Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες

Παρουσίαση με θέμα: "Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες
Αναλογίες Ορισμοί και Ιδιότητες Ζουρνά Άννας

2 Λόγος δύο αριθμών Α και Β
Ονομάζουμε λόγο ενός αριθμού Α προς έναν άλλο Β  0 τον αριθμό λ επί τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο Β για να δώσει τον Α, δηλαδή: Α = λ Β 

3 Λόγος δύο αριθμών Α και Β
Πιο απλά, ο λόγος του Α προς τον διάφορο του μηδενός αριθμό Β είναι το κλάσμα:

4 Αναλογία Ονομάζουμε αναλογία την ισότητα δύο ή και περισσοτέρων λόγων, δηλαδή: Θα πρέπει και Β  0 και Δ  0

5 Αναλογία - όροι Σε μία αναλογία
οι αριθμητές Α και Γ ονομάζονται ηγούμενοι, οι παρονομαστές Β και Δ ονομάζονται επόμενοι, οι Α και Δ άκροι όροι και οι Β και Γ μέσοι όροι.

6 Ο Β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των Α και Γ.
Συνεχής Αναλογία Αν σε μία αναλογία οι μέσοι όροι είναι ίσοι τότε αυτή η αναλογία ονομάζεται συνεχής: Ο Β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των Α και Γ.

7 Παράδειγμα Να βρείτε στις παρακάτω αναλογίες ποιοι είναι οι άκροι όροι, ποιοι οι μέσοι όροι, ποιοι είναι οι ηγούμενοι και ποιοι οι επόμενοι: Άκροι όροι Μέσοι όροι Ηγούμενοι Επόμενοι 5 και 9 3 και 15 5 και 15 3 και 9 34 και 7 14 και 17 34 και 17 14 και 7

8 Ιδιότητες Αναλογιών Ι Σε μία αναλογία , το γινόμενο των άκρων όρων Α και Δ ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων Β και Γ . Α  Δ = Β  Γ

9 Ιδιότητες Αναλογιών ΙΙ
Ιδιότητες Αναλογιών ΙΙ Σε μία συνεχή αναλογία το τετράγωνο του μέσου Β ισούται με το γινόμενο των άκρων όρων Α και Γ. Β2 = Α  Γ

10 Παράδειγμα Έστω η συνεχής αναλογία
Τότε το τετράγωνο του μέσου 10, ισούται με το γινόμενο των άκρων 20 και 5. 102 = 20  5

11 Συμμεταβλητά ποσά Δύο ποσά α και β λέγονται συμμεταβλητά όταν κάθε μεταβολή της τιμής του ενός ποσού, μεταβάλλει την τιμή του άλλου ποσού. Παράδειγμα Συμμεταβλητά ποσά είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου και το εμβαδόν αυτού. Μεταβάλλοντας την πλευρά αλλάζουμε και το εμβαδόν.

12 Ευθέως ανάλογα ποσά Δύο ποσά α και β ονομάζονται ευθέως ανάλογα, ή πιο απλά ανάλογα, αν οι αντίστοιχες τιμές τους έχουν σταθερό λόγο. Δεν αρκεί να πούμε ότι αν αυξάνει το ένα ποσό να αυξάνει και η τιμή του άλλου ποσού.

13 Παράδειγμα Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι: Ποσότητα σε κιλά (kg)
1 2 3 5 ... x Αξία σε € 1,50 6,00

14 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 5 ... x Αξία σε € 1,50 6,00 Αν το 1 κιλό μήλα κοστίζει 1,5€ τότε για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 2 kg θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 1,5.

15 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 5 ... x Αξία σε € 1,50 3,00 6,00 Για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 3kg μήλα θα κάνουμε πάλι πολλαπλασιασμό του 3 με το 1,5.

16 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 5 ... x Αξία σε € 1,50 3,00 4,50 6,00 Εδώ πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με το 1,5 για να βρούμε πόσα kg μήλα μπορούμε να αγοράσουμε με 6€.

17 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 4 5 ... x Αξία σε € 1,50 3,00 4,50 6,00

18 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 4 5 ... x Αξία σε € 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 Αν θέλουμε να αγοράσουμε x κιλά μήλα τότε πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσουμε;

19 Παράδειγμα Η αξία των μήλων σε €, με την
ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα. Ποσότητα σε κιλά (kg) 1 2 3 4 5 ... x Αξία σε € 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 1,50x O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 1,5.

20 Παράδειγμα Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι: 1 2 3 4 5 … α Πλευρά
τετραγώνου σε cm 1 2 3 4 5 … α Περίμετρος

21 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 4 … α Περίμετρος 12 20 Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το 1 με το 4.

22 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 4 … α Περίμετρος 12 20 Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου με πλευρά 2, θα πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 4.

23 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 4 … α Περίμετρος 8 12 20 Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 12, πρέπει να διαιρέσουμε το 12 με το 4.

24 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 3 4 … α Περίμετρος 8 12 20

25 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 3 4 … α Περίμετρος 8 12 16 20 Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με περίμετρο 20, πρέπει να διαιρέσουμε το 20 με το 4.

26 Αν η πλευρά είναι ίση με α τότε η περίμετρος είναι 4  α
Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 3 4 5 … α Περίμετρος 8 12 16 20 Αν η πλευρά είναι ίση με α τότε η περίμετρος είναι 4  α

27 Παράδειγμα Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του είναι ποσά ανάλογα. Πλευρά τετραγώνου σε cm 1 2 3 4 5 … α Περίμετρος 8 12 16 20 4α O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 4.

28 Επίλυση προβλημάτων Για να επιλύσουμε κάποιο πρόβλημα πρέπει:
να διαβάσουμε την εκφώνηση αρκετές φορές (να μπορούμε να πούμε το πρόβλημα απ’ έξω και με δικά μας λόγια) να εξετάσουμε κάθε δεδομένο προσεκτικά να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει να ξεκινήσουμε τη λύση τμηματικά (πολλές φορές αρχίζοντας από το τέλος)

29 Απλή μέθοδος των τριών Η μέθοδος αυτή μας βοηθάει να βρούμε το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα με ανάλογα ποσά όταν η εκφώνηση μας δίνει τρία δεδομένα (γι αυτό και ονομάζεται έτσι). Το σημαντικό είναι να γράψουμε σωστά την κατάστρωση προσέχοντας να γράψουμε τα ίδια ποσά το ένα κάτω από το άλλο. Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα χρειάζεται να εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών περισσότερες από μία φορές.

30 Απλή μέθοδος των τριών Είναι πολύ σημαντική και στη Χημεία.
Για να μπορέσετε του χρόνου να λύνετε άνετα τις ασκήσεις με τις αντιδράσεις προσέξτε καλά…

31 Παράδειγμα Ι Τα υλικά για έξι ντουζίνες κουλουράκια, όπως δίνονται από μια συνταγή, είναι: 1 αυγό, μισό φλυτζάνι baking powder, του φλυτζανιού ζάχαρη, ένα κουτάκι βανίλια και 1,5 φλυτζάνι αλεύρι. Πόσο αλεύρι χρειάζεται, για να παρασκευασθούν 24 κουλουράκια; Οι 6 ντουζίνες είναι 612 = 72 κουλουράκια Για 72 κουλουράκια χρειαζόμαστε 1,5 φλ. αλεύρι Για 24 κουλουράκια χρειαζόμαστε ; = x φλ. αλεύρι 24 72 36 72 x = 1,5  = = 0,5 φλυτζάνι αλεύρι θα χρειαστούμε για 24 κουλουράκια

32 Πρέπει στην κατάστρωση να προσέξετε πολύ…
Παράδειγμα ΙΙ Αν τα 3m ενός υφάσματος κοστίζουν 42€ να υπολογίσετε πόσο θα κοστίσουν 8m από το ίδιο ύφασμα. Πρέπει στην κατάστρωση να προσέξετε πολύ… Για 3m υφάσματος θα πληρώσουμε 42 € Για 8m υφάσματος θα πληρώσουμε ; = x € 14 8 3 x = 42  = 112 € θα κοστίσουν τα 8m από το ίδιο ύφασμα 1

33 είμαστε μόλις στην αρχή …
Εργασία για το Σπίτι Θεωρία: Σελ. 96 Ασκήσεις 1 σελ. 98 πάνω στο βιβλίο 1, 2, 3 και 4 σελ. 105 Δεν τελείωσε το μάθημα, είμαστε μόλις στην αρχή …

34 Και τώρα ας δούμε τις αναλογίες
με ένα άλλο μάτι…

35 Έχετε ποτέ αναρωτηθεί τι κρύβεται
πίσω από την τέλεια κατασκευαστική αρμονία του κόσμου που μας περιβάλλει;

36 α σταθερός β Στην αναζήτηση αυτή θα μας βοηθήσει
ένα όργανο κατασκευασμένο έτσι ώστε να κρατάει σταθερό το λόγο των αποστάσεων που μετράμε. α σταθερός β

37 Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών
Αφροδίτη της Μήλου Μουσείο του Λούβρου

38 Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων ελληνικών γλυπτών
Ερμής του Πραξιτέλη Μουσείο της Ολυμπίας

39 Στα μουσικά όργανα

40 Για να δούμε και στα ψάρια...
Δεν έχουν άδικο όσοι λένε ότι η τσιπούρα είναι ένα όμορφο ψάρι… Όμορφο ξε όμορφο εμένα, δε θα με φάτε… Για να δούμε και στα ψάρια...

41 Στη φύση…

42 Ακόμη και στα οστά…

43 Και στα πρόσωπα …

44 Και στα πρόσωπα … Θα μπορούσαμε να βρούμε άπειρα παραδείγματα, αλλά ας δούμε ποιος είναι αυτός ο σταθερός αριθμό και ποιος πρώτος άρχισε να παρατηρεί τις αναλογίες αυτές…

45 Η χρυσή τομή 15 minutes biological significance
… 15 minutes biological significance number is from

46 Χρυσή τομή και ο Πυθαγόρας
Ο Πυθαγόρας ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της αρχαιότητας ήταν ο πρώτος που παρατήρησε την κατασκευαστική αρμονία των δέντρων, των φυτών και των ζώων.

47 Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση
Η ομορφιά τους εξηγείται από την αρμονία ανάμεσα στον κορμό, τα μεγάλα κλαδιά και τα μικρότερα κλαδιά, ανάμεσα στο μήκος κορμού και άκρων. Για να μπορέσει να βρει κάποιον κανόνα για αυτήν την αρμονία, ξεκίνησε τις μετρήσεις.

48 Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση
Μέτρησε σε δέντρα το … Μήκος του κορμού του δέντρου = α Μήκος μεγάλου κλαδιού = β Μήκος μικρού κλαδιού = γ Παρατήρησε διαιρώντας τα μήκη ότι: γ β β α 1,62

49 Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση
Παρατήρησε ότι αυτή η αναλογία εμφανιζότανε μέχρι και στις ρίζες των δέντρων. Εκτός από τα φυτά και τα δέντρα, έκανε παρόμοιες μετρήσεις και συγκρίσεις τόσο στα ζώα όσο και στους ανθρώπους.

50 Χρυσή τομή = Θεϊκή αναλογία
Την αναλογία αυτήν την ονόμασαν θεϊκή αναλογία γιατί πίστευαν ότι μόνο θεός θα μπορούσε να έχει φτιάξει τον κόσμο με αρμονία και με τόση μαεστρία. Ο Πλάτων έλεγε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στο υπερουράνιο τόπο.

51 Εύρεση της Χρυσής Τομής
Το ενδέκατο θεώρημα του Ευκλείδη είναι το πρόβλημα του χωρισμού ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Δηλαδή, η διαίρεση ενός δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος σε δύο τμήματα τέτοια, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές την δοθείσα και το ένα μέρος αυτής να ισούται με το τετράγωνο του άλλου μέρους. Επειδή τέμνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται και πρόβλημα της Χρυσής Τομής.

52 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 1o Σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις ΑΒ και ΒΓ, όπου ΑΒ = 2ΒΓ Γ Α Β

53 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 2o Γ Α Β Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το Γ και με ακτίνα r = ΒΓ.

54 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 3o Γ Δ Α Β Ο κύκλος τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ.

55 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 4o Γ Δ Α Ε Β Με κέντρο το Α και με ακτίνα R = ΑΔ φέρνουμε κύκλο που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.

56 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 5o Βρήκαμε το σημείο Ε που χωρίζει το ΑΒ σε δύο μέρη με λόγο: Γ Δ Α Ε Β ΑΕ ΒΕ φ 1,618

57 Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.
Βήμα 6o Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσο με (ΑΕ)2. Δηλαδή: ΑΒ  ΕΒ = (ΑΕ)2 Γ Ίσο με την ΕΒ Δ Α Ε Β ΑΕ ΒΕ φ 1,618

58 Χρυσή τομή και χρυσά τρίγωνα
Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα: Το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο 36ο φ 1 Το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο

59 Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο
Ποιο είναι το χρυσό ορθογώνιο; Αυτό που σας φαίνεται πιο αρμονικό. Α Ζ Η Β Γ Ι Δ Ε

60 Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο
Είναι το Γ. Σε αυτό που ο λόγος Α Ζ Η Β μήκος φ 1,618 Γ Γ πλάτος Ι Δ Ε Το φ Site στα Αγγλικά για το Φ

61 Τα χρυσά ορθογώνια στη φύση

62 Χρυσή τομή και γλυπτική
Ο Mark Barr, το 1909, συμβόλισε το λόγο της αναλογίας με το γράμμα φ από τον μεγάλο γλύπτη της αρχαιότητας Φειδία. Πληροφορίες για τον Φειδία.

63 Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα

64 Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα
Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου

65 Τα χρυσά τρίγωνα στην Πυραμίδα του Χέοπα
β 146,6 m 237,2 m

66 Η χρυσή τομή στην τέχνη Leonardo Da Vinci

67 Η χρυσή τομή στην τέχνη Leonardo Da Vinci
Πληροφορίες για τον Βιτρούβιο

68 Η χρυσή τομή και στην αρχιτεκτονική
Kölner Dom Notre – Dame

69 και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική
Το κτήριο του ΟΗΕ

70 Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα

71 Αρμονία και μουσική Στην αρμονία των ήχων που βγάζουν οι χορδές με λόγο ίσο με το φ στηρίχθηκαν τα πρώτα έγχορδα μουσικά όργανα.

