Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Ηλεκτρολόγων – Ηλεκτρονικών Μηχανικών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μηχανολόγων Μηχανικών ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Πολιτικών Μηχανικών Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

2 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
Συντονισμός – Καμπύλη Συντονισμού. Ισχύς Εξαναγκασμένης Ταλάντωσης. Συντελεστής Ποιότητας Q. Παραδείγματα Συντονισμού.

3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
Πάνω στη μάζα που ταλαντώνεται δρα και μια περιοδική δύναμη, πέρα από τη δύναμη της απόσβεσης και τη δύναμη επαναφοράς. υ x > 0 x = 0 Συνισταμένη Δύναμη: 𝑭= 𝑭 𝐬𝐩 + 𝑭 𝐝 + 𝑭 𝐞𝐱𝐭 𝑭=−𝒌𝒙−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 Fd Αντίστασης: 𝑭 𝐝 =−𝒃𝝊=−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 Fsp Ελατηρίου: Fsp = – k x 2ος Νόμος Νεύτωνα: 𝑭=𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 Εξωτερική : Fext = F0 sin(ωt) Fext 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 =−𝒌𝒙−𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΗ ΜΑΖΑ: 𝒎 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 +𝒃 𝒅𝒙 𝒅𝒕 +𝒌𝒙= 𝑭 𝟎 sin 𝝎𝒕 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝒃 𝒎 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝒌 𝒎 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕

4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝟏 𝝉 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝝉= 𝒎 𝒃 𝝎 𝟎 𝟐 = 𝒌 𝒎 Όπου: και: Κάθε Γραμμικός συνδυασμός του sin(ωt) και του cos(ωt) δύναται να αποτελέσει μια Γενική Λύση της παραπάνω Δ.Ε.: 𝒙 𝒕 = 𝒄 𝟏 sin (𝝎𝒕 )+ 𝒄 𝟐 cos (𝝎𝒕) Τριγωνομετρική ταυτότητα: 𝒄 𝟏 sin (𝝎𝒕 )± 𝒄 𝟐 cos (𝝎𝒕) = 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 sin 𝝎𝒕±𝝋 𝒙 𝒕 =𝑨 sin 𝝎𝒕−𝝋 Όπου: 𝑨= 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 tan 𝝋 = 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏

5 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
𝒅 𝟐 𝒙 𝒅 𝒕 𝟐 + 𝟏 𝝉 𝒅𝒙 𝒅𝒕 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝒙= 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝒙=𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 𝒅 𝟐 𝒙 𝒅𝒕 𝟐 =−𝑨 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =𝑨𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 −𝑨 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 + 𝟏 𝝉 𝑨𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 + 𝝎 𝟎 𝟐 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 +𝑨 𝝎 𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕

6 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋 +𝑨 𝝎 𝝉 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕−𝝋 = 𝑭 𝟎 𝒎 sin 𝝎𝒕 𝒄 𝟏 sin 𝒂 + 𝒄 𝟐 cos 𝒂 = 𝒄 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝜽 Τριγωνομετρική Ταυτότητα tan 𝜽 = 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 ≡ 𝑭 𝟎 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 tan 𝜽 = 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐

7 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 ≡ 𝑭 𝟎 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 tan 𝜽 = 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝑨 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 = 𝑭 𝟎 𝒎 𝑨 𝝎 = 𝑭 𝟎 𝒎 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝟐 + 𝝎 𝟐 𝝉 𝟐 𝝋=𝜽= tan −𝟏 𝝎 𝝉 𝝎 𝟎 𝟐 − 𝝎 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕−𝝋+𝜽 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕

8 ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Στοιχεία Ταλαντωτή: 𝒌=𝟑𝟗,𝟒 𝐍/𝐦, 𝒎=𝟏,𝟎𝟎𝐤𝐠, 𝝎 𝟎 =𝟔,𝟐𝟖 𝐫𝐚𝐝/𝐬 A ω (rad/s b = 1,10 kg/s A ω (rad/s b = 0,50 kg/s A ω (rad/s b = 0 kg/s x t (/s) x t (/s) x t (/s)

9 ΙΣΧΥΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

10 ΜΕΣΗ ΙΣΧΥΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

11 ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Μέση Ισχύς: Μέγιστο Μέσης Ισχύος: <P>
ω0 ω <P> ω0=500 s-1 (1/τ)=50 s-1

12 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q
Μέση Ισχύς: Ο συντελεστής Ποιότητας Συντονισμού Q: 1. Ποσοτικοποιεί με ένα θετικό αριθμό την απόκριση ενός ταλαντωτή στους εξωτερικούς διεγέρτες. 2. Προσδιορίζει την περιοχή συχνοτήτων (ω1, ω2), γύρω από τη συχνότητα συντονισμού ω0 , όπου ο ταλαντωτής αποκρίνεται ικανοποιητικά στον εξωτερικό διεγέρτη. Ικανοποιητική είναι η απόκριση ενός ταλαντωτή όταν η μέση ισχύς που παρέχεται σε αυτόν από τον εξωτερικό διεγέρτη είναι ίση τουλάχιστον με το ήμισυ της μέγιστης μέσης ισχύος <P(ω)>max

13 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q
Υπολογισμός της περιοχής συχνοτήτων συντονισμού (ω1, ω2)

14 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ Q
ω0 ω <P> ω0=500 Hz γ=50 Hz ω0 ω <P> ω0=500 s-1 τ=0,01 s ω ω0 <P> ω0=500 Hz τ=0,005 s ω1 ω2 ω1 ω2

15 ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (1)

16 ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (2)

17 ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ ΜΙΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ (3)