Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

2 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
Περιστροφική Κινηματική Κέντρο Μάζας Ροπή Δύναμης ως προς Σημείο Ροπή Βαρυτικής Δύναμης Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Ισορροπία

3 Περιστροφική Κινηματική Τα Τρία Είδη Κίνησης
Μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση Συνδυασμένη κίνηση Τα Τρία Είδη Κίνησης Τι Χαρακτηριστικό έχει κάθε μια από τις κινήσεις που εμφανίστηκαν;

4 Περιστροφική Κινηματική
Ανακεφαλαίωση στην Κυκλική Κίνηση: cw ccw Κεντρομόλος επιτάχυνση: Γωνιακή Ταχύτητα: Επιτρόχιος επιτάχυνση: αt = αω r Γωνιακή επιτάχυνση: Εφαπτομενική ταχύτητα:

5 Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας ενός στερεού σώματος
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας ενός στερεού σώματος x y Επιλογή Συστήματος Συντεταγμένων O cm ω Το σώμα περιστρέφεται γύρω από το Κέντρο Μάζας με γωνιακή συχνότητα ω mi Η τυχαία μάζα mi κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας Δri 𝚫 𝒓 𝒊 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝒓 𝒄𝒎 =𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓 𝛋𝛆𝛎𝛕𝛒𝛐𝛖 𝛍𝛂𝛇𝛂𝛓 𝑭 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) 𝑭 𝒊𝒚 𝑭 𝒊𝒚 = 𝑭 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 Διαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, , mn 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒙 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 yi xi 𝒓 𝒊 𝒓 𝒊 =𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓 𝛍𝛂𝛇𝛂𝛓 𝒎 𝒊 𝛕𝛈 𝛘𝛒𝛐𝛎𝛊𝛋𝛈 𝛔𝛕𝛊𝛄𝛍𝛈 𝐭 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒙 =𝟎 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊 =𝟎 Το κέντρο μάζας του σώματος είναι σε ηρεμία: 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒚 =𝟎

6 Υπολογισμός της συνιστώσας xcm
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της συνιστώσας xcm x y O 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 mi 𝚫 𝒓 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) cm ω 𝑭 𝒊𝒚 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝑭 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒙 =𝟎 Συνισταμένη δύναμη στον άξονα x: cos 𝜽 = 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 𝚫𝒓 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒙 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 yi xi 𝒓 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 ) 𝚫𝒓 =𝟎 𝝎 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 (𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 ) =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒄𝒎 =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 − 𝒙 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 =𝟎 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 = 𝒙 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 =𝑴 𝒙 𝒄𝒎 ⇒

7 Υπολογισμός της συνιστώσας ycm
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Υπολογισμός της συνιστώσας ycm x y O 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 mi 𝚫 𝒓 𝒊 Κεντρομόλος δύναμη πάνω στη μάζα m1: 𝑭 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) cm ω 𝑭 𝒊𝒚 ycm xcm 𝒓 𝒄𝒎 𝑭 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝑭 𝒊𝒚 =𝟎 Συνισταμένη δύναμη στον άξονα x: sin 𝜽 = 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 𝚫𝒓 𝑭 𝒊𝒙 θ 𝑭 𝒊𝒚 = 𝑭 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 yi xi 𝒓 𝒊 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝝎 𝟐 (𝚫𝒓) ( 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 ) 𝚫𝒓 =𝟎 𝝎 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 (𝒚 𝒄𝒎 − 𝒚 𝒊 ) =𝟎 ⇒ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝟎 ⇒ 𝒚 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝟎 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 =𝑴 𝒚 𝒄𝒎 ⇒

8 Ανακεφαλαίωση ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Ανακεφαλαίωση Το σώμα αποτελείται από διακριτές μάζες m1, m2, m3, . . ., mn με συντεταγμένες (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), . . ., (xn, yn, zn). Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίνονται από τις σχέσεις: 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒚 𝒊 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 𝒛 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒛 𝒊 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊

9 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Το σώμα διαμερίζεται σε απειροστές μάζες dm με συντεταγμένες (x, y, z),.Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίνονται από τις σχέσεις: 𝒙 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝒅𝒎 𝒚 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒚 𝟏 𝒚 𝟐 𝒚 𝒅𝒎 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒓 𝒅𝒎 𝒛 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒛 𝟏 𝒛 𝟐 𝒛 𝒅𝒎 𝑴= 𝑴 𝒅𝒎

10 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Η ροπή δύναμης ως προς σημείο είναι το αίτιο που μεταβάλλει την περιστροφική κινητική κατάσταση ενός σώματος Η ροπή δύναμης ως προς σημείο ποσοτικοποιεί την ικανότητας μιας δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα

11 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 𝒓 =𝟎 Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: 𝒓 𝟏 𝑭 Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 Είναι ανάλογη με την απόσταση του άξονα περιστροφής από το σημείο εφαρμογής της δύναμης F 𝒓 𝟐 𝑭 Μεγάλη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 𝝉∝𝒓 Μέγιστη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟑 𝒓 𝟑 𝑭

12 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Είναι ανάλογη με τo μέτρο της δύναμης F
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Πολύ μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 𝒓 𝑭 𝟏 Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 𝑭 𝟐 𝒓 Είναι ανάλογη με τo μέτρο της δύναμης F 𝑭 𝟑 𝒓 Μεγάλη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟑 𝝉∝𝑭 Μεγαλύτερη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟒 𝑭 𝟒 𝒓