72 Χρυσή τομή και μουσική Ο Beethoven (1770 – 1827) στην πέμπτη συμφωνία του χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή Επιλέξτε κάποια από τις παρακάτω συνδέσεις για να παίξετε πιάνο online.

73

74 Οι αριθμοί Fibonacci Ο Leonardo Pisano Fibonacci γεννήθηκε στην Πίζα της Ιταλίας το 1175 μ.Χ. και πέθανε περίπου το 1240μ.Χ. Ταξιδεύοντας, γνώρισε το Αραβικό σύστημα αρίθμησης, το οποίο και μετέφερε στην Ευρώπη. Έως τότε χρησιμοποιούνταν το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης. I, II, III, IV, V,... Έχουν σωθεί 4 βιβλία του και ένα γράμμα.

75 Οι αριθμοί Fibonacci Το 1202 γράφει στο βιβλίο του Liber Abaci για μια σειρά αριθμών: Η σειρά αρχίζει με το 0 και το 1 Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών. Η σειρά έχει άπειρους όρους. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

76 Σα πολλοί θα γίνουμε μετά από ένα χρόνο…
Πλήθος ζευγαριών Σε αυτούς τους αριθμούς κατέληξε μελετώντας ένα ζευγάρι κουνέλια και τους απογόνους αυτών, αφού θεώρησε ότι κάθε μήνα γεννούσαν από ένα ζευγάρι και για να αρχίσει το ζευγάρι να παράγει απογόνους θα έπρεπε να έχει περάσει ένας μήνας από την ημερομηνία γέννησης αυτού. Σα πολλοί θα γίνουμε μετά από ένα χρόνο… 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

77 Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση
Το πλήθος των κλαδιών, των φύλλων και των λουλουδιών στα δέντρα 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

78 Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση
Αυτό το κουκουνάρι έχει 13 αριστερόστροφες σπείρες και 8 δεξιόστροφες. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

79 Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση
Αυτά τα ηλιοτρόπια έχουν 55 δεξιόστροφες και 34 αριστερόστροφες σπείρες. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

80 Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

81 Φτιάχνοντας μία σπείρα

82 Ο ναυτίλος και οι σπείρες

83 Ο ναυτίλος και οι σπείρες

84 Οι γαλαξίες και οι σπείρες

85 Οι κυκλώνες και οι σπείρες

86 Οι ρουφήχτρες και οι σπείρες
Αυτό είναι ένα καράβι…

87 Και το φ πως συνδέεται με τους αριθμούς Fibonacci;

88 Αν πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της σειράς Fibonacci, τότε το πηλίκο τους είναι τόσο κοντά στον αριθμό φ όσο πιο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτοί. Δηλαδή;

89 Αριθμοί Fibonacci και φ
3 Και όσο προχωράμε τα πηλίκα θα προσεγγίζουν ακόμη περισσότερο τον αριθμό φ 1,5 2 21 1,615 13 5 1,67 3 34 1,619 21 8 1,6 y x φ 1,618 5 55 1,6179 34 13 1,625 8 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

90 Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci
Έχουμε μία ευθεία με εξίσωση y= φ  x Είναι πολύ κοντά στην ευθεία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

91 Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci
Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία (x, y) ισχύει ότι: y x φ 1,618 Είναι σχεδόν πάνω στην ευθεία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

92 Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci
Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία (x, y) ισχύει ότι: y φ 1,618 x Είναι σημείο της ευθείας 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

93 Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci
Στην ευθεία αυτή σε όλα τα σημεία (x, y) ισχύει ότι: y φ 1,618 x 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

94 Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci
(για x > 3). y x φ 1,618 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

95 Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci
Blaise Pascal Ένα περιεκτικό site για τους αριθμούς που μπορούμε να βρούμε στο τρίγωνο του Pascal. (1623 – 1662) Αναλυτική βιογραφία στα αγγλικά 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

96 Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci
Το τρίγωνο συνεχώς μεγαλώνει και τα αθροίσματα συνεχίζονται. 1 1 Αν προσθέσουμε διαγώνια τους αριθμούς στο τρίγωνο, προκύπτουν οι αριθμοί Fibonacci. 2 3 5 8 13 21 34 55 89 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

97 Και το συμπέρασμα ποιο είναι;
Και το συμπέρασμα ποιο είναι;

98 Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί…
Αλλά αυτή η φράση μας παραπέμπει σε έναν άλλο σπουδαίο αριθμό για τον οποίο θα μιλήσουμε λίγο πιο μετά…

99 Γεωμετρία των φυτών