Μετασχηματισμοί 3Δ.

Παρουσίαση με θέμα: "Μετασχηματισμοί 3Δ."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μετασχηματισμοί 3Δ

2 Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση του ορισμού ενός αντικειμένου πολλές φορές σε μια σκηνή

3 Συνοπτικά 3D Μετασχηματισμοί Βασικοί 3D μετασχηματισμοί

4 3D Μετασχηματισμοί Ίδια ιδέα με τους 2D μετασχηματισμούς
Ομογενείς συντεταγμένες: (x,y,z,w) 4x4 Πίνακες μετασχηματισμών

5 Βασικοί 3D μετασχηματισμοί
Μοναδιαίος Αλλαγή κλίμακας Μετατόπιση Συμμετρικός ως προς Y/Z επίπεδο

6 Βασικοί 3D Μετασχηματισμοί
Περιστροφή γύρω από τον άξονα Z: Περιστροφή γύρω από τον άξονα Y: Περιστροφή γύρω από τον άξονα X :

7 Αντίστροφή Περιστροφή
Q: Πώς να κάνω αναιρέσω (undo) μια περιστροφή κατά q, R(q)? A: Εφαρμόζω αντίστροφη περιστροφή… R-1(q) = R(-q) Πώς δημιουργώ τον R-1(q) = R(-q) Μέσα στον πίνακα περιστροφής: cos(q) = cos(-q) Το Συνημίτονο (cosine) του αντιστρόφου πίνακα μετασχηματισμού δεν μεταβάλλεται Το πρόσημο του ημιτόνου (sine) αλλάζει Οπότε… R-1(q) = R(-q) = RT(q)

8 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Ομογενείς συντεταγμένες σημείων Ε3: (x,y,z,w) Bασική παράσταση (x,y,z,1) Δεξιόστροφα (εδώ) & Αριστερόστροφα συστήματα Χ Ζ Υ (α) Χ Υ Ζ (β)

9 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Μεταφορά Αλλαγή κλίμακας

10 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Στροφή: ανάγκη ορισμού θετικής στροφής σε δεξιόστροφο σύστημα αντίθετη φοράς δεικτών ρολογιού όταν παρατηρητής στον +ve άξονα κοιτάει προς είναι ορθογώνιοι διατηρούν μήκη και γωνίες

11 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Αντίστροφοι Για στροφή ισχύει (ορθογώνιος)

12 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Στρέβλωση στο XY επίπεδο α, b παράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα z συντεταγμένη αμετάβλητη

13 Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί 3Δ
Στρέβλωση στο XY επίπεδο α, b παράγοντες στρέβλωσης κατά X και Y άξονα z συντεταγμένη αμετάβλητη Στρέβλωση στο YZ επίπεδο Στρέβλωση στο XZ επίπεδο

14 Παράδειγμα 3.11 Ορίζουμε ως καμπή την περιστροφή γύρω από τον άξονα X και στη συνέχεια γύρω από τον άξονα Y. (α) Βρείτε τον πίνακα καμπής Tk και (β) εξετάστε εάν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές. Λύση: (α) Τα ακόλουθα βήματα καθορίζουν τον ζητούμενο πίνακα. Βήμα 1: Στροφή κατά γωνία θx ως προς άξονα X. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: R x (θx ) . Βήμα 2: Στροφή κατά γωνία θy ως προς άξονα Y. Βασικός πίνακας μετασχηματισμού: R y (θ y ) . Ο ζητούμενος πίνακας θα προκύψει ως σύνθεση των παραπάνω βασικών μετασχηματισμών.

15

16 (β) Εάν εκτελεστούν οι παραπάνω μετασχηματισμοί με αντίθετη σειρά θα προκύψει ο ακόλουθος πίνακας:
Παρατηρούμε ότι ο νέος πίνακας διαφέρει από αυτόν του ερωτήματος (α) επομένως παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εκτελούνται οι περιστροφές.

17 Παράδειγμα 3.12

18

19

20 Παράδειγμα 3.13

21

22

23 Ο πίνακας περιστροφής Rx(θ1) ισούται με:

24

25 Παρατηρήσεις: 1) Εάν b και c ισούνται με μηδέν τότε λ = 0

26

27 Παράδειγμα 3.14

28

29 Παράδειγμα 3.15

30 Από το παράδειγμα 3.14 ο πίνακας μετασχηματισμού που θα προσδιορί­ζει τις συντεταγμένες των νέων κορυφών δίνεται από:

31

32 Για να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της στραμμένης φιγούρας εφαρμόζουμε τον πίνακα RL (θ) πάνω στον πίνακα Π που εκφράζει τη δοσμένη πυραμίδα. Πιο συγκεκριμένα:

33 Οι καινούριες συντεταγμένες θα δίνονται από τις σχέσεις:
Το αποτέλεσμα που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα