1. Eπιστημολογική αναγκαιότητα και οντολογική ανεξαρτησία

Παρουσίαση με θέμα: "1. Eπιστημολογική αναγκαιότητα και οντολογική ανεξαρτησία"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 1. Eπιστημολογική αναγκαιότητα και οντολογική ανεξαρτησία
2. Εμπειρική πραγματικότητα

2 Επιστημολογική αναγκαιότητα και οντολογική ανεξαρτησία
Η αντικειμενικότητα είναι χαρακτηριστικό οντοτήτων που δεν εξαρτώνται ως προς την ύπαρξή τους από κοινωνικοοικονομικούς, ψυχολογικούς, ιστορικούς και άλλους παράγοντες. Τα μαθηματικά αντικείμενα δεν αποτελούν προϊόν άσκησης της ελευθερίας της βούλησης. Είναι αυτό που ανάγκασε τον G⍥del να ομολογήσει ότι «παρά την απόσταση που έχουν τα αντικείμενα της θεωρίας συνόλων από την αισθητηριακή αντίληψη, έχουμε ένα είδος εποπτείας των αντικειμένων αυτών, πράγμα που μπορεί να διαπιστώσει κανείς από το γεγονός ότι τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων μας επιβάλλονται από μόνα τους ως αληθή»

3 Στην περίπτωση της αισθητηριακής αντίληψης, Η αντικειμενικότητα των περιεχομένων της παρατήρησης στηρίζεται στο ότι δεν επιλέγει ο παρατηρητής να παρατηρήσει κάτι που δεν υπάρχει ως περιεχόμενο του παρατηρησιακού ενεργήματός του.

4 Ο τομέας του υπαρκτού δεν περιλαμβάνει μόνον αυτόν της εμπειρικής πραγματικότητας αλλά επεκτείνεται και στη θεωρητική σφαίρα διότι περιλαμβάνει και τα δυνητικά περιεχόμενα του νου του ελλόγου όντος. Αντικειμενικό είναι αυτό που μας επιβάλλεται πέραν της περιστασιακά και συγκυριακά προσδιορίσιμης βούλησής μας ως επιστημολογικά και μεθοδολογικά αναγκαίο για τη συγκρότηση ενός απαλλαγμένου από λογικές αντιφάσεις εννοιολογικού πεδίου.

5 Το χαρακτηριστικό της μοναδικότητας για τα μαθηματικά αντικείμενα, τις δομές που σχηματίζουν και τις αλήθειες που τα αφορούν είναι θεμελιώδες στοιχείο του επιχειρήματος για την ανεξάρτητη από τον εκάστοτε μαθηματικό ύπαρξή τους. Η μοναδικότητα στηρίζεται σε ισομορφισμούς.

6 Ο φιλοσοφικός αντίπαλος της μοναδικότητας που θα επικαλείτο «εναλλακτικά» μαθηματικά ως πιθανά να υπάρξουν στο μέλλον, οφείλει να καταδείξει τη δυνατότητα αντικατάστασης των κλασικών μαθηματικών με δομές που ούτε οι ίδιες ούτε μέρος τους θα μπορούσαν να εμπεριέχουν ισόμορφο ανάλογο των φυσικών αριθμών.

7 Επιστημολογική αναγκαιότητα Τα μαθηματικά είναι μοναδική γνωσιολογική βάση για τις υπόλοιπες επιστήμες Αποτελούν ιστορική προϋπόθεση της εμφάνισης των άλλων (θετικών) επιστημών Η φύση των μαθηματικών αντικειμένων και αληθειών είναι ανιστορική Οι υπόλοιπες επιστήμες στηρίζονται στη δομική ενδεχομενικότητα του παρόντος σύμπαντος

