Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ

Παρουσίαση με θέμα: "Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ
Υλικά και Δραστηριότητες Διδασκαλίας Μαθηματικών ΙΙ Cuisenaire rods – Ράβδοι του Cuisenaire Η ιδέα του Cuisenaire, την οποία ανέπτυξε μοναδικά ο Cattegno 2ο μάθημα εαρινού εξάμηνου 2018 Διδάσκων: Αντώνης Ζαγοριανάκος

2 Σχετικά με τα νηπιαγωγεία:
Η πρακτική άσκηση αφορά σε δύο συνεχόμενες εβδομάδες, και σε τρεις συνεχόμενες ημέρες την εβδομάδα, για κάθε ομάδα φοιτητριών/-ών. Εγγραφείτε στο μάθημα και κατεβάστε υλικό που έχει αναρτηθεί και που πρόκειται να αναρτηθεί στις επόμενες ημέρες. Κάθε διδακτική ημέρα αφορά σε 3-4 ώρες. Ημερομηνίες: Θα ανακοινωθούν σύντομα . Κάθε τμήμα περιλαμβάνει περίπου 20 παιδιά.

3 Θα εστιάσουμε σήμερα στα υλικά
Τι σκέφτονται τα μωρά; Gattegno fits here Θα εστιάσουμε σήμερα στα υλικά Καθώς το μάθημα έχει τίτλο Υλικά και δραστηριότητες διδασκαλίας Μαθηματικών Η προσέγγιση των διδακτικών υλικών ως φορέων μαθηματικών εννοιών και συγκεκριμένα των διδακτικών υλικών των Κουϊζενέρ – Γκατένιο.

4 10 ράβδοι διαφορετικών χρωμάτων, μηκών και μονάδων
10 ράβδοι διαφορετικών χρωμάτων, μηκών και μονάδων Οι ράβδοι δεν αναγράφουν πάνω τους αριθμούς και το ένα είναι απλά το άσπρο, το δύο το κόκκινο κλπ. Οι ράβδοι, κανονικά, δεν έχουν διαγραμμίσεις

5 Με τις ράβδους Cuisenaire οι αριθμοί γίνονται αντιληπτοί πρώτα ως μεγέθη.

6 Το 16, ως κατασκευή συνδυασμού άλλων αριθμών
Με τις ράβδους Cuisenaire οι αριθμοί γίνονται αντιληπτοί ως κατασκευές, ο ένας του άλλου.

7 Δημιουργία σκαλοπατιών, με χρήση μόνο του 2 και του 3

8 Ένα ωραίο σετ τάξης

9 Cuisenaire Rod Art inspires Thought and Decision Η τέχνη των ράβδων Cuisenaire εμπνέει Σκέψη και Απόφαση Try this at home. It simulates what researching mathematicians do everyday: 1. Let your child make a piece of artwork with the rods on graph paper. Go ahead and spring for another home set of rods and let him glue it. You can frame it and put it on the wall later. 2. Ask him to do this: “Using only numbers, letters and punctuation, write the instructions to recreate your picture.” 3. Take a piece of graph paper and recreate their picture yourself, based on what he’s written. 4. Compare yours and his. Are they the same? If not, what happened? If so, were there any challenges for you while redoing it? 5. Discuss it and let him think about this as long as he wants (minutes, days, weeks, years). Then ask him if he can think of a different way to describe it so it is easier to recreate. Repeat as many times as is enjoyable. After a while – sometimes years – he’ll create something similar (probably better) than what I have above.

