موضوع ارائه : نظريه تقريب. موضوع ارائه : نظريه تقريب.

Παρουσίαση με θέμα: "موضوع ارائه : نظريه تقريب. موضوع ارائه : نظريه تقريب."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2 موضوع ارائه : نظريه تقريب

3 تقریب کمترین مربعات با پایه های متعامد لژاندر
تقریب مینیماکس پیوسته تیلر تقریب کمترین مربعات تقریب گسسته تقریب کمترین مربعات با پایه های متعامد لژاندر تقریب کمترین مربعات با پایه های متعامد چبیشف

4 طاهره تمنايی، زهرا فلاحی ، پريسا نانکلی ، زهره يوسفی
استاد: دکتر گلبابايی ارائه دهندگان: طاهره تمنايی، زهرا فلاحی ، پريسا نانکلی ، زهره يوسفی

5 مقدمه: بررسی نظریه تقریب از دو نوع مسئله کلی، تشکیل می شود
مقدمه: بررسی نظریه تقریب از دو نوع مسئله کلی، تشکیل می شود. مسئله اول وقتی پیش می آید که تابع داده شده صریح است ولی می خواهیم نوع «ساده تری» از توابع نظیر چند جمله ای، بیابیم که بتوان از آن برای تقریب مقادیر تابع داده شده است استفاده کرد. مسئله دیگر نظریه تقریب مربوط می شود به برازش توابع به داده های مفروض و یافتن «بهترین» تابع در رده ای معین که بتوان از آن برای نمایش داده ها استفاده کرد. دراینجا ما استفاده ازچند جمله ایها را در تقریب یک تابع داده شده بررسی می کنیم. ابزارهای مختلف تهیه تقریبهای چند جمله ای را توضیح می دهیم و آنها را بر حسب دقت نسبی شان با هم مقایسه می کنیم.

6

7 غیر از چند جمله ایها، شکل های دیگری برای تقریب توابع وجود دارند
غیر از چند جمله ایها، شکل های دیگری برای تقریب توابع وجود دارند. توابع گویا، خارج قسمتهای چند جمله ایها هستند و معمولا تا حدی صورتهای تقریب کاراتری هستند. ولی از آنجا که چندجمله ایها، شکل مناسب و کارای تقریب را در اختیار می گذارند به دلیل اینکه نظریه تقریب توابع گویا پیچیده تر از نظریه تقریب چند جمله ایهاست، برای بررسی اغلب، چند جمله ایها را انتخاب می کنیم. یکی از اولین نکاتی که در تقریب یک تابع معلوم یا برازش داده های مفروض، باید در نظر گرفت، نوع تابعp است که باید به کار رود. p، عموما ترکیبی خطی از یک مجموعه از توابع است که اعضایش دارای خواص معینی می باشند.

8

9

10 قضیه : 𝐵 𝑛 𝑓;𝑥 = 𝑡=0 𝑛 ∆ 𝑡 𝑓(0) 𝑛 𝑡 𝑥 𝑡 که این تفاضلات محاسبه شده از این مقادیر تابع در نقاط 0 𝑛 , 1 𝑛 ,…, 𝑛 𝑛 قضیه: فرض کنید f(x)در بازه [0,1] کراندار باشد و 𝑥 0 یک نقطه از بازه [0,1] باشد، بطوریکه 𝑓 ′′ 𝑥 0 وجود داشته باشد آنگاه: lim 𝑛→∞ 𝑛 𝐵 𝑛 𝑓; 𝑥 0 −𝑓( 𝑥 0 ) = 1 2 𝑥 0 1− 𝑥 0 𝑓 ′′ 𝑥 0

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 تقریب کمترین مربعات به علت دشواری محاسبه تقریب مینیماکس معمولا یک تقریب بینابینی در نظر می گیریم که تقریب کمترین مربعات نامیده می شود. روش کمترین مربعات، اساسا وزن بیشتر را روی نقطه ای که در مقایسه با بقیه داده هایی که خارج از خط است، میگذارد. لکن اجازه تسلط کامل آن نقطه بر تقریب را نمی دهد. دلیل دیگر برای در نظر گرفتن روش کمترین مربعات به بررسی توزیع آماری خطا مربوط می شود. اگر معلوم باشد یا فرض کنیم توزیع میانگین خطا به صورت خطی است، مقادیر حاصل از یک روند کمترین مربعات خطی، تخمین هایی برای معادله توصیف کننده میانگین می باشند.