8 Τα μαθηματικά αντικείμενα ανακαλύφθηκαν στο πλαίσιο του ιστορικού χρόνου και της συγκεκριμένης αιτιοκρατικής αλυσίδας ιστορικών συμβάντων, όπως θα ανεκαλύπτοντο και στο πλαίσιο κάποιας άλλης πιθανώς αιτιοκρατικής αλυσίδας ιστορικών συμβάντων ικανοποιητικώς και αρκούντως μακράς, που κατά τη διάρκειά της θα εμφανιζόταν το έλλογο ον. Δεν είναι δυνατό να γίνει αντιληπτό σύμπαν που θα επέτρεπε την ύπαρξη ελλόγων όντων, χωρίς την εμφάνιση των μαθηματικών της διακριτής και της συνεχούς μέτρησης Μόνον σε έναν κόσμο αιώνιου αδιαφοροποίητου παρόντος δεν θα ήταν δυνατή η εμφάνισή τους Διότι σε ένα τέτοιο κόσμο, δεν θα μπορούσε να υπάρξει διαχωρισμός του ταυτού από το έτερον (αποκλεισμός της δυνατότητας αρίθμησης)

9 Ανακάλυψη της απόδειξης
Η απόδειξη ανακαλύφθηκε εν χρόνω (υπήρχε ως υφέρπουσα αναγκαιότητα στο χώρο του δυνατού) Πριν την ανακάλυψη της απόδειξης, τα μαθηματικά είχαν έναν λογιστικό και εμπειρικό χαρακτήρα Η απόδειξη είναι το όχημα αυστηρής μεταφοράς της αλήθειας από τις προκείμενες στην τελικώς προκύπτουσα

10 Όταν μια πρόταση αποδεικνύεται από ένα σύνολο προκείμενων προτάσεων τότε κάθε δομή μαθηματικών αντικειμένων που επαληθεύει τις προκείμενες (μοντέλο, δηλαδή των προκείμενων) επαληθεύει και την πρόταση.

11 Το άπειρο αποτελεί τον πειθαρχημένο θρίαμβο της ανθρώπινης πνευματικής ελευθερίας. Η ανακάλυψή του είναι αποτέλεσμα νοητικού άλματος, αποτέλεσμα αποδοχής συμπάντων ως αντικειμένων τα οποία δεν είναι προσιτά με διαδικασίες εσωτερικής πρόσβασης των στοιχείων των ίδιων αυτών των συμπάντων.

12 Η αποδοχή του απείρου αποτελεί προνόμιο του ανθρωπίνου πνεύματος που δεν επιτρέπεται να εγκαταλείπεται ή να εκχωρείται για λόγους ουσιαστικούς που έχουν να κάνουν με την πιθανή αποκάλυψη κόσμων μη προσβάσιμων με απλή ψηλάφηση. Επίσης, για λόγους αισθητικούς, επειδή τα άλματα αυτά οδηγούν στη γνώση δομών υψηλής αισθητικής αξίας. Επίσης ένας τρίτος λόγος είναι ότι η αποδοχή των απείρων αντικειμένων μπορεί να οδηγήσει σε επίλυση δομικών προβλημάτων που εμφανίζονται σε χαμηλότερα επίπεδα της ιεραρχίας ταξινόμησης μεγάλων αντικειμένων.

13 Σχετικά με την χρήση της κλασικής λογικής σε συλλογές αντικειμένων άπειρης πληθικότητας
Αρχές όπως, της του τρίτου αποκλείσεως, μπορούν με βεβαιότητα να χρησιμοποιηθούν μόνο σε πεπερασμένες συλλογές αντικειμένων Η απαγόρευση χρήσης λογικών αρχών με επίκληση την αδυναμία αλγοριθμικού, πεπερασμένου και αποτελεσματικού ελέγχου των συλλογών αντικειμένων, είναι αντίθετη προς την ελευθερία δράσης του ανθρώπινου νου.

14 Οι εναλλακτικές λογικές και τα αντίστοιχα μαθηματικά (πχ
Οι εναλλακτικές λογικές και τα αντίστοιχα μαθηματικά (πχ. ιντουισιονισμός) δεν οδηγούν σε άλλα μαθηματικά γεγονότα άγνωστα και νέα. Το κοινό τους στοιχείο είναι η προσπάθεια περιορισμού του σύμπαντος των κλασικών μαθηματικών κι όχι η αντικατάστασή του.

