Chương 5. Hàng đợi (Queue) PGS. TS. Hà Quang Thụy.

Παρουσίαση με θέμα: "Chương 5. Hàng đợi (Queue) PGS. TS. Hà Quang Thụy."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Chương 5. Hàng đợi (Queue) PGS. TS. Hà Quang Thụy

2 Nội dung chương Giới thiệu Lý thuyết hàng đợi là gì
Độ đo hiệu năng cốt lõi Một khung cho hàng đợi Markov Kết quả quan trọng ở hàng đợi không Markov. Giải mô hình hàng đợi số Khi các điều kiện thay đổi theo thời gian

3 1. Giới thiệu Phân tích hàng đợi Giới thiệu
Rút tiền tại Ngân hàng hoặc tại ATM Xếp hàng đợi và có thể khó chịu Một số dịch vụ hy vọng không bao giờ phải đợi: dịch vụ cứu hỏa !, dịch vụ trên Internet v.v. Phân tích hàng đợi “Hàng đợi” một dòng “đợi” dịch vụ Đợi: nảy sinh cả khi tình huống tài nguyên được cho là đủ Bác sỹ khám bệnh theo lịch: lịch 18’/bệnh nhân, 2’ nghỉ ngơi cho bác sỹ, lên lịch hẹn theo lịch 20’ từ 8h00 tới 16h40. Hy vọng không ai phải đợi Tuy nhiên, không hoàn hảo, kiểm tra bằng mô phỏng 365 ngày theo trung bình thời gian bệnh nhân phải đơi ? “Đợi” bác sỹ trong hàng đợi, lý do: Bác sỹ không khám đúng 18’ với mọi bệnh nhân Bện nhân đến sớm hơn lịch … Dùng mô phỏng Excel: xuất hiện hàng đợi bác sỹ.

4 Thời gian bác sỹ khám: hai phân bố
Hai phân bố thời gian dịch vụ Phân bố đều: trong miền [13,23]. Chiều rộng phân bố đều bằng hai lần thời gian kéo dài với xác suất 0.1 mỗi phút Phân bố tam giác: trong miền [13, 28] với hai lần kéo dài về sau và một lần kéo dài về trước.

5 Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều
Biến đổi thời gian bận rộn trung bình Nếu thời gian phục vụ 18’: bận rộn 90%, 15’ : bận rộn 75%, 19,5’: bận rộn 97,5% Ba độ đo cốt lõi: thời gian đợi trung bình được bác sĩ khám; thời gian đợi trung bình cho những ai phải đợi; tỷ lệ bệnh nhân phải đợi tác động của biến thiên và thay đổi thời gian dịch vụ theo thời gian phục vụ bình quân trên thời gian đợi trải nghiệm một bệnh nhân (giả sử mọi bệnh nhân đến đúng vào thời gian dự kiến của họ). Giá trị kéo dài nhỏ

6 Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều
Biến đổi thời gian bận rộn trung bình Trái: Ảnh hưởng thời gian phục vụ trung bình và biến đổi thời gian dịch vụ theo tỷ lệ bệnh nhân những ai phải đợi cho dịch vụ với các bệnh nhân đến đúng như dự kiến Phải: Ảnh hưởng của thời gian dịch vụ trung bình và độ biến đổi thời gian theo % bệnh nhân phải đợi khi bệnh nhân đến đúng hẹn Bệnh nhân phải đợi ngay khi (a) thời gian phục vụ bình quân là ít hơn so khoảng cách xuất hiện các bệnh nhân và (b) các khách hàng đến đúng hẹn.

7 Bệnh nhân trễ hẹn: phân bố đều
Bệnh nhân đến sớm: đợi do tự bản thân Bệnh nhân đến trễ: gây đợi cho người khác Thời gian đợi trung bình trên mọi bệnh nhân nếu bệnh nhân đồng đều đến trễ 5 phút so với hẹn

8 Phân bố thời gian phục vụ tam giác
Tác động biến thiên tăng phân bố thời gian phục vụ Trái: Tương ứng ngay trước: phân bố thời gian phục vụ tam giác Thời gian đợi tăng lên dù thời gian phục vụ ít hơn thời gian bệnh nhân xuất hiện. Khả năng xuất hiện nhỏ tới 31,5’ với trung bình 19’ với kéo dài 6’. Phải: Thời gian đợi trung bình đối với bệnh nhân phải đợi. Ít hài long nhất

9 Ví dụ 2: Xác định số chỗ đậu xe
Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm Giúp mô hình hóa hang đợi Xe xuất hiện theo quá trình Poisson với 1200 chiếc/giờ (trung bình 20 xe/phút). Mỗi người ở lại trung tâm mua sắm 30’ Nên xây dựng bao nhiêu lô để xe để 98% chắc chắn đủ ? Phân tích sơ bộ 1200 xe/giờ và 20 phút  cần 3600 chỗ ? 1200 xe/giờ song với 50:50 có số lượng xe lớn hơn trong một giờ. Nếu chỉ có 3600 chỗ thì 50% trường hợp không đủ chỗ. Phải chăng là 6000 ? Phải chăng là 7000 để 98% khả năng đủ chỗ ? Không đơn giản. Xem phân bố Poisson Nếu xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giá trình trung bình 3600 xe.