10 Μετάφραση της προηγούμενης διαφάνειας:
Cuisenaire Rod Art inspires Thought and Decision Η τέχνη των ράβδων Cuisenaire εμπνέει Σκέψη και Απόφαση Δοκιμάστε το παρακάτω στο σπίτι. Προσομοιώνει ό,τι οι ερευνητές μαθηματικοί κάνουν κάθε μέρα: 1. Αφήστε το παιδί να φτιάξει ένα έργο τέχνης με τις ράβδους, σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί. Παρουσιάστε του/της ένα σετ σπιτιού των ράβδων Cuisenaire, και αφήστε τον/την να το κολλήσει. Μπορείτε να το βάλετε σε κάδρο αργότερα και να το κρεμάσετε στον τοίχο. 2. Ζητήστε του/της να κάνει το παρακάτω: “Χρησιμοποιώντας μόνο αριθμούς, γράμματα και σημεία στίξης, γράψε τις οδηγίες ώστε να ξαναδημιουργήσεις την εικόνα σου.” 3. Πάρτε ένα φύλλο χαρτί και ξαναδημιουργήστε την εικόνα του/της μόνος/-η σας, έχοντας ως βάση αυτό που έγραψε. 4. Συγκρίνετε την κατασκευή του/της και την δική σας. Είναι ίδιες; Αν όχι, τι συνέβη; Αν είναι ίδιες, υπήρξαν δυσκολίες κατά την διάρκεια της ανακατασκευής; 5. Συζητήστε το και αφήστε τον/την να το σκεφτεί όσο επιθυμεί (λεπτά, μέρες, εβδομάδες, χρόνια). Μετά ρωτήστε τον/την αν μπορεί να σκεφτεί έναν διαφορετικό και πιο εύκολο τρόπο περιγραφής της ανακατασκευής. Επαναλάβετε όσες φορές η δραστηριότητα είναι ευχάριστη. Μετά από λίγο – ίσως και χρόνια– θα δημιουργήσει κάτι παρόμοιο(ίσως καλύτερο) από αυτό που παραθέτω παραπάνω.

11 Χάρτης από ράβδους Cuisenaire;

12

13

14 A Teacher’s Introduction to Cuisenaire-Gattegno Methods (σ. 35-36)
Από το βιβλίο του Cattegno: Now Johnny can do arithmetic Over twenty-five years ago [around 1945], in Belgium, Georges Cuisenaire, a schoolmaster wondered why small children could pick up and remember tunes so easily whereas they found it so difficult to understand arithmetic and to remember what they were taught. …he set out to find an aid to the learning of arithmetic that ‘resembled” a musical instrument. Από το βιβλίο του Cattegno: A Teacher’s Introduction to Cuisenaire-Gattegno Methods (σ ) It is generally agreed that learning is achieved through both free and directed play—δια του ελεύθερου και του καθοδηγητικού παιγνιδιού—at this early stage of development. The Cuisenaire material can thus be used as a toy to provide all kinds of games. Indeed, the wise teacher will use the rods for long stretches of free play and will be in no hurry to introduce any trace of direction. Free play is, precisely, free. Organization or direction destroys its essential character. It may need faith to stand by watching children building an Eiffel Tower or making doorways, pillars, pyramids, houses, patterns, trains and the like, especially when the construction seem to have no particular mathematical significance, but six to eight weeks spent in this free play will pay handsome dividends (θα αποδοθούν μερίσματα ωραίων ανταλλαγμάτων, από την ενασχόληση έξι με οκτώ εβδομάδων με το ελεύθερο παιγνίδι) and, even when formal activities have been introduced, ample time for this completely free activity should be allowed.

15 10 ράβδοι διαφορετικών χρωμάτων, μηκών και μονάδων
10 ράβδοι διαφορετικών χρωμάτων, μηκών και μονάδων Οι ράβδοι δεν αναγράφουν πάνω τους αριθμούς και το ένα είναι απλά το άσπρο, το δύο το κόκκινο κλπ.

16 Ξυλάκια ΣΕΤ Τάξης (Cuisenaire Rods)

17 Ξυλάκια ΣΕΤ Τάξης (Cuisenaire Rods)
(61,90€ πλέον ΦΠΑ) Με ποιους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε: Το σετ αυτό περιέχει 306 ξυλάκια: 108 λευκούς κύβους 1cm³ 50 κόκκινα ξυλάκια 2cm³ 36 πράσινα ξυλάκια 3cm³ 28 ροζ ξυλάκια 4cm³ 20 κίτρινα ξυλάκια 5cm³ 16 σκούρο-πράσινα ξυλάκια 6cm³ 14 μαύρα ξυλάκια 7cm³ 12 καφέ ξυλάκια 8cm³ 2 μπλε ξυλάκια 9cm³ 10 πορτοκαλί ξυλάκια 10cm³ πράσινα ξυλάκια ροζ ξυλάκια κίτρινα ξυλάκια σκούρο- πράσινα ξυλάκια

18 Δραστηριότητα χωρίς τετραγωνισμένο χαρτί, για τον αριθμό 13

19 to the Cuisenaire-Gattegno Methods
Caleb Cattegno A Teacher’s Introduction to the Cuisenaire-Gattegno Methods Of Teaching Arithmetic (1960) Η παράγραφος Kindergarten Stage, στις σελίδες 35–43 παρουσιάζει ‘κλασσικές’ εφαρμογές των ράβδων Cuisenaire.