15 2. Μαθηματικά και εμπειρική πραγματικότητα
Υπάρχει μια άποψη που γίνεται δεκτή συνήθως με ευκολία σύμφωνα με την οποία τα μαθηματικά είναι συναρτημένα με την εμπειρική πραγματικότητα. Εμφάνιση κάποιας στοιχειώδους εμπειρικής αριθμητικής και γεωμετρίας σε σχέση με την εμπειρική πραγματικότητα στοιχειωδών πρακτικών υπολογισμών στη διενέργεια πράξεων ανταλλαγής προϊόντων και την καταμέτρηση της γης.

16 Οι εμπειρικές ανάγκες είναι δυνατόν να υποβοηθήσουν (συμβάλλουν) στην γνωσιακή ανάδυση του δυνάμει υπάρχοντος. Η συγκεκριμένη εμπειρική πραγματικότητα υπήρξε αφορμή εν χρόνω και χώρω για την ανάδυση των μαθηματικών αντικειμένων. Η υπαρκτική αιτία ήταν η αναγκαία ανάδυσή τους στο πλαίσιο του ελλόγου κόσμου.

17 Η αρίθμηση Το έλλογο ον εκ φύσεως έχει τη δυνατότητα της αρίθμησης. Προϋπόθεση: ο διαχωρισμός του ταυτού από το έτερον ή του πριν από το τώρα Η δυνατότητα της αρίθμησης είναι προεμπειρική.

18 H γεωμετρία Η γεωμετρία του χώρου σε τοπικό επίπεδο και για μικρές ταχύτητες εμφανίζεται παρατηρησιακά ως ευκλείδεια. Υπάρχει η άποψη ότι η επιλογή ενασχόλησης με την ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι επιλογή αλλά ενέργεια εξαρτημένη από τη γεωμετρία του συγκεκριμένου σύμπαντος και τη φύση της εμπειρικής πραγματικότητας. Αυτό δεν σημαίνει όμως ότι η εμπειρική πραγματικότητα επέβαλε στο γνωσιακό κενό του ανθρώπινου νου αυτή τη γεωμετρία. Απλώς, αποτέλεσε την κατάλληλη αφορμή για την κατά προτεραιότητα ανάδυσή της.

19 Αν μελετήσει κάποιος την εμφάνιση των μη ευκλείδειων γεωμετριών (19ος αι.) παρατηρεί
ότι δεν υπήρχαν εμπειρικά στοιχεία που να οδήγησαν στην υιοθέτηση εκδοχών άρνησης του αιτήματος των παραλλήλων ότι οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες εμφανίζονται περίπου στην ίδια εποχή ως αποτέλεσμα της ανεξάρτητης του ενός από τον άλλον πνευματικής εργασίας τριών σημαντικών μαθηματικών (Bolyai, Lobachevsky, Gauss)

20 Λίγο αργότερα κατασκευάστηκαν μοντέλα αναπαράστασης μη ευκλειδείων χώρων (Klein, Poincare) Η εμφάνιση των μη ευκλείδειων γεωμετριών επέτρεψε ύστερα από 80 χρόνια την απογείωση της φυσικής και τη μετάβασή της στη μετα νευτώνεια εποχή. Τα μαθηματικά είναι οντολογικά και επιστημολογικά πρότερη επιστήμη.

21 Η εμφάνιση της ευκλείδειας γεωμετρίας ως πρώτης (και όχι κάποιας μη ευκλείδειας) συνδέεται με την συγκεκριμένη γεωμετρία του σύμπαντος σε τοπικό επίπεδο. Σε συνθήκες άλλου σύμπαντος η γεωμετρία που θα εμφανιζόταν ως γνωσιακώς πρώτη, μπορεί να ήταν άλλη.

