Παρουσίαση με θέμα: ""— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35 Chương 6 : Đáp Ứng Tần Số Và Mạch Lọc Tương Tự
6.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 6.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 6.5 Mạch lọc Butterworth 6.6 Mạch lọc Chebyshev

36 6.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số
Hình 7.10a vẽ hệ thống vòng hở dạng cơ bản, có hàm truyền vòng hở là KG(s)H(s). Hàm truyền vòng kín là : Phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển trong miền thời gian và phương pháp đáp ứng tần số cần được xem là các phương pháp hỗ trợ và bổ sung cho nhau, chứ không cạnh tranh nhau.

37 6.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số
Thông tin về đáp ứng tần số có thể giới thiệu trong giản đồ Bode hoặc Đồ thị Nyquist còn gọi là đồ thị dạng cực Ví dụ: Hàm truyền vòng hở k/s(s+2)(s+4) khi k=24

38 Theo giản đồ Bode

39 Đồ thị Nyquist Tại ω=1,|H(jω)|=2.6 và H(jω)= Ta vẽ một điểm cách gốc O một khoảng 2,6 đơn vị với góc là – 130,60. Điểm này là điểm nhận dạng khi ω=1 (xem hình 7.10c). Ta vẽ các điểm với nhiều tần số từ  = 0 đến  rồi vẽ đường cong mịn qua chúng để có đồ thị Nyquist.

40 6.3 Ổn định tương đối: biên độ lợi và biên pha
Xét hệ thống có hàm truyền vòng kín Phương trình đặc tính là KG(s)H(s)+1=0 và nghiệm đặc tính là Do đó hệ thống ở biên ổn định:  và Tại biên ổn định, hàm truyền vòng hở có độ lợi đơn vị và pha là .

41 6.3 Ổn định tương đối: biên độ lợi và biên pha
Quĩ đạo xuyên qua bên phải mặt phẳng phức khi K > 48. Khi K <48, hệ thống ổn định. Xét khi K=24 Gọi ωp là tần số mà đồ thị pha xuyên qua (tần số đảo pha: the phase crossover frequency) Quan sát thấy tại ωp , độ lợi là 0,5 hay -6dB . Điều nay cho thấy độ lợi K sẽ tăng đôi (đến trị 48) để có độ lợi đơn vị, và ở biên ổn định. Do đó, ta nói hệ thống có ngưỡng độ lợi αM=6dB . Gọi ωg là tần số để có độ lợi đơn vị hay 0 dB (tần số đảo độ lợi: the gain crossover frequency) => pha vòng hở là Do đó hệ thống có độ dự trữ pha là θM=22.50

42 6.3 Ổn định tương đối: biên độ lợi và biên pha

43 Phân tích theo đồ thị Nyquist của KG(s)H(s)
Khi k=24 đồ thị đi xuyên qua trục thực tại -0.5 Khi k=48 biên độ tại từng điểm cũng tăng đôi, (nhưng góc pha không đổi). Bước này mở rộng đồ thị Nyquist lên gấp 2.Đồ thị Nyquist nằm trên trục thực tại – 1: tức là KG(jω)H(jω)=-1 và hệ thống tại biên ổn định Khi k>48 đồ thị xuyên qua và đi qua điểm – 1 Khi đồ thị Nyquist của hệ vòng hở bao điển tới hạn – 1, thì hệ vòng kín tương ứng trở thành không ổn định (tiêu chuẩn Nyquist)

44 6.3 Ổn định tương đối: biên độ lợi và biên pha
Nói chung,nếu đồ thị Nyquist xuyên qua trục thực âm tại αm,thì dự trữ độ lợi là 1/αm. Tương tự, nếu –π+ θm là góc tại đó đồ thị Nyquist xuyên qua vòng tròn đơn vị, thì dự trữ pha là θm, trường hợp này θm= Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha đo lường tính ổn định tương đối của hệ thống.

45 6.4 Thiết kế mạch lọc dùng phương pháp chỉnh định cực và zêrô của H(s).
Tìm hiểu về sự phụ thuộc lớn của đáp ứng tần số với vị trí cực và zêrô của H(s) là thủ tục trực giác đơn giản để thiết kế mạch lọc. 6.4-1Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số vào cực và zêrô của H(s).

46 6.4-1Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số vào cực và zêrô của H(s).
Hàm truyền hệ thống có thể viết thành Trong đó z1, z2, …, zn là các zêrô của H(s) các nghiệm đặc tính 1, 2, …, n (hay các cực) Trị của hàm truyền H(s) tại tần số s = p là (7.28b)

47 6.4-1Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số vào cực và zêrô của H(s).
Để tính H(s) tại s=p , ta vẽ đoạn thẳng từ mọi cực và zêrô của H(s) đến điểm p, vẽ trong hình 7.13b Vectơ nối zêrô đến điểm p là Vectơ nối cực với điểm p là

48 6.4-1 Sự phụ thuộc của đáp ứng tần số vào cực và zêrô của H(s).
Từ phương trình (7.28b) ta có: Do đó: = bn (tích các độ dài từ zêrô đến p)/ (tích các độ dài từ cực đến p) (7.29a) Và = (tổng các góc của zêrô với p) - (tổng các góc của cực với p) (7.29b) Đề tính đáp ứng tần số , ta dùng (một điểm trên trục ảo)

49 Dùng cực để tăng độ lợi. Xét trường hợp O giả định là cực đơn –α+jω0
với d là khoảng cách giữa jω và –α+jω0 thì |H(jω)| tỉ lệ với 1/d và Khi  tăng từ zêrô tới 0, d giảm không ngừng cho đến khi  đạt giá trị 0 => Đáp ứng biên độ |H(jω)| tăng liên tục và giảm liên tục khi  xa dần 0 Khi cực di chuyển gần trục ảo (thì  giảm), sự tăng (cộng hưởng) độ lợi càng trở nên đáng kể. Cực càng gần điểm , độ lợi càng lớn và thay đổi càng nhanh (chọn lọc tần số tốt hơn) ở lân cận tần số 0

50 Triệt độ lợi dùng zêrô -Tương tự ta thấy zêrô tại -α±jω0 có ảnh hưởng đối kháng trực tiếp làm giảm độ lợi ở lân cận ω0 - Đáp ứng pha H (jω )=φ1 + φ2 tăng liên tục, tiến về  khi   

51 Lọc thông thấp Lọc thông thấp tiêu biểu có độ lợi lớn nhất tại  = 0. Do đó, ta cần đặt cực hay (zêrô) trên trục thực : Hàm truyền của hệ thống là:H= ωc /(s+ωc ). Chọn tử số của H(s) là ωc nhằm chuẩn hóa độ lợi H(0) là đơnvị. Nếu gọi d là cự ly từ cực đến điểm jω , thì |H(jω )|= ωc /d Khi  tăng. d giảm và |H(jω )| giảm đơn điệu theo 

52 Wall to wall Poles Để có được đặc tính của mạch thông thấp lý tưởng, ta cần tăng độ lợi trong dải tần số từ 0 đến ωc => cần thêm cực đối xứng tại ω. Tối ưu nhất là thiết kế bộ lọc có bậc n  

53 Wall to wall Poles để có đáp ứng phẳng tối đa trong dải tần số (0 đến ωc ) , thì bức tường cực phải có dạng nửa vòng tròn với vô số cực phân bố đều dọc theo bức tường. Khi n   , đáp ứng biên độ hướng về lý tưởng. Họ các bộ lọc này được gọi là bộ lọc Butterworth. Trong mạch lọc Chebyshev, dạng bức tường là nửa ellipse thay vì là nửa vòng tròn

54 Mạch lọc thông dải Trong mạch lọc thông dải, độ lợi được tăng cường trong dải băng thông. Ta đã thấy là có thể thực hiện dùng bức tường các cực đối nhau qua trục ảo từ phía trước dải tần có tần số trung tâm 0. (Còn có bức tường các cực liên hợp đối nhau qua tần số trung tâm - 0).

55 Mạch lọc triệt dải Độ lợi của mạch là zêrô trong dải tần hẹp có trung tân tại tần số 0 và có độ lợi đơn vị trong vùng tần số còn lại. Ta xét trường hợp bộ lọc triệt dải bậc hai : Để có độ lợi zêrô tại tần số 0 thi ta phải có các zêrô tại ±j 0 . Yêu cầu về độ lợi đơn vị tại ω= đòi hỏi số cực phải bằng số zêrô (m = n). Độ lợi đơn vị tại ω=0 , đòi hỏi các cực và zêrô tương ứng phải cách gốc đều nhau.

56 ■ Thí dụ 7.5: Thiết kế mạch lọc triệt dải để loại tần số nhiễu 60Hz (hum) trong máy thu thanh.
Giải : Dùng các cực và zêrô trong hình 7.17a với 0 = 120. Các zêrô là s = j0. Hai cực là –ω0cosθ ±j ω0sin θ . Hàm truyền là (với 0 = 120). Cực càng gần với zêro ( càng gần với /2). Độ lợi càng khôi phục nhanh từ 0 đến 1 ở bên này hay bên kia của 0 = 120.

57 Mạch lọc thực tế và đặc tính
Các mạch lọc lý tưởng cho độ lợi là một hay zêrô một cách rõ ràng trong dải tần công tác. Thực tế ta chỉ có thể thiết lập các mạch lọc có đặc tính gần đúng mạch lọc lý tưởng. Các mạch lọc thực tế cần có dải tần chuyển tiếp, tạo thay đổi từ từ từ dải thông sang dải triệt và ngược lại Ngoài ra, trong các mạch lọc thực tế, độ lợi không thể là zêrô trong một dải tần hữu hạn (điều kiện Paley- Wiener). Như thế không có dải triệt thực trong mạch lọc thực tế. Do đó, cần định nghĩa dải triệt là dải tần mà độ lợi bé hơn một số bé nào đóGS, như trong hình Tương tự, ta định nghĩa dải thông là dải tần mà độ lợi ở giữa 1 và một giá trịGP (GP <1)

58 Mạch lọc thực tế và đặc tính
Trong các bước thiết kế, ta giả sử là đã biết được Gp (độ lợi dải thông bé nhất) và Gs (độ lợi dải triệt lớn nhất) Các dạng thông cao, thông dải và triệt dải đều có thể tìm từ mạch lọc thông thấp cơ bản thông qua một số biến đổi tần số đơn giản. Thí dụ, khi thay s bằng c trong hàm truyền thông thấp cho ta mạch lọc thông cao.

59 Đáp ứng Tần số và Mạch lọc tương tự
Chương 6: Đáp ứng Tần số và Mạch lọc tương tự 6.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 6.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 6.5 Mạch lọc Butterworth 6.6 Mạch lọc Chebyshev

60 6.5 Mạch lọc Butterworth Đáp ứng biên độ |H(jω)| Mạch lọc thông thấp Butterworth bậc n là : (7.31) Tại ω=0 => độ lợi |H(j0)|=1 Tại ω=ωc => độ lợi hay -3dB =>Công suất giảm theo thừa số 2 => ωc được gọi là tần số nửa công suất hay tần số cắt 3dB(tỉ số biên độ là 3dB)

61 Chuẩn hóa hàm truyền H(s)
Trong (7.31) thay ωc =1 (tần số nửa công suất). Từ đó ta có |H(j)= (7.32) Khi đã có hàm truyền chuẩn hóa H(s) , ta có thể tìm được hàm truyền mong muốn H(s) với mọi giá trị của c dùng phép tỉ lệ tần số đơn giản, khi ta thay s bằng s/ c trong hàm chuẩn hóa H(s)

62 Hàm truyền chuẩn hóa H(s)
Đáp ứng biên độ Butterworth giảm đơn điệu. Hơn nữa, (2n – 1) đạo hàm đầu của đáp ứng biên độ là 0 tại ω =0 => đặc tính phẳng tối đa . Quan sát thấy đặc tính hằng (lý tưởng) là cực đại với mọi ω<1. 2. Độ lợi mạch lọc là 1 (0 dB) tại ω =0 và 0,707 ( - 3 dB) tại ω =1 với mọi n. Do đó, băng thông 3 dB (hay nửa công suất ) là 1 rad/s với mọi n. 3. Khi n càng lớn, thì đáp ứng biên độ tiến dần về các đặc tính lý tưởng.

63 Xác định biểu thức hàm truyền chuẩn hóa H(s)
Tìm cực của hàm H(s) xét hàm H(j)H(-j) = H(j)2 = Thế s=jω vào phương trình trên => H(j)H(-j) = => các cực được cho bởi -- đã có với k nguyên -- j=ejπ/2 . Do đó ( k là số nguyên) -- giá trị cực tổng quát (k=1,2,3….n)

64 Xác định biểu thức hàm truyền chuẩn hóa H(s)
Biểu diễn các cực với hay (7.34) Biểu thức H(s) H(s)=

65 Xác định biểu thức hàm truyền chuẩn hóa H(s)
Thí dụ: từ phương trình (7.34), ta thấy cực của H(s) khi n = 4 là các góc 5/8, 7/8, 9/8 và 11/8. Các cực này nằm trên vòng tròn đơn vị, vẽ trong hình 7.22 và cho bởi , Do đó, H(s) có thể viết thành H(s)

66 Xác định biểu thức hàm truyền chuẩn hóa H(s)
Có thể tìm H(s) với giá trị bất kỳ của n. Tổng quát H(s)= (7.36) *** Trong đó Bn(s) là đa thức Butterworth bậc n

67 Xác định biểu thức hàm truyền chuẩn hóa H(s)

68 Tỉ lệ tần số Khi c ≠ 1,thay s bằng s/c trong biểu thức của H(s) ta sẽ được biểu thức của hàm truyền H(s) Thí dụ, mạch lọc Butterworth bậc hai với c =100 có thể tìm từ bảng 7.1 bằng cách thay s bằng s/100, cho ta: (7.37) Đáp ứng biên độ |H(jω)| của mạch lọc trong phương trình (7.37) giống hàm chuẩn hóa H (j) trong phương trình (7.32), mở rộng với thừa số 100 theo trục ngang () (tỉ lệ tần số).

69 Xác định n, bậc của mạch lọc
Nếu là độ lợi mạch lọc thông thấp tính theo đơn vị dB tại , thì theo phương trình (7.31) Thay các đặc tính trong hình 7.19a (độ lợi tại và tại ) vào phương trình này, ta có: và hay (7.38a) (7.38b)

70 Xác định n, bậc của mạch lọc
Chia (7.38b) cho (7.38a), ta có: và (7.39) Ngoài ra, từ phương trình (7.38a) (7.40) Từ phương trình (7.38b) (7.41)

71 Thí dụ 7.6: Thiết kế mạch lọc thông thấp Butterworth thỏa các đặc tính trong hình (7.23): (i) Độ lợi dải thông nằm giữa 1 và ( ) với (ii) Độ lợi dải triệt không vượt quá ( ) với

72 Giải Bước 1: Xác định n Trường hợp này , , và Thay các giá trị này vào phương trình (7.39) suy ra n = 3,701 Do n phải là số nguyên, chọn n = 4 Bước 2: Xác định c Thế n =4, vào phương trình (7.40), ta có Mặt khác, khi thế n =4 vào phương trình (7.41), ta có => Chọn Bước 3: Xác định hàm truyền chuẩn hóa H(s) Hàm truyền chuẩn hoá bậc bốn H(s) tìm trong bảng 7.1 là H(s)=

73 Giải Bước 4: Xác định hàm truyền sau cùng H(s)
Hàm truyền mong muốn với có được từ cách thay s bằng s/10,693 trong hàm truyền chuẩn hóa H(s) là:

74 Giải Đáp ứng biên độ của mạch lọc này cho bởi phương trình (7.31) với n = 4 và vẽ trong hình 7.23 Ta còn có thể dùng giá trị Chọn lựa này cho ta kết quả hơi khác. Tuy nhiên hai thiết kế này đều thỏa các đặc tính cho trước

75 6.6 Mạch lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa cho bởi:  ϰ(j)= (7.42) Trong đó là đa thức Cheebyshev bậc n, cho bởi (7.43a) Một dạng khác của là: (7.43b) Dạng (7.43a) là dạng thích hợp nhất để tính khi Dạng (7.43b) là dạng thích hợp nhất để tính khi

76 Bảng 7.3: Đa thức Chebyshev
6.6 Mạch lọc Chebyshev còn có thể biểu diễn thành dạng đa thức, như trong bảng 7.3 với n = 1 đến 10: Bảng 7.3: Đa thức Chebyshev

77 Các tính chất mạch lọc Chebyshev
Đáp ứng biên độ Chebyshev có nhấp nhô trong dải thông và mịn (đơn điệu) trong dải triệt. Dải thông là Tổng cực đại và cực tiểu trong dải thông là n . Từ bảng 7.3, ta thấy: Do đó, độ lợi dc là: . Tham số  điều khiển cao độ của nhấp nhô. Trong dải thông.Tỉ số giữa độ lợi tối đa và tối thiểu là: Tỉ số r khi viết theo dB là : (7.46b) Do đó: (7.47) (7.46a)

78 Các tính chất mạch lọc Chebyshev
Nhấp nhô chỉ xuất hiện trong dải thông Tại ,đáp ứng biên độ là : Khi , độ lợi giảm đơn điệu. Ở bộ lọc Chebyshev, độ nhấp nhô dB thay cho (độ lợi tối thiểu trong dải thông). Khi r giảm ( giảm) ,độ nhấp nhô giảm ,đáp ứng của dải thông được cải thiện nhưng phải trả giá cho đáp ứng của dải triệt là độ lợi trong dải triệt tăng; và ngược lại. Lọc Chebyshev có tần số cắt sắc cạnh hơn (dải chuyển tiếp thấp hơn) so với bộ lọc Butterworth với cùng bậc, nhưng phải trả giá là có nhấp nhô ở dải thông.

79 Xác định n (bậc của mạch lọc)
Độ lợi tính theo dB là: Do đó: (7.48) Vậy (7.49a) Phương trình trên dùng cho mạch lọc chuẩn hóa, với .Trường hợp tổng quát, ta thay bằng để có Thay phương trình (7.43b) và (7.47) vào phương trình trên, ta có: (7.49b)

80 Vị trí cực Cực bậc n của lọc Chebyshev chuẩn hóa nằm trên nửa ellip với nữa trục lớn và nửa trục nhỏ lần lượt là cosh x và sinh x, trong đó: (7.50) Các cực của bộ lọc Chebyshev là: (7.51)

81 Hàm truyền ϰ(s) của mạch lọc chebyshev chuẩn hóa
Hàm truyền ϰ(s) của mạch lọc thông thấp Chebyshev chuẩn hóa bậc n là ϰ(s) (7.52) Hằng số Kn được chọn lọc để có độ lợi dc thích hợp.Để có độ lợi dc đơn vị thì Có thể xác đinh các hệ số của bằng cách tra bảng(phụ thuộc vào n và ) -Bảng 7.4 liệt kê các hệ số a0, a1, a2,…an-1 của đa thức với = 0,5; 1; 2 và 3 dB (độ nhấp nhô tương ứng với các giá trị  = 0,3493; 0,5088; 0,7648 và 0,9976). -Bảng 7.5 liệt kê các giá trị mở rộng của (hay ) thường gặp

82 Bảng 7.4: Các hệ số của đa thức mẫu số của bộ lọc Chebyshev

83 Bảng 7.5 Vị trí cực của mạch lọc Chebyshev

84 Thí dụ 7.7: Thiết kế mạch lọc thông thấp thỏa các tiêu chuẩn sau (hình 7.26): Tỉ số trong dải thông ( ).Độ lợi dải triệt là với ( )

85 Giải ϰ(s) ϰ(s) Xác định n: → → → chọn n = 3
Xác định : Khi n = 3 và =2 dB, ta đọc các hệ số của đa thức mẫu số của H(s) là , , và Đồng thời trong phương trình (7.53), khi n lẻ, tử số được cho bởi Do đó: cách khác: , từ phương trình (7.51), ta có , ϰ(s) ϰ(s)

86 Do đó Xác định H(s) :Tìm hàm truyền H(s) có thể tìm từ hàm truyền chuẩn hóa bằng cách thay s thành . Trường hợp này = 2dB tức là Đáp ứng tần số = dùng (/10) trong ϰ(j) ϰ(s) | ϰ(jw)| =

87 Mạch lọc Chebyshev nghịch
Đáp ứng dải thông của mạch lọc Chebyshev có dải thông nhấp nhô và có dải triệt mịn. Thông thường, đáp ứng dải thông quan trọng hơn và ta thường cần có dải thông mịn( độ nhấp nhô có thể được chấp nhận trong dải triệt bao lâu mà chúng còn thỏa được các tiêu chí). Mạch lọc Chebyshev nghịch thực hiện chính xác điều này(cho dải thông phẳng tối đa và đáp ứng dải triệt với độ nhấp nhô bằng nhau).

88 Lọc dạng ellip Khi đặt zêrô trên trục ảo (tại ta làm độ lợi tiến về zêrô.Do đó có thể thực hiện đặc tính với tần số cắt sắc cạnh hơn bằng cách đặt một (hay nhiều) zêrô gần Các mạch lọc Butterworth hay Chebyshev không dùng các zêrô trong H(s). Nhưng bộ lọc ellip thì dùng và đó là lý do làm mạch lọc ellip có tính ưu việt hơn. Mạch lọc Chebyshev có dải chuyển tiếp bé hơn so với lọc Butterworth do lọc Chebyshev cho phép có nhấp nhô trong dải thông (hay dải triệt). Nếu ta cho phép có nhấp nhô trong cả dải thông và dải triệt, ta có giảm thiểu hơn nửa trong dải chuyển tiếp. Đây là trường hợp mạch lọc ellip (hay lọc Cauer), có đáp ứng biên độ chuẩn hóa là  ϰ(j)= Với Là hàm hữu tỉ Chebyshev bậc n được xác định từ đặc tính nhấp nhô cho trước. Tham số  kiểm soát độ nhấp nhô. Độ lợi tại là