Punim Seminarik ne Statistike

Παρουσίαση με θέμα: "Punim Seminarik ne Statistike"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Punim Seminarik ne Statistike
Probabiliteti Punoi: Valmir Nuredini

2 Probabiliteti Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme (mostrave) që mund të jenë në semafor është: Gjasa që gjatë arritjes në semafor të jetë ngjyra e KUQE është e barabartë me gjasën e ngjyrës së VERDHË dhe të GJELBËRT dhe e barabartë me : 1/3.Por gjasa që të kemi ndonjë ngjyrë tjetër është 0, sepse kjo është një ngjarje që nuk mund të ndodhë ( e pamundshme)

3 Probabiliteti Probabiliteti është një degë e matematikës e cila merret me studimin e eksperimenteve,rezultatet e të cilave nuk dihen paraprakisht.P.sh. nëse e hedhim në ajër një monedhë metalike(të themi një euro), në faqen e së ciles janë shënuara numri H dhe shkrimi T respektivisht, nuk mund të gjykojmë paraprakisht se a do të bjerë faqja me numër H apo faqja me shkrim T e drejtuar lart.Intuitivisht e dimë se “gjasa”(besueshmeria) që të kemi H është e barabartë me atë që të kemi T dhe kjo gjasë është e barabartë 50%.

4 Probabiliteti Në këte raste përjashtohet mundesia që monedha të ndaloje në tehun e saj.Nëse ndodh kjo,hedhja e monedhës përsëritet.Pra në këtë rast hedhja e monedhës është një eksperiment ,ndërsa bashkesia {H,T} është bashkesia e rezultateve te mundshme (mostrave)(ang.outcomes). Fig.1

5 Probabiliteti Ky eksperiment dhe shumë eksperimente te tjera, ne fakt, paraqesin një lojë fati (bixhoz).Pikërisht lojërat e fatit dhe disa procese të tjera nga jeta ishin ato të cilat i nxitën matematikën që të merren me to dhe të shfrytezojnë njohuritë matematike per studimin e tyre.Themelues te kësaj teorie konsiderohen matematikanet francezë B.Pascal ( ) dhe P.Fermat ( ).Më vonë, me këtë teori u morën edhe shumë matematikanë te tjerë,kryesisht francezë se Laplace, S.Poisson ( ), G.Bayes ( ),A. De Moivre,Gauss,Bernoulli etj.Disa prej tyre e shfrytëzojne këte teori per studimin e lojrave te ndryshme te fatit

6 Probabiliteti Pra probabiliteti bën matjen e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen.Probabiliteti mund të marrë vlera vetëm në mes 0 dhe 1. Fjala probabilitet rrjedh nga fjala frenge probabilite,që d.m.th shkallë e besushmëris që një ngjarje te ndodh.

7 Probabiliteti P.sh na është bërë e zakonshme përdorimi i shprehjes si: ...gjasa qe nesër te jete kohë me diell është rreth 80%;kam gjasë te lartë qe ta kaloje provimin e matematikës,sepse kam arritur t’i ushtroj rreth 90% të detyrave të përmbledhjes prej së cilës profesori i zgjedh detyrat e provimit;gjasa që të fitoj 7-she ne Lotarinë e Kosoves 7/39 është shumë e vogël edhe pse i kam paguar 1000 tiketa;gjasa qe dy persona te zgjedhun ne menyre te rasishme të kenë datëlindjen e njetë është e vogël,ndërsa ajo që të kenë datëlindjen të ndryshme është mjaf e lartë etj etj.

8 Probabiliteti T’i kthehemi shembullit të hedhjes së monedhës metalike.Nëse me shënojmë bashkësinë e rezultateve të mundhshme, atëherë = H T Fig.2 (Pika shënon fillimin e eksperimentit).Meqë = 2, gjasa që të kemi H(oseT) është 1/2 .Po nëse i hedhim dy monedha në të njejtën kohë,atëherë do të kemi bashkësinë Ω = (HH, HT, TH, TT﴿,(shih diagramin e pemës fig.4.3).Atëherë gjasa që gjatë hedhjes së njëkohësishme të monedhave metalike në ajër në të dy monedhat të marrim H(T), është e barabartë me 1/4 , ndërsa gjasa që të paktën një herë të kemi H, është 3/4.

9 Probabiliteti Nëse e hedhim një monedhë metalike tri herë radhazi dhe rezultatet e fituara i evidencojmë, nga diagrami i pemës lehtë mund të caktojmë bashkësinë :Ω = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) e të gjitha rasteve të mundshme, H T H T prej nga shihet se = 8 = . Atëherë gjasa që gjatë këtyre tri hedhjeve të paktën dy herë të kemi H, është e barabartë me 4/8 =1/2 , ndërsa gjasa që vetëm një herë të kemi H, është 3/8 . Fig.3 Fig.4

10 Probabiliteti Loja mos u zemëro njeri,ështe mjaft e popullarizuare dhe te ne.Ajo luhet me ndihmën e nje kubi te vogel mbi faqen e të cilit janë shënuar me radhë pika.Ky kub quhet zar (fig 4.5) dhe ai hidhet nga lojtarët dhe lëvizja e figurës bëhet për aq vende(pozicione) sa ështe numri i pikave në faqën e siperme të kubit. Fig.5

11 Probabiliteti Nëse hedhim një herë zarin,bashkësia e te gjithë numrave të pikave të mundshme (mostrave) që mund te bien ne faqen e siperme te zarit,është Ω={1,2,3,4,5,6}.Gjasa që gjatë një hedhje te zarit të kemi 6 pika në faqen e siperme ështe e barabart me atë që të marrin 5,ose 4,ose3,ose 2,ose1 dhe e barabart me 1/6.Por gjasa që te kemi 7pika ne faqen e siperme është 0, sepse kjo eshte nje ngjarje qe nuk mund te ndodh ( e pamundshme). Nese dy zare i hedhim njekohësisht,bashkësia Ω do të jete: Ω={(1,1),(1,2),…(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…(6,1),…,(6,6)}. Vërejmë se bashkesia Ω ka gjithsej 36 elemente,d,m,th.gjatë këtij eksperimenti kemi gjithsej 36 rezultate të mundshme.Prandaj gjasa që ne dy faqet e zareve të paraqitet numër I njejtë I pikave është 6/36=1/6.

12 Probabiliteti Shembull: Në një klasë me 32 nxënës të gjimnazit “Frang Bardhi” nga Mitrovica, nga lënda e matematikës janë përfunduar notat si në tabelë: Nota 5 4 3 2 1 Gjithsej Numri I nx 4 8 12 6 2 36 Të njejten klasë e viziton drejtori I shklollës dhe e zgjedh ne menyre të rasishme një nxënes që ta përfaqësoj shkollën e tyre në garat komunale të shahut për nxenes te shkollave te mesme. Atëhere sa ështe gjasa që ai nxënës të kete notën 5 (4) nga lënda e matematiës?

13 Probabiliteti Zgjidhje; Që të zgjidhim këtë problem,duhet të pergjigjemi ne pyetjet që vijojnë: 1)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjejdhë një nxënes të vetëm nga klasa me 32 nxënës.Sigurisht në 32 mënyra. 2)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjedh një nxënës të vetëm nga grupi i nxënësve që kanë note 5(4) nga matematika? Sigurisht në 4(8)mënyra. Prandaj gjasa që nxënesi zgjedhur te kete note 5 nga matematika, është:

14 Probabiliteti 1 1/16 6/16 3/8 1/4 1/8 Gjasa 32 2 6 12 8 4 Numri I nx.
Gjithsej 3 5 Nota

15 Probabiliteti Hedhja e monedhës metalike në ajër,e zarit, apo zgjedhja e nje nxënësi nga klasa, janë eksperimente.Përsëritja e një eksperimenti quhet provë.Rezultatet e mundshme gjatë një prove quhen mostra (efekte të dukshme)(ang. Outcomes).Bashkesia e te gjitha mostrave të mundshme (rezultate te mundshme ) gjatë një prove të një eksperimenti,quihet hapsirë e te gjitha mostrave te mundshme (ang.sample space),të cilen do ta shenojme me Ω. Bashkesia njëpikëshe {},ku do t’i quajmë ngjarje elementare, ndërsa çdo nënbashkësi A e bashkësisë quhet ngjarje.

16 Probabiliteti Ngjarjet i kemi klasifikuar në tri grupe:
1) Ngjarje e thjeshtë – Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një karakteristikë. P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit 2) Ngjarje komplementare e A (e shënuar ~A) – Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A. P.sh.Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit. 3) Ngjarje e përbashkët – Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që parqiten njëkohësisht. P.sh.,Një As që nuk është gjithashtu I kuq

17 Probabiliteti Koncepti e frekuencave relative/koncepti empirik
Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese të kohës ngjarja ka ndodhur në të kaluarën. Numri I ngjarjeve që kanë ndodhur në të kaluarën Probabiliteti i një ngjarje = Numri total i vrojtimeve

18 Probabiliteti P(A)=200/1000=0.2
Shembull.Përgjatë karrierës prof.Rahmije ka shpërblyer 200 studentë me notën (10) nga 1000 studentë sa ajo i ka mësuar.Sa është probabiliteti që studenti në departamentin e saj në këtë semestër do të marrë 10 ? Zgjidhje.Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti për një (10) është : P(A)=200/1000=0.2

19 Probabiliteti Probabiliteti subjektiv
Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të veçanta. Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon: Vlerësimi I probabilitetit se vitin e ardhshë do të kemi kushte më të mira në fakultetin tonë. Vlerësimi I probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj.