22 H πιθανή διακριτή (κβαντική ή άλλη) δομή του σύμπαντος έχει ανάγκη για την ποσοτικοποιημένη απόδοση των σχέσεων, το εκφραστικό εργαλείο των συνεχιστικών μαθηματικών. Τα «συνεχιστικά» μαθηματικά είναι τα μαθηματικά της πραγματικής ευθείας και των επεκτάσεών τους. Η παραγώγιση, η ολοκλήρωση, η εύρεση στιγμιαίων ρυθμών μεταβολής μεγεθών και ποσοτικού περιεχομένου των μεγεθών αυτών είναι απολύτως επιτυχής επειδή τα συνεχιστικά μαθηματικά σέβονται τις προσεγγίσεις

23 Η συμφωνία ανάμεσα στην εμπειρική πραγματικότητα και τα συνεχιστικά μαθηματικά είναι φαινομενική διότι δεν υφίσταται ισομορφία μεταξύ τους. Ποιο είναι το εμπειρικό αντίστοιχο της στιγμιαίας ταχύτητας; Ποιο είναι το εμπειρικό αντίστοιχο του δι ολοκληρώματος υπολογιζόμενου εμβαδού ή όγκου; Έχουν εμπειρικό αντίστοιχο οι κύκλοι, τα τρίγωνα, τα τετράγωνα κλπ;

24 Για την πραγματική ευθεία δημιουργούνται ψευδοεμπειρικές εξεικονίσεις της με μια κιμωλία στον πίνακα ή με την εκτύπωση από υπολογιστή αλλά η ίδια ως γεωμετρικό αντικείμενο παραμένει εμπειρικώς διαφεύγουσα. Η πραγματική ευθεία έχει δομικούς λίθους τα αδιάστατα σημεία της και η συγκολλητική ουσία μεταξύ τους είναι διάφορες συναρτησιακές σχέσεις (μονοδιάστατο αντικείμενο που δομείται από αδιάστατες οντότητες). Αυτό το γεγονός απαγορεύει την εμπειρική παρουσία της.

25 Επίσης η εμπειρική πραγματικότητα δεν εμπεριέχει επιφάνειες Μια επίπεδη επιφάνεια είναι μια αφηρημένη οντότητα που παράγεται από την κάθετη προς εαυτήν συνεχή κίνηση μιας ευθείας γραμμής. Σύνολο ευθειών δηλαδή η επίπεδη επιφάνεια απαρτίζεται από μονοδιάστατα αντικείμενα. Δισδιάστατο αντικείμενο. Δεν διαθέτει όγκο. Κάτι τέτοιο είναι εμπειρικώς ανέφικτο.

26 Για να μεταφερθούμε σε άλλα παραδείγματα: Πώς ορίζεται εμπειρικά η αρχή ενός χρονικού διαστήματος; Τι είναι χρονικό σημείο εμπειρικά; Ο εμπειρικά μετρήσιμος χρόνος έχει ως στοιχείο του τη διάρκεια.

27 Τα συνεχιστικά μαθηματικά της πραγματικής ευθείας με τη λεπτοφυή τους δομή και την αποτελεσματικότητα των θεωρητικών εξεικονίσεων της εμπειρικής πραγματικότητας οδήγησαν στην εντύπωση ότι η επιτυχία τους οφειλόταν στην δήθεν ακριβή και ισόμορφη προς τις παραχθείσες δομές φύση της εμπειρικής πραγματικότητας. Όμως, η έντονη οντολογική ασυμμετρία μεταξύ μαθηματικών μοντέλων και εμπειρίας δεν αφήνει περιθώρια για τέτοιου είδους εμπειριστικές παρεκκλίσεις.

28 Η έννοια της ταχύτητας φαίνεται προσιτή στο έλλογο ον μέσω της διαδικασίας διαίρεσης του διανυόμενου διαστήματος από ένα κινητό δια του χρονικού διαστήματος εντός του οποίου συντελείται η διάνυση. «Μέση» ταχύτητα: εκφράζει το κατά μέσον όρον διανυόμενο διάστημα στη μονάδα του χρόνου. Ανάγκες ακριβέστερης απεικόνισης του μεγέθους αυτού οδηγούν στη συνεχή σμίκρυνση, χωρίς όριο, του χρονικού διαστήματος εντός του οποίου συντελείται η μεταβολή, με αποτέλεσμα το νοητικό άλμα της ανακάλυψης της έννοιας του ορίου, στο οποίο τείνει το πηλίκο αυτό όταν το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν. Το όριο αυτό ονομάζεται «στιγμιαία» ταχύτητα.

