γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Παρουσίαση με θέμα: "γραμμικές διαφορικές εξισώσεις"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 γραμμικές διαφορικές εξισώσεις
1ης τάξης Γραμμική 1ης τάξης λέγεται μια δ.ε. που είναι γραμμική ως προς y και dy/dx δηλ.  η dy/dx είναι πρώτου βαθμού  η y=y(x) είναι πρώτου βαθμού  δεν υπάρχει κανένα γινόμενο των dy/dx και y Έχει την μορφή ισοδύναμα όπου

2 κανένας περιορισμός δεν τίθεται ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x
Π ρ ο σ ο χ η ! Ο περιορισμός της γραμμικότητας αφορά μόνο την παράγωγο dy/dx και την εξαρτημένη μεταβλητή y=y(x) κανένας περιορισμός δεν τίθεται ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή x Παράδειγμα: είναι γραμμική διότι γράφεται

3 Ομογενής γραμμική δ.ε. 1ης τάξης
Θεώρημα: Η γραμμική δ.ε. 1ης τάξης έχει την γενική λύση: Ομογενής γραμμική δ.ε. 1ης τάξης Μία γραμμική δ.ε. 1ης τάξης λέγεται ομογενής, αν q(x)=0, δηλαδή, γενική λύση:

4 Απόδειξη: Δίνεται η ομογενής δ.ε. 1ης τάξης
έχουμε, επομένως,

5 γενική λύση της ομογενούς

6 Άσκηση: να λυθεί η δ.ε. dy/dx+axy=0, aR
λύση: Έχει την μορφή Άρα, από την γενική λύση όπου p(x)=ax έχουμε γενική λύση

7 Για να προσδιορίσουμε τώρα την γενική λύση της μη-ομογενούς δ.ε.
Χρησιμοποιούμε την γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς δ.ε. εφαρμόζοντας την μέθοδο του Lagrange. Δηλαδή, θεωρούμε ότι η λύση της ομογενούς είναι και λύση της (Ι) με την διαφορά ότι η σταθερά c είναι τώρα μία συνάρτηση του x, c=z(x), την οποία και πρέπει να προσδιορίσουμε. Επομένως, έχουμε ότι η Παραγογίζοντας ως προς x την (ΙΙ) έχουμε,

8 Αντικαθιστώντας τις τιμές των y και y΄ στην εξίσωση (Ι) έχουμε,

9 γενική λύση της μη-ομογενούς
και η λύση (ΙΙ) της (Ι) γίνεται, γενική λύση της μη-ομογενούς

10 Άσκηση: Να λυθεί η δ.ε. Λύση: υποθέτουμε ότι x0 και έχουμε
γραμμική δ.ε. 1ης τάξης

11 γενική λύση: εφαρμογή (a) = -3x – 2ln|x| + c1, c1R (b)

12 Επομένως από (a),(b) η γενική λύση της δ.ε. γίνεται:

13 ειδικές περπτώσεις γραμμικών δ.ε.
ομογενείς δ.ε. q(x)=0 με σταθερούς συντελεστές p(x)=a, q(x)=b, a,bR p(x)=a q(x) συνάρτηση του x