20 Rregullat e probabilitetit
Aditive (të mbledhjes) Rregullat e Multiplikatorit(të shumëzimit Rregullat Plotësuese komplementare Rregulla e veçantë Rregulla e përgjithshme Rregulla e veçantë Rregulla e përgjithshme

21 Probabiliteti Rregullat aditive (të mbledhjes)
Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. P(A ose B)=P(A)+P(B)

22 Probabiliteti Arritja Frekuenca Herët 100 Në kohë 800 Vonë 75 Anuluar
Shembull. Stacioni I autobusëve ka marrë informata për udhetimet nga Prishtina në Mitrovicë Arritja Frekuenca Herët 100 Në kohë 800 Vonë 75 Anuluar 25 Gjithsej 1000

23 Probabiliteti Nëse A është ngjarja se udhetmit arrin herët, atëherë probabiliteti : P(A)=100/1000=0.1 Nëse B është ngjarja se udhetimi do të arrijë vonë, atëherë : P(B)=75/1000=0.075 Probabiliteti se autobusi do të vijë herët ose do të arrijë vonë është: P(AoseB)=P(A)+P(B)= =0.175

24 Probabiliteti Rregulla plotësuese/komplementare
Provat e një eksperimenti mund të ndahen në dy klasë(bashkësi):SUKSESE (rezultatet të dëshiruara-mostrat e favorshme) dhe në atë të DËSHTIMEVE(rezultatet jo të dëshiruara-mostrat e disfavorshme). Nëse ngjarja A mund të ketë sukses(realizohet) në s-mënyra ndërsa të dështojë në d-mënyra, probabiliteti që ngjarja A të realizohet (të mos realizohet) është :

25 Probabiliteti Ngjarja e cila nuk mund të dështojë ka probabilitetin 1, ndërsa ngjarja e cila nuk mund të realizohet ka probabilitetin 0 Nga barazimi i fundit marrim se P(s)=1-P(d), respektivisht P(d)=1-P(s). Probabiliteti P(s) e P(d) quhen komplemente të njëri tjetrit.Barazimet e fundit janë shumë të dobishme,veçanërisht kur është vështirë të llogaritet njëri probabilitet, ndërsa komplementi I tij jo.

26 Probabiliteti Shembull. Në një paketë ndodhen 3 fjalorë, 7 libra të matematikës dhe 11 romane.Sa është probabiliteti që një libër i nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga paketa të jetë roman (fjalor, libër i matematikës)?

27 Probabiliteti Zgjidhja. Le të jetë :
P(roman)=Probabiliteti që libri të jetë roman Meqenëse zgjedhjen e një romani mund ta bëjmë në 11 mënyra, d.m.th. s=11, ndërsa zgjedhjen e një libri tjetër (jo roman) mund ta bëjmë në 3+7=10 mënyra d.m.th. d=10. Atëherë :

28 Probabiliteti Rregulla plotësuese/komplementare – përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga1. Nëse P(A) është probabiliteti I ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë P(A)+P(~A)=1 ose P(A)=1-P(~A)

29 Probabiliteti Rregulla aditive e përgjithshme
Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprokisht përjashtuese, atëherë, P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese: P(A ose B)=P(A)+P(B)-P(A dhe B)

30 Probabiliteti Shembull.Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë PC, 175 kanë thënë se kanë Llap top dhe 100 kanë thënë se i kanë te dyja : PC 320 Bashkë 100 Llap top0175

31 Probabiliteti Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm PC, vetëm Llap Top dhe të dyja PC dhe Llap top? P(PC)=320/500=0.64 P(LLT)=175/500=0.35 P(PC dhe LLT)=100/500=0.20 Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu PC ose Llap top në shtëpinë e tij? P(PC ose LLT)=P(PC)+P(LLT)-P(P-LL)= =0.79

32 Probabiliteti Rregulla e veçantë e multiplikatorit
Rregulla e veçantë e mulltiplikatorit kërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë të pavarura. Dy ngjarje A dhe B janë të pavaruara në se nodhja e njërës nuk ka efekte në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Rregulla e veçantë e multiplikatorit është: P(A dhe B)=P(A)*P(B)

33 Probabiliteti Shembull. Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra.Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5.Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7. Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të rritet vitin e ardhshëm? P(A dhe B)=(0.5)(0.47)=0.35

34 Probabiliteti Sa është probabiliteti që së paku njëra prej tyre do të rritet në vlerë gjatë vitit të ardhshëm(kjo nënkupton se njëri do të rritet ose te dyja)? Kështu, P(së paku një)=(0.5)(0.3)+(0.5)(0.7)+(0.7)(0.5)=0.84

35 Probabiliteti Regulla e përgjithshme e multiplikatorit
Regulla e përgjithshme e multiplikatorit perdoret për të gjetur probabilitetin e perbashket se dy ngjarje qe do te ndodhin dhe definohen kësisoji:Pë dy ngjarje A dhe B,probabiliteti I perbashket se të dy ngjarjet do te ndodhin gjindet përmes shumëzimit te probabilitetit se ngjarja A do te ndodhë me probabilitetin e kushtezuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.