مدرسة الروضة الثانوية بنات القيم القصوى ( العظمى / الصغرى ) للدوال

Παρουσίαση με θέμα: "مدرسة الروضة الثانوية بنات القيم القصوى ( العظمى / الصغرى ) للدوال"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 مدرسة الروضة الثانوية بنات القيم القصوى ( العظمى / الصغرى ) للدوال
قسم الرياضيات وزارة التربية منطقةالعاصمةالتعليمية مدرسة الروضة الثانوية بنات يقدم ورشة عمل في القيم القصوى ( العظمى / الصغرى ) للدوال الصف الثاني عشر علمي إعداد تقديم أ / وداد حسن البحيري أ / نهي محمد فتحي مديرة المدرسة رئيسة القسم الموجـــهه الفنيه أ / فاطمة علي أ / طاهرة محمد أ / رضية القطان

2 مشروع الوحدة الهدف مقدمة المشروع اللوازم
1 فرضنا أنه لا يوجد مكان مخصص في إحدى السيارات لوضع كوب يحتوي على القهوة , وسوف يوضع بجانب مقعد السائق أثناء القيادة. أظهرت التجربة أن الكوب قابل للانسكاب عندما يكون مليئا بالكامل. ويصبح أكثر ثباتا كلما تناقصت منه القهوة. الهدف 2 تحديد أقصى إرتفاع لكمية القهوة كي لا تنسكب من الكوب أثناء قيادة السيارة. اللوازم 3 ورق رسم بياني , آلة حاسبة علمية , حاسوب , جهاز اسقاط.

3 مشروع الوحدة أسئلة حول التطبيق
4 يبين الرسم المقابل أن جزءا من الكوب يحتوي على القهوة . سوف نفترض أن الكوب يكون أكثر ثباتا عندما تكون نقطة الارتكاز المشتركة للكوب وكمية القهوة هي في أدنى إرتفاع. y= ارتفاع مستوى القهوة في الكوب cm H= ارتفاع الكوب cm B= سماكة القاعدة cm R= نصف قطر الدائرة الداخلية من الكوب cm T= سماكة الجوانب cm R+T= نصف قطر الدائرة الخارجية من الكوب cm

4 مشروع الوحدة اذا علمت أن :
نقطة ارتكاز المجسم الاسطواني هي نقطته المركزية الهندسية حيث أن إحداثها الصادي y يمكن أن يعطى بالقاعدة : y = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 m 1 + m 2 + m 3 اذا علمت أن : (كتلة قاعدة الكوب) , m 1 = ﺐδ ( R + T ) 2 B y 1 = - ـــــــــت B 2 ( الاحداثي الصادي لنقطة ارتكاز القاعدة) (كتلة جوانب الكوب) , m 2 = ﺐδ ( R + T ) 2 H - ﺐδ R 2 H y 2 = ـــــــــت H 2 ( الاحداثي الصادي لنقطة ارتكاز جوانب الكوب) (كتلة القهوة في الكوب) , m 3 = ﺐδ R 2 y y 3 = ـــــــــت y 2 ( الاحداثي الصادي لنقطة ارتكاز القهوة )

5 مشروع الوحدة ` (y) ƒ (y) ƒ
إحسب قيم m 1 , m 2 , m 3 بدلالة B و y و H و T و R a ( إرشاد : m = δ V حيث δ كثافة مشتركة للقهوة والمادة المصنوع منها الكوب ) أوجد y بدلالة B و y و H و T و R b إذا كان: H = 8 cm , R = 3 cm , T = 0.5 cm , B = 1 cm c اثبت أن: (y) ƒ = y = ــــــــــــــــــــ y y ; 0 ﲨ y ﲨ 8 (y) ƒ 2 y y – 43.5 ( 2y ) 2 = ________________ ` اثبت أن مشتقة (y) ƒ هي : d

6 مشروع الوحدة التقرير ما القيمة المحلية الصغرى ؟ فسر .
5 التقرير 6 اكتب تقريرا يبين نتائج بحثك . أشر الى كيفية الاستفادة من مفاهيم التفاضل في عملك . دعم التقرير بالرسوم البيانية وبعرض على جهاز الاسقاط . طبق ما توصلت إليه على كوبك المفضل في احتساء القهوة.

7 سوف تتعلم المفردات والمصطلحات
القيم القصوى المطلقة القيم القصوى المحلية إيجاد القيم القصوى المفردات والمصطلحات Extreme Value قيمة قصوى Absolute Extreme Value قيمة قصوى مطلقة Absolute Maximum Value قيمة عظمى مطلقة Absolute Minimum Value قيمة صغرى مطلقة Local Extreme Value قيمة قصوى محلية Critical point نقطة حرجة

8 القيم القصوى ( العظمى / الصغرى للدوال ) Extreme Values of Functions
دعنا نفكر ونناقش في الشكل المقابل MBQR , AMNP مربعان فيهما AM = x , M AB , AB= 6 cm ﻱ نريد معرفة موقع M بحيث يكون مجموع مساحتي المربعين أصغر ما يمكن. P N A M B Q R أوجد مساحة كل من المربعين. 1 ماذا تمثل s(x) = 2X 2 – 12 x ؟ a 2 أكمل الجدول : b 2 4 6 X 12 18 24 30 36 Y 6 5 4 3 2 1 X 36 26 20 18 S(X) لأي قيمة للمتغير X في الجدول تكون قيمة S(X) الأصغر ؟ c أثبت أن S(x) – S(3) ≥ 0 لكل قيم X على الفترة ( 0 , 6 ) a 3 إستنتج موقع M b

9 القيم القصوى Extreme Values
ويتضح أن للدالة S قيمة صغرى عند X= 3 وتسمى أيضا قيمة قصوى وفي هذه الحالة 2 4 6 X 12 18 24 30 36 Y شكل (1) بيان الدالة S S(X) ≥ S(3) لكل X تنتمي إلى مجال S في هذا الدرس سنتعرف على القيم القصوى والتي يمكن أن تكون القيمة الأصغر أو القيمة الأكبر للدالة مستعينين بدراسة إشارة مشتقة الدالة.

10 تعريف (1) : القيم القصوى المطلقة
إذا كانت ƒ دالة مجالها D , C D , فإن (c) ƒ تسمى : ﻱ قيمة عظمى مطلقة للدالة ƒ على D عندما : 1 2 3 4 x y قيمة عظمى مطلقة قيمة صغرى مطلقة D x ﲝ ﻱ ƒ , (x) ƒ ≥ (c) ƒ 2) قيمة صغرى مطلقة للدالة ƒ على D عندما : ƒ D x ﲝ ﻱ , (x) ƒ ≤ (c) ƒ القيم العظمى المطلقة والقيم الصغرى المطلقة تسمى القيم القصوى المطلقة. تسمى القيم القصوى المطلقة بالقيم القصوى أي أننا نكتفي بالقول قيمة عظمى أو قيمة صغرى . قد يكون للدالة قيم قصوى مختلفة وذلك بحسب مجالها

11 مثال (1) (x) ƒ لتكن الدالة : ƒ : D R حيث = x
2 (x) ƒ أوجد إن أمكن القيم القصوى للدالة ƒ مع رسم بيانها عندما : a D = ( - ∞ , ∞ ) b D = ( 0 , 2 ] c D = [ 0 , 2 ] d D = ( 0 , 2 )

12 الحل (∞ , ∞- ) a b القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ على الدالة D المجال D
بيان الدالة x2= (x) ƒ 1 x y 2 3 4 -1 (∞ , ∞- ) لا توجد قيمة عظمى مطلقة. توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي 0 عند x = 0 a x -1 1 2 3 4 y ( 0 , 2 ] توجد قيمة عظمى مطلقة تساوي 4 عند x = 2 لا توجد قيمة صغرى مطلقة b

13 الحل c d القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ على الدالة D المجال D
بيان الدالة x2= (x) ƒ y x -1 1 2 3 4 c [ 0 , 2 ] توجد قيمة عظمى مطلقة تساوي 4 عند x = 2 توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي 0 عند x = 0 x -1 1 2 3 4 y d ( 0 , 2) لا توجد قيم قصوى مطلقة.

14 حاول أن تحل a ( - ∞ , ∞ ) [2 , 3 ] b ( 1 , 3 ) c [ 3 , 4 ) d
الشكل يمثل بيان y = x2 – 4x أوجد القيم القصوى للدالة على المجالات التالية: x -1 1 2 3 y 4 a ( - ∞ , ∞ ) b [2 , 3 ] c ( 1 , 3 ) d [ 3 , 4 )

15 الحل (∞ , ∞ -) a b القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ على الدالة D المجال D
بيان الدالة x2 – 4x + 3 = (x) ƒ x -1 1 2 3 y 4 (∞ , ∞ -) لا توجد قيمة عظمى مطلقة. توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي -1 عند x = 2 a x -1 1 2 3 y 4 [ 2 , 3 ] توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي -1 عند x = 2 وتوجد قيمة عظمى مطلقة تساوي 0 عند x = 3 b

16 الحل c d القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ على الدالة D المجال D
بيان الدالة x2 – 4x + 3 = (x) ƒ x -1 1 2 3 y 4 c ( 1 , 3 ) توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي -1 عند x = 2 لا توجد قيمة عظمى مطلقة d x -1 1 2 3 y 4 [ 3 , 4 ) توجد قيمة صغرى مطلقة تساوي 0 عند x = 3 لا توجد قيمة عظمى مطلقة

17 نظرية (1): نظرية القيمة القصوى
يتضح مما سبق أن الدالة قد لا تكون لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى. وهذا لا يحدث مع الدوال المتصلة على فترات مغلقة. نظرية (1): نظرية القيمة القصوى إذا كانت ƒ دالة متصلة على فترة مغلقة [ a,b ] فإن ƒ تكون لها قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على هذه الفترة. ملاحظة: لتكن الدالة ƒ معرفة على[ a , b ] , C ( a , b )فإننا نسمي : ﻱ 1- (a, ƒ(a)) , (b, ƒ(b)) نقاط طرفية. 2- (c, ƒ(c ) ) نقطة داخلية.

18 للدالة قيمة عظمى ƒ (x 1) عند x=x 1
الأشكال التالية تمثل بعض الحالات لقيم عظمى وقيم صغرى لدوال متصلة على فترات مغلقة [ a,b] : y a b x (x 1, ƒ(x 1)) x 1 x 2 (x 2, ƒ(x 2)) شكل (3) للدالة قيمة عظمى ƒ (x 1) عند x=x 1 وللدالة قيمة صغرى ƒ (x 2) عند x=x 2 وهذه القيم عند نقاط داخلية y a b x (b, ƒ(a)) (a, ƒ(a)) شكل (4) للدالة قيمة عظمى ƒ (a) عند x=a وللدالة قيمة صغرى ƒ (b) عند x=b وهذه القيم عند نقاط طرفية

19 الأشكال التالية تمثل بعض الحالات لقيم عظمى وقيم صغرى لدوال متصلة على فترات مغلقة [ a,b] :
y a b x (x 1, ƒ(x 1)) x 1 y= ƒ(x) (a, ƒ(a)) شكل (5) للدالة قيمة عظمى ƒ (x 1) عند x=x 1 وللدالة قيمة صغرى ƒ (a) عند x= a القيمة العظمى عند نقطة داخلية والقيمة الصغرى عند نقطة طرفية y a b x (b, ƒ(b)) x 1 y= ƒ(x) (x 1, ƒ(x 1)) شكل (6) للدالة قيمة عظمى ƒ (b) عند x=b وللدالة قيمة صغرى ƒ (x 1) عند x= x 1 القيمة العظمى عند نقطة طرفية والقيمة الصغرى عند نقطة داخلية