20 of teaching mathematics
Caleb Cattegno The common sense of teaching mathematics (1974) Δημιουργία σκαλοπατιών, τα οποία συμπληρωμένα δημιουργούν μεγαλύτερα μήκη (σ. 81)

21 Με βάση τις ράβδους Cuisenaire περιγράψτε την ανάπτυξη μιας σειράς διδακτικών δραστηριοτήτων για την εισαγωγή μαθηματικών εννοιών στο νηπιαγωγείο, με απώτερο στόχο την πρακτική σας άσκηση για το μάθημα. Συμβουλευτείτε το υλικό που θα αναρτηθεί στην ηλεκτρονική τάξη, υλικό από το διαδίκτυο και από όποια άλλη πηγή αποκτήσετε πρόσβαση και γράψτε μια περίληψη έως 300 λέξεων, που να περιγράφει σχηματικά την/τις δραστηριότητα/-ες που σκεφτήκατε, τι σας προξενεί το ενδιαφέρον αναφορικά με την εφαρμογή της/τους καθώς και πιθανά ερευνητικά ερωτήματα, δηλαδή τα διδακτικά/μαθησιακά ζητήματα που θα θέλατε να θέσετε υπό εξέταση, με την διδακτική σας παρέμβαση. Προσπαθήστε να παραδώσετε την περίληψη (abstract) της/των δραστηριότητας/-ων που σκεφτήκατε, στο επόμενο μάθημα, με αποστολή ηλεκτρονικού μηνύματος στις διευθύνσεις μου που σας έχουν δοθεί. Συμβουλευτείτε τα υπόλοιπα μέλη της ομάδας σας, με πρόθεση τον συγκερασμό ιδεών και προσεγγίσεων, με προορισμό ένα ενιαίο πλάνο.

22 https://mathforlove.com/lesson/cuisenaire-rod-lessons/
Lesson 1: Free Play and Grab Bag [Μάθημα 1: Ελεύθερο παιγνίδι και παιγνίδι με τσάντα] Materials: Cuisenaire rods, paper bags [Υλικά: Οι ράβδοι του Cuisenaire, χάρτινες τσάντες] Part 1: Play and Discussion [Μέρος 1ο: Παιγνίδι και συζήτηση] To begin, show students Cuisenaire rods and tell them that they will have some time to build whatever they want. Get them playing as soon as possible, and observe what they build. After they’ve had ten or fifteen minutes to play, take a few minutes to discuss what students have noticed. How do the colors relate? Which colors are longer, and which are shorter? Can you make one color from another? (Record these and other student questions as potential ideas to explore later.) Next, challenge students to arrange the colors from shortest to longest. Each student should make their own “staircase.” Part 2: Grab Bags [Μέρος 2ο: Παιγνίδι και συζήτηση] Next, students put one staircase into a paper bag and take turns playing Grab Bag. To play, a student reaches into the paper bag, and, without looking, names the color rod they believe they are holding. They remove that rod from the bag: if they had the correct color, they get to keep the rod. Otherwise, they put the rod back in the bag. Whoever gets the most rods wins; a collaborative game [παιγνίδι συνεργασίας] where the team just tries to empty their bag together is another option. Here’s some variations to slowly ratchet up the difficulty. Game 1: One of each color in the bag. Game 2-3: Two of each color in the bag. Game 4-5: Three of each color in the bag. Game 6: Students handpick 10 – 30 rods to put in the bag to try to make it as challenging as possible.

23 Μετάφραση της προηγούμενης διαφάνειας:
1ο μάθημα: Free Play and Grab Bag [Μάθημα 1: Ελεύθερο παιγνίδι και παιγνίδι με τσάντα] Υλικά: Cuisenaire rods, paper bags [Υλικά: Οι ράβδοι του Cuisenaire, χάρτινες τσάντες] Part 1: Play and Discussion [Μέρος 1ο: Παιγνίδι και συζήτηση] Αρχίζουμε δείχνοντας στους μαθητές τις ράβδους Cuisenaire και λέγοντάς τους ότι θα έχουν κάποιο χρόνο για να χτίσουν ό,τι θέλουν. Τους βάζουμε να παίξουν το συντομότερο, και παρατηρούμε τι κατασκευάζουν. Μετά από δέκα με δεκαπέντε λεπτά παιγνιδιού, συζητάμε για μερικά λεπτά τι παρατήρησαν οι μαθητές. Πως συσχετίζονται τα χρώματα; Ποια χρώματα είναι μακρύτερα και ποια κοντύτερα; Μπορούν ένα χρώμα να το φτιάξουν με άλλα χρώματα; (Καταγράψτε αυτές αλλά και άλλες ερωτήσεις των μαθητών ως πιθανές ιδέες για να διερευνηθούν αργότερα) Έπειτα, προκαλέστε τους μαθητές να τακτοποιήσουν τα χρώματα από το κοντύτερο προς το μακρύτερο. Κάθε μαθητής θα πρέπει να μπορεί να κατασκευάσει την δική του/της «σκάλα». Μέρος 2ο: Επιλογή ράβδου μέσα από τσάντα [Παιγνίδι και συζήτηση] Έπειτα, οι μαθητές βάζουν μια σκάλα μέσα σε μια χαρτοσακούλα και παίζουν με τη σειρά το παιγνίδι Επιλογή ράβδου μέσα από τσάντα. Για να παίξουν, κάθε μαθητής βάζει το χέρι του/της μέσα στην χαρτοσακούλα και πιάνει μία ράβδο, και χωρίς να κοιτάζει κατονομάζει το χρώμα που πιστεύει ότι κρατάει. Βγάζει αυτή την ράβδο από την σακούλα: εάν επέλεξε το σωστό χρώμα κρατάει την ράβδο, διαφορετικά τοποθετείται η ράβδος μέσα στην χαρτοσακούλα. Όποιος έχει στο τέλος τις περισσότερες ράβδους είναι ο νικητής; Εναλλακτικά, μπορούν να παίξουν ένα παιγνίδι συνεργασίας, όπου η κάθε ομάδα προσπαθεί να αδειάσει (να πάρει τις περισσότερες ράβδους από) την τσάντα συλλογικά. Ακολουθούν ορισμένες παραλλαγές που αυξάνουν σταδιακά τη δυσκολία. 1ο παιγνίδι: ένα κομμάτι από κάθε χρώμα μέσα στην τσάντα. 2ο - 3ο παιγνίδι: δύο κομμάτια από κάθε χρώμα μέσα στην τσάντα. 4ο - 5ο παιγνίδι : τρία κομμάτια από κάθε χρώμα μέσα στην τσάντα. 6ο παιγνίδι: οι μαθητές επιλέγουν 10 – 30 ράβδους, τις οποίες τοποθετούν μέσα στην τσάντα, ώστε το παιγνίδι να γίνει πιο δύσκολο.

24 https://mathforlove.com/lesson/cuisenaire-rod-lessons/
Lesson 2: Counting the Staircase, Making Yellows Materials: Cuisenaire rods, paper and pencil Part 1. Challenge students to make the staircase of every color from last time. Once they have built it, ask how many white cubes it would take to cover/build a duplicate copy of the red rod. What about the light green rod? The purple rod? No matter their answers, ask them to defend their answers. Give them time to work on their own to figure out how many white cubes it would take to build a duplicate of any rod. Part 2. Discuss with students what numbers they got for different rods, and what their strategies were to determine the number of cubes. Did they need to build every rod using all white cubes? Or did they use what they had found about smaller rods to build the larger ones? (I.e., the dark green is a yellow plus a white, and the yellow is 5 white, so the dark green is = 6 whites). Demonstrate how a way of building Cuisenaire rods corresponds to an equation [ισότητα], and let students try saying and writing an equation [ισότητα] that they found. Part 3 (NOTE: Writing equations is only for students who are conceptually ready. For students who haven’t grasped one to one correspondence, just give them the building challenge without worrying about recording). Challenge students to build yellow rod in as many different ways they can. They can record how they did it by coloring in the outlines on the worksheet and writing down equations. Students can also try to build and find equations for the larger rods. NOTE: These equations may have more than two addends. Part 4 Students can play Grab Bags or have free play time when they’re done with building yellow rods.

