Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118)

Παρουσίαση με θέμα: "Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Διακριτά Μαθηματικά (ΗΥ118)
Καθηγήτρια: Μαρία Παπαδοπούλη Ph.D. Columbia University

2 Σύντομο Βιογραφικό Μαρίας Παπαδοπούλη
Σύντομο Βιογραφικό Μαρίας Παπαδοπούλη Επίκουρος Καθηγήτρια τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημιου Κρήτης Ερευνήτρια Ινστιτούτο Πληροφορικής, ΙΤΕ Επισκέπτρια Καθηγήτρια τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστημίου ΒόρειαςΚαρολίνας (UNC)

3 Textbook: Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών
C.L.Liu Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης ISBN Ώρες/μέρες Διδασκαλία: Τρίτη :00-19:00 Πέμπτη :00-19:00 Παρασκευή 13:00-15:00 (φροντιστήριο) Βοηθοί: Λεκάκης, Κριαρά, Νικητάκη, Κατερτζής Αίθουσα: αμφιθέατρο Γ’

4 Δομή Μαθήματος Έμφαση στα τρία κεφάλαια (κεφ. 1, 3, 5)
4 φροντιστήρια στο κάθε κεφάλαιο 1 πρόοδος με θέματα μονάχα απο το κάθε κεφάλαιο 1 φροντιστήριο με λύσεις της προόδου

5 Πρόγραμμα της βασικής ύλης (ενδεικτικό-θα επιβεβαιωθεί)
Πρόγραμμα της βασικής ύλης (ενδεικτικό-θα επιβεβαιωθεί) 2-18 Οκτωβρίου σύνολα (κεφ. 1) 23 ‘η 25 Οκτωβρίου πρόοδος (κεφ. 1) 25 Οκτωβρίου-27 Νοεμβρίου συνδυαστική (κεφ. 3) 29 Νοεμβρίου πρόοδος (κεφ. 3) 4-13 Δεκεμβρίου γράφοι (κεφ. 5) 18 Δεκεμβρίου πρόοδος (κεφ. 5)

6 Θεματική ενότητα Σύνολα

7 Διακριτά αντικείμενα Στη καθημερινή μας ζωή και στην εργασία μας μιλάμε για διακριτά αντικείμενα, που περιλαμβάνουν μια μεγάλη ποικιλία αντικειμένων όπως ανθρώπους, βιβλία, υπολογιστές, αισθητήρες, προγράμματα υπολογιστών, κ.ά. με φράσεις όπως: «Οι μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν Επιστήμη Η/Υ και βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους.»

8 Διακριτά αντικείμενα «Οι περισσότεροι φοιτητές της Επι. Η/Υ είναι αγόρια.» «Η πλειοψηφία των μαθητών ενδιαφέρονται να γίνουν καλοί, οργανωμένοι επιστήμονες.» «Θέλουμε να διαλέγουμε μια σύνδεση στο Internet που είναι ενσύρματη, έχει ταχύτητα (bit rate) που υπερβαίνει τα 384 kbps, αλλά δεν υπερβαίνει τα μηνιαίο κόστος της τα 25 ευρώ.»

9 Ρόλος των διακριτών μαθηματικών
Για τον χειρισμό ενός μεγάλου πλήθους ειδών διακριτών αντικειμένων, θέλουμε να γενικεύσουμε μερικές από τις βασικές έννοιες και να δώσουμε κάποια κοινή ορολογία. Ας παρατηρήσουμε τα κοινά χαρακτηριστικά των προηγούμενων φράσεων

10 Παραδείγματα Για παράδειγμα, στην πρώτη φράση θεωρούμε δύο συλλογές από αντικείμενα («φοιτητές») («μαθητές στην αίθουσα αυτή σπουδάζουν Επιστήμη Η/Υ») και («μαθητές στην αίθουσα αυτή βρίσκονται στο 2ο έτος των σπουδών τους») και αναφερόμαστε στους φοιτητές που ανήκουν και στις δύο αυτές συλλογές

11 Εισαγωγή στην ορολογία
Στα παραδείγματα έχουμε αντικείμενα που ανήκουν σε όλες τις κλάσεις ή σε ορισμένες κλάσεις που παρουσιάζονται στην φράση. Αρχίζουμε λοιπόν με την εισαγωγή ενός μέρους της βασικής ορολογίας και των βασικών εννοιών της στοιχειώδους θεωρίας συνόλων

12 Σύνολο Ένα σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων.
Συμβολισμός: {a, b, c} για να συμβολίσουμε το σύνολο που αποτελείται από τα αντικείμενα a, b και c. Τα αντικείμενα ενός συνόλου λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου

13 Στοιχείο ενός συνόλου α є S Το a είναι ένα στοιχείο του συνόλου S:

14 Παρατήρηση Τα στοιχεία ενός συνόλου ΔΕΝ είναι διατεταγμένα κατά κανένα τρόπο επομένως τα {a, b, c} και {b, c, a} αναπαριστούν την ίδια συλλογή στοιχείων Υπάρχουν διατεταγμένα σύνολα- θα μιλήσουμε γι’ αυτά αργότερα...