22 تقریب کمترین مربعات گسسته
تقریب کمترین مربعات گسسته جهت برارزش گردایه ای از داده ها است (مسئله نوع دوم)

23

24

25

26 تقریب کمترین مربعات گسسته، با چند جمله ای درجه یک: مثال 1 : داده های جدول 4. 3 را در نظر می گیریم. برای یافتن خط تقریب ساز کمترین مربعات به این داده ها، جدول را همانطور که جدول 4.4 نشان داده بسط و مجموع ستون ها را تشکیل می دهیم.

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76 مثال. برای تعیین چند جمله ای مثلثاتی از درجه 2n که تابع f(x)=|x| , -π<x<π را تقریب می کند، لازم است ضرایب زیر حساب شوند: 𝑎 0 = −𝜋 𝜋 𝑥 𝜋 𝑑𝑥 = 𝜋 −𝜋 0 𝑥𝑑𝑥 𝜋 0 𝜋 𝑥𝑑𝑥 = 2 2𝜋 0 𝜋 𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 𝜋 2 به ازای هر k=1,2…,n 𝑎 2𝑘 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝜋 0 𝜋 𝑥 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝜋 𝑘 −1 𝑘 −1

77 وبه ازای هر k=1,2,…,n 𝑎 2𝑘−1 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =0 بنابراین چندجمله ای مثلثاتی که fرا تقریب می کند عبارت است از 𝑠 𝑛 𝑥 = 𝜋 2 − 2 𝜋 𝑘=1 𝑛 −1 𝑘 −1 𝑘 2 cos 𝑘𝑥

78 مثال به ساختن گردایه ای از چند جمله ای های متعامد از ∏ 2 برای بازه 0،1 می پردازیم. بدلخواه اختیار می کنیم1 ≡ 𝑥 ϕ 0 برای بدست آوردن ϕ 1 یک چند جمله ای از درجه 1 بر 0،1 به ازای ثابتی چون 𝐵 1 قرار می دهیم: ϕ 1 𝑥 = 𝑥− 𝐵 1 ϕ 0 𝑥 = 𝑥 − 𝐵 1 می توان از شرط را𝐵 1 ثابت 0 = ϕ 1 𝑥 ϕ 0 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥− 𝐵 1 𝑑𝑥 = 1 2 − 𝐵 1 در نتیجه 𝐵 1 = 1 2 به دست آورد که ایجاب می کند ϕ 1 𝑥 =𝑥- 1 2 فرض می کنیم ϕ 2 برای یافتن ϕ 2 𝑥 = 𝑥− 𝐵 2 ϕ 1 𝑥 − 𝐶 2 ϕ 0 𝑥 طوری اختیار شده اند که 𝐶 2, 𝐵 2 که در آن 0= ϕ 2 𝑥 ϕ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥− 𝐵 ϕ 1 𝑥 2 𝑑𝑥 − 0 1 𝐶 2 ϕ 0 𝑥 ϕ 1 𝑥 𝑑𝑥

79 = 0 1 𝑥− 𝐵 2 𝑥− 1 2 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝑥 𝑥− 1 2 2 𝑑𝑥 − 𝐵 2 0 1 𝑥− 1 2 2 𝑑𝑥
= 𝑥− 𝐵 2 𝑥− 𝑑𝑥 = 0 1 𝑥 𝑥− 𝑑𝑥 − 𝐵 𝑥− 𝑑𝑥 و 0= 0 1 ϕ 2 𝑥 ϕ 0 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥− 𝐵 2 ϕ 1 𝑥 ϕ 0 𝑥 𝑑𝑥 − 0 1 𝐶 2 ϕ 0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝑥 ϕ 1 𝑥 ϕ 0 𝑥 𝑑𝑥− 𝐶 ϕ 0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝑥 𝑥− 1 2 𝑑𝑥− 𝐶 𝑑𝑥 بنابراین 𝐵 2 = 0 1 𝑥 𝑥− 𝑑𝑥 𝑥− 𝑑𝑥 = 1 2

80 𝐶 2 = 0 1 𝑥 𝑥− 1 2 𝑑𝑥= 1 12 این نتیجه می دهد که ϕ 2 𝑥 = 𝑥− 1 2 ϕ 1 𝑥 − 1 12 ϕ 0 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥+ 1 6 و گردایه متعامد عبارت است از 1,𝑥− 1 2 , 𝑥 2 −𝑥+ 1 6 مثال: برای آنکه از این مجموعه از چندجمله ای های متعامد جهت تعیین چندجمله ای های کمترین استفاده می کنیم، ابتدا قرار می دهیم 0و1 بر 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 مربعات از درجات 0،1،2 برای تابع 𝑃 0 𝑥 = 𝑎 0 ϕ 0 𝑥 که در آن 𝑎 0 = 0 1 𝑒 𝑥 ϕ 0 𝑥 𝑑𝑥 0 1 ϕ 0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =e-1

81 بعد فرض می کنیم 𝑃 1 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 ϕ 1 𝑥 که در آن 𝑎 1 = 0 1 𝑒 𝑥 ϕ 1 𝑥 𝑑𝑥 0 1 ϕ 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝑒 𝑥 𝑥− 1 2 𝑑𝑥 0 1 𝑥− 𝑑𝑥 =18−6𝑒 در نتیجه 𝑃 1 𝑥 =𝑒−1+ 18−6𝑒 ϕ 1 𝑥 = 𝑒−1+ 18−6𝑒 𝑥− 1 2 = 18−6𝑒 𝑥+4𝑒−10 𝑃 2 𝑥 = 𝑎 0 ϕ 0 𝑥 + 𝑎 1 ϕ 1 𝑥 + 𝑎 2 ϕ 2 𝑥 و

82 𝑎 2 = 𝑒 𝑥 ϕ 2 𝑥 𝑑𝑥 ϕ 2 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 2 −𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 −𝑥 𝑑𝑥 =210𝑒−570 در نتیجه 𝑃 2 𝑥 = 𝑃 1 𝑥 + 𝑎 2 ϕ 2 𝑥 = 18−6𝑒 𝑥+4𝑒− 𝑒−570 𝑥 2 −𝑥+ 1 6 = 210𝑒−570 𝑥 −216𝑒 𝑥+39𝑒−105.

83 تعریف 6.4 گوییم 𝜙 0 (𝑥), 𝜙 1 (𝑥),…, 𝜙 𝑛 (𝑥) یک مجموعه متعامد از توابع برای بازه 𝑎,𝑏 نسبت به تابع وزن 𝑤 𝑥 است اگر 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑗 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 𝑑𝑥= { 0 𝛼 𝑘 >0 𝑗≠𝑘 𝑗=𝑘 تعریف 6.4به تعریف 4.4تحویل می شود.𝑤 𝑥 ≡1توجه کنید که در حالت متعامد بوده 𝑤 𝑥 نسبت به تابع وزن 𝑎,𝑏 که لزوما چندجمله ای نیستند بر ϕ 0 ,…, ϕ 𝑛 فرض کنیم توابع ترکیب خطی𝑓∈𝐶 𝑎,𝑏 و 𝑃 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 را جستجو می کنیم که

84 𝐸 𝑎 0 ,…, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 2 𝑑𝑥
𝐸 𝑎 0 ,…, 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 2 𝑑𝑥 را مینیمم کند جواب 𝑝 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 یک تقریب کمترین مربعات وزندار به 𝑓 نامیده می شود.در اینجا می توان از روشی که قبلا برای بدست آوردن 𝑎 0 ,…, 𝑎 𝑛 بکاررفته استفاده کرد ومعادلات نرمال زیر را بدست آورد: به ازای هر 𝑗=0,…,𝑛 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 ϕ 𝑗 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑗 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (14.4) و بخاطر تعامد 𝑎 𝑗 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑗 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑗 𝑥 2 𝑑𝑥 (15.4) 𝑗=0,…,𝑛

85

86 𝑥 𝑟 = 1 𝑐 𝑟,𝑟 𝜑 𝑟 𝑥 − 𝑐 𝑟,𝑟 𝜑 𝑟−1 𝑥 −…− 𝑐 𝑟,0 𝜑 0 𝑥
𝑥 𝑟 = 1 𝑐 𝑟,𝑟 𝜑 𝑟 𝑥 − 𝑐 𝑟,𝑟 𝜑 𝑟−1 𝑥 −…− 𝑐 𝑟,0 𝜑 0 𝑥 پس هریک جمله ای را می توان به صورت ترکیبی از چندجمله ای های متعامد درجه نابیشتربیان را میتوانm از درجه 𝑓 𝑥 کرد از این امر به سادگی نتیجه می شود که یک چندجمله ای دلخواه به شکل زیر نوشت 𝑏 𝑚 ,…, 𝑏 0 به ازای انتخاب مقادیری مانند 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑚 𝜑 𝑚 𝑥 +…+ 𝑏 0 𝜑 0 𝑥 انتگرال می گیریم 𝑎,𝑏 ضرب نموده روی 𝜑 𝑖 𝑥 و 𝑤 𝑥 در طرفین را 𝑏 𝑖 برای محاسبه هر لذا 𝑓, 𝜑 𝑖 = 𝑗=0 𝑚 𝑏 𝑗 𝜑 𝑗 , 𝜑 𝑖 = 𝑏 𝑖 𝜑 𝑖 , 𝜑 𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑓, 𝜑 𝑖 𝜑 𝑖 , 𝜑 𝑖 که (16.4.4)و قضیه را اثبات می کند.

87 قضیه بعد که بر روشی به نام گرام-اشمیت استوار است طرز ساختن چندجمله ای های متعامد بر رانشان میدهد.𝑤 𝑥 نسبت به تابع وزن 𝑎,𝑏 قضیه7.4.مجموعه چندجمله ای های ϕ 0 , ϕ 1 ,…, ϕ 𝑛 تعریف شده به طریق زیر بر 𝑎,𝑏 نسبت به تابع وزن 𝑤 𝑥 متعامد است : ϕ 0 𝑥 ≡1 ϕ 1 𝑥 =𝑥− 𝐵 1 به ازای هر 𝑎≤𝑥≤𝑏 که در آن 𝐵 1 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑤 𝑥 ϕ 0 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 0 𝑥 2 𝑑𝑥 وقتی 𝑘≥2

88 به ازای هر 𝑎≤𝑥≤𝑏 ، ϕ 𝑘 𝑥 = 𝑥− 𝐵 𝑘 ϕ 𝑘−1 𝑥 − 𝐶 𝑘 ϕ 𝑘−2 𝑥 که در آن
به ازای هر 𝑎≤𝑥≤𝑏 ، ϕ 𝑘 𝑥 = 𝑥− 𝐵 𝑘 ϕ 𝑘−1 𝑥 − 𝐶 𝑘 ϕ 𝑘−2 𝑥 که در آن 𝐵 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝐶 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 ϕ 𝑘−2 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−2 𝑥 2 𝑑𝑥 نتیجه8.4 به ازای هر 𝑛>0چندجمله ای های ϕ 0 ,…, ϕ 𝑛 در قضیه 4.7 بر 𝑎,𝑏 مستقل خطی اند و یک پایه برای ∏ 𝑛 می سازند و به ازای هر چندجمله ای 𝑄 𝑘 از درجه 𝑘<𝑛 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑛 𝑥 𝑄 𝑘 𝑥 𝑑𝑥=0

89 تقریب کمترین مربعات پیوسته با پایه های متعامد چند جمله ای های لژاندر
مثال1.یکی از متداولترین مجموعه های از چندجمله ای های متعامد مجموعه ی چندجمله ای های لژاندر 𝑃 𝑛 است که بر −1و1 نسبت به تابع وزن 𝑤 𝑥 ≡1متعامدند در تعریف کلاسیک چندجمله ای های لژاندر باید به ازای هر 𝑛، 𝑃 𝑛 1 =1 و می توان با استفاده از یک رابطه بازگشتی، چندجمله ای ها را وقتی 𝑛≥2تولید کرد.این نرمالسازی در بحث ما لازم نمی شود و چندجمله ای های تقریب ساز کمترین مربعات تولید شده در هر حالت یکی هستند. با استفاده از روند قضیه 7.4، 𝑃 0 𝑥 =1 𝐵 1 = −1 1 𝑥𝑑𝑥 −1 1 𝑑𝑥 =0

90 در نتیجه، 𝑃 1 𝑥 = 𝑥− 𝐵 1 𝑃 0 𝑥 =𝑥 همچنین 𝐵 2 = −1 1 𝑥 3 𝑑𝑥 −1 1 𝑥 2 𝑑𝑥 =0 و 𝐶 2 = −1 1 𝑥 2 𝑑𝑥 −1 1 1𝑑𝑥 = 1 3 درنتیجه 𝑝 2 𝑥 = 𝑥− 𝐵 2 𝑃 1 𝑥 − 𝐶 2 𝑃 0 𝑥 = 𝑥−0 𝑥− = 𝑥 2 − 1 3 بالاخره 𝐵 3 = −1 1 𝑥. 𝑥 2 − 𝑑𝑥 −1 1 𝑥 2 − 𝑑𝑥 =0

91 𝐶 3 = −1 1 𝑥.𝑥. 𝑥 2 − 1 3 𝑑𝑥 −1 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = = 4 15 ودرنتیجه 𝑃 3 𝑥 = 𝑥− 𝑩 𝟑 P 2 𝒙 − 𝐶 3 𝑃 1 𝑥 =𝑥. 𝑥 2 − 1 3 − 4 15 𝑥= 𝑥 3 − 3 5 𝑥

92 تقریب کمترین مربعات پیوسته با پایه های چندجمله ای های چبیشف
مثال2. مجموعه دیگری از چندجمله ای های متعامد چندجمله ایهای چبیشف 𝑻 𝒏 نام دارند. آنها را می توان با استفاده از تابع وزن 𝑤 𝑥 = 1− 𝑥 2 − 1 2 ، به وسیله قضیه 7.4 بر بازه −1و1 به دست آورد. ما در اینجا چندجمله ای های چبیشف را طور دیگر به دست آورده و بعد نشان می دهیم که در خواص لازم تعامدصدق می کنند. به ازای 𝑥∈ −1,1 تعریف می کنیم: به ازای هر𝑛≥0 𝑻 𝒏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝒙

93 با جایگذاری 𝜃= cos −1 𝑥 آن را به 𝑻 𝒏 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 تغییر می دهیم که در آن 𝜃∈ 0و𝜋 با توجه به
𝑇 𝑛+1 𝑥 = cos 𝑛+1 𝜃 = cos 𝑛𝜃 cos 𝜃 + sin 𝑛𝜃 sin 𝜃 𝑇 𝑛−1 𝑥 = cos 𝑛−1 𝜃 می توان یک رابطه بازگشتی به دست آورد.در نتیجه 𝑇 𝑛+1 𝑥 =2 cos 𝑛𝜃 cos 𝜃 − 𝑇 𝑛−1 𝑥 اگر به متغیر𝑥 بازگردیم خواهیم داشت:

94 ∀ 𝑛≥1 𝑇 𝑛+1 𝑥 =2𝑥 𝑇 𝑛 𝑥 − 𝑇 𝑛−1 𝑥 (17.4) چون 𝑇 0 𝑥 = cos 0. cos −1 𝑥 =1 𝑇 1 𝑥 = cos 1 cos −1 𝑥 =𝑥 با استفاده از معادله (17.4)چندجمله ای های چبیشف به روشی تسلسلی به آسانی به دست می آیند: 𝑇 2 𝑥 =2𝑥 𝑇 1 𝑥 − 𝑇 0 𝑥 =2 𝑥 2 −1 𝑇 3 𝑥 =2𝑥 𝑇 2 𝑥 − 𝑇 1 𝑥 =4 𝑥 3 −3𝑥 𝑇 4 𝑥 =2𝑥 𝑇 3 𝑥 − 𝑇 2 𝑥 =8 𝑥 4 −8 𝑥 2 +1 و غیره، برای اثبات تعامد چندجمله ای های چبیشف، −1 1 𝑇 𝑛 𝑥 𝑇 𝑚 𝑥 1− 𝑥 2 𝑑𝑥 = −1 1 cos 𝑛 cos −1 𝑥 cos 𝑚 cos −1 𝑥 1− 𝑥 2 𝑑𝑥

95 را در نظر می گیریم، با جایگذاری مجدد 𝜃= cos −1 𝑥 انتگرال زیر به دست می آید:
−1 1 𝑇 𝑛 𝑥 𝑇 𝑚 𝑥 1− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 0 cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 𝑑𝜃 =− 𝜋 0 cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 𝑑𝜃 = 0 𝜋 cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 𝑑𝜃 فرض کنیم 𝑛≠𝑚 چون، cos 𝑛𝜃 cos 𝑚𝜃 = 1 2 cos 𝑛+𝑚 𝜃+ cos 𝑛−𝑚 𝜃 −1 1 𝑇 𝑛 𝑥 𝑇 𝑚 𝑥 1− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 cos 𝑛+𝑚 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 cos 𝑛−𝑚 𝜃 𝑑𝜃

96 = 1 2 𝑛+𝑚 sin 𝑛+𝑚 𝜃 + 1 2 𝑛−𝑚 sin 𝑛−𝑚 𝜃 =0
همچنین به روش مشابه می توان نشان داد که، − 𝑇 𝑛 2 𝑥 1− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 2 ∀ 𝑛≥1 اگر C 1 x و x C 3 چند جمله ای درجه 1 و درجه 3 تقریب e x با پایه های چند جمله ایهای متعامد چبیشف باشد، داریم: 𝐶 1 𝑥 = 𝑥 𝐶 3 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 𝐶 1 𝑥 ∞ =0.32 𝑒 𝑥 − 𝐶 3 𝑥 ∞ = (22.5.4)

97 نمودار 6.4 خطا در تقریب کمترین مربعات درجه سوم چبیشف برای 𝑒 𝑥
نمودار 6.4 خطا در تقریب کمترین مربعات درجه سوم چبیشف برای 𝑒 𝑥

98 فرایند بحث شده در قضیه 7.4 به ازای هر بازه 𝑎,𝑏 و تابع وزن 𝑤 𝑥 روشی برای رسیدن به یک فرمول بازگشتی از نوع زیر به ما می دهد: ϕ 𝑘 𝑥 = 𝑥− 𝐵 𝑘 ϕ 𝑘−1 𝑥 − 𝐶 𝑘 ϕ 𝑘−2 𝑥 ∀ 𝑘≥2 (19.4) اگر این فرمول معلوم باشد و ضرایب 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 2 𝑑𝑥 به دست آمده باشند با استفاده از الگوریتم زیر می توان تقریب کمترین مربعات 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 برای تابع 𝑓را در هر نقطه به آسانی حساب کرد.

99 الگوریتم محاسبه ی کمترین مربعات 1.4
برای محاسبه تقریب کمترین مربعات 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 به تابع 𝑓، در نقطه 𝑥 ،که به ازای هر 𝑘 ، 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘 𝑥 2 𝑑𝑥 و ϕ 𝑘 مجموعه ای از توابع متعامد نسبت به تابع وزن 𝑤 𝑥 است: مرحله1.قرار می دهیم 𝑏 𝑛+2 =0 𝑏 𝑛+1 =0 𝐵 𝑛+1 =0 𝐶 𝑛+2 =0 𝐶 𝑛+1 =0 مرحله2. به ازای 𝑘=𝑛,𝑛−1,…,1قرار می دهیم 𝐵 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 2 𝑑𝑥

100 مرحله3. به ازای هر 𝑘=𝑛,𝑛−1,…,2قرار می دهیم
𝐶 𝑘 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−1 𝑥 ϕ 𝑘−2 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 ϕ 𝑘−2 𝑥 2 𝑑𝑥 مرحله4. به ازای هر 𝑘=𝑛,𝑛−1,…,0قرار می دهیم 𝑏 𝑘 = 𝑥− 𝐵 𝑘+1 𝑏 𝑘+1 − 𝐶 𝑘+2 𝑏 𝑘+2 + 𝑎 𝑘 مرحله5. روند تمام خواهد بود، 𝑏 0 = 𝑃 𝑛 𝑥 .

101 برای تحقیق صحت الگوریتم 1.4 توجه می کنیم که
𝑎 𝑘 = 𝑏 𝑘 − 𝑥− 𝐵 𝑘+1 𝑏 𝑘+1 + 𝐶 𝑘+2 𝑏 𝑘+2 در نتیجه 𝑃 𝑛 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑏 𝑘 − 𝑥− 𝐵 𝑘+1 𝑏 𝑘+1 + 𝐶 𝑘+2 𝑏 𝑘+2 ϕ 𝑘 𝑥 = 𝑏 0 ϕ 0 𝑥 + 𝑏 1 ϕ 1 𝑥 − 𝑥− 𝐵 1 ϕ 0 𝑥 + 𝑘=2 𝑛 𝑏 𝑘 ϕ 𝑘 𝑥 − 𝑥− 𝐵 𝑘 ϕ 𝑘−1 𝑥 + 𝐶 𝑘 ϕ 𝑘−2 𝑥 = 𝑏 0 ϕ 0 𝑥 = 𝑏 0

102 مثال2. با بازگشت به چندجمله ای های چبیشف تعریف شده در مثال بر −1,1 با
مثال2. با بازگشت به چندجمله ای های چبیشف تعریف شده در مثال بر −1,1 با 𝑇 0 𝑥 =1, 𝑇 1 𝑥 =𝑥 و 𝑇 𝑛+1 𝑥 =2𝑥 𝑇 𝑛 𝑥 − 𝑇 𝑛−1 𝑥 ,∀ 𝑛≥1 ملاحظه می کنیم که 𝑇 𝑛 𝑥 به ازای هر 𝑛≥1 دارای ضریب پیشرو 2 𝑛−1 است. این به استقرا نتیجه می شود،زیرا 𝑇 2 𝑥 =2 𝑥 2 −1= 2 2−1 𝑥 2 −1 جملات با مرتبه پایین تر 𝑇 3 𝑥 =2𝑥 𝑇 2 𝑥 − 𝑇 1 𝑥 = 2 3−1 𝑥 3 + جملات با مرتبه پایین تر 𝑇 4 𝑥 =2𝑥 𝑇 3 𝑥 − 𝑇 2 𝑥 = 2 4−1 𝑥 4 + و غیره.

103 استفاده از چندجمله ای ها با ضریب پیشرو 1 اغلب مطلوب است، که نیاز به تعریف زیر دارد:
𝑻 𝒏 𝒙 = 𝟐 𝟏−𝒏 𝑻 𝒏 𝒙 ,∀ 𝑛≥1 فرمول بازگشتی برای 𝑇 𝑛 عبارت خواهد بوداز 𝑇 2 𝑥 = 𝑥 2 − 1 2 𝑇 1 𝑥 =𝑥 𝑇 0 𝑥 ≡1 و 𝑇 𝑛+1 𝑥 =𝑥 𝑇 𝑛 𝑥 − 1 4 𝑇 𝑛−1 𝑥 ∀ 𝑛≥2 (20.4) برای استفاده از الگوریتم 1.4 جهت محاسبه ی 𝑃 4 𝑥 = 𝑘=0 4 −1 𝑘 𝑘 2 +1 𝑇 𝑘 𝑥

104 در 𝑥= 1 2 ابتدا ملاحظه می کنیم که چون به ازای هر 𝑘=0,1,2,3,4، 𝑎 𝑘 = −1 𝑘 𝑘 معادله بازگشتی 20.4ایجاب می کند که 𝐵 1 = 𝐵 2 = 𝐵 3 = 𝐵 4 =0, 𝐶 2 = 1 2 , 𝐶 3 = 𝐶 4 = 1 4 طبق الگوریتم 1.4، 𝑛=4 ؛ در نتیجه 𝑏 6 = 𝑏 5 =0 𝐶 6 = 𝐶 5 =0, 𝐵 5 =0 بنابراین

105 چندجمله ای های چبیشف و با صرفه سازی سریهای توانی
در این بخش بررسی چندجمله ای های چبیشف را که در مثالهای 2 و3 از بخش قبل آغاز شد ادامه می دهیم. این بررسی به دو نتیجه زیر منجر می شود: اولا. جای بهینه نقاط درونیاب برای مینیمم سازی خطا در درونیابی لاگرانژ ثانیا. ابزارهای تقلیل درجه یک چندجمله ای تقریب ساز با کمترین زیان در دقت

106 قضیه9.4. چندجمله ای چبیشف از درجه دارای n صفر ساده در در نقاط زیر است.
(24.4) بعلاوه اکسترمم های مطلق خود را در نقاط زیر می گیرد: (25.4) به طوری که، (26.4)

107

108

109

110 نتیجه11.4. هرگاه P چندجمله ای درونیاب از درجه حداکثر n با گره هایی در صفرهای باشد، آنگاه به ازای هر ، همچنین، از چندجمله ای های چبیشف می توان برای تقلیل درجه ی یک چندجمله ای تقریب ساز با کمترین زیان در دقت استفاده کرد. این روش بخصوص وقتی مفید است که چندجمله ای تقریب ساز مورد استفاده یک چندجمله ای تیلور باشد. با آنکه چندجمله ای های تیلور در مجاورت نقطه ای که بسط داده شده اند خیلی دقیق اند، اثرشان وقتی در نقاط دورتر از این نقطه بکار می روند بسرعت از بین می رود. به این دلیل ممکن است برای تحمل خطایی معین به یک چندجمله ای تیلور از درجه بالا نیاز باشد. چون چندجمله ای های چبیشف کمترین مقدار قدرمطلق ماکزیمم را دارند که بر یک بازه به طور یکنواخت پخش شده است، می توان از آنها برای تقلیل درجه چندجمله ای تیلور بدون تجاوز از تحمل خطا استفاده کرد. مثال زیر روش مربوط را توضیح می دهد.

111 مثال. تابع را می توان بر بازه با چندجمله ای تیلور درجه چهار که حول صفر بسط داده شده است:
و با خطای تقریب کرد. فرض کنیم خطای واقعی .05 قابل تحمل باشد، و حالتی را در نظر می گیریم که در آن جمله ی شامل در چندجمله ای تیلور با چندجمله ای های چبیشف معادل از درجه ی نابیشتر از چهار عوض شده است. پیش از ادامه ی این مثال نمایش صریح را برحسب به ازای چند عدد صحیح مثبت کوچکتر k ثبت می کنیم.

112 بنابراین

113 جدول 14.4 K 1 2 3 4 5 6 7

114 اما، چون ، داریم در نتیجه،
اما، چون ، داریم در نتیجه، که هنوز از خطای قابل تحمل .05 کمتر است. در نتیجه جمله درجه چهارم را می توان از چندجمله ای تقریب ساز حذف کرد و تقریب مطلوب را بازهم بدست آورد. چندجمله ای درجه سه تقریب مطلوب بر بازه خواهد بود. در کوشش برای حذف جمله درجه سه، باید را با عوض کرد که نتیجه می شود

115 بهرحال، که وقتی با خطای ممکن
بهرحال، که وقتی با خطای ممکن که قبلا بدست آمد تلفیق شود، کران خطای .07 بدست می آید، که از خطای قابل تحمل .05 بیشتر است. لذا چند جمله ای با کمترین درجه و مناسب این تقریب است.در جدول 15.4 تابع و چندجمله ای های تقریب ساز در چند نقطه ی انتخابی ثبت شده اند، که در آن چند جمله ای با آنکه کران خطا برای چندجمله ای از خطای قابل تحمل .05 بیشتر بود ولی درایه های جدول کمتر از آن کران می باشند.

116 جدول 15.4 -.75 .47237 .47412 .47917 .45573 -.25 .77880 .77881 .77604 .74740 .99479 .25 .75

117 جدول 4.4 مقایسه تقریب های گوناگون خطی و درجه سوم برای
خطای ماکسیمم درجه سوم خطی روش تقریب 0.0516 0.718 چندجمله ای تیلر 0.0112 0.439 کمترین مربعات لژاندر 0.322 کمترین مربعات چبیشف 0.372 فرمول درونیابی با نقاط گرهی چبیشف 0.286 فرمول نوسانی اجباری چبیشف 0.279 مینیماکس