20 ﲝ ﲝ القيم القصوى المحلية Local Extreme Values
تعريف (2) : القيم القصوى المحلية لتكن (c, ƒ(c)) نقطة داخلية للدالة ƒ , D فترة مفتوحة تحوي C , تكون ƒ(c) : D X ﲝ ﻱ , (x) ƒ ≥ (c) ƒ 1- قيمة عظمى محلية عند C عندما : D X ﲝ ﻱ , (x) ƒ ≤ (c) ƒ 2- قيمة صغرى محلية عند C عندما :

21 القيم القصوى المحلية y a c e d b x
لا توجد قيمة للدالة ƒ اكبر منها وهي ايضا عظمى محلية (c) ƒ قيمة عظمى محلية لا توجد قيمة للدالة ƒ اكبر منها وقريبة y= ƒ(x) (e) ƒ قيمة صغرى محلية (a) ƒ قيمة صغرى مطلقة لا توجد قيمة للدالة ƒ اصغر منها لا توجد قيمة للدالة ƒ اصغر منها وقريبة a c e d b x شكل (7) يبين الشكل (7) رسما بيانيا له أربع نقاط حيث الدالة عندها قيم قصوى على مجالها [a,b] تقع القيمة الصغرى المطلقة للدالة عند a وهي (a) ƒ , في حين أن قيمة الدالة عند e أصغر من أي قيمة قريبة منها سواء من جهة اليمين أو اليسار ولذلك تسمى قيمة صغرى محلية.

22 تعريف ( 3 ) النقطة الحرجة Critical Point
يرتفع المنحنى ناحية اليسار وينخفض ناحية اليمين حول النقطة c , محدثا قيمة عظمى محلية قدرها (c) ƒ في حين ان الدالة لها قيمة عظمى مطلقة عند d. نقاط المجال الداخلية التى تكون المشتقة عندها تساوي الصفر أو المشتقة عندها ليست موجودة . سنطلق عليها تسمية خاصة كما في التعريف التالي: تعريف ( 3 ) النقطة الحرجة Critical Point ` النقطة الداخلية للدالة ƒ ( (c) ƒ , c ) تسمى نقطة حرجة عندما=0 (c) ƒ أو (c) ƒ غير موجودة. ملاحظة : يسمى العدد c العدد الحرج.

23 ة مثال (2) أوجد النقاط الحرجة لكل من الدوال المتصلة التالية: a
g(x) = X – 3 X + 5 3 2 a ƒ(x) = ة X , x ﻰ 1 3X - 1 , x ≥ 1 b

24 الحل ﺇ ` ` g دالة كثرة حدود معرفة على R وقابلة للاشتقاق على R a
g(x) = X – 3 X + 5 3 2 g (x) = 3 x 2– 6 x ` g (x) = 0 ` نضع 3 x 2 – 6 x = 0 3 x (x-2) = 0 X=0 , x=2 g(0) = 5 , g(2) = (2) 3 – 3(2) 2 +5 = 1 ﺇ النقطتان (2,1) , (0,5) نقطتان حرجتان للدالة g على مجالها

25 ة ة الحل ` ƒ(x) = 2X : x ﻰ 1 3 : x آ1 تبحث : x = 1
b ƒ(x) = ة 2X : x ﻰ 1 : x آ1 تبحث : x = 1 ` نبحث الاشتقاق عند x=1 ƒ (1) = 3(1) – 1 = 2

26 الحل ﺇ ﺇ ` ` ` ` ` ` ƒ (1) = lim __________ ƒ(1+h) – ƒ(1) -
1+2h+h h = = lim __________ h 0 + 3+3h – 3 h lim __________ h 0 - h(2+h) h = = lim ____ h 0 + 3 h h lim h 0 - = 2 + h = 2 = lim h 0 + 3 =3 ƒ (1) = 2 - ` ﺇ ƒ (1) = 3 + ` ﺇ

27 ﲝ الحل ﺇ ﺇ ƒ (1) ليست موجودة. ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ ` ` ` ` ` ƒ (1) ﻵ - ƒ (1) +
ƒ (1) ﻵ - ` ﺇ ƒ (1) + الحل ﺇ ƒ (1) ليست موجودة. ` النقطة (1,2) نقطة حرجة. ﺇ ƒ (x)= , 3 ﻵ0 ` ﻱ ﲝ X (1 , ∞ ) , ƒ (x) ﻵ0 ` ﺇ لا توجد نقاط حرجة على هذه الفترة ﺇ ƒ (x)=0 : x ﻰ1 ` 2x = x = 0 للدالة نقطة حرجة عند x = 0 ƒ (0)=( 0 ) = 1 النقطة ( 0 , 1 ) نقطة حرجة. ﺇ النقاط الحرجة للدالة ƒ(x) هي (1 , 2 ) , ( 0 , 1 ) ﺇ

28 حاول أن تحل أوجد النقاط الحرجة لكل من الدوال المتصلة التالية : a
ƒ (x) = x x x b ƒ (x) = | x – 5 |

29 الحل ﺇ ƒ (x) = x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 + 10 ` ` 4x 3 - 12 x 2 - 16 x = 0
a ƒ (x) = x x x ƒ دالة كثيرة حدود معرفة على R وقابلة للاشتقاق على R ƒ (x) = 4x x x ` ƒ (x) = 0 نضع ` 4x x x = 0 4x ( x x - 4 ) = 0 4x ( x – 4 ) ( x + 1 )= 0 X = 0 , x = 4 , x = -1 , ƒ (-1) = 7 ƒ (0) = 10 , ƒ (4) = - 118 النقاط الحرجة هي : ﺇ ( 0 , 10 ) , ( 4 , ) , ( -1 , 7 )

30 ة ة الحل b ƒ (x) = | x – 5 | ` ƒ دالة متصلة على R ƒ(x) = X - 5 : x ≥ 5
ƒ (5) = 0

31 الحل ﺇ ﺇ ` ` ` ` ` ` ƒ (x) = lim ________ ƒ(x) – ƒ(5)
- ƒ(x) – ƒ(5) X - 5 ƒ (x) = lim ________ ` x 5 + ƒ(x) – ƒ(5) X-5 ƒ (x) = lim ________ ` x 5 - -(x - 5) - 0 X - 5 ƒ (x) = lim ________ ` x 5 + X – X - 5 lim x 5 - = ( -1 ) = -1 = lim x 5 + (1 ) = 1 ƒ (5) = -1 - ` ﺇ ƒ (5) = 1 + ` ﺇ

32 الحل ﲝ ﲝ ﺇ ﺇ ƒ (5) ليست موجودة. ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ ` ` ` ` ` ƒ (5) ﻵ - ƒ (5)
ƒ (5) ﻵ - ` ﺇ ƒ (5) + الحل ﺇ ƒ (5) ليست موجودة. ` النقطة (5 , 0 ) نقطة حرجة. ﺇ ƒ (x)= 0 ` لإيجاد باقي النقاط الحرجة نضع : ƒ (x)= 1 , 1 ﻵ0 ` ﻱ ﲝ X (5 , ∞ ) ﺇ لا توجد نقاط حرجة على هذه الفترة ﺇ ƒ (x)= , -1 ﻵ0 ` ﻱ ﲝ X (- ∞, 5 ) ﺇ لا توجد نقاط حرجة على هذه الفترة ﺇ النقطة الحرجة هي ( 5 , 0 ) ﺇ

33 وبالعودة إلى الشكل (7) : x b e d c a (d) ƒ قيمة عظمى مطلقة لا توجد قيمة للدالة ƒ اكبر منها وهي ايضا عظمى محلية (c) ƒ قيمة عظمى محلية لا توجد قيمة للدالة ƒ اكبر منها وقريبة (a) ƒ قيمة صغرى مطلقة لا توجد قيمة للدالة ƒ اصغر منها (e) ƒ قيمة صغرى محلية لا توجد قيمة للدالة ƒ اصغر منها وقريبة y y= ƒ(x) شكل (7) نجد أن النقاط الحرجة تكون عند x = c , x = e لأن المشتقة عند كل منهما تساوي الصفر ( لماذا )؟ وكذلك توجد نقطة حرجة عند x = d لأن المشتقة عندها ليست موجودة ( لماذا ) ؟

34 نظرية ( 2 ) القيم القصوى المحلية
إذا كانت للدالة ƒ قيمة قصوى ( عظمى أو صغرى ) محلية عند x = c فإن (c, ƒ(c)) نقطة حرجة. إذا كانت (c, ƒ(c)) نقطة حرجة للدالة ƒ فليس بالضرورة أن تكون ƒ(c) قيمة قصوى محلية فمثلا : x 1 y -1 الدالة ƒ(x)= x 3 لها نقطة حرجة عند x = 0 ولكن ƒ(0) ليست قيمة قصوى محلية

35 خطوات إيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ في الفترة [ a , b ]
تعلمت كيفية إيجاد النقاط القصوى المطلقة للدالة ƒ من خلال التمثيل البياني لها وتطبيق تعريف (1) عليها. والآن سنعرض خطوات إيجادها جبريا على [ a , b ] : إيجاد قيم الدالة عند النقاط الطرفية x = a , x = b 1 2 إيجاد النقاط الحرجة للدالة ƒ في الفترة (a , b ) إن وجدت 3 أكبر قيمة للدالة في الخطوتين 1 , 2 هي قيمة عظمى مطلقة في [ a , b ] وأصغر قيمة للدالة هي قيمة صغرى مطلقة في [ a , b ]

36 مثال (3) أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة المتصلة ƒ: ƒ(x) = x 3 - 3x في الفترة [ 0 , 3 ] الحل نوجد قيم الدالة عند النقاط الطرفية x = 3 , x= 0 ƒ(0) = ( 0 ) 3 – 3 ( 0 ) + 1 = 1 ƒ(3) = ( 3 ) 3 – 3 ( 3 ) + 1 = 19 ƒ(x) = X3 – 3 X+ 1 ƒ (x) = 3 X2 – 3 ` ƒ (x) = 0 ` نضع 3 x2 – 3 = x2 = 3 X2 = 1 ﺇ X = , ( 0 , 3 ) ﻱ X = , ( 0 , 3 ) ﻳ

37 ƒ(1) = ( 1 ) ( 1 ) + 1 = 1 – = -1 ﺇ ( 1 , -1 ) نقطة حرجة. 3 1 X 19 -1 ƒ(x) من الجدول : أكبر قيمة للدالة ƒ في الفترة [ 0 , 3 ] هي 19 ﺇ 19 قيمة عظمى مطلقة أصغر قيمة للدالة ƒ في الفترة [ 0 , 3 ] هي -1 ﺇ -1 قيمة صغرى مطلقة

38 حاول أن تحل أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة ƒ : ƒ(x) = x3 – 3x + 1 في الفترة [-2 , 1 ]

39 الحل ﻳ ﻱ ` ` ﺇ ƒ(x) = x3 – 3x + 1 ƒ(-2) =(-2)3 – 3(-2) + 1 = - 1
ƒ(1) = 1 – = - 1 ƒ(x) =3x2 – 3 ` ƒ(x) =0 ` نضع 0 = 3 X2 – 3 X2 = 1 X = + 1 - X = 1 ( - 2 , 1 ) ﻳ X = - 1 ( - 2 , 1 ) ﻱ ƒ(-1) =(-1)3 – 3(-1) + 1 = 3 (-1,3) نقطة حرجة ﺇ

40 الحل ﺇ ﺇ من الجدول 1 -1 -2 X 3 ƒ(x)
اكبر قيمة للدالة f في الفترة [-2 , 1 ] هي 3 ) 3 ) هي القيمة العظمى المطلقة ﺇ اصغر قيمة للدالة f في [ -2 , 1 ] هي -1 (-1 ) هي القيمة الصغرى المطلقة ﺇ

41 مثال (4) أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة المتصلة ƒ : ƒ(x) = X في الفترة [-2 , 3 ] 2 3 ـــــ الحل نوجد قيم الدالة عند x = -2 , x = 3 ƒ(-2 ) = ( -2 ) = ( -2 ) 2 = ≈ 2 3 ـــــ √ ƒ( 3 ) = 3 = = ≈ 2.08 2 3 ـــــ √ 3 ƒ ( x ) = ـــــ X = ــــــــــــ 2 1 ــــ - √ x `

42 ` ﺇ لاحظ أن 0ﻵ ƒ (x) ولكن عند x = 0 المشتقة ليست موجوده ƒ ( 0 ) = 0
1 3 2 -1 y شكل ( 8 ) ( 0 , 0 ) نقطة حرجة. ﺇ 3 -2 X 2.08 1.587 ƒ(x) من الجدول : أكبر قيمة للدالة ƒ في الفترة [-2 , 3 ] هي 3 2 3 ـــــ 2 3 ـــــ ﺇ 3 قيمة عظمى مطلقة أصغر قيمة للدالة ƒ في الفترة [-2 , 3 ] هي 0 ﺇ 0 قيمة صغرى مطلقة

43 لاحظ أن: الشكل ( 8 ) يوضح التمثيل البياني للدالة ƒ في مثال ( 4 )
x 1 3 2 -1 y شكل ( 8 ) الشكل ( 8 ) يوضح التمثيل البياني للدالة ƒ في مثال ( 4 ) لاحظ أن: ƒ لها قيمة عظمى مطلقة مقدارها حوالى عند x = 3 ولها قيمة صغرى مطلقة مقدارها صفرعند x = 0

44 حاول أن تحل أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة : ƒ(x) = في الفترة [ 1 , 3 ] ـــــــ 1 X2

45 الحل ﻳ ` ` ` ﺇ ﺇ ﺇ ﺇ 1 1 ƒ(x) = ـــــــــ ƒ(1) = ـــــــــ = 1 X2 (1)2
ƒ(1) = ـــــــــ = 1 1 (1)2 ƒ(3) = ـــــــــ ــــــ = 1 (3)2 9 ƒ(x) = ــــــــــــــــ = ــــــــ -1 (2x) X4 -2 X3 ` ƒ(x) ﻵ0 ` غير موجودة عند x = 0 , ( 1 , 3 ) ƒ(x) ` ﻳ لا توجد نقاط حرجة للدالة f في الفترة ( 1 , 3 ) ﺇ أكبر قيمة للدالة f في الفترة [ 1 , 3 ] هي 1 ﺇ 1 هي القيمة العظمى المطلقة ﺇ أصغر قيمة للدالة f في الفترة [ 1 , 3 ] هي ـــ 1 9 ـــ هي القيمة الصغرى المطلقة 9 1 ﺇ

46 مثال ( 5 ) لتكن ƒ : ƒ(x) = x3 + ax2 + bx + 5 , a , b R ﻱ ـــ
1 3 أوجد قيمة كل من الثابتين a , b

47 ة ة الحل ƒ(x) = x3 + ax2 + bx + 5 ` ƒ (x) = 3X2 + 2aX + b ﺇ ﺇ `
ـــ للدالة قيم قصوى محلية عند : x = 1 , x = 1 3 ﺇ توجد نقاط حرجة للدالة عندهما وبالتالي: ﺇ ƒ (1) = 0 , ` ƒ (ــــ) = 0 1 3 نحصل على المعادلتين الآنيتين : ة 3 ( 1 ) a ( 1 ) + b = 0 3 ( ــــ ) a ( ــــ ) + b = 0 1 3 ة 2 a + b = - 3 ـــ a + b = ــــ- 2 3 1 إستخدم الآلة الحاسبة العلمية لإيجاد الحل a = - 2 , b = 1

48 حاول أن تحل لتكن ƒ : ƒ(x) = 2x3 + ax2 + bx + 1 , a , b R ﻱ

49 الحل a = - 3 b = - 12 ƒ(x) = 2x3 + ax2 + bx + 1 ` ` `
ƒ(-1) = 0 ` , ƒ( 2 ) = 0 ` 6( -1 )2 + 2a( - 1 ) + b = 0 6 – 2 a + b = 0 2 a – b = 6 1 6( 2 )2 + 2a( 2 ) + b = 0 a + b = 0 4a + b = - 24 2 1 2 بحل المعادلتين , نجد أن : a = - 3 b = - 12