25 Μετάφραση της προηγούμενης διαφάνειας:
2ο μάθημα: Απαριθμώντας την σκάλα, Δημιουργώντας Κίτρινες ράβδους Υλικά: Οι ράβδοι του Cuisenaire, χαρτί και μολύβι 1ο μέρος. Προκαλέστε το ενδιαφέρον των μαθητών ώστε να φτιάξουν τη σκάλα με όλα τα χρώματα, όπως την προηγούμενη φορά. Μόλις την φτιάξουν ρωτήστε τους/τις πόσους άσπρους κύβους θα χρειαστούν ώστε να φτιάξουν την κόκκινη ράβδο. Και μετά για την μωβ ράβδο; Πέρα από τις απαντήσεις που θα δώσουν ζητήστε τους/τις να υπερασπιστούν τις απαντήσεις τους. Δώστε χρόνο για να εργαστούν μόνοι/-ες τους για να βρουν πόσοι άσπροι κύβοι θα χρειαστούν για την κατασκευή καθεμιάς από τις ράβδους. 2ο μέρος. Συζητήστε με του μαθητές ποιοι αριθμοί αντιστοιχούν σε διαφορετικές ράβδους, και ποιες ήταν οι στρατηγικές τους ώστε να καθορίσουν τον αριθμό κάθε ράβδου. Χρειάστηκε να χτίσουν κάθε ράβδο χρησιμοποιώντας αποκλειστικά άσπρους κύβους; Ή χρησιμοποίησαν αυτό που είχαν βρει για τις μικρότερες ράβδους για να χτίσουν τις μεγαλύτερες; (π.χ., η σκουροπράσινη ράβδος αποτελείται από μια κίτρινη και μια λευκή, και η κίτρινη αποτελείται από πέντε λευκές ράβδους, επομένως η σκουροπράσινη ράβδος αποτελείται από = 6 λευκές ράβδους). Δείξτε πως ένας τρόπος κατασκευής ράβδων Cuisenaire rods αντιστοιχεί σε μία ισότητα, και αφήστε τους/τις μαθητές/-τριες να πουν και να γράψουν μια ισότητα που ανακάλυψαν. 3ο μέρος. (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η γραφή εξισώσεων αφορά μόνο σε μαθητές/-τριες που είναι εννοιολογικά έτοιμοι/-ες για αυτό. Για μαθητές/-τριες που δεν έχουν αντιληφθεί την ένα-προς-ένα αντιστοίχιση απλώς αφήστε τους/τις να ασχοληθούν με την πρόκληση του χτισίματος χωρίς να ανησυχείτε για την καταγραφή). Προκαλέστε το ενδιαφέρον των μαθητών ώστε να φτιάξουν την κίτρινη ράβδο με όσους περισσότερους τρόπους μπορούν. Μπορούν να καταγράψουν πως το έκαναν χρωματίζοντας εντός των περιγραμμάτων στο φύλλο εργασίας και γράφοντας εξισώσεις. Οι μαθητές/-τριες μπορούν ακόμη να προσπαθήσουν να χτίσουν και να βρουν εξισώσεις για τις μεγαλύτερες ράβδους. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αυτές οι εξισώσεις μπορεί να έχουν και περισσότερους από δύο προσθετέους. 4ο μέρος. Οι μαθητές/-τριες μπορούν να παίξουν το παιγνίδι με την χάρτινη τσάντα ή να ασχοληθούν με το ελεύθερο παιγνίδι όταν θα έχουν ολοκληρώσει το χτίσιμο των κίτρινων ράβδων.