15 Τρόποι περιγραφής ενός συνόλου
Αναλυτική καταγραφή των στοιχείων του Περιγραφή με αναφορά στις κοινές ιδιότητες των στοιχείων του συνόλου S={x | το x έχει κάποιες ιδιότητες} π.χ. SHY={ χ | ο x είναι 2ο ετής φοιτητής της Επιστήμης Υπολογιστών}

16 Κενό σύνολο Κενό σύνολο: { } ή Ø το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία

17 Ερωτήσεις: Ποια είναι τα στοιχεία του συνόλου {e, f, g} {{a, b, c}, d}
{Ø ,{Ø }} Σκεφτείτε ένα σύνολο σαν ένα «κουτί» που εμπεριέχει αντικείμενα- τα μέλη του

18 Απαντήσεις το σύνολο {Ø ,{Ø }} περιέχει δύο στοιχεία:
το κενό κι ένα σύνολο που περιέχει ως μοναδικό του στοιχείο το κενό σύνολο το σύνολο {{a, b, c}, d} περιέχει δύο στοιχεία: το σύνολο {a, b, c} και το d

19 Υποσύνολο συνόλου Δεδομένων δύο συνόλων P και Q λέμε ότι το P είναι υποσύνολο του Q εάν κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q Συμβολισμός: P Q

20 Παραδείγματα {a, b} {a, d, e, f, b} {a, b} ? {{a, b}, d, e, f}
ποια είναι η σχέση; {a, b} є {{a, b}, d, e, f}

21 Ίσα σύνολα Δύο σύνολα P και Q ονομάζονται ίσα αν αποτελούνται από τα ίδια ακριβώς στοιχεία

22 Παραδείγματα P={x| x είναι ένας θετικός, άρτιος ακέραιος όχι μεγαλύτερος από 10} Q={x| x=y+z, y є {1, 3, 5}, z є {1, 3, 5}}

23 Quiz Πάρετε τώρα το R={x| x=2y με y є {1, 3, 5}
Ποια είναι η σχέση μεταξύ του Q και του R; Q ? R

24 Γνήσιο Υποσύνολο Συνόλου
Το P είναι γνήσιο υποσύνολο του Τ, εάν το P δεν είναι ίσο με το Τ, δηλαδή όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο στο Τ που δεν ανήκει στο P Συμβολισμός: Παράδειγμα: {a, b} {a, x, y, b, z} P Τ

25 Quiz: Είναι οι παρακάτω προτάσεις αληθείς?
Για οποιοδήποτε σύνολο P, το P είναι υποσύνολο του P. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιοδήποτε συνόλου, αλλά το κενό σύνολο δεν είναι πάντα στοιχείο ενός οποιουδήποτε συνόλου. Το σύνολο {Ø} δεν είναι υποσύνολο του {{Ø}}, αν και είναι στοιχείο του συνόλου {{Ø}}.

26 Ένωση Συνόλων Η ένωση δύο συνόλων P και Q, είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν στο P ή στο Q (ή και στα δύο) Συμβολισμός: ή

27 Παραδείγματα {e, f} {g, h} = {e, f, g, h} {a, b} Ø = {a, b}

28 Τομή δυο συνόλων Η τομή δύο συνόλων P και Q, είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν τόσο στο P όσο και στο Q Συμβολισμός: ή

29 Παραδείγματα {a, b} Ç {a, c} = {a} {a, b} Ç Ø = Ø

30 Κοινές ιδιότητες Αν τα στοιχεία του P χαρακτηρίζονται από μια
κοινή ιδιότητα και τα στοιχεία του Q χαρακτηρίζονται από μια άλλη ιδιότητα τότε: P È Q είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία έχουν τουλάχιστον μια από αυτές τις ιδιότητες P Ç Q είναι το σύνολο των στοιχείων που έχουν και τις δύο αυτές ιδιότητες.

