تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي.

تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي

ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
فصل دوم: روابط و معادلات بنيادي و ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی

بخش اول : روابط و معادلات بنیادی
فصل دوم - بخش اول: روابط و معادلات بنيادي بخش اول : روابط و معادلات بنیادی 1 - مقدمه در بخش اول فصل پيشين، وضعيت تنش در نقطه اي اختياري (Arbitrary Point) از يك جسم كه تحت اثر نيروهايي قرار دارد، مورد بررسي و مطالعه قرار گرفت و ضمن استخراج تانسور تنش، خواص مختلف آن تشريح گرديد. در بخش دوم فصل پيشين، وضعيت كرنش (يا تغيير شكل نسبي) در نقطه اي اختياري مورد مطالعه قرار گرفت و اين در حالي بود كه اصولاً هيچ سؤالي در مورد علت ايجاد يا عامل بوجود آورنده تغيير شكل مطرح نگرديد. اساساً مسأله بررسي كرنش در نقطه اي دلخواه از يك جسم، يك مسأله صرفاً رياضي بود. اما واقعيت اين است كه تغيير شكل جسم به علت تحريك جسم توسط عاملي كه به آن كنش (Action) گفته مي شود، بوجود مي آيد. اين كنش ممكن است مستقيماً به صورت نيرو بوده و يا اينكه عاملي ديگر مانند درجه حرارت باشد كه در هر صورت علت پيدايش ميدان تنش است.

فصل دوم – بخش اول: روابط و معادلات بنيادي
يكي از قدم هاي اساسي در حل مسائل الاستيسيته، استخراج معادلاتي است كه اجزاء تانسور كرنش را به اجزاء تانسور تنش مربوط مي سازند. چنين معادلاتي كه ممكن است به عنوان تعميم قانون هوك به آنها توجه شود، به نام معادلات بنيادي (Fundamental Equations) خوانده مي شود. برای ارتباط تنش در یک نقطه در یک مصالح مادی با کرنش متناظر در آن نقطه، خواص مصالح (Material Properties) مورد نیاز می باشند. این خواص در معادلات بنیادی یا روابط تنش - کرنش به عنوان ضرایب مصالح (Material Coefficients) وارد می شوند. هدف در اين فصل بررسي اوليه معادلات بنيادي يا شناسايي روابط بين تنش و كرنش در مورد مصالح ارتجاعي ايزوتروپيك است تا با شناخت آنها كليه مقدمات لازم براي حل مسائل الاستيسيته فراهم شده باشد.

مبناي نظري استخراج روابط و معادلات بنيادي مذكور، قانون اول ترموديناميك (First Law of Thermodynamics) است. قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه مجموع كار انجام يافته در يك سيستم مكانيكي به وسيله نيروهاي خارجي و نيز گرمايي كه از بيرون به درون سيستم جريان مي يابد، برابر است با مجموع افزايش انرژي داخلي و افزايش انرژي جنبشي. به طور نمادين قانون اول ترموديناميك (كه در واقع بيان دقيق قانون بقاي انرژي است) به صورت زير بيان مي شود: كه در آن: كار انجام يافته در يك سيستم به وسيله نيروهاي خارجي، گرمايي كه به داخل سيستم جريان مي يابد، افزايش در انرژي داخلي، افزايش در انرژي جنبشي.

فصل دوم – بخش اول : روابط و معادلات بنيادي
2- انرژي كرنشي (ارتجاعي) در اجسام الاستيك هنگامي كه يك جسم الاستيك تحت اثر نيرو قرار مي گيرد، نه تنها در هر نقطه آن تنش ايجاد مي شود، بلكه اين نيروها باعث مي شود كه جسم تغيير شكل (Deformation) داده و وضعيت نقاط مختلف آن نسبت به يكديگر با وضعيت اوليه تفاوت كند. تغيير نقطه اثر نيروهاي اعمالي به سيستم باعث مي شود كه در هنگام اعمال اين نيروها مقداري كار انجام گيرد. كار مزبور كه توأم با تغيير شكل جسم در وضعيت تنش مي باشد باعث ذخيره مقداري انرژي به صورت انرژي ارتجاعي در جسم مي گردد. هرگاه رفتار جسم يك رفتار الاستيك باشد با حذف نيروهاي خارجي انرژي ارتجاعي نيز آزاد شده و هيچ نوع تغيير شكلي در جسم باقي نمي ماند. مطالعه در مورد انرژي ارتجاعي با بهره گيري از قانون اول ترموديناميك قابل درك بوده و فرموله كردن آن ممكن مي گردد.