10 Ví dụ 2: Xác định số chỗ đậu xe (2)
Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm Phân tích sơ bộ Nếu xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giá trình trung bình 3600 xe. Tương đương phân bố chuẩn với trung bình 3600 và độ lệch b/phương trung bình 60. Cơ hội 2% biến n/nhiên phân bố chuẩn có giá trị cao hơn 2 độ lệch. Xác suất 98%: số xe  *60=3720 (Thực tế 3723 p/bố Poisson). Số dự trữ nên là 3,4% khi 3600 tb. Phân tích thêm Đến – đi ra khỏi bãi đậu xe là lý tưởng: hê thống tiên tiến mới giúp khách hang xác định lô rỗng. Phân thành 20 vùng. Tương tự mỗi vùng 180 chỗ thì tổng cộng cần 4160 lô. Tuy nhiên, xác suất tích hợp = Cần 0.98 cho cả 20 vùng thì mỗi vùng eln(0.98)/20= Cần 223 mỗi vùng

11 2. Lý thuyết hang đợi Mở đầu Sơ bộ
Sự chậm trễ xảy ra ngay cả với hệ thống đặc trưng trung bình cho biết không xuất hiện hang đợi Trên đây dùng mô phỏng: (i) tốn kém thời gian lập trình viên + thời gian máy tính; (ii) đầu ra mô phỏng là thời gian đợi trung bình, tỷ lệ khách hang đợi – biến ngẫu nhiên phụ thuộc sự không chắc chắn. Câu hỏi cốt lõi nên là: cần bao nhiều dòng ? Cái gì nên cắt để cỡ sắm đạt chất lượng dòng ? Bao nhiêu dòng dịch vụ đầy đủ nên khởi tạo; (iii) Nếu chạy ít mô phỏng không đủ minh họa xu thể !  Lý thuyết hang đợi là sự thay thế tốt ! Sơ bộ Kết nối toán học với hàng đợi/dòng chờ (waiting lines) Có hai tiếp cận cơ bản: (i) Mô hình dựa trên xấp xỉ dòng lỏng (Newell, 1971): khung xác định hàng đợi, đặc biệt hữu ích trong phân tích hàng đợi mà tỷ lệ đến trung bình vượt tốc độ phục vụ bình quân trong thời gian dài gian; (ii) phân tích hàng đợi xác suất: một khung ngẫu nhiên hàng đợi, hữu ích nhất trong phân tích hàng đợi mà tỷ lệ xuất hiện ít hơn tỷ lệ dịch vụ trong thời gian dài.

12 Lý thuyết hàng đợi Mở đầu Đầu vào cho mô hình hang đợi
Lý thuyết hang đợi (xác định/ngẫu nhiên) đòi hởi các đầu vào Cần đặc trưng hóa : (i) Quá trình xuất hiện cũng như (ii) Quá trình dịch vụ Đầu vào cho mô hình hang đợi Mô tả cách thức khách hàng xuất hiện vào hệ thống. Quá trình xuất hiện (arrival process). Chú ý đặc biệt: phân bố xuất hiện khách hang theo thời gian Mô tả cách thức khách hang được phục vụ. Quá trình phục vụ (service process). Chú ý đặc biệt: (i) ước lượng trung bình và độ lệch bình phương trunh bình thời gian cần để phục vụ một khách hang; (ii) phân bố xác suất thực sự của thời gian cần để phục vụ khách hàng Số lượng các phục vụ Số lượng cực đại khách hang có thể đi vào hệ thống

13 Đầu vào hàng đợi (2) Đầu vào cho mô hình hang đợi Giải thích
Kích thước xâu (pool) khách hang Cách thức mà khách hàng đợi được chọn để phục vụ. Quy tắc phục vụ (service discipline) Giải thích Các đầu vào a), b), c) luôn cần. Kendal phát triển lưu ý chuẩn cho các đầu vào này X/Y/Z: X và Y là các chữ cái được dung để mô tả quá trình xuất hiện và quá trình phục vụ tương ứng, Z là sơ nguyên (có thể ) chỉ số lượng phục vụ X và Y để mô tả phân bố xác suất được dung trong mô hình hóa thời gian xuất hiện và thời gian phục vụ khách hàng: M: Phân bố lũy thừa (Exponential Distribution), tương ứng với xuất hiện Poisson, Ek: Phân bố Erlang-k. Phân bố Erlang-1 là phân bố lũy thừa, phân bố Erlang-k là tống k các phân bố lũy thừa phân tán xác định độc lập

14 Đầu vào hang đợi Phân bố xác suất được sử dụng Ví dụ
HE: Phân bố mũ (Hyperexponential distribution) D: Xác định G, GI: Phân bố tổng quát với trung bình và độ lệch hữu hạn. GI thường dung cho xuất hiện và ghi chú độc lập tổng quát, G thường được dung cho thời gian dịch vụ. Trong cả hai trường hợp thì giả thiết : thời gian xuất hiện và thời gian phục vụ là các biến ngẫu nhiên độc lập. Ví dụ M/M/1: Một dòng phục vụ đơn, phân bố t/gian xuất hiện Poisson, phân bố thời gian phục vụ phân tán lũy thừa. M/Ek/1: phục vụ đơn, Posson xuất hiện, phân bố thời gian phục vụ Erlang-k M/M/s: như M/M/1 song s máy phục vụ M/G/: M, phân bố thời gian phục vụ tổng quát, vô hạn máy

15 Hàng đợi Markov Giới thiệu Tập tối thiểu các output
Xuất hiện Poisson (hoặc thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa) Phục vụ: thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa Markov: Phân bố lũy thừa có tính không nhớ (memoryless) làm đơn gián mô hình hóa hang đợi, không cần biết khách hang cuối đến là bao lâu. Tập tối thiểu các output Số lượng trung bình trong hệ thống (hang đợi, dòng, phục vụ) Số lượng trung bình ở trong hang đợi (đợi để phục vụ) Thời gian trung bình trong hệ thống hoặc trong hang đợi Một số đầu ra quan tâm khác: thời gian trung bình khách ở hang đợi/hệ thống, phân bố thời gian giữa xuất phát từ hang đợi

16 3. Một số kiến thức bổ túc về xác suất
Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên là biến nhận giá trị về biến đổi cơ hội/từ kết quả một thực nghiệm thống kê; dùng chữ cái in hoa Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên có một xác suất cơ hội Kỳ vọng “expected value” E(X), Phương sai “variance” 2(X), độ lệch chuẩn “standard deviation” (X) X biến ngẫu nhiên dương, hệ số biến thiên “coecient of variation” cX= (X)/E(X)

17 Biến ngẫu nhiên rời rạc/liên tục
Cho X biến ngẫu nhiên X nhận giá trị đếm được (hữu hạn/vô hạn): biến ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ: biến ngẫu nhiên tương ứng mặt “sấp”/”ngửa” ở trên khi tung đồng xu: biến ngẫu nhiên rời rạc. Tung liền hai lần (SS, SN, NS, NN) Tung viên xúc sắc sáu mặt có 6 giá trị …. Bảng phân bố xác suất: Theo từng giá trị Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị liên tục: Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ: Biến ngẫu nhiên lốc xoáy xảy ra ở một vị trí trong không gian hai chiều là biến liên tục.

18 Một số phân bố xác suất thông dụng
Phân bố hình học Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố hình học với tham số p là Các đặc trưng Phân bố Poison X có phân bố Poison với tham số  là

19 Phân bố mũ Phân bố mũ Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục dương
X có phân bố mũ với tham số  và hàm mật độ là Các đặc trưng Tính chất không nhớ “memoryless property”: x>0, t>0: có nghĩa là kỳ vọng phía sau t vẫn là 1/. Nếu X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên phân bố mũ độc lập thì min (X1, X2, …, Xn) một biến ngẫu nhiên phân bố mũ với tham số và xác suất để Xi là nhỏ nhất i=1, 2, …, n.

20 Phân bố Erlang Phân bố Erlang
Cho X là biến ngầu nhiên liên lục trong miền t>0 X có phân bố Erlang-k (k=1,2, …) với kỳ vọng k/ nếu như X là tổng của k biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ với kỳ vọng 1/. Ký hiệu Ek() hoặc Ek. Hàm phân bố xác suất Hàm mật độ xác suất (đạo hàm của phân bố xác suất theo t) : tham số cỡ (kích thước), k: tham số hình dạng

21 Phân bố Erlang Sơ đồ “pha” của biến ngẫu nhiên Erlang
Hàm mật độ của phân bố k-Erlang với kỳ vọng 1 và phương sai k

22 Phân bố Erlang Các đặc trưng
Phân phối phù hợp “convenient” khi kết hợp hai phân phối Ek-1 và Ek với cùng tham số cỡ: Ek-1,k. Một biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất Ek-1,k() nếu X với xác suất p (tương ứng, 1-p) tổng của k-1 (tương ứng k) biến ngẫu nhiên độc lập với cùng kỳ vọng 1/. Mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên này: với 0  p  1. Khi p chạy từ 0 tới 1 hệ số biến thiên của phân bố Erlang kết hợp chạy từ 1/k tới 1/(k-1). Đây là biến ngẫu nhiên tương đối phổ biến

23 Biến ngẫu nhiên phân bố kiểu pha
Khái niệm Các phân bố trước đây là trường hợp đặc biệt của phân bố kiểu pha (phase-type distribution). Phân bố Coxi: Biến ngẫu nhiên X có phân bố Coxi bậc k nếu nó đi qua hầu hết k pha phân bố mũ. Độ dài kỳ vọng của pha n là n, n=1,2, …, k. Nó bắt đầu từ pha 1, sau pha n nó kết thúc với xác suất 1-pn và nó đi tới pha tiếp theo với xác suất pn. Rõ ràng pk=0. Với phân bố Cosi-2 thì hệ số biến thiên  0.5. Biến ngẫu nhiên X có phân bố Erlang kết hợp bậc k nếu nó với xác suất pn là tổng của n phân bố mũ với cùng một kỳ vọng 1/.

24 Biến ngẫu nhiên phân bố siêu mũ
Phân bố Hyperexponential distribution X là biến ngẫu nhiên liên tục t>0 X có phân bố siêu mũ với các xác suất pi (i=1,2, …, k) là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ với kỳ vọng 1/i. Ký hiệu X là Hk(p1, …, pk; 1, …, k) hoặc Hk. Hàm mật độ và kỳ vọng Hệ số biến thiên cX  1. Sơ đồ pha

25 4. Độ đo hiệu năng cốt lõi Định nghĩa các độ đo
L: Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống, Lq: số trung bình khách hàng đợi để được phục vụ, W: thời gian trung bình trong hệ thống, Wq: thời gian trung bình trong hàng đợi đợi để được phục vụ, : tốc độ xuất hiện trung bình, : tốc độ phục vụ trung bình, 1/: thời gian phục vụ trung bình.

26 Độ đo bổ sung Độ đo bổ sung
a (t) : số người xuất hiện tại hệ thống trong thời gian [0, t], d (t) : số người rời hệ thống trong thời gian [0, t], N (t) : số người ở trong hệ thống tại thời điểm t. Lưu ý rằng N (t) = a (t) - d (t).

27 Các độ đo bổ sung Tích lũy và trung bình
Tổng số tích lũy phút-người trong khoảng [0,t] Thời gian đợi trung bình trong khoảng [0,t]: l(t)/(a(t)=W (t) và số trung bình trong hệ thống là l(t)/t = L (t) (3.1) Lấy giới hạn khi t :

28 Luật nhỏ và liên quan Luật nhỏ Thời gian tổng cộng L = W (3.2)
Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống bằng tích của tốc độ xuất hiện trung bình với thời gian trung bình trong hệ thống. Tương tự có Lq = Wq (3.3) Ls= Ws = 1/, với Ls: số lượng người trung bình trong dịch vụ và Ws: thời gian phục vụ trung bình. Thời gian tổng cộng W = Wq + 1/ (3.4) thời gian trung bình chi tiêu trong hệ thống bằng tổng thời gian trung bình dành cho đợi dịch vụ bắt đầu cộng với thời gian phục vụ trung bình.

29 5. Khung đối với hang đợi Markov
Khái niệm quá trình Markov Quá trình Markov: một QT ngẫu nhiên mà xác suất có điều kiện thuộc một trạng thái bất kỳ tại một thời điểm tương lai “khi cho trạng thái hiện tại và trạng thái quá khứ” bằng xác suất ở trạng thái đó trong tương lai khi cho “chỉ trạng thái hiện tại”. lịch sử quá khứ của hệ thống không cung cấp thông tin bất kỳ mà cần thiết để dự đoán trạng thái tương lai. trạng thái hệ thống thường được mô tả là số lượng khách hàng trong hàng đợi, mặc dù ở một số hệ thống tiên tiến hơn: mô tả khác nhau các trạng thái hệ thống sẽ cần thiết

30 Khung hàng đợi Markov
Đặt vấn đề Phát triển một khung chung phân tích hàng đợi Markov Phân bố mũ là phân bố không nhớ Ví dụ, nếu thời gian DV pb mũ với trung bình 15 phút; khách hàng hiện tại đã được phục vụ 12 phút (thậm chí 20 phút) không cho biết gì về thời gian khách hàng trong dịch vụ: giá trị trung bình vẫn là 15 phút Quá trình xuất hiện và quá trình dịch vụ đều không nhớ

31 H/đợi Markov: Tính chất phân bố mũ
Một số tính chất bổ sung phân bố mũ Quá trình xuất hiện Poison với tốc độ xuất hiện  Xác suất không xuất hiện trong thời đoạn ngắn t o((t)2) là các số hạng bậc (t)2 hoặc nhỏ hơn. Với t nhỏ, ta có: Xác suất của hai hay nhiều sự kiện trong một thời gian đủ ngắn về cơ bản là 0 và có thể bỏ qua. Tương tự với quá trình phục vụ. Trong khoảng t nhỏ, xác suất không hoàn thành là 1-t

32 Phát triển các phương trình
Giả thiết tốc độ xuất hiện, tốc độ dịch vụ Phụ thuộc vào số lượng người trong hệ thống Thời gian Cụ thể n(t): (Poisson) tỷ lệ xuất hiện n người trong hệ thống tại thời điểm t μn(t): tỷ lệ dịch vụ với n người trong hệ thống tại thời điểm t Pi(t) là xác suất ở trạng thái I tại thời điểm t: (3.5) và

33 H/đợi Markov: Thiết lập phương trình
(3.5) Xác suất trong trạng thái 0 không có một người ở hệ thống trong một thời gian rất ngắn từ hiện tại là tổng: xác suất mà hệ thống đang ở trạng thái 0 hiện tại và không có khách hàng xuất hiện Xác suất mà hệ thống hiện có một khách và người đó hoàn thành dịch vụ trong thời gian rất ngắn.. Xác suất ở trạng thái i với thời gian ngắn hiện tại là tổng: xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i-1 và có 1 khách hàng xuất hiện trong một thời gian ngắn xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i và không có khách xuất hiện hoặc hoàn tất dịch vụ trong khoảng thời gian ngắn. xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i + 1 và có một khách hoàn thành dịch vụ trong khoảng thời gian ngắn

34 H/đợi Markov: Thiết lập phương trình
Biến đổi (3.5) và (3.6) Đưa Pi(t) về bên trái và chia cho t Lấy giới hạn khi cho t  0: (3.7) (3.8) Phương trình Chapman-Kolmogorov

35 Phương trình Chapman-Kolmogorov
 trạng thái của một hàng đợi Markov Cung cấp các tỷ lệ về các xác suất thay đổi trạng thái như hàm theo thời gian Chưa đề cập số lượng phục vụ theo thời gian Ngầm định giả định có khả năng vô hạn trạng thái Phương trình (3.8) Có thể chỉnh đơn giản khi có hữu hạn trạng thái Đại lượng hữu hạn = số cư dân được phục vụ ở hệ thống Trung tâm cuộc gọi với hữu hạn các dòng Trung tâm đậu xe không cho phép xếp hàng Trung tâm chỉnh sửa thiết bị hàng không

36 P/trình cân bằng trạng thái ổn định
Mối quan tâm chính từ lý thuyết hàng đợi Ước tính dài hạn hiệu năng trung bình hệ thống Cần giả định: tỷ lệ xuất hiện và tỷ lệ phục vụ không phụ thuộc thời gian: i(t)=i và μi(t) = μi : t. “hệ thống được giả định hoạt động vô thời hạn thời gian”: tương đối hợp lý trong thực tế “hệ thống loại trừ việc “ngừng dịch vụ” vào cuối ngày”: khi đó tốc độ xuất hiện giảm tới 0. Cho thêm Pi(t)= Pi và dPi(t)/dt=0. Viết lại (3.8) và (3.9) theo các giả định trên (3.9) (3.10) Giải (3.9) với P1 theo Po , có

37 P/trình cân bằng trạng thái ổn định
Trình bày các phương trình (3.9) (3.10) Giải (3.9) với P1 theo Po , có Giải (3.10) với I = 1 có hoặc Tổng quát hóa (3.11) Chứng mình tổng quát hóa (xem Daskin)

38 P/trình cân bằng trạng thái ổn định
Kết hợp phương trình Tổng quát hóa (3.11) Với điều kiện (3.13) cho phép tính xác suất mọi trạng thái Tính toán các độ đo cốt lõi và Trong đó s là số lượng các phục vụ

39 Cân bằng trạng thái ổn định
Hình 3.9 Hai phương trình (3.9), (3.10) trạng thái ổn định i , i là các tỷ lệ thông lượng chuyển trạng thái lên/xuống Tại trạng thái ổn định tỷ lệ ra khỏi vòng tròn = tỷ lệ vào như phương trình trên đây

40 Cô lập trạng thái Hình 3.10: Cô lập trạng thái: xác suất dòng vào, ra như nhau Hình 3.11: Ở mọi điểm cắt Tốc độ mạng ở điểm cắt bất kỳ = 0 Công thức (3.14) tỷ lệ trái = tỷ lệ phải. Tính Pj+1 theo Pj lại trở về (3.12)

41 Ứng dụng của mô hình cơ bản
(3.11) Công thức (3.11): trình bày mô hình cơ bản Áp dung cho một loạt bài toán hàng đợi Markov dòng xuất hiện: quá trình Poisson (có nghĩa là lần liên đoạn liên xuất hiện được phân bố mũ) với tốc độ  cho mỗi đơn vị thời gian thời gian phục vụ: các biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố giống nhau, hàm mũ với tham số μ, hoặc thời gian phục vụ 1/μ.

42 Mô hình M/M/1 (3.11) Hình Sơ đồ chuyển trạng thái của hàng đợi M/M/1 (3.15) = tốc độ sử dụng

43 Mô hình M/M/1 Tốc độ sử dụng
Tốc độ sử dụng: cao bao nhiêu phục vụ được sử dụng. Ví dụ văn phòng bác sĩ: tốc độ sử dụng được tính = tốc độ xuất hiện ( = 3 bệnh nhân mỗi giờ) lần thời gian phục vụ trung bình (theo giờ) Trường hợp t/gian dịch vụ trung bình là 15 phút = 0,25 giờ. Tốc độ sử dụng = 0,75 = 3 *0,25. Với bệnh nhân xuất hiện mỗi 20 phút (3/giờ) và thời gian phục vụ trung bình 15 phút: bác sĩ bận 75 % thời gian, tốc độ sử dụng.

44 Mô hình M/M/1  <1, chúng ta có (3.16)
xác suất trạng thái hàng đợi M/M/1 (3.17) (3.18) (3.19) (3.20)

45 M/M/1: Thảo luận Thảo luận
Điều kiện  <1 để có (3.16)-(3.20) “điều kiện trạng thái ổn định” ~ “tỷ lệ xuất hiện phải nhỏ thua thực sự tỷ lệ dịch vụ” Nếu  1 hàng đợi phát triển không giới hạn ! Các phương trình (3.17)-(3.20) tỷ lệ 1/(1- ). Khi  tiếp cận 1 thì thi hành rất tồi: đường cong tại hình vẽ. Hệ thống dịch vụ tốt <0.8, dịch vụ giảm dần 0.8<<0.9, giảm rất nhanh khi 0.9<.

46 M/M/1: Ví dụ Trạm thu phí
Tốc độ trung bình 360 xe (người)/giờ hoặc 1 xe/10 giây 300 xe/giờ (=5/6~0.833): trung bình 60 giây qua trạm tăng 10% 330 xe/giờ (~0.917): 2 phút qua trạm 345 xe/giờ (~0.958): 4 phút qua trạm. Công dân khiếu nại ?

47 M/M/1: Tính toán phương sai
Phương sai Var(N) và Như vậy = = Dẫn đến phương sai, độ lệch chuẩn tăng khi  gần 1.0 Độ lêch chuẩn (cột 5) cao hơn đôi chút số khách trung bình trong hệ thống (cột 3)

48 M/M/1: X/suất lượng khách ở hệ thống
Hàm tạo thời điểm (moment generating function: MGF)

49 M/M/1: Thời gian hệ thống
Hàm tổng quát thời điểm vô điều kiện của thời gian chờ Đây chỉ là MGF của phân bố mũ với tham số (1-). Hàng đợi M/M/1 FCFS, thời gian là phân bố siêu mũ có được

50 Ví dụ Lại ví dụ trạm thu phí nhỏ 300 xe/giờ hay 5 xe/phút
Bảng trước cho biết thời gian chờ 60 giây Bảng dưới cho thấy: 1/8 (0.135) xe chờ  2 phút và 1/20 (0.050) xe  3 phút

51 M/M/1: Thời gian chờ

52 M/M/1: Thời gian rời khỏi
Ví dụ trạm thu phí nhỏ Xác suất đợi 3 phút là 0.041: cứ 25 xe có một xe đợi 3 phút Nếu hệ thống rỗng: t/gian rời khỏi tiếp = t/gian xuất hiện tiếp theo (biến n/nhiên mũ kỳ vọng 1/)+ t/gian dịch vụ (biến n/nhiên mũ kỳ vọng 1/  MGF cho bắt đầu dịch vụ tiếp theo Hệ thống : tiếp 1/ và MGF là (Bảng 3.3) Xác suất thời gian trong hệ thống và thời gian chờ vượt quá w (với =300, =360):

53 M/M/1: Rời khỏi tiếp (2)
MGF vô điều kiện thời gian rời khỏi tiếp Thời gian liên-rời khỏi là hàm mũ hay quá trình rời khỏi là Poison với kỳ vọng  tương tự như xuất hiện Không ngạc nhiên: Tốc độ xuất hiện trung bình = tốc độ rời trung bình “cái gì vào hàng đợi sau thời gian dài phải đi ra” Ngạc nhiên: Phân bố rời khỏi giống như phân bố quá trình vào hàng đợi

54 M/M/1: độ dài hàng đợi hạn chế
Giới thiệu Độ dài hàng đợi là M (không có người đợi M+1) Nghiên cứu các phương trình và độ đo Tốc độ xuất hiện và phục vụ phụ thuộc trạng thái  Tổng và chuẩn hóa  và

55 M/M/1: Hàng đợi hạn chế
Nhận xét Công thức L rất lộn xộn: L biến đổi quá theo M và  Bảng cho một số điểm quan trọng: Khi M tăng thì L tiếp cận như một M/M/1 không giới hạn Không yêu cầu <1; khi >1 thì không áp dụng M/M/1 song vẫn tính được cho hàng đợi hạn chế Khi <1: tác động M không lớn; khi >1 ảnh hưởng M lớn

56 M/M/1 hạn chế: 1 Tính W
Tính W:cần tốc độ xuất hiện hiệu quả (effective arrival) Lưu ý: Khi số khách = M, mọi khách hàng mới bị bỏ đi Do đó với 1

57 M/M/1 dòng giới hạn với =1
Độ dài hàng đơi là M

58 M/M/1 hàng đợi giới hạn: Nhận xét
Nhận xét hàng đợi số lượng (hàng đợi) giới hạn Có sự cân bằng giữa: (i) tăng tỷ lệ khách xuất hiện được phục vụ (giảm số khách xuất hiện song không thấy cơ hội được phục vụ), và (ii) giảm t/gian đợi trung bình trong hệ thống Ví dụ, hệ thống điện thoại đơn gian tại văn phòng bác sỹ: coi là M/M/1 với hàng đợi giới hạn Giới hạn ở đây: số đường điện thoại tới văn phòng; ví dụ tiếp tân có 3 dường điện thoại: Tiếp tân thoại với một người và hai người có thể chờ Nếu có người thứ tư thì người đó nhận tín hiệu bận: không thể vào hàng đợi

59 M/M/1 giới hạn : minh họa cân bằng
Các tham số =0.45, =0.5 và =0.9 Tương ứng: tiếp tân thoại với bệnh nhân 2 phút và dòng xuất hiện 27 người/giờ Có thể 4/5 bác sỹ Tăng đường đt hoặc cực đại lượng bác sỹ: thời gian trung bình trong hệ thống tăng. Vì sao thêm đường dt: thời gian chờ dt của bệnh nhân tăng ? Nhiều người có thể đợi tiếp tân và ít người bị loại

60 Hàng đợi M/M/s Giới thiệu
Hàng đợi đa phục vụ: s phục vụ giống hệt nhau Thời gian xuất hiện Poison, phục vụ mũ Có hai cách hàng đợi cho hệ thống này (i) khách hàng ở hàng đợi ứng với mỗi phục vụ và ở đó từ xuất hiện – hoàn tất. Các quầy thanh toán ở các siêu thị. Tập s hàng đợi với xuất hiện /s (ii) cách quan tâm: chỉ có một hàng đợi và người đợi ở đầu hàng được phục vụ khi có phục vụ rỗi tiếp theo. Cách hoạt động check-in của hãng hàng không

61 M/M/s: Sơ đồ chuyển trạng thái
Đưa về dạng chuẩn (3.11) (3.23) Với điều kiện trạng thái ổn định Và nhận được (3.24)

62 M/M/s: các tham số đầu ra
Nhận xét (3.24): tg đợi trung bình Lq dễ nhận hơn so với L L yêu cầu hai dạng xác suất trạng thái (3.23): 0-s và s+1… Lq : chỉ cần sử dụng dạng thứ hai. Có Lq: theo (3.2)-(3.4): để tính ba tham số còn lại. Giả sử cho s=1, có  (3.16)  (3.20)

63 M/M/s: Minh họa Hàng đợi check-in hàng không
S=6 quầy check-in, t/gian phục vụ tb 1/= 2 phút (mỗi quầy phục vụ trung bình 30 khách (=0.5) Với 6 phục vụ: đòi hỏi <1:   <180=30*6 Bảng minh họa hiệu năng hệ thống: t/gian trung bình và t/gian tb đợi là hàm của tốc độ sử dụng /(s)

64 M/M/s: Minh họa

65 M/M/s ví dụ: nhận xét
Một số nhận xét Bảng cho thấy t/gian ở hệ thống luôn hơn t/gian đợi 2 phút Tỷ lệ sử dụng  0.8: t/gian chờ đợi là rất nhỏ Khi tăng tỷ lệ lên quá 0.8 thì t/gian đợi tăng đột biến =0.8: t/gian đợi < 1 phút =0.9 (thêm 18 người/giờ): t/gian đợi thêm 2.5 phút =0.95 (+ 9 người nữa/giờ): t/gian đợi thêm 5.75 phút =0.99: thời gian đợi xấp xỉ nửa tiếng

66 M/M/s: thêm quầy check-in
Giả sử tốc độ vào 175 người giờ =175/180 = Bảng cho hiệu năng hệ thống khi thêm quầy check-in Giảm thời gian đợi rất nhanh

67 M/M/s: Xác suất đợi Tính toán
Xác suất phải đợi: mọi quầy check-in đều bận Nếu khách xuất hiện thầy n+ s người trong hệ thống: khách phải đợi n+1 người hoàn tất dịch vụ T/gian giữa các thời điểm hoàn tất dịch vụ là phân bố mũ theo tham số s, hàm tạo thời điểm khách hàng được phục vụ khi khách hàng xuất hiện có n+s người ở hệ thống. Tạo thời điểm

68 M/M/s: Xác suất đợi Nhận xét
Biểu diễn trên: hàm tạo thời điểm của một phân bố mũ với tham số s-  phân bố t/gian đợi M/M/s: Kết hợp hàm khối lượng SX và hàm mật độ SX Lập bảng xác suất thời gian đợi 175;2;6 (3.25)

69 M/M/s sánh với M/M/1 M/M/s với  và M/M/1 với /s
Câu hỏi: hàng đợi chung cho s phục vụ có tốt hơn s phục vụ một hàng đợi riêng Trong mọi trường hợp hiệu năng M/M/s tốt hơn M/M/1 Tăng tốc độ xuất hiện: thời gian đời tăng lên Với 0.972: lượng khách trong M/M/s cao hơn M/M/1

70 M/M/s đối sánh M/M/1 Tiếp tục Như trên: Hiệu năng M/M/s tốt hơn
loại bỏ tâm lý cho khách hàng: “hàng nhanh hàng chậm”: Loại bỏ bất bình đẳng: người đến sau được phục vụ trước Ứng dụng rộng rãi trong hoạt động check-in các hãng hàng không, kiểm tra an ninh sân bay, xử lý xuất nhập cảnh tại sân bay, dòng chờ tại các khu vui chơi giải trí, và v.v..

71 M/M/s: Tính xấp xỉ hiệu năng
Xác suất cho trạng thái rỗng Công thức tính toán M/M/s là kết hợp “phức tạp” Công thức tính Po Tính hiệu năng (với =/(s)) Công thức xấp xỉ tốt, ví dụ M/M/5 với λ = 500 xuất hiện mỗi giờ và 1/=30 giây (hoặc 1/=30/3600 =1/120 giờ). t/gian đợi trong hàng đợi: C/xác 22.4 s; xấp xỉ 23.0 s M/M/9 tốc độ xuất hiện gấp đôi, cx 34.2 giây, xx 34.4 s

72 M/M/ Giới thiệu Xuất hiện Poison, phục vụ mũ, “vô hạn” phục vụ “tự phục vụ” Ví dụ: internet băng thông tốc độ cao “phục vụ tức thì” Ví dụ: “cứu hỏa” Sơ đồ chuyển trạng thái Các tốc độ: λn = λ; n = n Thay thế vào (3.11) có Kết hợp điều kiện chuẩn nhận được (3.27)

73 M/M/: Các kết quả đầu ra
Tính các đầu ra Công thức (3.27) cho phân bố Poison tham số λ/μ T/gian ở hệ thống trung bình  t/gian phục vụ trung bình Wq = W-1/, t/gian đợi dịch vụ trung bình là 0 Tương tự: Lq = 0. phân bố trạng thái ổn định của khách hàng ở hàng đợi M/G/: phân bố t/gian phục vụ trung bình 1/μ và phương sai hữu hạn, cũng theo (3.27) và lượng trung bình trong hệ thống theo (3.28). (3.28)

74 M/M/s không đợi Giới thiệu Mô hình M/M/s không có hàng đợi
Ví dụ: bãi đậu xe, không có chỗ đợi cho xe vào bãi Trung tâm cuộc gọi nhỏ: lượng phục vụ = lượng dòng điện thoại, điện thoại bận khi dòng dùng hết Sơ đồ chuyển trạng thái Các tốc độ (3.29)+(3.11) có (3.30) Nhận được (3.29)  = λ/μ (3.32) Công thức Erlang thiếu

75 M/M/s không đợi: các đầu ra
Các giá trị đầu ra Tính toán tốc độ xuất hiện hiệu quả Kết quả là: (3.35) Ví dụ bãi đậu xe nhỏ 10 chỗ, lần đậu trung bình 2 giờ (= 0.5) 1/=E(thời gian phục vụ)

76 H/đợi không Markov: k/quả quan trọng
Giới thiệu Xuất hiện Poison / mũ (liên xuất hiện): giả thiết phù hợp Quá trình phục vụ: Thường không phân bố mũ ! Phục vụ có nhớ: Phẫu thuật thường 90’, bệnh nhân đang phẫu thuật 105’  phẫu thuật kết thúc sớm Phân bố mũ có hệ số biến thiên cao, dịch vụ thông thường không thể như vậy Hàng đợi M/G/1 có Với là t/gian dịch vụ kỳ vọng, σ2 là phương sai của phân bố t/gian dịch vụ. Ở đây, giả thiết <1. (3.37) =E(S), E(S)= 1/

77 M/G/1 Một số kết quả tính toán
Thời gian đợi trước dịch vụ (3.38) Với M/M/1 có σ2 =1/2 cho nên Với M/D/1 có σ2 =0 và có t/gian đợi ở hàng đợi cho hệ thống phục vụ đơn với t/gian phục vụ xác định là chính xác một nửa t/gian đợi trong hàng đợi cho một hệ thống tương tự với t/gian dịch vụ phân bố mũ t/gian phục vụ bị thiệt hại.

78 M/Ek/1 Tính giá trị đầu ra Phương sai
T/gian đợi trước khi phục vụ giảm khi hoặc k tăng hoặc t/gian phục vụ nên nhỏ hơn và biến đổi nhỏ hơn Khi k  : phân bố t/gian phục vụ tiếp cận phân bố xác định. (3.39)