Οικονομικά Μαθηματικά

Παρουσίαση με θέμα: "Οικονομικά Μαθηματικά"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Οικονομικά Μαθηματικά
Διηνεκείς Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης

2 Διηνεκείς Ράντες Διηνεκείς είναι οι ράντες που το πλήθος των όρων τους είναι άπειρο. Η παρούσα αξία της ληξιπροθέσμου διηνεκούς ράντας, δηλαδή η αξία όλων των όρων της ράντας στην αρχή της ράντας, είναι ίση με την προεξόφληση των όρων της. Έστω ότι καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου κεφάλαια αξίας 1 ευρώ, για άπειρες περιόδους με επιτόκιο i. Η παρούσα αξία της ράντα αυτής ισούται με την άθροιση των παρουσών αξιών των αντίστοιχων καταβολών. Για παράδειγμα, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της πρώτης περιόδου θα είναι ίση:

3 Διηνεκείς Ράντες Κ0 =Κt ∕ (1+i) t ↔ Κ0 = 1 ∕ (1+i)1
Επίσης, η παρούσα αξία ενός ευρώ που θα έχει καταβληθεί στο τέλος της δεύτερης περιόδου θα είναι ίση: Κ0 =Κt ∕ (1+i) t ↔ Κ0 = 1 ∕ (1+i)2 Αν, λοιπόν, θέσουμε όπου 1 ∕ (1+i) = y τότε οι παρούσες αξίες των ευρώ που θα έχουν καταβληθεί στο τέλος της πρώτης, της δεύτερης περιόδου, της τρίτης κ.ο.κ θα είναι αντίστοιχα ίσες. Y =1 ∕ (1+i) 1 , Y 2 =1 ∕ (1+i) , Y 3 =1 ∕ (1+i) 3 , Y n-1 =1 ∕ (1+i) n-1 Και Y n =1 ∕ (1+i) n

4 Διηνεκείς Ράντες Εάν συμβολίσουμε την παρούσα αξία μιας ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης ράντας μιας νομισματικής μονάδας με aj00 όπου 00 ο άπειρος αριθμός των περιόδων και i το επιτόκιο, τότε η παρούσα ή αλλιώς αρχική αξία aj00 της παραπάνω ράντα θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους παρουσών αξιών των όρων της ράντας, δηλαδή ajn=(1 ∕ (1+i) 1 ) + (1 ∕ (1+i) 2 ) + (1 ∕ (1+i) 3 ) +,...+ (1 ∕ (1+i)n-1 ) + (1 ∕ (1+i)n )

5 Διηνεκείς Ράντες Ή aj00= Υ + Υ2 + Υ3 +...+Υn-1 + Υ00
Η παράσταση στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = Υ, λόγο λ = Υ. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με: Σ = [(α(πρώτος όρος) ] ∕ 1-λ (λόγος)) Κατ’αντιστοιχία η παρούσα αξία της υπό εξέτασης ράντας θα είναι ίση με: aj00=Y + (Y) 2 + (Y) 3 +,...+ (Y)n-1+ (Y)00 = Y ∕ 1-Y

6 Διηνεκείς Ράντες Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με Υ και απλοποιούμε Εάν οι όροι της ράντας είναι ίση με R νομισματικές μονάδες τότε η παρούσα αξία της ράντας θα είναι ίση με: Aj00= R* aj00 = R/ i Με ανάλογο τρόπο αποδικνύεται ότι όταν οι όροι R αυξάνονται κάτα σταθερό ρυθμό (ποσοστό) g τότε η παρούσα αξία δίνεται από τον τύπο: Aj00= R / (i-g) aj00= Υ Υ 1 Υ − Υ Υ = Υ −1 = 𝑖 −1 = 1 𝑖

7 Παράδειγμα 1 1. Μια επιχείρηση θέλει να χορηγεί επ’άπειρο βοήθεια ευρώ στην τοπική κοινότητα όπου βρίσκεται το εργοστάσιο τής. Αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 9% και οι καταβολές γίνονται στο τέλος κάθε χρόνου ποια η αξία της βοηθειας σήμερα. Λύση: R= και επιτοκιο i=0,09 Αj00 = R* aj00 = R/i = / 0,09 = ευρώ.

8 Παράδειγμα 2 Αj00 = R* aj00 = R/i = 320/0,07 = 4.571,4
Ένα ομόλογο διηνεκούς ράντας αποδίδει ετήσιο τόκο 320 ευρώ. Ζητείται να προσδιοριστεί η Π.Α της ράντας των ετήσιων τόκων, όταν η απαιτούμενη απόδοση είναι 7% ετησίως: Λύση Αj00 = R* aj00 = R/i = 320/0,07 = 4.571,4 Εάν ένας επενδυτής απαιτεί ετήσιο επιτόκιο απόδοσης από την παραπάνω ομολογία, τότε είναι διατεθημένος να την αγοράσει 4.571,4, προκειμένου να έχει μία σειρά χρηματικών εισροών ύψους 320 ευρώ.

9 Παράδειγμα 3 Μια εταιρία ανέλαβε την πραγματοποίηση έργου κόστους ευρώ το οποίο υπολογίζεται να αποδίδει ευρώ κάθε χρόνο (εισροές). Με ποιο επιτόκιο προεξόφλησης η καθαρή παρούσα αξία του έργου θα είναι ευρώ. Λύση υποθέτουμε ότι μια επιχείρηση έχει ισόβια (άπειρη) διάρκεια και επομένως οι εισροές (κέρδη) των ευρώ θα λαμβάνονται στο διηνεκές, δηλαδή οι ευρώ αντικατοπτρίζουν την παρούσα αξία των κερδών. Συνεπώς, ισχύει η ισοδυναμία:

10 Παράδειγμα 3 ΚΠΑ = Αj00 - C  ΚΠΑ = R/i – C 

11 Παράδειγμα 4 Ο ιδιοκτήτης ακινήτου αναμένει ετήσιο εισόδημα , στο τέλος κάθε χρόνου, από είσπραξη ενοικίων. Επίσης προσδοκά ότι το εισόδημα αυτό θα αυξάνει 5 % στο διηνεκές. Ποια θα είναι η παρούσα αξία του διαμερίσματος αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 11 %. Λύση Ό όρος της διηνεκούς ράντας είναι R=10.000, το επιτόκιο i = 11 % και ο ρυθμός αύξησης g = 5%. Αj00 = R / (i-g) = / (0,11-0,05) = ευρώ Συνεπώς, η αξία αγοράς του διαμερίσματος θα είναι ευρώ.