λαμπα Αναβει οταν x=1 x (a) Απλη συνδεση σε μπαταρια L(x) = x S Τροφοδοτικο L x (b) Χρηση της γειωσης για αγωγο επιστροφης Μια λαμπα ελεγχομενη απο ενα διακοπτη

10 Δυο βασικες συναρτησεις
L(x) = x1• x2 S S Τροφοδοτικο x x L Λαμπα Αναβει οταν και το x1 = 1 και το x2 = 1 1 2 (a) Η λογικη συναρτηση AND (εν σειρα συνδεση) S L(x) = x1+ x2 x 1 Τροφοδοτικο L Λαμπα αναβει οταν ενα απο τα xi = 1 ή και τα δυο S x 2 (b) Η λογικη συναρτηση OR (παραλληλη συνδεση) Δυο βασικες συναρτησεις

11 Μια συνδεση εν σειρα και εν παραλληλω
S x 1 S Τροφοδοτικο x L Λαμπα S 3 x 2 L(x) = x3 • ( x1 + x2) Μια συνδεση εν σειρα και εν παραλληλω

12 Ενα κυκλωμα αντιστροφης (συμπληρωματος)
R Τροφοδοτικο Αναβει οταν x=0 x S L L(x) = x Ενα κυκλωμα αντιστροφης (συμπληρωματος)

13 Ο Πινακας αληθείας για τις συναρτησεις AND και OR

14 Συναρτησεις AND και OR τριων εισοδων

15 Οι Βασικες πυλες × × × ¼ × ¼ x x x x x x x x x x (a) AND πυλες x x x x
1 x 2 x 1 x × x x × x × × x 1 2 1 2 n x 2 x n (a) AND πυλες x 1 x 2 x 1 x + x x + x + + x x 1 2 1 2 n 2 x n (b) OR πυλες x x Οι Βασικες πυλες (c) NOT πυλη

16 L(x) = x3 • ( x1 + x2) S x S x L Λαμπα S x Μια συναρτηση OR-AND 1 3 2
f = ( x + x ) × x x 1 2 3 3 Μια συναρτηση OR-AND

17 (a) Κυκλωμα που υλοποιει την
1 1 1 1 x 1 A 1 1 1 f 1 B 1 1 x 2 (a) Κυκλωμα που υλοποιει την f = x + x × x 1 1 2 x 1 2 f , ( ) (b) Πινακας της Ενα λογικο κυκλωμα

18 Λογικο κυκλωμα 1 x 1 1 x 2 1 A 1 B 1 f χρονος (c) Διαγραμμα χρονισμου
1 x 2 1 A 1 B 1 f χρονος (c) Διαγραμμα χρονισμου 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 g x 2 (d) κυκλωμα που υλοποιει την g = x + x 1 2 Λογικο κυκλωμα

19 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE Ειναι ενα επαγωγικο μαθηματικο συστημα.
Εισηχθη το 1849 απο τον George Boole για την αλγεβρικη περιγραφη λογικων προτασεων και συλλογισμων. Το 1938 (σχεδον 100 χρονια αργοτερα) ο Claude Shannon εδειξε οτι η Αλγεβρα Boole ειναι ενα αποτελεσματικο εργαλειο για την περιγραφη των διακοπτικων κυκλωματων και κατα συνεπειαν και των λογικων κυκλωματων. Η Αλγεβρα Boole ειναι ενα ισχυρο μαθηματικο εργαλειο για την αναλυση και την σχεδιαση των ψηφιακων κυκλωματων. Οπως καθε αλγεβρα η Αλγεβρα Boole βασιζεται σε ενα συνολο κανονων που εξαγονται απο ενα μικρο αριθμο βασικων παραδοχων που ονομαζονται αξιωματα.

20 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE (2) Ορισμοι ιδιοτητων πραξεων αλγεβρας με συνολο στοιχειων Α και τελεστες *, + και ´ Κλειστοτητα x,y  Α  x*y  A Προσεταιριστικοτητα (x*y)*z = x*(y*z) = x*y*z Αντιμεταθετικοτητα x*y = y*x Ουδετερο στοιχειο  e  e*x = x*e = x,  x A Αντιστροφο στοιχειο  x´  x*x´ = e,  x A Επιμεριστικοτητα x*(y+z) =(x*y) + (x*z)

21 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE (3) Ορισμος Αλγεβρας BOOLE: > Συνολο στοιχειων Α
> Πραξεις +, * > Αξιωματα Huntington (1904) Κλειστη ως προς τις δυο πραξεις + και * 0 = ουδετερο στοιχειο της + => x+0=0+x=x 1 = ουδετερο στοιχειο της * => x*1=1*x=x Αντιμεταθετικες και οι δυο πραξεις: x+y=y+x και x*y=y*x Επιμεριστικοτητα + ως προς * και * ως προς + δηλαδη: x+(y*z) =(x+y)*(x+z) και x*(y+z)=(x*y)+(x*z) Υπαρξη συμπληρωματος στοιχειου:  x  A x´  x+x´= 1 και x*x´=0 (x´=συμπληρωμα του x) 6. Υπαρχουν δυο τουλαχιστον στοιχεια στο Α (το 0 και το 1)

22 Διτιμη Αλγεβρα Booloe Αλγεβρα με > Συνολο στοιχειων Α={0,1}
Αλγεβρα με > Συνολο στοιχειων Α={0,1} > Συνολο τελεστων {+,*, ´} Ορισμος τελεστων: * x x´ OR AND NOT 0 = ουδετερο στοιχειο ως προς + (OR) 1 = ουδετερο στοιχειο ως προς * (AND) Aποδεικνυεται οτι αυτη η αλγεβρα ειναι Αλγεβρα Boole (ικανοποιει τα αξιωματα Huntington)

23 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole
Δυϊσμος (duality). Αν οι τελεστες και τα ουδετερα στοιχεια εναλλαχθουν σε μια εξισωση της αλγεβρας Boole αυτη παραμενει αληθης. Προκυπτει εκ του οτι τα αξιωματα του Huntington ισχυουν αν γινει αυτη η εναλλαγη. x+x=x Αποδειξη: x+x = (x+x)*1 = (x+x)*(x+x´) = x+(x*x´) = x+0 = x x*x=x x*x = x*x+0 = x*x +x*x´ = x*(x+x´) = x*1 = x x+1=1 x+1 = 1*(x+1) = (x+x´)*(x+1) = x+x´*1=x+x´=1 x*0=0 x*0=0+(x*0)=x*x´+x*0=x*(x´+0)=x*x´=0 (x´)´=x -- x*x´=0 και x+x´=1 εκ της μοναδικοτητας του συμπληρωματος => x = (x´)´

24 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole (2)
Θεωρημα De Morgan: (x*y)´ = x´ + y´ και (x+y)´ = x´ * y´ Αποδειξη με τον πινακα αληθείας: x y x+y x*y x´ y´ (x+y)´ (x*y)´ x´+ y´ x´*y´ (x´*y´) +(x+y) = x´*y´ +x+y + x´*y = x´*(y´ + y) +x +y = x´+x+y = 1 (x´*y´)*(x+y)= x´*y´*x + x´*y´*y = =0 Απο τις πιο πανω σχεσεις και απο την μοναδικοτητα του συμπληρωματος προκυπτει οτι (x+y)´ = (x´*y´)

25 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole (3)
Θεωρημα απορρόφησης: x+x*y =x x+x*y = x*(1+y) =x*1 = x x*(x+y) = x x*(x+y) = x*x + x*y = x+x*y = x x*(x+y) = (x+0)*(x+y) = x+0*y = x+0 = x x+x´*y = x+y x+x´*y = (x+x´)*(x+y) = 1*(x+y) = x+y x´+x*y = x´+y x*y + x*y´= x x*y +x*y´ = x*(y+y´) = x*1 = x a*b+a´*c+b*c = a*b + a´*c a*b+a´*c+b*c = a*b + a´*c + (a+a´)*b*c = a*b + a´*c + a*b*c + a´*b*c = = a*b*(1+c) + a´*c*(1+b) = a*b*1 + a´*c*1 = a*b + a´*c

26