براي اعمال قانون اول ترموديناميك يك جسمي را در نظر مي گيريم كه تحت اثر بارهاي وارده در حال تعادل است. جسم مذكور داراي حجم V و سطح بسته (Closed Surface) S است و نيروهاي وارد بر آن عبارتند از: نيروهاي سطحي (Surface Forces) که به وسیله توزیع تنش در سطح S نمایش داده می شود و نيروهاي حجمي (Body Forces) که به وسیله توزیع نیروهای حجمی در واحد حجم (يعني ) مشخص میشود. فرض بر اين است كه تغيیر مكان نقاط جسم معلوم است و به وسيله مؤلفه هاي تغيير مكان u و v و w در هر نقطه در راستاي مختصات دكارتي x و y و z مشخص مي شود. اكنون به هر نقطه اي از جسم، نموهاي بي نهايت كوچك به مؤلفه هاي تغيير مكان u و v و w كه با و و نشان داده مي شوند اعمال مي شود. مؤلفه هاي تنش در هر نقطه از جسم در اثر اعمال تغيير مكان هاي كوچك و و دست نخورده و ثابت در نظر گرفته مي شوند.

اين تغييرات تغيير مكان اختياري مي باشند، جز اينكه دو يا چند ذره نمي توانند نقطه يكساني را در فضا اشغال نمايند يا اينكه يك ذره منفرد نمي تواند بيش از يك نقطه در فضا را اشغال نمايد (به عبارت ديگر جسم پاره نمي شود). به علاوه، تغيير مكان هاي نقاط مشخصي (مانند شرايط تكيه گاهي) از پيش تعيين شده مي باشند. تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان هاي و و عبارتند از:

براي شرايطي كه جريان حرارت به داخل حجم V وجود نداشته باشد ( ) و نيز تعادل ايستايي ) )، قانون اول ترموديناميك بيان مي كند كه هنگام تغييرات تغيير مكان و و ، تغيير در كار نيروهاي خارجي برابر است با تغييرات انرژي داخلي : ساده تر خواهد بود كه به دو قسمت تقسيم شود: كار نيروهاي سطحي و كار نيروهاي حجمي

در نقطه P از سطح S، يك مساحت نموي ds را در نظر مي گيريم. بردار تنش كه در سطح ds عمل مي كند داراي سه مؤلفه و و مي باشد. نيروي سطحي مساوي است با حاصل ضرب مؤلفه هاي تنش و ds. كار نيز برابر است با مجموع كار اين نيروها در روي سطح S. از طرف ديگر مي دانيم كه:

بنابراين به صورت زير بدست مي آيد: براي يك عنصر حجمي بي نهايت كوچك dv، نيروي حجمي به وسيله حاصل ضرب dV و مؤلفه هاي نيروي حجمي در واحد حجم (يعني )مشخص مي شود. بنابراين داريم: انتگرال روي سطح (مربوط به نيروهاي سطحي) را مي توان با استفاده از قضيه ديورژانس به انتگرال روي حجم تبديل نمود.

طبق قضيه ديورژانس داريم: كه در آن n بردار يكه عمود بر سطح S و به سمت خارج در هر نقطه مي باشد كه به صورت زير نيز نمايش داده مي شود: اگر قضيه ديورژانس را به عبارت مربوط به اعمال كنيم خواهيم داشت:

با داشتن تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان و و و معادلات ديفرانسيل تعادل، رابطه نهايي زير براي به دست مي آيد: يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:

انرژي داخلي U براي حجم V بر حسب انرژي داخلي در واحد حجم كه چگالي انرژي داخلي ناميده مي شود بيان مي گردد. به عبارت ديگر داريم: تغيير انرژي داخلي به صورت زير در مي آيد: با توجه به قانون اول ترموديناميك داريم:

يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت: در حالت کلی می توان گفت که چگالی انرژی کرنشی تابعی است از نه مولفه تانسور کرنش. پس مي توان نوشت: بنابراین اگر تغییرات δu و δv و δw در تغییرمکان های u و v و w اعمال شوند، در این صورت مولفه های کرنش نیز تغییرات δexx و δeyy ... را به خود می گیرند و در نتیجه تغییر در چگالی انرژی کرنشی به صورت زیر در می آید:

با توجه به روابط استخراج شده و مقايسه آنها مي توان به صورت نماد انديسي نوشت:

3- رابطه تنش - كرنش در اجسام ارتجاعي خطي در حالت كلي تابع چگالي انرژي كرنشي ارتجاعي در اجسام ارتجاعي را مي توان با چند جمله اي درجه n از نشان داد. به عبارت ديگر داريم: كه در آن تعداد جملات درجه صفر، يك جمله و تعداد جملات درجه يك، نه جمله و... و تعداد جملات درجه n، مي باشد. مي توان نوشت:

از طرفي داريم: با فرض خطي بودن رابطه تنش و كرنش در تئوري الاستيسيته، رابطه مذكور به شكل زير درمي آيد: چون در تمامي اجسام ارتجاعي، هنگامي كه كليه مؤلفه هاي كرنش صفر باشند، تنش ها نيز مساوي صفر مي باشند، بنابراين ضرايب بايد مساوي صفر باشند. در اين صورت رابطه تنش و كرنش براي اجسام ارتجاعي خطي در نهايت به صورت زير به دست مي آيد:

و در اين حالت چگالي انرژي داخلي عبارت است از: بنابراين انرژي داخلي اجسام ارتجاعي خطي، تابع درجه دوم از كرنش مي باشد. در عبارت مربوط به ، در ضرايب ، چون هريك از انديس ها مي تواند سه مقدار داشته باشد، پس تعداد آنها 81 عدد مي باشد (تانسور از مرتبه 4). بنابراين برای تعیین رابطه بین تنش و کرنش در اجسام ارتجاعی، نیاز به شناسایی 81 ضریب بوده و بنابر این باید 81 آزمایش انجام گیرد. البته بعدا ثابت خواهد شد که با استفاده از تقارن تانسورهای کرنش و تنش و تانسور مشخصه مصالح ، این ضرایب به 21 تقلیل پیدا می کنند.

رابطه بين تنش و كرنش را مي توان به صورت ماتريسي زير نشان داد:

كه با نماد ماتريسي به صورت زير نشان داده مي شود: كه در آن ماتريس C ماتريس ضرايب مصالح يا ماتريس ضرايب الاستيك يا ماتريس مشخصه مصالح ناميده مي شود. چون تانسور تنش متقارن است به عبارت ديگر ، از اينرو داريم : چون دو رابطه مذكور به ازاي كليه مقادير كرنش ها صادق می باشند، از اينرو بايد داشته باشيم:

پس نتيجه مي گيريم كه در ضرايب ، زوج اول انديس ها خاصيت جابجايي دارند. بدين ترتيب تعداد 27 ضريب كاهش پيدا مي كند. از طرف ديگر چون تانسور كرنش متقارن است به عبارت ديگر ، از اينرو مي توان نوشت كه: به عبارت ديگر دومين زوج انديس ها نيز در ضرايب خاصيت جابجايي دارند. بدين ترتيب تعداد 18 ضريب ديگر كاهش مي يابد و در نهايت تعداد ضرايب به 36 عدد تقليل مي يابد.

اما مي توان نشان داد كه ماتريس C حاصل با 36 ضريب متقارن است. به عبارت ديگر دو زوج انديس هاي اول و دوم خاصيت جابجايي دارند. تقارن ماتريس ‍‍C را مي توان به صورت زير اثبات نمود: اما مي دانيم كه:

بدين ترتيب تعداد ضرايب ماتريس C به 21 كاهش مي يابد. چون مولفه های تانسورهای تنش و کرنش در یک نقطه یا نقاطی از جسم تابع جهت محورهای مختصات می باشند، ضرایب نیز تابعی از جهات محورهای مختصات بوده و می توان ثابت کرد که اگر محورهای مختصات جدید Ox'1 با کوسینوس های هادی n11 و n21 و n31 و Ox'2 با کوسینوس های هادی n12 و n22 و n32 و Ox'3 با کوسینوس های هادی n13 و n23 و n33 را در نظر بگیریم، در اين صورت ضرايب C در اين دستگاه مختصات جديد به وسيله رابطه زير بيان مي گردند (برای تانسور از مرتبه 4): یاد آوری می شود که برای تبدیلات برداری (تانسور از مرتبه اول) داریم: برای تبدیلات تانسور تنش و کرنش (تانسور از مرتبه دوم) نیز داریم:

4- اثر صفحات و محورهاي تقارن بر ضرايب در قسمت قبلي نشان داده شد كه در حالت كلي (يعني براي اجسام غير ايزوتروپيك كه در ساختمان داخلي آنها هيچ گونه تقارني مشاهده نمي شود)، مؤلفه هاي تنش توسط 21 ضريب برحسب كرنش بيان مي شوند. اكثر مواد داراي نوعي تقارن در ساختمان داخلي خود هستند و اين تقارن باعث تقليل تعداد ضرايب الاستيك ماده به كمتر از 21 مي گردد. در اين قسمت تقارن در ماده را مورد بررسي قرار مي دهيم تا روشن شود كه با توجه به نوع تقارن تعداد ضرايب الاستيك تا چه تعداد تقليل پيدا مي كند.

اجسام الاستيك را از نظر تقارن به سه نوع مي توان تقسيم بندي كرد: اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه، اجسام ارتوتروپيك با تقارن نسبت به دو سطح متعامد، - اجسام ايزوتروپيك با تقارن نسبت به دو محور متعامد (به بياني ديگر موادي كه داراي دو محور تقارن متعامد باشند، اين خاصيت را دارند كه ضرايب ارتجاعي آنها مستقل از محورهاي مختصات می باشند). مبنای تعیین اثر صفحات و محورهای تقارن برضرایب رابطه زیر است: اکنون به عنوان یک نمونه، حالت اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم.

الف) مواد مونوكلينيك رفتار اين مواد، داراي خاصيت تقارن نسبت با يك سطح با بردار يكه مشخص مي باشد. فرض مي كنيم كه رفتار ماده نسبت به يكي از سطوح محورهاي مختصات مثلاً سطح Ox1x2 متقارن مي باشد. اين تقارن بدين معني است كه با تغيير دادن محور Ox3 در خلاف آن، يا به عبارت ديگر تغيير محورهاي Ox1x2x3 بهOx1'x2'x3' مطابق شكل زير، تغييري در ضرايب ايجاد نمي گردد.

كوسينوس های هادی محورهاي جديد نسبت به قديم عبارتند از: (n11=1, n21=0, n31=0)و (n12=0, n22=1, n32=0) (n13=0, n23=0, n33= -1). با استفاده از رابطه تعيين به عنوان مثال بايد داشته باشيم: كه رابطه اش به ازاي كليه مقادير i و j و k و l صحت دارد. چون فقط سه مؤلفه كوسينوس هاي هادی مخالف صفر داريم. يعني1 n11 = و n22 =1 و1 -= n33. از طرف ديگر به عنوان مثال بايد داشته باشيم: كه غير ممكن است، چون:

بنابراين براي اينكه ضرايب تغيير نيابد، بايد بالاجبار مساوي صفر باشد. به همين ترتيب مي توان ثابت كرد كه و و و و و و بايد مساوي صفر باشند و در نتيجه ضرايب در اين حالت به 13 ضريب تقليل مي يابند:

اگر صفحه تقارن، سطح Ox2x3 باشد، مي توان با استدلالي مشابه به آنچه ارائه شد، نشان داد كه باز هم ضرايب به 13 ضريب تقليل مي يابد:

به همین ترتیب برای مواد ارتوتروپيك (تقارن نسبت به سطوح Ox2x3 و Ox1x2) خواهیم داشت:

ب) مواد ايزوتروپيك: مواد ايزوتروپيك موادي هستند كه خواص الاستيسيته آنها مستقل از جهات انتخاب شده براي تعريف اين خواص هستند. به عبارت ديگر مواد ايزوتروپيك داراي ضرايب ارتجاعي اند كه مستقل از جهت محورها مي باشد. به بياني ديگر موادي كه داراي دو محور تقارن متعامد باشند، اين خاصيت را دارند كه ضرايب ارتجاعي آنها مستقل از محورهاي مختصات می باشند. با تكرار استدلال هايي نظير آنچه كه آمد، مي بينيم كه در اين گونه مواد علاوه بر خاصيت تقارن نسبت به يك محور – مثلاً محور Ox3 – ، تقارن نسبت به محور Ox2 و Ox3 نتايج زير را به دست مي دهد:

