ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 12: Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 12: Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 12: Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις
Όνομα Καθηγητή: Χριστόφορος Κροντηράς Τμήμα Φυσικής

2 Άδειες χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ΧρηματοδΟτηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

4 Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκων Καθηγητής: Χρ. Κροντηράς «Εκείνοι που δεν συγκλονίζονται από την κβαντική θεωρία, σίγουρα δεν την έχουν κατανοήσει» Πηγή: Wikipedia Niels Bohr (documentary, Nobel Prize)

5 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις
Πηγή: Wikipedia Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262 E. Schrödinger (documentary) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) Nobel Prize lecture

6 Περιεχόμενα της ενότητας 12
Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Επέκταση της εξίσωσης του Schrödinger στις δύο διαστάσεις. Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού. Το δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι δυναμικού.

7 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα
Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει: Την εξίσωση του Schrodinger σε δύο διαστάσεις. Τη συμπεριφορά του κβαντικού σωματίου στο δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού. Τη συμπεριφορά του κβαντικού σωματίου στο δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι δυναμικού. Τη κβάντωση της ορμής και της ενέργειας του σωματίου. Την αναγκαιότητα εισαγωγής δύο κύριων κβαντικών αριθμών. Την έννοια του εκφυλισμού και την άρση του.

8 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις
Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικού Πηγή: Wikipedia Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262 E. Schrödinger (documentary) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) Nobel Prize lecture

9 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Επιδιωκόμενα μαθησιακά αποτελέσματα
Στο τέλος της ενότητας αυτής, ο φοιτητής θα γνωρίζει: Την εξίσωση του Schrödinger σε δύο διαστάσεις. Τη συμπεριφορά κβαντικού σωματίου σε απειρόβαθο τετραγωνικό κουτί δυναμικού. Τη κβάντωση της ενέργειας του σωματίου. Την εισαγωγή και 2ου κύριου κβαντικού αριθμού. Την έννοια του εκφυλισμού και την άρση του. Τη συμπεριφορά κβαντικού σωματίου σε απειρόβαθο ορθογώνιο κουτί δυναμικού.

10 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger Μέχρι τώρα χρησιμοποιήσαμε την κβαντομηχανική για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματίου σε μία διάσταση. Θα επεκτείνουμε πλέον, τις έννοιες της κβαντομηχανικής σε δύο διαστάσεις με σκοπό να εισάγουμε την έννοια του εκφυλισμού και να οδηγηθούμε ομαλά στην κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις. Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση του Schrödinger σε δύο διαστάσεις: Εάν επίσης U(x,y,t)=U(x,y) δηλαδή ανεξάρτητο του χρόνου τότε:

11 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger Πρόκειται για την χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrödinger σε δύο διαστάσεις. Η ψ (x,y) συνδέεται με την πιθανότητα P να βρεθεί το σωμάτιο σε μια περιοχή του δισδιάστατου χώρου με συνιστώσα x μεταξύ x και x+dx και συνιστώσα y στην περιοχή μεταξύ y και y+dy με τη σχέση: Οι αντίστοιχες καταστάσεις, όπως θα δούμε, συνδέονται με δύο κβαντικούς αριθμούς n1 και n2.

12 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L Ως παράδειγμα, ας εξετάσουμε το απειρόβαθο τετραγωνικό πηγάδι δυναμικής ενέργειας που ορίζεται από την απαίτηση να είναι η δυναμική ενέργεια U μηδέν στην γραμμοσκιασμένη περιοχή και να απειρίζεται σε όλες τις άλλες περιπτώσεις. Δηλαδή: Στο εσωτερικό του πηγαδιού έχουμε: Και αναζητούμε λύσεις της μορφής:

13 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L Διαιρούμε όλους τους όρους της εξίσωσης με ψ (x,y) και έχουμε: Από όπου προκύπτει: με

14 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L με Κάθε μια από τις εξισώσεις αυτές είναι ίδια με αυτή για το μονοδιάστατο φρέαρ απείρου βάθους. Επομένως προκύπτει: με: Επομένως η ορμή του σωματίου είναι κβαντισμένη.