31 Χρήση παρενθέσεων Ως διαχωριστικά : Υπόδειξη προτεραιότητας:

32 ένωση μιας σειράς συνόλων
P1, P2, P3 …, Pk-1 και Pk

33 Παρόμοια: Η τομή του συνόλου και του συνόλου R είναι και περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P, στο Q και στο R. Η τομή του συνόλου περιέχει ακριβώς τα στοιχεία που είναι στο P1, στο P2,…, Pκ-1 και στο Pκ. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό και θα αναφερόμαστε στην τομή των κ συνόλων P1, P2,…, Pκ-1, Pκ

34 Διαζευγμένα σύνολα Δύο σύνολα ονομάζονται διαζευγμένα αν η τομή τους είναι το κενό σύνολο

35 Πρόταση

36 Απόδειξη Αρχικά θα δείξουμε ότι (1) Μετά θα δείξουμε ότι (2)

37 Αν και οι δύο παραπάνω σχέσεις ισχύουν τότε δεν μένει παρά τα δύο σύνολα
= Για να δείξουμε το (1) είναι αρκετό να δείξουμε ότι "x Î Þ x Î

38 Έστω λοιπόν x Î . Εξ’ ορισμού (της τομής), το x ÎR και xÎ Αν το x Î P, τότε θα πρέπει x Î Αν το x Î Q, τότε θα πρέπει x Î Δηλαδή το στοιχείο x Î ή xÎ ή ότι x Î

39 Επομένως ! Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η πρόταση (2) ισχύει. Έστω x Î Το x Î ή x Î Þx Î R ή και xÎ P ή xÎ R και xÎ Q. Άρα το xÎ R και πρέπει και xÎ P ή xÎ Q. Þ

40 Οπότε !! Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι Και γενικότερα:

41 Διαφορά συνόλων Η διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται P-Q, είναι το σύνολο που περιέχει ακριβώς τα στοιχεία του P τα οποία ΔΕΝ ανήκουν στο Q. Συμβολισμός: P- Q

42 Παραδείγματα {a, b, c} – {a, b} = {c} {a, b} – {a, b} = Ø
{a, b} – {e, f} = {a, b}

43 Συμπλήρωμα Εάν το Q είναι υποσύνολο του P, το σύνολο P-Q ονομάζεται συμπλήρωμα του Q ως προς το P

44 Συμμετρική διαφορά Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων P και Q, συμβολίζεται με και είναι το σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο P ή στο Q αλλά όχι και στα δύο Συμβολισμός:

45 Παραδείγματα {a, b} {a, c} = {b, c} {a, b} {a, b} = Ø

46 Quiz: Πως γράφεται η συμμετρική διαφορά στη πράξη συνόλων ?

47 Δυναμοσύνολο Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α, συμβολίζεται P(A), είναι το σύνολο το οποίο περιέχει ακριβώς όλα τα υποσύνολα του Α. Συμβολισμός: P(A)

48 Παραδείγματα { } P(A) P ({a, b}) = {{ }, {a}, {b}, {a, b}}
P ({a, b, c}) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}} Παρατήρηση: για οποιοδήποτε σύνολο Α { } є P(A) καθώς επίσης και το { } P(A)

49 Διαγράμματα Venn Το κάθε σύνολο αναπαρίσταται από τις γραμμοσκιασμένες επιφάνειες P- Q

50 Ακόλουθο του Α Α+ Ακόλουθο του Α είναι το σύνολο Συμβολισμός:
Α+ είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Α μαζί με ένα επιπλέον στοιχείο, το σύνολο Α. Α+

51 Παραδείγματα Α = {a, b} A+ = {a, b} È { {a, b} } Α = { {a}, b}

52 Κατασκευή συνόλων Θα χρησιμοποιήσουμε τους αριθμούς 0, 1, 2, 3… ως ονόματα των συνόλων. Γράφουμε: 0 = Ø 1 = {Ø} 2 = {Ø, {Ø} } 3 = {Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}} } Προφανώς έχουμε 1=0+, 2=1+, 3=2+, κ.ο.κ

53 Ορισμός συνόλου Ν Το Ν περιέχει το σύνολο 0.
Εάν το σύνολο nÎΝ, Þ n+ÎΝ. Το Ν δεν περιέχει άλλα στοιχεία εκτός από όσα περιγράφονται παραπάνω . (με όχι πολύ αυστηρότητα/ακρίβεια μπορούμε να πούμε ότι το 2. του παραπάνω ορισμού κάνει το Ν να είναι ένα άπειρο σύνολο )

54 Ένα προς ένα αντιστοιχία
Υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του P και των στοιχείων του Q, εάν είναι δυνατό να ζευγαρώσουμε τα στοιχεία του P και με τα στοιχεία του Q με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε στοιχείο του P να ζευγαρώνει με ένα συγκεκριμένο στοιχείο του Q και αντιστρόφως.