بنابراين ضرايب ارتجاعي به دو عدد تقليل مي يابد:

5- نمايش هاي مختلف ضرايب ارتجاعي در مورد مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك ملاحظه نموديم كه مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك را مي توان با دو ضريب مشخص نمود. اين دو ضريب به سه صورت نمايش داده مي شوند: الف) ضرايب لامه اگر پارامترهاي را كه به ضرايب لامه معروف هستند، به صورت زير در نظر بگيريم:

در اين صورت خواهيم داشت: در اين صورت رابطه ماتريسي تنش – كرنش به صورت زير در خواهد آمد:

با استفاده از قرارداد انديس هاي تكراري، رابطه بين تنش و كرنش براي مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپیک به صورت زير نوشته مي شود: مي توان نشان داد كه رابطه زیر نیز برای رابطه تنش- كرنش صحيح است:

ب) ضرايب هوك - اگر درمورد اجسام ارتجاعي خطي ايزوتروپیک، به جاي ضرايب لامه از ضرایب E و ν به صورت زير استفاده كنيم: كه E را مدول ارتجاعي و را ضريب پواسون مي ناميم، در اين صورت روابط تنش-كرنش به صورت زير در خواهد آمد:

كه مي توان آن را با استفاده از قرارداد انديسي به صورت زير نیز نشان داد:

مي توان نشان داد كه رابطه تنش – كرنش زير نيز صادق است: لازم به ذكر است كه ضريب را مدول ارتجاعي برشي نيز مي نامند وآن را با G نشان مي دهند. روابط مذكور را قانون هوك تعميم يافته مي ناميم، زيرا حالت تعميم يافته حالت يك بعدي قانون هوك است كه با رابطه نمايش داده مي شود .

پ) مدول حجمي و مدول برشي در ابتدا لازم است كه تغيير حجم واحد حجم يا كرنش حجمي را تعريف نماييم. كرنش حجمي عبارت است از : اگر تنش هاي وارد بر جزئي از جسم به صورت هيدرواستاتيكي باشند، يعني:

در اين صورت با توجه به رابطه خواهيم داشت: با توجه به تعريف كرنش حجمی نتیجه مي شود كه: كه در آن k ضريب انبساط و انقباض حجمي و يا ضريب تغيير حجم ماده و یا مدول حجمی ناميده مي شود .

روابط تنش – كرنش را مي توان بر حسب دو ضريب k و G نيز تعريف كرد. داريم: و ، بنابراين خواهيم داشت:

ت) تعيين حدود ضرايب ارتجاعي ( ) اگر ميله باريكي از مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك را تحت اثر تنش كششي قرار دهيم، بايد طول آن زياد شود. يعني ، پس با توجه به روابط تنش – كرنش خواهيم داشت: پس ضريب ارتجاعي E همواره مثبت است. اگرجزء كوچكي از مصالح مذكور را تحت تنش هيدرواستاتيكي (كشش p>0) قرار دهيم بايد حجم آن زياد شود. يعني كرنش حجمي آن بايد مثبت باشد. به عبارت ديگر با توجه به روابط تنش - كرنش داريم:

و با توجه به رابطه خواهيم داشت : بديهي است كه اگر جسم تراكم ناپذير باشد، در اين صورت به ازاي كليه مقادير تنش هاي هيدرواستاتيك، در جسم تغيير حجمي رخ نمي دهد. يعني در اين صورت خواهيم داشت: در آزمايش برش مستقيم، جزئي از جسم را كه تحت اثر تنش هاي برشي قرار گرفته است، در نظر مي گيريم. فرض مي كنيم كه در اين صورت بديهي است كه خواهد بود. با توجه به روابط تنش- كرنش خواهيم داشت:

چون مي باشد و است پس بايد ولي در عمل مقادير ضريب پواسون منفي در طبيعت يافت نمي شود، بنابراين مي توان نوشت:

ث) روابط تنش – كرنش برحسب ضرايب ارتجاعي در دستگاه مختصات استوانه اي: درمختصات كروي نيز داريم :

6) چگالي انرژي كرنشي اجسام ارتجاعي خطي ايزوتروپیک برحسب ضرايب ارتجاعي - قبلاً نشان داديم كه و ، اما براي خود U0، يك ضريب را نيز وارد مي كنيم. به عبارت ديگر : برحسب ضرايب داريم:

از طرف ديگر برحسب ضرايب k و G داريم: از طرف ديگر با استفاده ضرايب لامه داريم:

كه از بسط نتيجه مي شود: از رابطه بالا نتيجه مي شود كه هميشه چگالي انرژي كرنشي و در نتيجه كل انرژي ذخيره شده در تمام اجسام مقداري مثبت است.