29 Ποιο είναι το εμπειρικό ανάλογο της στιγμιαίας ταχύτητας; Παρασυρμένος κανείς από το ψευδοεμπειρικό γεγονός ότι η μέση ταχύτητα φαίνεται να έχει ένα εμπειρικό ανάλογο, θεωρεί ότι και η στιγμιαία ταχύτητα θα πρέπει να διαθέτει αντίστοιχο. Ανύπαρκτα σημασιολογικά αντίστοιχα των όρων. Το σημασιολογικό αντίστοιχο του όρου «στιγμιαία ταχύτητα» δεν έχει σχέση με την εμπειρική πραγματικότητα. (είναι εμπειρικά ανύπαρκτο)

30 Η διαδικασία της ολοκλήρωσης είναι μαθηματικώς αντίστροφη της έννοιας της παραγώγισης, ειδική περίπτωση της οποίας είναι η έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας. Το πρόβλημα εμπειρικής αντιστοίχισης του ολοκληρώματος είναι ακριβώς ανάλογο αυτού της παραγώγισης. Η εύρεση του εμβαδού χωρίου που περικλείεται από μια ή περισσότερες καμπύλες δεν έχει ακριβές εμπειρικό ανάλογο.

31 Το περικλειόμενο τμήμα περιβάλλεται από μονοδιάστατες οντότητες το μαθηματικό status των οποίων είναι ακριβές (όχι όμως το εμπειρικό). Η εύρεση ενός πραγματικού αριθμού με οριακές διαδικασίες σημαίνει απλώς την εύρεση του κοινού μαθηματικού ορίου όλων των δυνατών προσεγγίσεων. Η εμπειρική πραγματικότητα δεν έχει χώρο για τα όρια παρά μόνο προσεγγιστικά.

32 Η εμβάπτιση της μαθηματικής πραγματικότητας στην εμπειρική, όπως επιχειρείται, αποτελεί ενέργεια ουτοπική. Από την άλλη πλευρά, η επιτυχία των εφαρμογών οφείλεται στο ότι τα μαθηματικά του συνεχούς σέβονται τις προσεγγίσεις.

33 Καμία βελτίωση οργάνων δεν μπορεί να οδηγήσει σε ακριβή μέτρηση
Καμία βελτίωση οργάνων δεν μπορεί να οδηγήσει σε ακριβή μέτρηση. Ανάμεσα στα μαθηματικά και στην εμπειρική πραγματικότητα υπάρχει γνωσιολογική ασυμμετρία. Ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος μιας συγκεκριμένης εμπειρικής ράβδου; Εμπειρικά σημεία δεν υπάρχουν. Κατανοούμε την εμπειρική ράβδο ως έχουσα μήκος μέσω της μαθηματικής εξεικόνισής της.

34 Ας υποθέσουμε ότι είναι δυνατό να μετρήσουμε ένα εμπειρικό μήκος με συνεχώς βελτιούμενη ακρίβεια έτσι ώστε το περιθώριο σφάλματος να τείνει στο μηδέν. Είναι γεγονός ότι είναι δυνατό να διαπιστωθεί εμπειρικώς ότι ένα εμπειρικό μήκος είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο ενός άλλου. Αυτό που δεν μπορούμε να διαπιστώσουμε είναι η ταύτιση εμπειρικών μηκών.