55 Παραδείγματα υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου {a, b, c} και των στοιχείων του συνόλου {Ø, δ, e} ΔΕΝ υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία των στοιχείων του συνόλου {a, b, c} και των στοιχείων του συνόλου {a, b}. Οπότε τώρα μπορούμε να συγκρίνουμε δύο σύνολα και να πούμε αν έχουν το ίδιο ή διαφορετικό μέγεθος

56 Πεπερασμένο σύνολο Ένα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο εάν υπάρχει μία ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου και των στοιχείων ενός συνόλου n όπου nєN. n ονομάζεται πληθικός αριθμός του συνόλου .

57 Παραδείγματα Οι πληθικοί αριθμοί των συνόλων {a, b, c} {a, Ø, d}
{ Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}} } είναι όλοι ίσοι με το 3.

58 Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο λέγεται αριθμήσιμο εάν υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου και των στοιχείων του Ν. Παρατηρούμε: Το σύνολο των φυσικών αριθμών {0, 1, 2, 3, …} είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.

59 Συμβολισμός Ν ο συμβολισμός Ν ίσως να δημιουργεί σύγχυση. Ωστόσο είναι εσκεμμένος, γιατί το σύνολο Ν είναι όντως το σύνολο των φυσικών αριθμών .

60 Παράδειγμα Το σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων {0, 2, 4, 6, 8, …} είναι αριθμήσιμο, αφού υπάρχει μία ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των μη αρνητικών άρτιων ακεραίων και των φυσικών αριθμών, δηλαδή ο άρτιος ακέραιος 2i αντιστοιχεί στον φυσικό αριθμό i για i=0, 1, 2, ….

61 Πεπερασμένα και άπειρα σύνολα
Μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου Τι είναι άπειρο σύνολο;;

62 Ασκήσεις στα Σύνολα

63 Άσκηση 1 Προσδιορίστε τα παρακάτω σύνολα: Æ È {Æ} Æ Ç {Æ}
{Æ} È {a, Æ, {Æ}} {Æ} Ç {a, Æ, {Æ}} {Æ} Å {a, Æ, {Æ}}

64 Άσκηση 1 (λύση) Æ È {Æ} = {Æ} Æ Ç {Æ} = Æ
{Æ} È {a, Æ, {Æ}} = {a, Æ, {Æ}} {Æ} Ç {a, Æ, {Æ}} = {Æ} {Æ} Å {a, Æ, {Æ}} = {a, {Æ}}

65 Άσκηση 2 Έστω Α= {Æ, b}. Κατασκευάστε τα παρακάτω σύνολα: A - Æ
A È R(A) A Ç R(A)

66 Άσκηση 2 (λύση) A - Æ = A {Æ} - A= Æ
A È R(A) ={Æ, b} È{Æ, {Æ}, {b}, {Æ, b}} = {Æ, b, {Æ}, {b}, {Æ, b}} A Ç R(A) ={Æ, b} Ç{Æ, {Æ}, {b}, {Æ, b}} ={Æ}

67 Άσκηση 3 Προσδιορίστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής . Εξηγήστε σύντομα την απάντησή σας. P(A) – {A} = P(A)

68 Άσκηση 3 (λύση) P(A) – {A} = P(A)
Δεν ισχύει γιατί ΑÎP(A) όμως ΑÏP(A)-{A} Þτα δύο σύνολα δεν περιέχουν τα ίδια στοιχεία.

69 Άσκηση 4 Έστω Α= {α, {α}}. Προσδιορίστε αν η πρόταση είναι αληθής ή ψευδής {{{α}}} Î Ρ(Α)

70 Άσκηση 4 (λύση) Ισχύει Ρ(Α) = { { }, {α}, {{α}}, {α, {α}} }
Άρα η πρόταση είναι ψευδής

71 Άσκηση 5 Έστω Α= {Æ,{Æ}}. Καθορίστε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής Æ Î R(A) Æ Í R(A) {Æ} Í R(A) {Æ} Í A {Æ} Î R(A) {{Æ}}ÎA

72 Άσκηση 5 (λύση) Æ Î R(A) Αληθής Æ Í R(A) Αληθής {Æ} Í R(A) Αληθής

73 Κατηγορίες συνόλων Ως προς το μέγεθος τους τα σύνολα διακρίνονται σε πεπερασμένα και άπειρα. Τα άπειρα χωρίζονται σε αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα

74 Διαγώνιο επιχείρημα Έστω: n αγόρια και n διαφορετικές γεύσεις παγωτού.
Υπάρχει 1 αγόρι που διαφωνεί με το: 1ο αγόρι στο εάν η 1η γεύση είναι ωραία 2ο αγόρι στο εάν η 2η γεύση είναι ωραία ………………… nο αγόρι στο εάν η n γεύση είναι ωραία

75 Διαγώνιο επιχείρημα Τότε είμαστε σίγουροι ότι αυτό το αγόρι δεν είναι κανένα από τα n-αγόρια του παραδείγματος γιατί διαφωνεί με καθένα από αυτά κατά ένα τουλάχιστον τρόπο

76 Διαγώνιο επιχείρημα Παγωτά Αγόρια Σοκολάτα Βανίλια James Ναι Όχι John
Νέο αγόρι

77 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Παράδειγμα μη αριθμήσιμου απειροσυνόλου είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1

78 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Μέθοδος: θα υποθέσουμε ότι το σύνολο είναι αριθμήσιμο και στη συνέχεια θα δείξουμε την ύπαρξη κάποιας αντίφασης

79 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Εάν το σύνολο των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1 είναι αριθμήσιμο, τότε υπάρχει μια ένα- προς- ένα αντιστοιχία μεταξύ των πραγματικών αυτών αριθμών και των φυσικών αριθμών

80 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Κατά συνέπεια, μπορούμε να τους καταγράψουμε λεπτομερώς τον ένα μετά τον άλλο σε δεκαδική μορφή όπως: 0, a11 a12 a13 a14 … 0, a21 a22 a23 a24… 0, ai1 ai2 ai3 ai4… Aij : συμβολίζει το j-στο ψηφίο του i-στού αριθμού στη λίστα

81 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Θεωρείστε τον αριθμό 0, b11 b12 b13 b14 … Όπου bi = 1 αν ai= 9 και bi = 9- aij αν aij=0, 1, 2, …, 8 για όλα τα i.

82 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Προφανώς ο αριθμός 0, b11 b12 b13 b14 … είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ του 0 και 1 στο δεξιό άκρο του οποίου δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία από μηδενικά.

83 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Επιπλέον είναι διαφορετικός από κάθε αριθμό της παραπάνω λίστας, γιατί διαφέρει από τον πρώτο αριθμό στο πρώτο ψηφίο από τον δεύτερο αριθμό στο δεύτερο ψηφίο …………………………….. από τον i-στο αριθμό στο i-στο ψηφίο κ.ο.κ

84 Μη Αριθμήσιμο απειροσύνολο
Συνεπώς συμπεραίνουμε ότι η παραπάνω λίστα δεν είναι μια λεπτομερής καταγραφή του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και 1 γεγονός που δημιουργεί αντίφαση με την υπόθεση ότι το σύνολο αυτό είναι αριθμήσιμο

85 Μαθηματική επαγωγή πολύ δυνατή τεχνική στα μαθηματικά
Για μια δεδομένη πρόταση που εξαρτάται από έναν φυσικό αριθμό n μπορούμε να δείξουμε ότι Η πρόταση είναι αληθής για n=n0 και Η πρόταση είναι αληθής για n=k+1, υποθέτοντας ότι η πρόταση είναι αληθής για n=k (k>n0)

86 Μαθηματική επαγωγή τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για όλους τους φυσικούς αριθμούς n>= n0 Βήμα 1: Βάση της επαγωγής Βήμα 2: Βήμα της Επαγωγής

87 Παράδειγμα Δείξτε: 2n > n3 για n >= 10 (1). Βάση της επαγωγής

88 Παράδειγμα Βήμα της επαγωγής Υποθέτουμε ότι η (1) ισχύει για n=k
2κ>κ3 (2) (τώρα θα δείξουμε ότι ισχύει και για n=k+1)

89 Παράδειγμα 2κ+1= 2×2κ > (1+ 1/10)3×2κ >=
(1+1/κ)3×2κ > (1+1/κ)3×κ3= ((1+1/κ) ×κ)3 = (κ+1)3

90