بخش دوم: ويژگي های مسائل تئوري ارتجاعي
فصل دوم - بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی بخش دوم: ويژگي های مسائل تئوري ارتجاعي 7) مسائل تئوري ارتجاعي الف) مقدمه - هنگامي كه صحبت از حل مسائل الاستيسيته مي شود، در حالت كلي هدف، تعيين تنش ها، كرنش ها و تغيير مكان ها در جسم جامد الاستيكي است كه به صورتي خاص بار گذاري شده است. - براي حل مسائل محيط الاستيك، ابتدا بايستي مانند هر مسئله ديگر، مجهولات مسئله شناخته شده و سپس معادلات لازم براي رسيدن به حل مسئله، مورد استفاده قرار گيرند. - براي حل يك مسئله ارتجاعي بايد شش مؤلفه تنش، شش مؤلفه كرنش و سه مؤلفه تغيير مكان در كليه نقاط جسم تعيين گردد. بنابراين در هر نقطه از جسم 15 مجهول وجود دارد. براي تعيين اين مجهولات از 15 معادله حاكم بر مسئله استفاده مي شود. اين 15 معادله عبارتند از:

فصل دوم - بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
- سه معادله تعادل: 6 رابطه تنش - كرنش : - 6 رابطه كرنش – تغيير مكان: - هرگاه براي حل معادلات فوق، آنها را برحسب مؤلفه هاي تغيير مكان تنظيم نماييم، از آنجا كه مؤلفه هاي مزبور به عنوان متغيرهاي مستقل به كار گرفته مي شوند، احتياجي به بكار گرفتن معادلات سازگاري نيست. ولي اگر معادلات مذكور برحسب مؤلفه هاي تنش يا كرنش تنظيم گردند، با توجه به اينكه مؤلفه هاي مزبور مستقل از يكديگر نيستند، از اينرو استفاده از معادلات سازگاري الزامي مي باشد.

فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی
- هريك از مجهولات تابعي از مختصات x و y و z (يا xi) مي باشند. اين توابع به گونه اي هستند كه بايستي در مرز سيستم يا جسم مورد بررسي، شرايط مرزي (Boundary Conditions) را ارضاء نمايند. اين شرايط مرزي به سه صورت مختلف زير مي توانند مشخص گردند: - شرايط مرزي نيرويي در سطح جسم يا مرز سيستم، - شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم، - تركيب شرايط مرزي نيرويي و شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم. - براي حالت اول ترجيح داده مي شود كه كليه معادلات حاكم بر مسائل تئوري الاستيسيته را برحسب تنش ها بيان نمود. چون عامل بوجود آورنده مجهولات مورد نظر، نيروهاي حجمي و سطحي اعمال شده به جسم مي باشند.

- براي حالت دوم ترجيح داده مي شود كه كليه معادلات حاكم بر مسائل تئوري الاستيسيته را برحسب مؤلفه هاي تغيير مكاني بيان نمود. چون عامل بوجود آورنده مجهولات مورد نظر تغيير مكان هاي اعمال شده به جسم مي باشند. - براي حالت سوم مي توان كليه معادلات حاكم بر مسائل تئوري الاستيسيته را برحسب تنش ها بيان نمود يا برحسب مؤلفه هاي تغيير مكاني. ب) معادلات تئوري ارتجاعي برحسب تغيير مكان ها (روش تغییر مکان Displacement Method - ) - 15 معادله حاكم بر مسائل تئوري ارتجاعي را مي توان به سه معادله مؤلفه هاي تغيير مكان ها تقليل داد. براي اين منظور كافي است كه روابط بين تنش ها و كرنش ها را در معادلات تعادل قرار داد و سپس كرنش را بر حسب مؤلفه هاي تغيير مكان نوشت.

روابط تنش – كرنش عبارتند از: معادلات تعادل عبارتند از: روابط كرنش – تغيير مكان عبارتند از: - ابتدا eij را در روابط تنش – كرنش قرار مي دهيم ( فرض مي شود كه مصالح ارتجاعي خطي ايزوتروپيك و جسم همگن مي باشد، بدين معني كه مستقل از مختصات نقاط مي باشند):

رابطه حاصل را در معادلات دیفرانسیل تعادل قرار مي دهيم: كه در آن كرنش حجمي مي باشد و اپراتور لاپلاس مي باشد. بسط رابطه مذكور نتيجه زير را به دست مي دهد: توجه شود که داریم:

معادلات مذكور به عنوان معادلات ناويه (Navier Equations) مشهور است. - با حل معادلات ديفرانسيل مذكور و ارضاي شرايط مرزي (تغيير مكاني و نيرويي)، سه مؤلفه تغيير مكان در كليه نقاط جسم مشخص مي گردند. بعد از به دست آوردن مؤلفه هاي تغيير مكان، با استفاده از روابط كرنش – تغيير مكان، كرنش ها به صورت منحصر بفرد به دست مي آيند و با استفاده از روابط تنش – كرنش، تنش ها حاصل مي شوند. لازم به يادآوري است كه در اينجا ضروري نمي باشد كه معادلات سازگاري كرنش ها كنترل شوند، چون كرنش ها، مستقيماً از تغيير مكان ها به دست مي آیند. شرايط مرزي نيرويي را مي توان به صورت زير بيان نمود: (Ti شدت نيروهاي سطحي در واحد سطح STاست). ( nj كوسينوس هاي هادي سطح ST است كه نيروي Pi بر آن سطح وارد مي شود).

يا داريم: رابطه مذكور با در نظر گرفتن اين نكته به دست آمده است كه توزيع تنش در جسم بايد به گونه اي باشد كه علاوه بر اين كه معادلات تعادل داخلي جسم را ارضاء نمايد، نسبت به نيروهاي خارجي وارد بر سطح جسم نيز در حال تعادل باشد. اگر نيروهاي خارجي وارد بر جسم را به طور فرضي ادامه تنش هاي داخلي تصور نماييم، براحتي معادلات تعادل مورد نظر به دست مي آيند (تعادل چهار وجهي بي نهايت كوچك در سطح جسم):

- بنابراين شرايط مرزي بر حسب تغيير مكان ها عبارتند از: از بسط رابطه مذكور، ‌سه شرط مرزي زير را خواهيم داشت:

پ) معادلات تئوري ارتجاعي برحسب تنش ها ( روش نیروها – Force Method) - بديهي است كه چنانچه تنش ها مشخص باشند، مي توان با استفاده از روابط كرنش – تنش، كرنش ها را محاسبه نمود. اما ملاحظه نموديم كه هر نوع توزيع كرنش در جسم امكان پذير نمي باشد، ‌زيرا در حقيقت توزيع كرنش در جسم، بايد معادلات سازگاري را ارضاء نمايد تا اين كه مؤلفه هاي تغيير مكاني منحصر به فردي به دست آيند. ابتدا معادله سازگاري زير را در نظر مي گيريم: (1) فرض مي كنيم كه:

كه پس از ساده كردن آن به رابطه زير خواهيم رسيد: (2) از معادلات دوم و سوم تعادل خواهيم داشت: معادله دوم (3) معادله سوم (4)

اگر از معادله دوم تعادل نسبت به x2 و از رابطه سوم تعادل نسبت به x3 مشتق بگيريم و نتايج حاصل را با هم جمع نماييم، خواهيم داشت: (5) همچنين از معادله اول تعادل نسبت به x1 مشتق مي گيريم: (6)

حاصل را در معادله (5) جايگذاري مي كنيم: (7) معادله (7) را در معادله (2) قرار مي دهيم و نتيجه زير را بدست مي آوريم: (8)

- اگر دو معادله سازگاري مشابه ديگر را استفاده كنيم و عمليات مشابهي را روي آن انجام دهيم، خواهيم داشت: (9) (10) از جمع سه رابطه مذكور (8 و 9 و 10) خواهيم داشت: (11)

رابطه (11) را در روابط (8 و 9 و 10) جايگزين مي كنيم و نتايج زير در نهايت حاصل مي شوند: (12) (13) (14)

به روش مشابه مي توان سه معادله سازگاري را به صورت زير به دست آورد:

شش رابطه اخير را مي توان با استفاده از نماد انديسي به صورت يك معادله زير نوشت: كه در آن داريم: شش رابطه اخير در حقيقت همان معادلات سازگاري مي باشند كه بر حسب مؤلفه هاي تنش بيان شده اند و به معادلات سازگاري بلترامي – ميشل (Beltrami - Michell) معروف مي باشند.