13 𝝉∝𝑭 sin 𝝋 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 ∥ F⊥=F sinφ φ
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 =𝟎 𝒓 φ=0ο 𝑭 𝑭 𝒓 φ 𝑭 ⊥ 𝑭 ∥ Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟏 𝑭 𝒓 φ 𝑭 φ=90ο 𝒓 Μέγιστη ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 𝟐 Μόνο η δύναμη F⊥=F sinφ είναι ικανή να περιστρέψει την πόρτα Η ροπή τ της δύναμης F ως η ικανότητας της F να περιστρέψει ένα σώμα ως προς ένα άξονα περιστροφής: 𝑭 φ 𝒓 𝝉 𝟑 Μικρή ικανότητα περιστροφής πόρτας Είναι ανάλογη με τη δύναμη F⊥=F sinφ 𝑭 𝒓 φ=180ο Μηδενική ικανότητα περιστροφής πόρτας 𝝉 =𝟎 𝝉∝𝑭 sin 𝝋

14 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 𝑭 𝒓 φ 𝝉 Το διάνυσμα της Ροπής τ έχει τη φορά του δεξιόστροφου κοχλία. Η Ροπή τ της δύναμης F ως προς ένα σημείο περιστροφής είναι ανάλογη με: την απόσταση r του σημείου περιστροφής από το σημείο εφαρμογής της δύναμης F το μέτρο της δύναμης F το ημίτονο της γωνίας φ μεταξύ των διανυσμάτων r και F 𝝉=𝒓𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝝋 Η Ροπή τ είναι διάνυσμα που έχει μέτρο: Η διανυσματική εξίσωση για τη Ροπής τ είναι: 𝝉 = 𝒓 × 𝑭 Η διεύθυνση της Ροπής τ είναι παράλληλη με το άξονα περιστροφής.

15 ΡΟΠΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ
ΡΟΠΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ x y Επιλογή Συστήματος Συντεταγμένων O Κάθε μικρή μάζα mi έχει βάρος: 𝒘 𝒊 =− 𝒎 𝒊 𝒈 𝒋 mi Διαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, , mn 𝚳𝛂𝛇𝛂 𝛔ώ𝛍𝛂𝛕𝛐𝛓: 𝑴= 𝒎 𝟏 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒎 𝒏 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 Διάνυσμα θέσης μάζας mi cm 𝒓 𝒄𝒎 𝝉 = 𝒓 𝒄𝒎 × 𝒘 w = βάρος σώματος 𝒘 =−𝑴𝒈 𝒋 𝚸𝛐𝛑𝛈 𝛅𝛖𝛎𝛂𝛍𝛈𝛓 𝒘 𝒊 𝛚𝛓 𝛑𝛒𝛐𝛓 𝛔𝛈𝛍𝛆𝛊𝛐 𝚶: 𝝉 𝒊 = 𝒓 𝒊 × 𝒘 𝒊 𝝉 𝒊 = 𝒓 𝒊 × − 𝒎 𝒊 𝑔 𝒋 ⇒ 𝝉 𝒊 = 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 × −𝑔 𝒋 Ροπές τ1, τ2, τ3, . . ., τn από μάζες m1, m2, m3, . . ., mn 𝒓 𝒄𝒎 = 𝟏 𝑴 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 𝝉 𝟏 = 𝒎 𝟏 𝒓 𝒊 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 𝟐 = 𝒎 𝟐 𝒓 𝟐 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 𝟑 = 𝒎 𝟑 𝒓 𝟑 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 𝒏 = 𝒎 𝒏 𝒓 𝒏 ×(−𝒈 𝒋 ) + 𝝉 = 𝝉 𝟏 + 𝝉 𝟐 + 𝝉 𝟑 𝝉 𝒏 = = 𝒎 𝟏 𝒓 𝟏 + 𝒎 𝟐 𝒓 𝟐 + 𝒎 𝟑 𝒓 𝟑 𝒎 𝒏 𝒓 𝒏 × −𝑔 𝒋 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒎 𝒊 𝒓 𝒊 ×(−𝒈 𝒋 ) 𝝉 =𝑴 𝒓 𝒄𝒎 × −g 𝒋 = 𝒓 𝒄𝒎 × −𝑴g 𝒋

16 ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 𝝉=𝑭d ⇒ d = απόσταση δυνάμεων 𝒅 𝑭 𝟏
ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Δυο δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα, αντίθετες κατευθύνσεις και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία συνιστούν ένα ζεύγος δυνάμεων 𝜽 𝒅 𝚫𝒓 sin 𝜽 =𝒅 𝑭 𝟏 𝑭 𝟐 𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 =𝟎 ⇒ 𝑭 𝟏 =− 𝑭 𝟐 = 𝑭 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 Διανύσματα θέσης r1 και r2 των δυνάμεων F1 και F2 =Δ 𝒓 Δ 𝒓 Τυχαία επιλογή σημείου αναφοράς Ο 𝝉 𝟏 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 𝟏 𝝉 𝟐 = 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝟐 Ροπές δυνάμεων F1 και F2 ως προς το σημείο Ο 𝝉 = 𝝉 𝟏 + 𝝉 𝟐 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 𝟏 + 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝟐 ⇒ Συνισταμένη ροπή: 𝝉 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 + 𝒓 𝟐 × − 𝑭 = 𝒓 𝟏 × 𝑭 − 𝒓 𝟐 × 𝑭 = 𝒓 𝟏 − 𝒓 𝟐 × 𝑭 𝝉 =Δ 𝒓 × 𝑭 𝝉=𝚫𝒓 𝑭 sin 𝜽 ⇒ 𝝉=𝑭d d = απόσταση δυνάμεων

17 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑥 =0 𝑖=1 𝑛 𝑭 =0 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑦 =0 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0
𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑥 =0 ή ισοδύναμα: 𝑖=1 𝑛 𝑭 =0 𝑖=1 𝑛 𝐹 𝑦 =0 Ένα σώμα ισορροπεί όταν: ΚΑΙ 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0 ή ισοδύναμα: 𝑖=1 𝑛 𝜏 =0