35 Οι διαδικασίες οριακότητας αποτελούν δάνειο από την περιοχή των μαθηματικών όπου το αποτέλεσμα ύπαρξης ορίου τέτοιων απείρων διαδοχικώς βελτιουμένων μετρήσεων θα οδηγούσε στην αποδοχή του μαθηματικού αυτού ορίου ως του μαθηματικά αποδεκτού μήκους του μετρούμενου εμπειρικού μήκους της προς μέτρηση λεπτής εμπειρικής ράβδου. Αυτό όμως δεν αρκετό για τους εξής λόγους:

36 Α) Ο πρώτος λόγος θα αφορούσε το γεγονός ότι μια τέτοια λύση που θα βαπτίζαμε «εμπειρική» θα προϋπέθετε την επ’ άπειρον βελτίωση με συγκεκριμένο τρόπο των μετρήσεων και επομένως των προεκτάσεων των αισθήσεών μας (των οργάνων μέτρησης). Β) Ο δεύτερος αφορά τη δυνατότητα ύπαρξης απείρων ως προς το πλήθος τους μετρήσεων που θα διενεργούνταν από πεπερασμένα ως προς το πλήθος τους έλλογα όντα κάθε ένα των οποίων είναι επίσης πραξιακά πεπερασμένο.

37 Το συνολικό πλήθος των ανθρωπίνων πράξεων ακόμη και αν εξαντλούσαμε τον προηγηθέντα ιστορικό χρόνο, ως η πληθικότητα πεπερασμένου αριθμού πράξεων από πεπερασμένους πράττοντες ή πράξαντες είναι πεπερασμένη και άρα, δεν θα μπορούσε να ολοκληρωθεί η επ’ άπειρον βελτίωση των μετρήσεών μας με οριστικό μηδενισμό του περιθωρίου σφάλματος.

38 Η γνωσιολογική μας επαφή με την εμπειρική πραγματικότητα όχι στην πρωτογενή αλλά στη δευτερογενή εκλεπτυσμένη της εκδοχή, λαμβάνει χώρα μέσω των μαθηματικών και της μαθηματικής της εξεικόνισης.

39 Τα προηγούμενα δεν οδηγούν στην πιθανή ανυποληψία των μετρήσεων
Τα προηγούμενα δεν οδηγούν στην πιθανή ανυποληψία των μετρήσεων. Οι μετρήσεις ως βασικό εργαλείο στην διαπίστωση και κατοχύρωση της αναδρασιακής σχέσης θεωρίας και πράξης παίζουν θεμελιώδη ρόλο. Τα συνεχιστικά μαθηματικά μας με την σημειακή οντολογία τους, όταν εφαρμόζονται για να εκφράσουν την εμπειρική πραγματικότητα δεν αποτελούν οντολογικά ισόμορφη πραγματικότητα της εμπειρικής.

40 Αρκεί που τα συνεχιστικά μαθηματικά είναι εκ φύσεως ένα υπόβαθρο για την εξεικόνιση της εμπειρικής πραγματικότητας΄. Σέβονται τις προσεγγίσεις με την έννοια ότι σε κάθε μέτρηση ενσωματώνεται όλος ο μηχανισμός της οριακότητας όπως χρησιμοποιείται για τους ορισμούς στιγμιαίων ρυθμών μεταβολής και περιεκτικοτήτων, παραγώγων και ολοκληρωμάτων.

41 Κάθε μέτρηση είναι μη ακριβής αλλά συγχρόνως καταλλήλως προσεγγιστική με την έννοια ότι είναι πιθανόν το περιθώριο σφάλματος της μέτρησης να βρίσκεται συνεχώς μεταξύ απολύτως αποδεκτών και ελεγχομένων ορίων.

42 Διακριτότητα της εμπειρικής χωροχρονικότητας Οι χωροχρονικές ψηφίδες έχουν ένα ελάχιστο μέγεθος Οι χωροχρονικές ψηφίδες δεν έχουν για το μέγεθός τους ελάχιστο όριο Στην περίπτωση υιοθέτησης της διακριτότητας είμαστε δέσμιοι μιας αντίληψης μεγέθους για τις ψηφίδες μας που προέρχεται από τα σπλάχνα των συνεχιστικών μαθηματικών.

43 Στην πρώτη περίπτωση το αντίστοιχο μέγεθος κάθε ψηφίδας θα είχε ως συμβατική τιμή τον αριθμό ένα με το αποτέλσμα κάθε μέτρησης να είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Στη δεύτερη περίπτωση μετά τον καθορισμό του μεγέθους μίας συγκεκριμένης ψηφίδας ως μονάδας μέτρησης οι υπόλοιπες θα είχαν ως μεγέθη τιμές που θα προέκυπταν ως προϊόν σύγκρισής τους με το μέγεθος της βασικής.