(در دستگاه مختصات دكارتي)
فصل دوم- بخش دوم: ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی - بنابراين توزيع تنش در يك جسم بايد روابط زير را ارضاء نمايد: الف) سه معادله تعادل ب) شش معادله سازگاري Beltrami – Michell پ) شرايط مرزي نيرويي در حالتي كه نيروهاي حجمي وجود نداشته باشند یا مقادیر ثابتی باشند، معادلات سازگاري Beltrami – Michell به صورت زير در مي آيند: (در دستگاه مختصات دكارتي)

- براي نوشتن معادلات سازگاري Beltrami – Michell در دستگاه مختصات كروي يا استوانه اي فقط كافي است كه اپراتور را بدانيم. به عنوان مثال مي توان نشان داد كه در دستگاه مختصات استوانه اي اپراتورهاي به صورت زير مي باشند : معادلات سازگاری بلترامی – میشل در غیاب نیروهای حجمی، در دستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر نوشته می شوند:

که در آنها داریم: نیز پیش از این در دستگاه مختصات استوانه ای تعریف شده است.

ت) منحصر بفرد بودن جواب برای مسائل تئوری ارتجاعی هدف این است که نشان دهیم که جواب مسائل تئوری ارتجاعی، منحصر بفرد می باشند (فرض می شود که تغییر شکل ها کوچک بوده و روابط تنش – کرنش خطی می باشند). برای اثبات منحصر بفرد بودن جواب از برهان خلف استفاده می کنیم: فرض می کنیم که جسمی تحت نیروهای حجمی و نیروهای سطحی وارد بر سطح در حال تعادل است. اگر چنانچه جواب ها منحصر بفرد نباشند، لااقل دو سری جواب به صورت زیر می توان برای مسئله در نظر گرفت:

که باید 15 معادله حاکم بر مسئله و شرایط مرزی یکسانی را ارضاء نمایند. بنابراین برای جواب سری اول باید داشته باشیم: روی ST روی SU و برای جواب سری دوم نیز باید داشته باشیم: روی ST روی SU

اگر روابط مذکور را به طور متناظر از همدیگر کم نماییم، در این صورت خواهیم داشت: سه رابطه حاصل، توزیع جدیدی را از تنش نشان می دهند که با نیروهای سطحی صفر و نیروهای حجمی صفر در حال تعادل بوده و در روی سطح Su تغییر مکان صفر دارند. چنانچه جسمی تحت تأثیر هیچ گونه نیروهای خارجی (سطحی و حجمی) نباشد و بر آن تغییر مکان هایی نیز اعمال نگردد، بدیهی است که انرژی کرنشی در آن ذخیره نمی گردد. پیش از این نشان دادیم که چگالی انرژی U0 همیشه مثبت بوده و تابع درجه دوم کرنش ها می باشد.

وقتی انرژی کرنشی در جسمی صفر باشد، اجباراً چگالی انرژی در کلیه نقاط آن باید صفر باشد و این در صورتی امکان دارد که کلیه مؤلفه های کرنش ها صفر باشند. وقتی کلیه مؤلفه های کرنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند، در این صورت با توجه به روابط تنش –کرنش، باید کلیه مؤلفه های تنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند. بنابراین در کلیه نقاط جسم (با توجه به اصل اجتماع اثر قوا) باید داشته باشیم: بنابراین دو سری جواب در نظر گرفته شده برای مسئله باید یکسان باشند و از اینجا یکتا بودن و منحصر بفرد بودن جواب مسائل تئوری ارتجاعی (در حالت تغییر شکل های کوچک و روابط خطی تنش – کرنش) نتیجه می شود.

تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي.

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي.

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "تئوری الاستیسیته Theory of Elasticity كريم عابدي."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια