Κατανομή Poisson Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των γεγονότων που εμφανίζονται μέσα σ’ ένα διάστημα (0, t).

Παρουσίαση με θέμα: "Κατανομή Poisson Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των γεγονότων που εμφανίζονται μέσα σ’ ένα διάστημα (0, t)."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Κατανομή Poisson Η κατανομή αυτή χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να μετρήσουμε τον αριθμό των γεγονότων που εμφανίζονται μέσα σ’ ένα διάστημα (0, t).

2 Απαραίτητη προϋπόθεση για τη χρησιμοποίηση της κατανομής Poisson είναι να ισχύουν τα εξής:

3 Κατανομή Poisson H πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα γεγονός σε διάστημα μήκους t είναι ανάλογη προς το μήκος του διαστήματος. H πιθανότητα να πραγματοποιηθούν δυο ή περισσότερα γεγονότα σε διάστημα μήκους t είναι πολύ μικρή σε σχέση με την πιθανότητα εμφάνισης ενός μόνο γεγονότος, όταν το μήκος του διαστήματος είναι μικρό. Η πιθανότητα εμφάνισης k συμβάντων σ’ ένα διάστημα είναι ανεξάρτητη από την αντίστοιχη πιθανότητα σ’ ένα δεύτερο διάστημα ξένο προς το πρώτο.

4 Αν ισχύουν τα πιο πάνω, τότε η πιθανότητα πραγματοποίησης x γεγονότων σ’ ένα διάστημα μήκους t δίνεται από τη σχέση όπου e=2,71828… και λ ο μέσος όρος των συμβάντων στο διάστημα (0, t).

5 Κύριες περιγραφικές παράμετροι της Poisson
E [X] = λ, Var [X] = λ, λ=νt (ν η συχνότητα)

6 Σχέση Διωνυμικής και Poisson
Η Ε[Χ] της διωνυμικής είναι ίση np. Όταν το πλήθος n των δοκιμών Bernoulli τείνει στο άπειρο, θέτουμε λ=np

7 Εφαρμογές Υπόστρωμα Ελέγχου Πρόσβασης Μέσου WinBUGS Θάμπωμα εικόνας
Η επίδραση των ουρών στη λειτουργία δικτύου Σεισμική επικινδυνότητα Κίνηση σε δίκτυο

8 Κατανομή Poisson H πιθανότητα να αντιδράσει άσχημα ένας ασθενής σε ‘ένα φάρμακο είναι 0,001. Αν το φάρμακο χορηγηθεί σε 2000 ασθενείς, να υπολογιστεί η πιθανότητα ανεπιθύμητης αντίδρασης (α) ακριβώς 3, (β) περισσότεροι από 2. Επειδή η ανεπιθύμητη αντίδραση είναι σπάνιο γεγονός θεωρούμε την κατανομή Poisson Άρα Ρ(Χ=3)=0,18 P(X>2)=0.323 διότι:

9 Κατανομή Poisson Το 1/10 των εργαλείων που κατασκευάζει μια εταιρεία είναι ελαττωματικά. Με τη διωνυμική κατανομή υπολογίστε την πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα 10 εργαλείων, τα 2 να είναι ελαττωματικά. Να προσεγγίσετε την πιθανότητα του ίδιου γεγονότος με κατανομή Poisson. Η προσέγγιση είναι καλή όταν p<0,1 και λ=np<5

10 Παράδειγμα κατανομής Poisson:
(α) Να μην υπάρξουν κλήσεις (β) Να φθάσουν ακριβώς 2 κλήσεις (γ) Να φτάσουν τουλάχιστον 2 κλήσεις Η Poisson κατανομή δίνεται από τον γνωστό τύπο του οποίου η εφαρμογή δίνει: (α) Ρ(Χ = 0) = e-2 (b) P(X = 1) = e-2 2 (γ) Ρ(Χ = 2) = e-2 22 /2! (δ) Ρ(Χ > 2) = 1 – Ρ(Χ=0) – Ρ(Χ=1) = 1 -e-2 - e-2 2 =1 – 3e-2 WWW

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ προσεγγίσεως
Το εργοστάσιο έστειλε στην αποθήκη 500 τηλεοράσεις . Η πιθανότητα να χαλάσουν οι τηλεοράσεις κατά τη διάρκεια της μεταφοράς τους είναι 0,002.Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να χαλάσουν κατά την διάρκεια της μεταφοράς τους: α) ακριβώς 3 τηλεοράσεις β) λιγότερες από 3 τηλεοράσεις γ) περισσότερες από3 τηλεοράσεις δ) τουλάχιστον 1 τηλεόραση. Ο αριθμός n=500είναι μεγάλος, η πιθανότητα Ρ=0,002είναι μικρή τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν (να χαλάσει η τηλεόραση κατά τη διάρκεια της μεταφοράς της )είναι ανεξάρτητα, για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε τον τύπο Poisson: Ρn(Â)=e-λ λκ /Â! a)Βρίσκουμε το λ: λ=n·Ρ=500·0,002=1 Οπότε η πιθανότητα να χαλάσουν ακριβώς 3 τηλεοράσεις είναι: Ρ500(3)=e-1/3!=0,36788/6=0,613 β) Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσουν λιγότερο από 3 τηλεοράσεις: Ρ500(0) + Ρ500(1) + Ρ500(2)=e-1+e-1+e-1/2=5/2 e-1=(5/2)  0,36788=0,9197 γ)Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσουν περισσότερο από 3 τηλεοράσεις . Τα ενδεχόμενα: Α-να χαλάσουν περισσότερο από 3 τηλεοράσεις και το Β- να χαλάσουν όχι πάνω από 3 τηλεοράσεις είναι αντίθετα, οπότε: Ρ(Α) + Ρ(Β)=1 ή Ρ(Α)=1-Ρ(Β) Επομένως: Ρ(Α)=1-[Ρ(0)+Ρ(1)+Ρ(2)+Ρ(3)]=1-(0,9197+0,0613)=0,019 δ) Βρίσκουμε την πιθανότητα να χαλάσει τουλάχιστον 1 τηλεόραση . Τα ενδεχόμενα: Γ-να μη χαλάσει καμιά τηλεόραση και Δ-και να χαλάσει τουλάχιστον μια τηλεόραση είναι αντίθετα, οπότε: Ρ(Γ)+Ρ(Δ)=1 Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ(Δ)=1- Ρ(Γ)=1 - Ρ500(0)=1 - e-1=1 - 0,36788=0,632

12 Παράδειγμα κατανομή Poisson για την προσέγγιση της Διωνυμικής:
Σε μια διασταύρωση με μεγάλη κίνηση, η πιθανότητα, p, ένα αυτοκίνητο να έχει ένα δυστύχημα είναι πολύ μικρή, p= Κατά το χρονικό διάστημα 2-4μ.μ, ένας μεγάλος αριθμός αυτοκινήτων περνάει από την διασταύρωση, κατά μέσο όρο Κάτω από τις συνθήκες αυτές, ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν δύο ή περισσότερα δυστυχήματα κατά το χρονικό διάστημα 2-4 μ.μ. Επειδή το n είναι μεγάλο και το p μικρό, μπορούμε να προσεγγίσουμε την διωνυμική κατανομή με την Poisson κατανομή, Οπότε, Ρ(Χ>2) = 1-Ρ(Χ=0) –Ρ(Χ=1) = 1-e -0.1 (1+0.1) = = 0,0045

13