44 Πέραν της θεμελιώδους ασυμμετρίας της εμπειρικής πραγματικότητας και των συνεχιστικών μαθηματικών μας που εστιάζεται στην έννοια του μαθηματικού σημείου και του αντιστοίχου του εμπειρικού σημείου, υπάρχουν προβλήματα που θα εμπόδιζαν την πραγμάτωση της ακριβούς μέτρησης ακόμη και αν η ασυμμετρία αυτή δεν υπήρχε. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι τα συνεχιστικά μαθηματικά αποτελούν ισόμορφη απεικόνιση της εμπειρικής πραγματικότητας και ας προφασιστούμε ότι δεν έχουμε κανένα πρόβλημα κατανόησης ενός εμπειρικά υπάρχοντος αδιάστατου εμπειρικού σημείου.

45 Τότε θα ανέκυπταν μια σειρά από προβλήματα που οφείλονται στην ύπαρξη αρρήτων αριθμών και μάλιστα των υπερβατικών αριθμών. Υπάρχουν άρρητοι υπερβατικοί αριθμοί οι οποίοι προκύπτουν από συγκεκριμένες περιγράψιμες διαδικασίες και επομένως και από συγκεκριμένους αλγορίθμους. Παράδειγμα: ο αριθμός π (λόγος του μήκους περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρό του) Επιτυχής κατασκευή μίας περιφέρειας κύκλου με μήκος ίσο με το προς μέτρηση εμπειρικό μήκος και η σύγκριση του εμπειρικού μήκους μιας διαμέτρου αυτής της περιφέρειας με το εμπειρικό μήκος του αρχικού μέτρου σύγκρισης.

46 Μια διαδικασία τέτοια θα οδηγήσει στην ταύτιση του εμπειρικού μήκους της επιλεχθείσας διαμέτρου και του εμπειρικού μήκους του αρχικού μέτρου σύγκρισης. Η διαδικασία αυτή προσιδιάζει στον αριθμό π Το απογοητευτικό ωστόσο στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι ότι όλοι οι δυνατοί πεπερασμένοι ορισμοί και οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι είναι το πολύ αριθμήσιμοι στο πλήθος. Το χρησιμοποιούμενο αλφάβητο είναι πεπερασμένο και κάθε πεπερασμένος ορισμός έχει πεπερασμένες θέσεις γραμμάτων.

47 Ο μέγιστος αριθμός πεπερασμένων διατάξεων γραμμάτων είναι ίσος με τον πληθάριμο των φυσικών αριθμών. Επομένως το μέγιστο πλήθος διατάξεων και δυνατών ορισμών είναι αριθμήσιμο. Δεδομένου ότι οι άρρητοι υπερβατικοί αριθμοί είναι υπεραριθμήσιμοι ως προς το πλήθος, το μέγιστο μέρος τους δεν μπορεί ούτε να οριστεί και άρα είναι αδύνατη οποιαδήποτε μέτρηση που θα μπορούσε να οδηγήσει σε κάποιον εξ αυτών, δηλαδή σε κάποιον εκ των αναγκαστικώς μη οριζομένων αρρήτων.

48 Η δομή της πραγματικής ευθείας είναι ο πολύτιμος βοηθός μας στην ανίχνευση της εμπειρικής πραγματικότητας. Η δομή αυτή έχει ως χαρακτηριστικό τον σεβασμό των προσεγγίσεων. Η ασυμμετρία εμπειρικής πραγματικότητας και συνεχιστικής μαθηματικής εξεικόνισής της αποτελεί ένα γνωσιολογικό ρήγμα που το αποδεχόμαστε. Το βασικό δεν είναι η ακριβής μέτρηση αλλά μια μέτρηση που θα μας κρατάει σε συνεχή επαφή με το εμπειρικό αντικείμενο χάρη στις προσεγγίσεις των μαθηματικών μας.