15 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L Για την ενέργεια προκύπτει επίσης: Καταλήγουμε επίσης, στην κβάντωση της ενέργειας του σωματίου. Είναι φανερό ότι για να προσδιορίσουμε τη συνθήκη κβάντωσης χρειάζονται δύο κύριοι κβαντικοί αριθμοί. Για n1=n2=1 έχουμε τη θεμελιώδη κατάσταση του σωματίου με ενέργεια: Αυξάνοντας τους κβαντικούς αριθμούς έχουμε τις διεγερμένες καταστάσεις:

16 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L Υπάρχουν δύο πρώτες διεγερμένες καταστάσεις για δύο διαφορετικούς συνδυασμούς των κβαντικών αριθμών. με Παρόλο που οι 1ες διεγερμένες καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια, χαρακτηρίζονται από διαφορετικές κυματοσυναρτήσεις.

17 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger L Όταν διαφορετικές καταστάσεις έχουν την ίδια ενέργεια τότε η αντίστοιχη ενεργειακή στάθμη ονομάζεται εκφυλισμένη. Στο σωμάτιο μέσα σε δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι η 1η διεγερμένη κατάσταση είναι διπλά εκφυλισμένη. Ο εκφυλισμός οφείλεται στον υψηλό βαθμό συμμετρίας που υπάρχει λόγω του δισδιάστατου σχήματος του πηγαδιού. Ο εκφυλισμός αίρεται εάν οι πλευρές του πηγαδιού είχαν άνισα μήκη. Δηλαδή, ο βαθμός εκφυλισμού των ενεργειακών σταθμών μειώνεται όσο αυξάνεται ο βαθμός ασυμμετρίας του συστήματος.

18 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι
E. Schrödinger Συμπερασματικά, για ένα σωμάτιο εγκλωβισμένο σε δισδιάστατο τετραγωνικό πηγάδι, η ενέργεια και η ορμή είναι κβαντισμένες ποσότητες. Προκύπτει εκφυλισμός των ενεργειακών καταστάσεων που οφείλεται στον βαθμό συμμετρίας του δισδιάστατου τετραγωνικού κουτιού. Η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το σωμάτιο δίδεται από τη σχέση: O όρος Α=(2/L) προκύπτει από την κανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης.

19 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις
Το δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι δυναμικού Πηγή: Wikipedia Πηγή: Wikipedia by Bundesarchiv Bild183-R57262 E. Schrödinger (documentary) Nobel Prize lecture Max Born (documentary) Nobel Prize lecture

20 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι
E. Schrödinger Lx Ly Ας θεωρήσουμε τώρα ότι κατά τη x και y διεύθυνση, το εύρος του πηγαδιού είναι διαφορετικό. Επομένως έχουμε ένα ορθογώνιο πηγάδι δυναμικού. Ακολουθούμε την ίδια μεθοδολογία που ακολουθήσαμε και για το κυβικό πηγάδι δυναμικής ενέργειας και προκύπτει επίσης ότι: με

21 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι
E. Schrödinger Lx Ly Προκύπτει επίσης ότι η ορμή του σωματίου είναι κβαντισμένη : με: Καταλήγουμε έτσι στην κβάντωση της ενέργειας του σωματίου. Για n1=n2=1 έχουμε τη θεμελιώδη κατάσταση του σωματίου με ενέργεια:

22 Κβαντομηχανική σε δύο διαστάσεις Το δισδιάστατο ορθογώνιο πηγάδι
E. Schrödinger Lx Ly Υπάρχουν δύο πρώτες διεγερμένες καταστάσεις για δύο διαφορετικούς συνδυασμούς των κβαντικών αριθμών. με Έχουμε πλέον άρση του εκφυλισμού. Αυτό είναι αποτέλεσμα της άρσης συμμετρίας (Lx≠Ly) των δύο διευθύνσεων x και y.

23 Ευχαριστω για την Προσοχη Σασ

24 Σημείωμα χρήσης έργων τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις προσωπικές σημειώσεις και το υλικό παρουσιάσεων του μαθήματος όπως δημιουργήθηκαν από τον Καθηγητή κ. Χριστόφορο Κροντηρά. Οι εικόνες και οι φωτογραφίες των μεγάλων Φυσικών που δημιούργησαν την σύγχρονη θεώρηση της Φύσης, είναι διάσπαρτες σε όλο το δίκτυο και την βιβλιογραφία και αποτελούν κοινό κτήμα της ανθρωπότητας εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά στις αντίστοιχες παραπομπές. Οι ιστότοποι προέλευσης όσων αναφέρονται ήταν ενεργοί κατά την 21η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι παραπομπές.

25 Σημείωμα αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Χριστόφορος Κροντηράς. «Σύγχρονη Φυσική. Ενότητα 12». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: /PHY1961/

26 Σημείωμα αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση, Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: •που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο •που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο •που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

27 Διατήρηση σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει). Τέλος Ενότητας