26 πρόσθεση και πολλαπλασιασμό
Δραστηριότητα πάνω σε τετραγωνισμένο χαρτί, για τον αριθμό 10, που συνδυάζει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό

27

28

29

30 της ψυχολογίας της μορφής (Gestalt).
Η χρήση τους στη διδασκαλία των μαθηματικών βασίζεται στην παραδοχή ότι η συγκρότηση οπτικών-αντιληπτικών δομών οδηγεί αναπόφευκτα στη συγκρότηση αντίστοιχων γνωστικών δομών, μια από τις θεμελιώδεις παραδοχές της ψυχολογίας της μορφής (Gestalt). Στη βάση αυτή, παρατηρήσεις και χειρισμοί κατάλληλα δομημένων υλικών αποτυπώνονται νοητικά ως αντιληπτικές δομές και σταδιακά μέσα από τη νοητική επεξεργασία τους μετασχηματίζονται σε αντίστοιχες γνωστικές δομές. Άρα είναι δυνατή η συγκρότηση βασικών αριθμητικών σχέσεων και εννοιών μέσα από οπτικές εμπειρίες και εμπειρίες που προκύπτουν από το χειρισμό κατάλληλα δομημένων υλικών. (Χασάπης, σ. 35) Μήκος Χρώμα 1 άσπρο 2 κόκκινο 3 πράσινο ανοιχτό 4 μοβ 5 κίτρινο 6 πράσινο σκούρο 7 μαύρο 8 καφέ 9 μπλε 10 πορτοκαλί

31 Οι ράβδοι του Cuisenaire χρησιμοποιούνται για τη συγκρότηση βασικών αριθμητικών εννοιών σε δραστηριότητες που, σύμφωνα με τους Cuisenaire και Categno, πρέπει να αναπτύσσονται σε τέσσερα διαδοχικά στάδια: 1ο Στάδιο: Δραστηριότητες Ελεύθερου Παιχνιδιού Το παιδί παίζει με τις ράβδους χωρίς κανένα κανόνα. Ο Gattegno έχει χαρακτηρίσει αυτό το στάδιο ως "διάλογο του παιδιού με τις ράβδους" αφού με το ελεύθερο παιχνίδι εισάγονται έμμεσα ερωτήσεις και απαντήσεις πρωταρχικά λογικού χαρακτήρα. 2ο Στάδιο: Δραστηριότητες Καθοδηγούμενου Παιχνιδιού χωρίς τη χρήση γραπτών συμβόλων Κατά το στάδιο αυτό ο/η ενήλικος/η παρεμβαίνει σταδιακά στο ελεύθερο παιχνίδι του παιδιού εισάγοντας δραστηριότητες διάταξης και διευθέτησης των ράβδων που εμπεριέχουν βασικές μαθηματικές σχέσεις και αριθμητικές έννοιες. 3ο Στάδιο: Δραστηριότητες Χειρισμού Γραπτών Συμβόλων Κατά το στάδιο αυτό εισάγονται με δραστηριότητες διάταξης και διευθέτησης των ράβδων οι αριθμητικές πράξεις και οι συμβολισμοί τους + , - , X , : και = .

32 4ο Στάδιο: Δραστηριότητες Αντιστοίχισης Αριθμών και Ράβδων
Κατά το τελευταίο στάδιο αντιστοιχούνται στις ράβδους αριθμοί και οι ράβδοι χρησιμοποιούνται ως πρότυπα των αριθμών με μονάδα αρχικά τη μικρότερη ράβδο. Σε ένα επόμενο βήμα μπορεί ως μονάδα να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε ράβδος και οι υπόλοιπες να αντιστοιχιστούν σε κλάσματα της μονάδας. Αν για παράδειγμα επιλεγεί ως μονάδα η μοβ ράβδος (4) τότε η κόκκινη θα είναι 1/2 και η κίτρινη 5/4.

33 Η πληθικότητα των αριθμών
Ένα ΤΡΕΝΟ δημιουργείται από δύο ή περισσότερες ράβδους, όχι υποχρεωτικά του ιδίου χρώματος, η μία πίσω από την άλλη σε μια ευθεία γραμμή. Αν η Άσπρη ράβδος είναι η μονάδα, τότε η Κόκκινη ράβδος τι αντιπροσωπεύει; Πως θα το δείξετε αυτό; (Φτιάξτε ένα τρένο με δύο Άσπρες ράβδους και δείξτε ότι αυτό έχει το ίδιο μήκος με μια Κόκκινη ράβδο). Αν η Άσπρη ράβδος είναι η μονάδα, τότε τι είναι η Μοβ ράβδος; 1 κόκκινο = 1 άσπρο + 1 άσπρο  1 κόκκινο = 2 άσπρα  2 = 1 + 1

34 Ευχαριστώ για την προσοχή σας